四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试卷

嘉祥锦江 2024 年 9 月 13 日 线 装 订 数学试卷 第 1 页 （共 4 页） 2022 级高三上期入学考试 数 学 考试时间 120分钟，试卷满分 150 分 注意事项： １．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 ２．答选择题时，必须使用２B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 ３．答非选择题时，必须使用０.５毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 ４．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 ５．考试结束后，只将答题卡交回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合  2 2 3 0U x x x    ，集合  1 1A y y    ，则 UC A  A．  1,1 B．  1,1 C．  1,3 D． 1,3 2. 复数 1 3iz   ，其中 i 为虚数单位，则 z的虚部为 A． 3i B． 3 C．1 D． 10 3. 函数   3 cosf x x x x  的图象大致为 A B C D 4. 已知 ,a b   为单位向量，且 ( 2 )a a b     ，则向量a  与b  的夹角为 A．30 B．60 C．120 D．150 5. 已知抛物线 C： 2 8y x 的焦点为 F，准线为 l，P是 l上一点，Q是直线 PF与 C的一个 交点，若 4FP FQ   ，则 QF 等于 A． 7 2 B．3 C． 5 2 D．2 6. 若 、  、  是空间中三个不同的平面， = , ,l m n         ,则 / /l m是 / /n m的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知 Sn是数列{bn}的前 n 项和，若（1﹣2x）2025＝a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025，数列{bn} 的首项 b1= �12 + �2 22 + �1 23 +⋯+ �2025 22025 ，bn+1•bn＝2n（n∈N*），则 S2024＝ A．3﹣3•21012 B．﹣2﹣3•21012 C．﹣3﹣21014 D．3﹣21014 8．设实数 x＞1，y∈R，e为自然对数的底数，若 exlnx+ey＜yey，则 A．eylnx＞e B．eylnx＜e C．ey＞ex D．ey＜ex 数学试卷 第 2 页 （共 4 页） 二、选择题: 本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0分. 9．下列说法正确的是 A．已知随机变量 X服从二项分布�(4， 1 2 )，则 D（X）＝1 B．设随机变量 X服从正态分布N（0，1），若P（X＞1）＝0.15，则P（﹣1＜X＜0）＝0.15 C．已知一组数据为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第 70百分位数为 7 D．若事件 A，B满足P（A）＞0，P（B）＞0，P（B|A）＝P（B），则事件A，B相互独立 10．如图，心形曲线 2 2: ( ) 1L x y x   与 y轴交于 ,A B两点，点 P是 L上的一个动点，则 A．点 2 ,0 2        和  1,1 均在 L上 B．点 P的纵坐标的最大值为 2 C． OP 的最大值与最小值之和为 3 D． 2 3PA PB  11．设定义在 R 上的函数 f（x）与 g（x）的导函数分别为 f '（x）和 g '（x），若 f（2x﹣1） ＝g（x）﹣2x，g（x+1）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），则 A．g'（2）＝2f '（3）+2 B．g'（2）＝4 C．f '（3）•f '（33）＝99 D. 2024 1 ( ) 4048 2025i ig    三、填空题: 本题共 3小题，每小题 5分, 共 15 分. 12. 函数    23log 2f x x x  的单调递增区间为 . 13. 已知点 P在圆    2 25 5 16x y    上，点  4,0A ，  0,2B ，当 PBA 最小时， PB  . 14. 甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛一 直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲 获胜的概率为 ，乙获胜的概率为  ，( 1, 0, 0)       ，且每局比赛结果相互独 立．若比赛最多进行 5 局，则比赛结束时比赛局数 X 的期望  E X 的最大值为 . 四、解答题: 本题共 5小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分 13分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且满足 3� � − ���� = ���� ⋅ ����． （1）求角 A的大小； （2）若△ABC为锐角三角形且� = 2 6，求△ABC面积的取值范围． 数学试卷 第 3 页 （共 4 页） 16．(本小题满分 15 分)成都市开展“安全随我行”活动，交警部门在锦华路路口增设电子 抓拍眼，并记录了某月该路口连续 10 日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数 y与天数 x的 情况，对统计得到的样本数据   , 1,2, ,10i ix y i   作了初步处理，得到下面的散点图 及一些统计量的值. x y Y 10 1 i i i x y   10 2 1 i i x   10 1 i i i xY   5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中 lni iY y ， 10 1 1 10 ii Y Y    . （1）依据散点图推断， y bx a  与 ebx ay  哪一个更适合作为未佩戴头盔人数 y与天数 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）依据（1）的结果和上表中的数据求出 y关于 x的回归方程. （3）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得 到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据 0.10  的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式： 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx        ， ˆâ y bx  ，           2 2 n ad bc a b c d a c b d        ，其中 n a b c d    .  0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 数学试卷 第 4 页 （共 4 页） 17．(本小题满分 15 分)如图，在边长为 4 的菱形 ABCD中， 60ABC E F  , , 分别是 ,AB BC 的中点，将 BEF△ 沿 EF折起，使点 B到 P的位置，且 4 2PD  ． （1）求证：平面 PBD 平面 ABCD； （2）求四棱锥 P ABCD 的体积； （3）求二面角D PE F  大小的余弦值． 18．(本小题满分 17 分)已知椭圆Γ: 2 2 2 2 1 x y a b   经过点 3(1, ) 2 A ，右焦点为 F(1,0). （1）求椭圆Γ的方程； （2）若直线 l与Γ 交于 ,B C两点，且直线 AB与 AC的斜率互为相反数，求BC的中点M 与 F 的最小距离． 19．(本小题满分 17 分) 已知 0a  且 1a  ，函数 ( ) ln(1 ) 1xf x a x    ． （1） ( ) ln( 1)na f n n n    ， *Nn ， nS 为数列 na 的前 n项和，当 89a  时，试比较 64S 与 2024 的大小，并说明理由； （2）当 1 e a  时，证明： ( ) 0xf x  ； （3）当 a > 0 且 1a  时，试讨论 ( )f x 的零点个数． null