第二章 一元二次函数、方程和不等式 易错排查矫正练+专题集训突破练-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

、第二章 一元二次函数、方程和不等式 易错排查 矫正练 错点①忽略二次项系数的讨论致误 2.解不等式：(.x2-4x十4)(x2一4x十3)≥0. 1.若集合A={xax2-ax+1<0}=0,则实 数a的取值范围是 2.若不等式mx2一4mx十3≠0对任意实数x 均成立，则实数m的取值范围是 3.已知一元二次不等式(m一2)x2十2(m-2)x十 4>0的解集为R,则实数m的取值范 围是 易点2解不等式时考虑不全面致误 3.解关于x的不等式ax2+1≥2x(其中0≤ a≤1). 1.解不等式：0 专题集训突破练 ■专题一不等式 C11 D.a>b 4444444 "a-b a 考点1不等式的性质及应用 2.已知a>0,b>0,M=√a+b,N=a 利用不等式的性质判断正误的两种方法 +√b,则M与N的大小关系为() (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等 A.M>N 式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说 B.M<N 法错误的只需举出一个反例即可. C.M≤N (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个 D.M、N大小关系无法确定 原则：一是满足题设条件：二是取值要简单，便 考点2利用不等式的性质求取值范围 于验证计算；三是所取的值要有代表性， 利用待定系数法求代数式的取值范围 1.若b<a<0,则下列不等式正确的是 已知M1<f(a,b)<N,M2<f2(a,b) A.11 N2,求g(a,b)的取值范围. B.ab<a2 (1)g(a,b)=pf(a,b)+qf2 (a,b); 30 ·数学 专题集训突破练了 (2)根据恒等变形求得待定系数p,q: 时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成 (3)再根据不等式的同向可加性即可求得 立的条件。 g(a,b)的取值范围 ②配凑法的实质在于代数式的灵活变形， 3.已知-1≤a+b≤1，-1≤a-b≤1，则 配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值. 2a十3b的取值范围 ③形如y=ar十r十的分式函数求最 4.设2<a<7,1<b<2,求a+3b,2a kx+m 值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分 b,号的范围. 母换元后将式子分开再利用不等式求最值.即 化为y=m++B(A>0,B>0,1=kx+ m),1恒正或恒负的形式，然后运用基本不等 式来求最值， 7.已知x,y∈R,则义+红的最小值 x+y 为 ■专题二基本不等式的应用 8函数y=+2 x-1 x>1)的最小值 为 考点1直接法 利用基本不等式法求最值的最基本类型 考点3常数代换法 若已知条件中的“1”（常量可化为“1”）与 可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和 目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分 一定一动型.积ab,以及a十b和平方和a2十 式相乘模型)，则实施“1”代换，配凑和或积为 b2三者之间的不等式关系： 常数 a≤2 a2+b2 (a,b>0): 模型1已知正数x,y满足ax十by=1,求 2°(a,b∈R. m+”的最小值.(a>0,b>0,m>0,n>0) y 5.已知a>0,b>0,若2a十b=4,则ab的 模型2已知正数x,y满足+ y =1(ay 最大值为 十b.x=xy),求m.x十y的最小值.(a>0,b> 6.若x>0则2+ 的最大值为 0,m>0,n>0) 9.已知x>0,y>0,且满足x十2y一xy 考点2配凑法 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出 -0则29的最大值为 两个式子的和或积为定值. A.9 B.6 C.4 D.1 ①应用基本不等式解题一定要注意应用 的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正” 10若0<a<4,则+的最小值是 a 是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值 ·数学 、第二章一元二次函数、方程和不等式 考点4消元法 ■专题三一元二次不等式、方程 消元法，即根据条件与所求均含有两个变 量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量， 考点1解含参数的一元二次不等式 转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函 解含参数的一元二次不等式的步骤 数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决 论二 二次项若含有参数应光讨论是等于0，小 项系数 于0，还是大于0，再将不等式转化为二为 项系数为整的形式 方法是消元后利用基本不等式求解.注意所保 判断方程 其断方程的根的个数，讨论判别式」与0 留变量的取值范围， 根的个数 的关系 11.已知x>0,y>0,且xy+x-2y=4, 确定无根时可直接写出解集，确定方程 写出解集 有两个根时，度讨论两根的大小关系， 则2x十y的最小值是() 面确定解集形式 A.4 B.5 C.7 D.9 14.当a≤0时，解关于x的不等式a.x2十 12.已知a,b为正实数，且a+b=6十 (1-2a).x-20. 1+9,则a十b的最小值为 d 考点5基本不等式的实际应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实 际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函 数及不等式性质等)解决问题用基本不等式 解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把 考点2恒成立问题 要求最大值或最小值的变量定为函数 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元， (2)建立相应的函数关系式.把实际问题 谁是参数.一般情况下，知道谁的范围，就选谁 抽象为函数的最大值或最小值问题， 当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与 (3)在定义域内，求出函数的最大值或最 参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根 小值 据原变量的取值范围列式求解， (4)正确写出答案. 15.若关于x的不等式m.x2十2x十m>0 13.某单位为提升服务质量，花费3万元 的解集是R,则实数m的取值范围是( 购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为 A.(1,十∞) B.(0,1) 0.1万元，已知使用x年的维修总费用为 C.(-1,1) D.[1,+oo) 2万元，则该设备年平均费用最少时的年》 16.若关于x的一元二次不等式2.x2 限为() kx十。>0对于一切实数x都成立，则实数k A.7 B.8 C.9 D.10 的取值范围为 32 ·数学，