3.1 函数的概念及其表示+专题集训突破练-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第三章函数的概念与性质 课时夯基过关练 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 素养日标 1.理解函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养 2.了解函数的三要素，会求函数值及定义域，会判定两个函数是否是同一个函数，培养学 生逻辑推理的核心素养」 3.能够正确使用区间的符号表示某些集合. 核心素养达标券实基础 B.(-∞，-3)U(-3,3) 一、选择题 C.(-0∞，-3) 1.Hx∈R,[x]表示不超过x的最大整数，十 D.(-0∞，3) 八世纪，函数y=[x]被“数学王子”高斯采 4.若函数f(x)=3x一1，则f(f(1)的值为 用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为 ( “取整函数”，则[4.8]-[-3.5]=( A.2 B.4 C.5 D.14 A.0 B.1 C.7 D.8 5.已知函数f(x)=√ax十1的定义域为R, 2.学习了函数的概念后，对于构成函数的要 则实数a的取值范围是() 素：定义域、对应关系和值域，甲、乙、丙三个 A.[0,1] B.(0,+∞) 同学得出了各自的判断： C.[1,十o∞) D.[0,+o∞) 甲：存在函数f(x),g(x),它们的定义域相 6.(多选)下列各组函数是同一个函数的是() 同，值域相同，但对应关系不同： Af(x)=√x+1·x-1与g(x)=x2-1 乙：存在函数f(x),g(x),它们的定义域相 同，对应关系相同，但值域不同： B.f(x)=√一x与g(x)=x-z 丙：存在函数∫(x),g(x),它们的对应关系 相同，值域相同，但定义域不同. 上述三个判断中，正确的个数是( D.f)=)与g)= x A.3 B.2 C.1 D.0 (x) 3函数fx)=2x十1 二、填空题 -(x+3)°的定义域是 √3-x 7.函数f(x)=-x+6x-5的定义 () 域为 A.(-∞，-3)U(3,十∞) 8.[x]为不超过x的最大整数，若函数f(x) ·数学 33 、第三章函数的概念与性质 [x],x∈(a,b),f(x)的值域为{-1,0,1， 三、解答题 2},则b一a的最大值为 1L.求下列函数的定义域，并用区间表示. 9.已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长 (1)y=2x+1+√3-4x: y关于腰长x的函数关系式为y=10一2x, (2)f(x)= (x十1)0 则此函数的定义域为 1-x 10.下列各组函数是同一个函数的是 (填 (3)y=—2 x-1 一√/1十x; 序号) ①f(x)=-2x与g(x)=/-2x: (4)y= -I 2.x2-3x-21 ②fx)=r与ge)= ③f(x)=/x2-2x+1与g(t)=1-1. 核心素养培优拓展提升 1.若函数y=f(.x)的定义域是[一2,4]，则函 [1,十o∞)上有意义，求实数a的取值范围. 数g(x)=f(x)十f(一x)的定义域 是() A.[-4,4] B.[-2.2] C.[-4,-2] D.[2,4] 6.已知函数f(x)= t< +x2 2.已知函数f(x)=√x2一ax+4的定义域为 R,则实数a的取值范围为 ,若 1)求f2)+f)f3)+f(号)的值： 函数g(a)=a2-a,则g(a)的值域 为 (2)求证：fx)+f(号）是定值： 3.若函数f(x)=ax2+x十1的值域为R,则函数 (3)求2f1)+f(2)+r()+f(3)+ g(x)=x2十a.x十1的值域为 4.若函数∫(x)满足对任意实数a,b都有 f）++f202)+(202)+ f(a+b)=f(a)·f(b),f(a)f(b)≠0，且 f1)-1,则f2+f3) f(4) f(1)f(2) f(3) 十…十 f202+f(22的值 f(2021)+f(2022) f(2020)f(2021) 5.(1)已知函数y=√a.x-2(a>0)的定义域 是[1，+∞)，求实数a的取值集合； (2)已知函数y=√a.x-2(a>0)在区间 34 ·数学 课时夯基过关练了 3.1.2函数的表示法 素养目标 1.掌握函数的三种表示方法，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，理解函数图 象的作用. 2.通过具体的实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 3.能利用函数解决实际问题，培养学生数学建模的核心素养 核心素养达标夺实基础 一、选择题 x十2，x≤-1， 1.一次函数f(x)满足：f[f(.x)一2x]=3,则 4.设f(x)= x2,一1<x<2,若f(x)=3,则 f(1)=( ) 2.xx≥2， A.1 B.2 C.3 D.5 x=( ) 2.函数f(x2)=x10十1，则函数f(x)的解析 A.1 B.±√3 式为( ) A.f(x)=x5+1 c D.3 B.f(x)=x5+1(x≥0) a(a<b), C.f(x)=x5+1(x≥1) 5.定义运算a①b= b(a-b). 则函数f(x) D.f(.x)=x+1(x≥1) (x2一3.x)⊕4的部分图象大致是() 3.某商场在国庆促销期间，规定商场内所有商 品均按标价的80%出售.同时，当顾客在该 商场内消费满一定金额后，按如下方案获得 相应金额的奖券： 消费金 「200. [400, [500, [700. 额/元 400) 500) 700) 900) 奖券金 30 60 100 130 额/元 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以 获得双重优惠，例如，购买标价为400元的 商品，则消费金额为320元，获得的优惠额 二、填空题 为110(110=400一320+30)元.若顾客购买 6.观察数表： 一件标价为1000元的商品，则所能得到的 优惠额为() f(r) A.130元 B.330元 (x】 C.360元 D.200元 则f(g(3)-f(-1) 数学 35 、第三章函数的概念与性质 -x2+1,0<x<1, 三、解答题 7.函数f(x)=0,x=0. 的定义域 10.已知f(x)=x2-2|x|+2. x2-1,-1<x<0 (1)用分段函数的形式表示该函数 为 ,值域为 (2)画出f(x)区间[一1,3]上的的图象： 8.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的 (3)根据图象写出f(x)区间[一1,3]上的 解析式是 值域. 9.已知函数f(x)对定义域{x|x≠0}内的任 意实数x满足f(2x)-2f() =4x,则 f(x)= 核心素养培优拓展提升 x2-2.x,x≥0 5.对于任意的实数x1,x2,min{x1,x:}表示x1 1.设函数f(x)= 则满足 -x2-4x,x<0 x2中较小的那个数.若函数f(x)=2一x2, f(x)<3的x的取值范围是( g(x)=x,记h(x)=min{f(x),g(x)},则 A.(-0∞，-1)U(1,4) h(x)的解析式为 B.(-∞，-1)U(1,3) 6.如图，已知底角为45的等腰梯形ABCD,底 C.(-∞，-3)U(-1,4) 边BC长为7，腰长为22，当一条垂直于底 D.(-∞，-3)U(-1,3) 边BC(垂足为点F,F不与B,C重合)的直 2.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0，m], 线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共 值域为 空-小，则m的取值范 点)时，直线！把梯形分成两部分，令BF= x,试写出直线【左边部分图形的面积y关 是( 于x的函数解析式. A(0,4] c层 u侵+ x,x≥0， 3.设函数f(x) 若f(a)十 /-x,x<0, f(-1)=2,则a=() A.-3 B.±3C.-1 D.士1 4.写出一个满足f(x一y)=f(x)十f(y) 2xy的函数的解析式 36 ·数学 专题集训突破练了 专题集训突破练 ■专题一函数的概念 函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接 地求解原函数的值域。 考点1定义域 (5)基本不等式法：通过对解析式变形，利 求函数的定义域应关注四点 用基本不等式求最值 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件 (一)观察法 是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的 分母不为0：②偶次根式的被开方数非负： 4.函数f(x)= x2+1x∈[-1,1]的值 ③y=x°要求x≠0. 域为 (结果用区间表示) (2)不对解析式化简变形，以免定义域 (二)配方法 变化. (3)当一个函数由两个或两个以上代数式 5.函数y=√一x2+2x+2的值域为 的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得 各式子都有意义的公共部分的集合. (三)分离常数法 (一)求具体函数的定义域 6.已知函数f(x)=92-12x+7 3.x-1 1.函数f(x)=/-x2+4x十5十 1十 3-x [22,则fx)的值线为 (x一2)°的定义域为 (二)求抽象函数的定义域 (四)换元法 2.已知f(x一1)的定义域为[2,3]，求 7.求函数y=x+41一x的值域. f(3x+2)的定义域. (五)基本不等式法 (三)逆用函数的定义域 8求y=+2 x<1)的最大值 x一1 3.函数y= 的定义域为R, a.x2-a.x+1 则实数a的取值范围是 考点2值域 求函数得值域常见的方法 (1)观察法：对解析式简单变形观察，利用 熟知的初等函数的值域求解： (六)根据值域求参数 (2)配方法：函数是二次函数，可采用配方 9.已知函数f(x)=√(m+2)x2+2x十1 法结合图象求解； 的值域是[0，十∞)，则实数m的取值范围是 (3)分离常数法：函数是一个分式型函数， () 可采用分离常数法将其整理为一个常数加一 A.[-2,2] 个分式，或用y表示出x,求解； B.[-1,2] (4)换元法：对于一些无理函数（如y=a.x C.[-2,-1]U[2,+o) 土b土cx士d),通过换元把它们转化为有理 D.(-∞，-1]U[2,十∞) 数学 37 、第三章函数的概念与性质 考点3解析式 (五)赋值法 求函数的解析式的常用方法 14.已知f(0)=1,对于任意实数x,y,等 (1)待定系数法：已知函数类型，如一次、 二次函数、反比例函数等.若已知f(x)的结构 式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x) 时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件， 的解析式。 列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得 f(x)的表达式. (2)配凑法：已知复合函数f[g(.x)]的表 达式，求(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容 易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法.但要 注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数 的定义域，而是g(x)的值域。 (3)换元法：已知f(g(x)的表达式，欲 求f(x),我们常设t=g(x),从而求得x,然 后代入f(g(x)的表达式，从而得到∫(t)的 ■专题二 分段函数 表达式，即为f(x)的表达式.与配凑法一样， 要注意定义域的变化， 已知分段函数解析式求值域或最值，也属 (④构造方程组法：若出现fx)与f（得)的 于常考基本题型，解决这类问题的关键是求出 分段函数中每一段对应函数值的取值范围（然 关系式、f(x)与f(一x)的关系式或一个奇函 数与一个偶函数的关系式，可根据已知条件再 后再求并集，即得分段函数的值域)，或者求出 构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程 分段函数中每一段对应函数值的最值（然后进 组求出f(x). 行比较，即得分段函数的最值).此外，借助于 (5)赋值法：当题中所给变量较多，且含有 数形结合思想（即画出分段函数的图象加以分 “任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的 变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求 析)，也是解决此类问题的常用方法。 得解析式 (一)分段函数求值 (一)待定系数法 2x2十1，x≤1， 10.已知f(x)是二次函数.且f(x十1)+ 15.已知函数f(x) 3 则 f(x-1)=2x2-4x.则f(x)= ,x>1. (二)配凑法 f(f(3))=( 若函数）=- +1,则 A音 B.3 C.1 D.19 f(x)的解析式为 (三)换元法 (二)分段函数与不等式的综合 12.已知f(x一2)=x2-4x,那么f(x) x2-4x十6，x≥0， 16.已知函数f(x)= 则 (四)构造方程组法 x+6,x0, 13.已知函数f(x)的定义域为R,且 不等式f(x)>3的解集是( f(x)十2f(-x)=x-x,则f(x)=() A.(-3,1)U(3,+o∞) A.'2x 62 3+x B.(-∞，-1)U(2.3) 3 C.2+2r 0 C.(-1,1)U(3,+o∞) 3 3x D.(-∞，-3)U(1,3) 38 ·数学一对草等号。 3B。 的” 1-+ 十]-a+h日-16,+或+& 一以品数的定又一一3 (一)( 一以去了,且位一一时取号。 3.1. ) 故: 13.C 点题意可得:该设备年本的费员岁一 4C (-1.1 所以/011-- 5D由题意,品数()V十)有意义,则满是r +. 点 国为品数/()的定又线为,即不等式计10在 旧5 次是说这歌析式有文的量的的是。 B上性成立 毫的,是义不 山析次的数,文 一 看一0,10幅式,含题意。 ”提点点,符合题意 0时,不将合题意。 上可得,数&的值范围是[,十一. 菜耳耳来畔来 -,-后&时,。 6A选)的定又为1定& 化上走个都跳, 区又该是使各区的实数,交 为一1成,不是回一本 所以该没客年年均厚系少时的年殊为B 1 选。v-v.r C 【核心素养培忧·技展提升】 14.:+(-20+- 一一土1“(】,不是问一数。 (a(.如/()-七 ①一时,不等一0:得 2-.] 由题如数(()的定又减为 十- D选1>)-! 2/01+01-1. +10对,则-1 r1r()-1. (r) 0得一,的取值为一4 (,是回一个数. 品数()一一&辈的对林方为。 当-时,题不式解为,-, (7()-1: 5]--1 一口,,以的又为 文为E-4以在[-] (12.021)(-0□~1. 。 -101.7 以占夫取到了。最小取到一1. 自变的增大而减小。 在问上随直变量。的天而墙大, 所以一。的最大夜】(一1~. 20l)1. 所(a)在-是取得小在--1取 20计/(++7()+- 上,-时,不等式的幅为。 心.,文和干第三,改习0 一-、,此的定又域为(》 当--时,题不式的解为l一2. 121+r0)- 3.[1+00)题意要使(《r]-+十】的值成为 有子是十,以了士! 现析析点是卖际陪题出的,其又域 3.1.2 数的示法 40 十a)令b+1 1则(的战为)故十 1 【结心素达好·实基础】 --1+-y f&)一11.又。是意实,。 ②]--2r,-r, 1C)+【&-]-f 不的为. 不,([一)与)不是用一个品数;(() 1) -②r+-2+-2+b+ .A0时>不题。 10r)--10,对点共高完义 #, 冲时,因为美子一不式x .1-2.画选C 的是陪一^口,1!. 均,是用一个品数;③((r-r十! 17072700 2B-,0--. 一一1一一,时点不因,)与 -+1-10. 不是同一个画数 上,实数的取位思渴是(1.士一),效选A -十10 16---xx- 11.解:(1)要使品数意义,自变量1的取_含满点一 0.得1,所画数的定文线为 5.(120,数的又 故一二二③ 题视一一D,段所求数效 一},在(一寻] 第三章 函数的概念与性质 :[). (21要使品数意义,自变量工的取索是 文的完又[1o),到-1.即-2 3B题客的一件松恰为1000元的高品时,海全 1. 课时夯基过关练 题为1000×一00(元)由表,可知这家运可 故是的值合为?。 技得130元的奖,级所得到的在意为1000-00 3.1 阅数的概念及其表示 所以题的定又城为,,一1,用这 +10-2%七)缺选B (31使画数有意义,发量工的取需源义 3.1.1 函数的念 -1 1.止1. _ 1m1又0时故 【核心养达标·夯实基础】 1 1时 数的定又为一上,且一1,用表 1-. -1.101. 实。的是,十 (4)使面教有意文,自变量工的取位赏满义 成相园,对应关系不园,甲反。乙,摇品相等 故:- 的定又可知,两个品数的定又减同,对应关系闪。 10 活在风1上走义与数的是又境点!是 01 -0。 ,7)----1. ,区I区的子,! 一完相,效乙晃;:(r一号(1.21 其国象如图败子 -1或4. ()一(一一1),两个数的对来关框间, 成相同,定义减不间,故内. 贬是的定. 157 158 ##7_# 2+]. #1。 上,实的是1][十 得3,是 -十>o在上成 -1+十。 C ①一0时,10性成生,满是题意。 D-1--1-1D-1+(-1-1 ,使一十一上成。 到+-十1十+十-- 封。 +c. 故选B 一aE0 -t-1+-1+-+- 6(,可得(--(-1--. -1--1- 综上考晶数y的定支域为,则实数言的取值范国是 +-+r -1--.--1- 4答案不暗一了--y ..政答. +1+-1-r+++ -- , _,的时 去|][-1.1.1[1.2/1 y中,y-得0-yr) +1D-11-2-: 一了)一))一不 “1 [。 (-10-f-1.1. [-1.1挂 --1,答--1 +2.m0. 8r-1[-10. &在的! 结合数因象和一次品 ] 51-12--21 70)()些 1- .1()-1 -(-)0-1 ?即十0以一1. 5.[0]--++, r0-1[-1.0. 1) -号0.1 比n--- +-一-10七故答 ,,十一, . 一,,时 2,+ 这到有大,注点是来 以-1 | 此- 名,的过 7-- 3一1 --1-3-1. &-1 6.解:全AA.DA1CD1IC.过是 +2(-一:A可解厚,f)-,效 也/(2-)-2r()-4,得/(2-]- 口1 .H. --1-1--112 14.对于好意实数七,等式((-,)/() 国为四达形A是等,为4折,AB- 8D 2--(2冲-2r-]-2-& ,BG-AG-DH-HC- 又πC-7所以AD-0H-. -10-~12--。 ()--×②①+,路 (1)点在G上,时: (-1-1r-1--1时, 一,好人为(1一1. -15.故/(1- 。答案 2 又大值应在两个区滩堪在的果一处取到 # 5.n2-(]-01-+1-3选B #) 1n.130封,r1-+2.0时 7)++2. 一1 (2)F在GH上,&,时+-) 一()(2 二.- ,、 (2)根三次品数的泪性 ,般一的畔 终()-() 答案[ 成1,小值为 A. 1-1B-7(1-1 (3AF上.即了. 8.1,附-1-r00. 课时夯基过关练 ,-S~8--n--r 以品数特化y一一十十10》。 31{#- f)问-1.]上 为数y一一?十如十1时用章口面下,对标物方 3.2 阅数的基本性 程[0. 3.2.1 佳战 可如(一时,品数y一-十斗了到故文值y 单调性与最大(小](第一时) 【核心需养培忧·拓展提升】 -一七得~1A 1.D 10.f0r- 【核心素养达标·夯实基础】 路以原品数的佳为(一) -.--10 1.C一0一十1一十1为品数,则A误 8.解--什1-1 -3,解1 。 十5在0十一)上是地品,B, 1-1 -3 -一[:) 一十了在(一1)上是增,在(一上.十)为减 品趣、C确,y-一 政头数的解式为y-一!. 在(0十)止是培高 -~+10.57. 5--一1-_阿时章子号. 1C面 y---。 2A不- &、D播误:选C }) -}--r- 专题集证突破练 所以对蚌为直线,一。 r). 1[-1.2(2.3(] h是可排 - C 子-+2+1的是 . _ 2 r)一十是品选A ) 一时,- 得-1C, [0.十】,则y一十十②七十1的夜战会 十2-0时--,选时y---十】域 为-0时y一-4.画些 0.. 品我图象如画所示。 -1.0(2.0U(2 为R.合率题意: 是十命听一2.要使得二文画数y+2》: 则由二次数的性质知,有,时,y“”一七十】 -1的去3 , ++1的战含+). 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