1.4 充分条件与必要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4充分条件与必要条件 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 2 一、学习目标 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 2 讲 解 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 二、探索新知，自主预习 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 阅读教材学习（整理归纳填空） 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 二、探索新知，自主预习 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 5 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 二、探索新知，自主预习 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 5 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 讲 解 一般地，若果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即 既有 ，又有 ，就记作： ． 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 概括地说，如果 ，那么p与q互为充要条件． 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 二、探索新知，自主预习 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 7 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 二、探索新知，自主预习 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 7 8 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 二、探索新知，自主预习 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 8 9 预习小练 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 二、探索新知，自主预习 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 9 10 预习小练 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 二、探索新知，自主预习 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 10 11 预习小练 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 二、探索新知，自主预习 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 11 12 预习小练 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 二、探索新知，自主预习 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 12 5、口答：下列“若 ,则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)若则 (5)若则 (6)若为无理数，则为无理数. 解：(1)这是一条平行四边形的判定定理，所以是的充分条件. (2)这是一条相似三角形的判定定理，所以是的充分条件. (3)这是一条菱形的性质定理，所以是的充分条件. 解：(4)由于，但，所以不是的充分条件. (5)由等式的性质知，所以是的充分条件. (6)为无理数，但为有理数，，所以不是的充分条件. 预习小练 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 二、探索新知，自主预习 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 14 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 三、互动探究，提升素养 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 14 15 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 三、互动探究，提升素养 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 15 16 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 三、互动探究，提升素养 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 16 17 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 三、互动探究，提升素养 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 17 18 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 三、互动探究，提升素养 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 18 19 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 三、互动探究，提升素养 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 19 20 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 三、互动探究，提升素养 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 20 21 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 三、互动探究，提升素养 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 21 22 规 律 和 方 法 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 三、互动探究，提升素养 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 22 23 思路点拨 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 三、互动探究，提升素养 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 23 24 规 律 和 方 法 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 三、互动探究，提升素养 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 24 25 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 三、互动探究，提升素养 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 25 26 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 三、互动探究，提升素养 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 26 27 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 四、课堂小结 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 27 28 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 五、达标训练，巩固双基 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 28 29 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 五、达标训练，巩固双基 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 29 30 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 五、达标训练，巩固双基 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 30 31 互动探究 提升素养 栏目导航 栏目导航 棎索新知 自主预习 课时分层作业 达标训练 巩固双基 ‹#› 五、达标训练，巩固双基 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 31 32 (1)课本P22的练习1-3题； (2)课本P22的习题1.4的1-5题. 栏目导航 栏目导航 互动探究 提升素养 棎索新知 自主预习 课后分层作业 当堂达标 巩固双基 六、课时分层作业 人教A版 高中数学 必修一 REN JIAO A BAN GAO ZHONG SHU XUE 32 学习的本质是改变思维 THANK YOU 33 1.4充分条件与必要条件 学 习 目 标 核 心 素 养 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点) 2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养. ⇒ 充分 必要 充分 必要 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p　 　q p　 　q 条件关系 p是q的　 　条件 q是p的　 　条件 p不是q的　 　条件 q不是p的　 　条件 举例 若x=2，则x2=4.(真) 若两个三角形周长相等， 则这两个三角形全等.(假) 思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：(1)相同，都是p⇒q.(2)等价． q⇒p p⇔q p⇔q p⇒q 充分必要 充要 互为充要 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 2．充要条件 (1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的　　 　　条件，简称　 　条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q　　 　　条件． (2)若p⇒q，但qp，则称p是q的 ． (3)若pq，但q⇒p，则称p是q的 (4)若pq，且qp，则称p是q的 ． 思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ (2)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”的区别在哪里？ 提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. (2) p是q的充分不必要条件说明p是条件，q是结论． q是p的充分不必要条件说明q是条件，p是结论． A　[D不是陈述句，B、C不能判断真假．] 1．下列语句是命题的是(　　 ) A．梯形是四边形　　 B．作直线AB C．x是整数 D．今天会下雪吗 [答案]　C 2．“同位角相等”是“两直线平行”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.] 3．使x>3成立的一个充分条件是(　　 ) A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 A　[因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．] 4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [解]　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件． (3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要条件． 【例1】　指出下列各题中p是q的什么条件． (1) p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0. (2) p：两个三角形相似，q：两个三角形全等． (3) p：a＞b，q：ac＞bc. 题型一 充分条件、必要条件的判断 【变式题】．指出下列各组命题中，p是q的什么条件． (1) p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． (2) p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. (3) p：四边形的对角线互相垂直且平分，q：四边形是正方形； (4) p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； [解]　(1) p是q的既不充分也不必要条件． (2)p是q的充分不必要条件． (3)p是q的必要不充分条件 (2)p是q的充要条件 提示：若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件． [集合与充分必要条件的关系] 1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？ 提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA. 2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？ [思路点拨]　eq \x(\a\al(p是q的充分,不必要条件))→eq \x(\a\al(p代表的集合是q代,表的集合的真子集))→ eq \x(\a\al(列不等式,组求解)) 题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用 【例2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． 题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用 【例2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． 解：因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp. 即 ， 所以 解得m≥9. 经检验符合题意 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}． [解]　因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq. 则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≥－2,1＋m≤10，))，解得0<m≤3. 即m的取值范围是{m|0＜m≤3}． 【变式1】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________． [解]　因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq. 则{x|1－m≤x≤1＋2m，m>0}{x|－2≤x≤10}， 所以 【变式2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋2m，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________． [解]　因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P. 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－4≤1，,a＋4≥3，))解得－1≤a≤5， 即a的取值范围是{a|－1≤a≤5}． 【变式3】　已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围． 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 1化简p，q两命题； 2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系； 3利用集合间的关系建立不等式； 4求解参数范围. [思路点拨]　从“充分性”和“必要性”两个方面来证明． [证明]①充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． ②必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0. 综上，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 【例3】试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 题型三 充要条件的探求与证明 充要条件的证明技巧 1证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪个作条件推证到哪个结论，从两个方面证明。 如：p是q的充要条件：即充分性 “若p，则q”为真，必要性“若q，则p”为真. 如：p的充要条件是q：即充分性 “若q，则p”为真，必要性“若p，则q” 为真 2也可以转化为集合来证明，证明p与q的解集是相同的， 2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. [证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0. ①证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0. ②证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0. 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断． (3)集合法：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件． (2)等价法：“ ”等价命题可以进行转换“ ”， [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 1．思考辨析 (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) (2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　) (3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．(　　) A　[由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．] 2．“x>0”是“x≠0”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 m＝－2　[函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－eq \f(m,2)＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．] 3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________． 4．已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． [解]　由p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a<0，))即－eq \f(2,3)≤a<0， 所以a的取值范围是 . $$