第1章　特殊平行四边形—正方形、作图复习讲义　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

【易错复习】 1．如图1，菱形ABCD中，AE⊥BC，BE=EC，AE=4，BD= 如图2，菱形ABCD中，AB=AE=EF=FA，∠C= 。 ( A B C D E 图1 ) ( A B D E F C 图2 ) 第2题图 2． 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离____________ 3.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AECF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O． （1）求证：△ABE≌△CDF； ( A B D C G E O F H )（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由． 第一章——正方形 【基础巩固】 考点1．正方形的定义：有__________________________的______________叫做正方形． 考点2．正方形的性质 1 边的性质：_________________________________ ② 角的性质：_________________________________ ③ 对角线性质：_______________________________ ④ 对称性：___________________________________ 【习题练习】 1、正方形ABCD的边长为2，则对角线的长___________；面积为___________ 。 2、正方形ABCD的对角线为2，则边长___________；面积为 ___________。 3、正方形ABCD，延长BC到E使CE=AC,连接AE，交AD于F,则∠AFC= __________。 4．点M为正方形ABCD对角线BD上一点，分别连接AM、CM．求证：AM=CM． 考点3．正方形的判定 判定①：_____________________________________是正方形。 判定②：_____________________________________是正方形。 判定③：_____________________________________是正方形。 判定④：_____________________________________是正方形。 判定⑤：_____________________________________是正方形。 【习题练习】 1. 如图所示,已知RtΔABC中,∠ABC＝90°,先把ΔABC绕点B顺时针旋转90°后至ΔDBE,再把ΔABC沿射线AB平移至ΔFEG,DE,FG相交于点H. (1)判断线段DE,FG的位置关系,并说明理由; (2)连接CG,求证四边形CBEG是正方形. 考点3．中点四边形 如图决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的数量和位置关系,归纳如下: ①若原四边形的对角线相等, 则中点四边形EFGH为_________________; ②若原四边形的对角线互相垂直, 则中点四边形EFGH为_________________; ③ 若原四边形的对角线既相等又垂直, 则中点四边形EFGH为_________________; ④若原四边形的对角线既不相等也不垂直, 则中点四边形EFGH为_________________. 运用结论: (1)以任意四边形的各边中点为顶点的四边形是_________________; (2)以矩形的各边中点为顶点的四边形是_______________________; (3)以菱形的各边中点为顶点的四边形是_______________________; (4)以正方形的各边中点为顶点的四边形是_____________________; 【强化提升】 一、选择题 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( 　　) A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 2.如图所示,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE＝DF,AE,BF相交于点O,下列结论:①AE＝BF;②AE⊥BF;③AO＝OE;④SΔAOB＝S四边形DEOF.其中错误的有 ( 　 　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第2题图 第3题图 3.如图所示,在ΔABC中,∠ACB＝90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE＝BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是 (　　) A.BC＝AC B.CF⊥BF C.BD＝DF D.AC＝BF 4. 已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB＝BC,②∠ABC＝90°,③AC＝BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,则有下列四种选法,其中错误的是 (　　) A.选①② 　B.选②③ 　C.选①③ 　D.选②④ 二、解答题 1. 如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H． （1） 求证：EB=GD； （2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由； 【培优训练】 1.将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、、分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分的面积的和为________． 2. 如图所示,在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的一点,且AE＝3,点Q为对角线AC上的动点,则△BEQ的周长的最小值为　　　　.  第2题图 第3题图 3.如图，正方形ABCD中，E，F分别是边AD，AB上的点，∠ECF＝45°，若△AEF的周长为6，则正方形ABCD的边长为__________． 专题练习——特殊的平行四边形作图练习 1.如图，作一个菱形，使它的两条对角线的长分别为a和b． ____________________ _______________ 2. 已知：菱形ABCD边长为a，有一个内角等于∠α，求作此菱形ABCD． 3.已知：矩形ABCD，求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上． 4.如图，已知线段AC，求作：正方形ABCD，使AC为正方形ABCD的一条对角线。 ( C )____________________ ( A ) 5.（培优）已知：线段a.求作：矩形ABCD，使它的对角线AC、BD相交于O点，且AC=a，∠AOB=60°． ____________________ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$