第1章　特殊平行四边形形—菱形、矩形　讲义　　　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第一章——菱形 【基础巩固】 考点1.菱形的定义：有一组___________相等的_____________ 叫做菱形． 考点2.菱形的性质 ① 边的性质：____________________________ ② 角的性质：____________________________ ③ 对角线性质：____________________________________________________________ ④ 对称性：________________________________________________________________ 【习题练习】 1．菱形ABCD中，AB=5cm，则菱形的周长为（ ） A. 20 B. 25 C. 20cm D. 25cm 2．已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（　　） A．20 B．14 C．28 D．24 3．如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ） A．2 B． C．4 D． 考点3.菱形的判定 判定①：_______________________是菱形。判定②：_____________________是菱形。判定③：_______________________是菱形。 【习题练习】如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连结BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。 考点4.菱形的面积 方法①：_____________________________ 方法②：_____________________________ 【习题练习】 1．菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则菱形的面积________ 第2题图 第3题图 2．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，DE丄AB，菱形ABCD的面积_________ 3． 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离__________ 【强化提升】 一、选择题 1．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（　　） A、M（5，0），N（8，4） B、M（4，0），N（8，4） ( A B C D E F )C、M（5，0），N（7，4） D、M（4，0），N（7，4） 第1题图 第2题图 2．如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，AE=EB，则∠EDF等于（ ） A．75° B．60° C．50° D．45° 3．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 B．邻角互补 C．对角相等 D．每条对角线平分一组对角 4．下列命题正确的是（ ） A．有两组邻角相等的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 二、填空题 1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是_________ 第1题图 第2题图 2.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于 cm2． 三、解答题 1.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AECF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O． （1）求证：△ABE≌△CDF； ( A B D C G E O F H )（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由． 【培优训练】 ( A B D E F C 图2 ) ( A B C D E 图1 )1．如图1，菱形ABCD中，AE⊥BC，BE=EC，AE=2，BD= 如图2，菱形ABCD中，AB=AE=EF=FA，∠C= 。 2．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒． （1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？ （2）分别求出菱形AQCP的周长、面积． 3．已知，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点H为CD上任意一点（不与C、D重合），过点H作CD的垂线，交BD于点E，连接AE． （1）如图1，线段EH、CH、AE之间的数量关系是_______________________； （2）如图2，将△DHE绕点D顺时针旋转，当点E、H、C在一条直线上时，求证：AE+EH=CH． 第一章——矩形 【基础巩固】 考点1．矩形的定义：有一个角是_________的______________叫做矩形． 考点2．矩形的性质 ① 边的性质：_________________________ ② 角的性质：________________________ ③ 对角线性质：_______________________ ④ 对称性：__________________________ 【习题练习】 1. 下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行 2. ( F B E D C A )矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB=______cm，BC＝________cm． 第2题图 第3题图 3. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的________ 考点3．直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线______________________ 符号语言：____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ 【习题练习】 1. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝___________． 2. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别为AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形； 4．矩形的判定 判定①：_________________________________是矩形。 判定②：_________________________________是矩形。 判定③：_________________________________是矩形。 【习题练习】 1. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, CM∥BD，DM∥AC. 求证：四边形OCMD是矩形． 2. 在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形。 【强化提升】 一、选择题 1. 若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（ ） A．22 B．26 C．22或26 D．28 2．由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（ ） A．22.5° B．45° C．30° D．60° 3．如图，宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ） A． 400 cm2 B． 500 cm2 C． 600 cm2 D． 4000 cm2 二、填空题 1. 矩形的对角线长为两条邻边之比是2∶3，则矩形的周长是___________． 2. 矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是____________ 3. 如图，E为矩形纸片ABCD的BC边上一点，将纸片沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点处．若△AFD的周长为9，△ECF周长为3，则矩形ABCD的周长为_________ 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若，，则AC的长为_________ 5.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为_________ 3、 解答题 1. 如图所示，△ABC中，D是BC中点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，连接BF． （1）判断并证明四边形AFBD； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形，证明你的结论． 【培优训练】 1．如图，矩形ABCD中，AD＝3，E，F分别是边AB，CD上的点，连接AE，CF，EF．若四边形AECF是菱形，且EF＝DE＋BF，则AB的长为_________． 第1题图 第2题图 第3题图 2. 如图，P是矩形ABCD内任意一点，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为_________． 3．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，若DF＝DC＝1，AF＝2FE，则BE＝_________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$