精品解析：安徽省阜阳市2024-2025学年九年级上学期月考数学试题

2024—2025学年度第一学期九年级学情调研（一） 数 学RJ（试题卷） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试范围：第21～22.1章． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义逐个判断即可，一般地，形如的函数（是常数，），叫做二次函数． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是一次函数，故本选项不符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、、 B. 4、2、 C. 4、、1 D. 4、2、1 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可． 详解】解：∵ ∴ ∴． 故选C． 3. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，熟练求得二次函数的对称轴是解题的关键．求得二次函数的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为轴， 关于轴对称的点为， 该图象必过点， 故选：B． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 实数根的个数由b的值确定 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，根据的意义得到方程有两个不相等的实数根即可． 【详解】解：因为， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选B． 5. 下列关于二次函数的图象说法中，错误的是（ ） A. 它的对称轴是直线 B. 它的图象有最低点 C. 它的顶点坐标是 D. 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、它的对称轴是直线，故原说法正确，不符合题意； B、它的图象开口向上，有最低点，故原说法正确，不符合题意； C、它的顶点坐标是，故原说法正确，不符合题意； D、在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 6. 若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解答此题的关键．先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 7. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的形状、开口方向与抛物线相同得出，再结合顶点为即可得解． 【详解】解：∵一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为， ∴此抛物线的解析式为， 故选：B． 8. 《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（ ） A. 24 B. 30 C. 32 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，表示正东方向，表示正南方向，则，设甲、乙的时间都是x，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，表示正东方向，表示正南方向， ∴ 设甲、乙的时间都是x，则，， 又∵． ∴ 由勾股定理得：， ∴ ∴， ∴（舍去）， ∴甲走的路程为（步）， 故选：D． 9. 某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意设菜地垂直于墙的一边的长为为x米，则根据图并利用长宽面积，建立方程并求解即可． 【详解】解：设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米， 由题意列方程可得：，解得 当菜地垂直于墙的一边的长为10米时，平行于墙的一边的长为30米，大于墙长的22米， 所以菜地垂直于墙的一边的长为15米． 故选：B． 10. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线与y轴交于点， A、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，符合题意； B、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； C、由可得，则，故抛物线开口向下，即对称轴，不符合题意； D、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数顶点坐标式．把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：把二次函数化为顶点式为：； 顶点坐标为：． 故答案为：． 12. 由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为462元，第一次降价后的价格是元，第二次降价后的价格为元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得： y与x之间的函数关系为：． 故答案为． 13. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为______． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．原方程可以化为，由题意得出，推出，即可得解． 【详解】解：原方程可以化为：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 14. 抛物线的图象交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B． （1）点B坐标______； （2）点，，且线段与抛物线恰有一个公共点，则m取值范是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对m进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键． （1）求出A点坐标，再由点B关于x轴对称，根据点的对称性可求B点坐标； （2）根据题意，分两种情况分别求：当和时，根据“线段与抛物线恰有一个公共点”列出不等式，再结合图象可确定m的范围． 【详解】解：（1）抛物线与y轴交于点A， ∴， 点A关于x轴的对称点为点B， ∴， 故答案为：； （2）当时， 通过观察可得：C在直线l上，若要与抛物线有一个交点， 则， 解得（舍）， 当时， ， 解得，即． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程: 【答案】3或0 【解析】 【分析】利用因式分解法求出解即可； 【详解】解：x（x-3）=0， 可得x=0或x-3=0， 解得：x1=0，x2=3； 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，注意使用因式分解法时方程右边必须为0. 16. 直线与抛物线交于点． （1）求a和n的值； （2）对于二次函数，当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把代入可以求出的值，再把代入即可求出的值； （2）根据二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入，得， 把代入，得， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ∴当y随x的增大而增大时，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）判断方程根的情况； （2）设，是方程的两个根，求的值． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）将方程化为一般式，再根据根的判别式计算即可得出答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入计算即可得出答案． 小问1详解】 解：原方程化为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴原式． 18. 如图，将一些小圆按规律摆放： （1）第个图形有 个小圆，第个图形有 个小圆（用含的代数式表）； （2）能用个小圆摆成这样的图形吗？如果能，请求出摆成的是第几个图形；如果不能，请说明理由． 【答案】（1），； （2）能用个小圆摆成这样的图形，摆成的是第个图形． 【解析】 【分析】（）根据所给图形找出变化规律即可求解； （）把代入（）中所得规律，解方程即可判断求解； 本题考查了图形的变化规律，根据所给图形找出变化规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图可得，第个图形小圆的个数为， 第个图形小圆的个数为， 第个图形小圆的个数为， 第个图形小圆的个数为， ∴第个图形小圆的个数为， 第个图形小圆的个数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：若能，则， 即， 解得（不合，舍去），， ∴能用个小圆摆成这样的图形，摆成的是第个图形． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，，点M从点A开始沿以的速度向点C运动（到点C时停止），过点M作，交与点N，并设点M的运动时间为． （1）当t为何值时，的面积为？ （2）若，求t的值． 【答案】（1）t为2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解题方法． （1）根据题意得出，根据三角形面积公式得出，求出t即可； （2）根据，，得出，求出t的值即可． 【小问1详解】 解：由题可知，， ∴， 解得，（舍）， ∴当t为2时，的面积为 【小问2详解】 解：∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴ 可得，（舍）， ∴． 20. 如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， ∴ 设，， 则， ∴， ∴ 六、（本题满分12分） 21. 已知二次函数． （1）求证：不论n取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上． （2）若点，都在二次函数图象上，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并灵活运用是解此题的关键． （1）由二次函数解析式得出顶点坐标为，设，，则，即可得解； （2）由二次函数的性质得出，从而得出，再将代入二次函数解析式即可得出答案． 【小问1详解】 证明：由二次函数知，抛物线顶点坐标为 设，，则， ∴抛物线的顶点始终在直线上； 【小问2详解】 证明：由题可得，则 ∴， 把代入得， ∴． 七、（本题满分12分） 22. 某商店销售一款成本价为40元的洗发水，如果每瓶按60元销售，每天可卖20瓶．该商店通过调查发现，每瓶洗发水售价每降低1元，日销售量增加2瓶． （1）如果该商店想保持日利润不变，且尽快销售完这批洗发水，每瓶售价应定为多少元？ （2）同城另一家商店也销售同款洗发水，标价为每瓶62.5元．为促进销售，提高利润，这家商品决定实行打折促销，且其销售价格不低于（1）中的售价且不高于60元，则洗发水至少需打几折？ 【答案】（1）每瓶售价定为50元 （2）洗发水至少需打八折 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式组的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）设每件的售价定为a元，根据利润不变，列出关于a的一元二次方程，求解即可； （2）设该商品打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 设每瓶售价定为a元，则 解得，（舍）， ∴每瓶售价定为50元 【小问2详解】 设洗发水打m折，则， 解得： 答：洗发水至少需打八折． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线的函数解析式为． （1）求点A，C坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）四边形的面积有最大值，最大值为8，此时 【解析】 【分析】（1）在直线y＝﹣x+2中分别令和，可得A和C的坐标； （2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式； （3）方法一：过M点作轴，与交于点N，设则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标； 方法二：连接，根据面积和表示关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标； 【小问1详解】 解：对于一次函数． 令，得，令，得， ∴， 【小问2详解】 解：将，代入得 解得 ∴ 【小问3详解】 解：方法一：由（2）可得抛物线对称轴为直线， ∴， ∴ 如图过点M作直线轴交直线于点N 设则 ∴ ∴ ∵， ∴当时，四边形最大值为8且； 方法二：由（1）知： ∴抛物线的对称轴是直线 ∵，∴ 连接，设 ∴ ∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为8，此时． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）题关键在求函数的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期九年级学情调研（一） 数 学RJ（试题卷） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试范围：第21～22.1章． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数一定是二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、、 B. 4、2、 C. 4、、1 D. 4、2、1 3. 若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 实数根个数由b的值确定 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 5. 下列关于二次函数的图象说法中，错误的是（ ） A. 它的对称轴是直线 B. 它的图象有最低点 C. 它的顶点坐标是 D. 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大 6. 若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 7. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（ ） A. 24 B. 30 C. 32 D. 36 9. 某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 不存在 10. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数的顶点坐标是______． 12. 由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为______． 13. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为______． 14. 抛物线的图象交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B． （1）点B坐标为______； （2）点，，且线段与抛物线恰有一个公共点，则m的取值范是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程: 16. 直线与抛物线交于点． （1）求a和n的值； （2）对于二次函数，当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）判断方程根的情况； （2）设，是方程的两个根，求的值． 18. 如图，将一些小圆按规律摆放： （1）第个图形有 个小圆，第个图形有 个小圆（用含的代数式表）； （2）能用个小圆摆成这样的图形吗？如果能，请求出摆成的是第几个图形；如果不能，请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，，点M从点A开始沿以的速度向点C运动（到点C时停止），过点M作，交与点N，并设点M的运动时间为． （1）当t为何值时，的面积为？ （2）若，求t值． 20. 如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 六、（本题满分12分） 21. 已知二次函数． （1）求证：不论n取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上． （2）若点，都在二次函数图象上，求证：． 七、（本题满分12分） 22. 某商店销售一款成本价为40元洗发水，如果每瓶按60元销售，每天可卖20瓶．该商店通过调查发现，每瓶洗发水售价每降低1元，日销售量增加2瓶． （1）如果该商店想保持日利润不变，且尽快销售完这批洗发水，每瓶售价应定为多少元？ （2）同城另一家商店也销售同款洗发水，标价为每瓶62.5元．为促进销售，提高利润，这家商品决定实行打折促销，且其销售价格不低于（1）中的售价且不高于60元，则洗发水至少需打几折？ 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线的函数解析式为． （1）求点A，C的坐标； （2）求抛物线解析式； （3）在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$