训练02 空间向量求夹角、距离51道期中期末真题训练-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 训练02空间向量求夹角、距离51道期中期末真题训练 一、单选题 1．（2023-24高二下·福建漳州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24高二上·福建南平·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D．1 3．（2023-24高一·全国·期中）如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24高二下·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，已知，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高二上·湖北武汉·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（    ） A． B． C． D． 6．（2023-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 7．（2023-24高二下·江苏扬州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 8．（2023-24高二下·江苏淮安·期中）在三棱锥中，平面平面是的中点.，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 9．（2023-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 10．（2023-24高一下·安徽六安·期末）是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 11．（2023-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 12．（2023-24高二上·江苏·期中）如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2023-24高二下·甘肃甘南·期中）正方体的棱长为是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 14．（2023-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（    ） A．平面，且到平面的距离为 B．与平面不平行，且与平面所成角大于30° C．与平面不平行，且与平面所成角小于30° D．与平面不平行，且与平面所成角等于30° 15．（2023-24高二下·江西·期中）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 16．（2023-24高二上·重庆·期末）在正方体中，是中点，点在线段上（含端点），若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2023-24高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 18．（2023-24高二上·河南洛阳·期末）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（    ） A． B． C． D． 19．（2023-24高二上·山西朔州·期末）在空间直角坐标系中，、、，则（    ） A． B．异面直线与所成的角为 C．点关于轴的对称点为 D．直线与平面所成角的正弦值为 20．（2023-24高二上·江苏南通·期末）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，则（    ） A． B．是平面的一个法向量 C．共面 D．点到平面的距离为 21．（2023-24高二下·河北衡水·期末）如图所示，已知正方体的边长为2，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面AEF C．点到平面AEF的距离为2 D．二面角的大小为 22．（2023-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，点在侧面内，则以下说法正确的有（    ） A．平面 B．过点作正方体的截面，所得截面的面积是 C．点到平面的距离为 D．若平面，则点的轨迹长度为 23．（2023-24高二下·福建漳州·期末）如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（    ） A． B．直线与直线所成角的余弦值为 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．当时，动点到平面的距离的最小值为1 24．（2023-24高二上·江苏·期中）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（    ） A．平面平面 B．为的中点时， C．存在点，使得直线与的距离为 D．存在点，使得直线与平面所成的角为 25．（2023-24高二下·江苏扬州·期末）棱长为2的菱形中，，将沿折起，使顶点至点，连接，构成三棱锥.设二面角的大小为，直线和直线所成角为.在折起的过程中，下列说法正确的是（    ）. A．任取三棱锥中的三条棱，它们共面的概率为0.2 B．存在一个位置，使 C．当时，三棱锥的外接球的表面积为 D．当时，的最大值为 26．（2023-24高二下·河北唐山·期末）已知点是正方体表面上的一个动点，则以下说法正确的是（    ） A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为椭圆 D．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面 三、填空题 27．（2023-24高二下·福建龙岩·期中）已知点，平面的一个法向量为，点在平面外，则点到平面的距离为 . 28．（2023-24高二下·江苏连云港·期中）如图，长方体的顶点A在平面内，其余顶点均在平面的同侧，，，，若顶点B到平面的距离为2，顶点D到平面的距离为2，则顶点到平面的距离为 . 29．（2023-24高二上·湖南衡阳·期中）如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则直线AD与BC所成角的大小为 . 30．（2023-24高二上·河南商丘·期中）在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且，为的中点，，设直线与平面所成的角为，则 ． 31．（2023-24高二上·广东茂名·期中）如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是 .（把所有正确结论的序号填写在横线上）    ①存在点Q，使得； ②存在点Q，使得； ③对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为 ④对于任意点Q，都是钝角三角形 32．（2023-24高二上·安徽马鞍山·期末）二面角中，，且，若，，则此二面角的大小为 ． 33．（2023-24高一下·天津和平·期末）如图，正三棱柱的所有棱长均相等，点M，P，N分别是棱，，的中点，则二面角的正弦值为 ，异面直线与所成的角的余弦值为 ． 34．（2023-24高二下·浙江台州·期末）在正方体中，为正方形的中心，直线底面，则二面角的平面角的正弦值的最大值是 ． 35．（2023-24高二上·江西南昌·期末）在棱长为2的正方体中，在线段上运动，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 . 36．（2023-24高二上·湖南长沙·期末）正三棱柱中，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为 ． 37．（2023-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的余弦值的最大值为 ． 38．（2023-24高二上·广东江门·期末）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 . 39．（2023-24高二上·四川绵阳·期末）如图①是直角梯形，，，是边长为2的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则面积的最小值为 . 四、解答题 40．（2023-24高二下·贵州黔东南·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)求与平面所成角的正弦值. 41．（2023-24高二下·云南楚雄·期末）如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，． (1)证明：平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 42．（2023-24高二下·黑龙江大庆·期中）四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点. (1)求证：平面平面BDE； (2)当E为PC中点时，求所成二面角锐角的大小. 43．（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 44．（2024·河南·模拟预测）在直四棱柱中，底面为矩形，，分别为底面的中心和的中点，连接． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． 45．（2023-24高二下·甘肃庆阳·期中）如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，. (1)求二面角的余弦值； (2)线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 46．（2023-24高二下·江苏扬州·期中）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、的中点，平面． (1)求证：； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点N，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 47．（2023-24高三上·江苏南京·期中）如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 48．（2023-24高二下·河南·期中）如图为上、下底面半径分别为1，2的圆台，其中AB为上底面直径，BP为母线，CD在上底面，且，.该圆台的体积为为线段AP上一点，且平面PBC.    (1)求的长度; (2)若平面PAD∩平面，求直线与平面PAC所成角的正弦值. 49．（2023-24高二下·江苏常州·期中）图①展现的是一种被称为“正四角反棱柱”的多面体，其上下底面平行且均为正方形，它的俯视图是一个正八边形（图②）.已知此多面体上下底面的边长为2，高为. (1)判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 50．（2023-24高二下·江苏常州·期中）如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 51．（2023-24高二下·浙江湖州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，且为线段的中点，为线段上的动点，. (1)证明：； (2)求实数的值，使得平面与平面所成锐二面角的平面角的正弦值最小. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 训练02空间向量求夹角、距离51道期中期末真题训练 一、单选题 1．（2023-24高二下·福建漳州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，， 所以， 所以点C到直线AB的距离=， 故选：C． 2．（2023-24高二上·福建南平·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】设与所成角的大小为， 则， 故与所成角的正弦值为. 故选：A 3．（2023-24高一·全国·期中）如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则，，， ，，， 设异面直线与所成的角为,， 则,所以. 故选：C 4．（2023-24高二下·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，已知，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，正方体边长为1，建立坐标系， 则.则四面体为正三棱锥. 底面为等边，且边长为.则面积为. ，.设平面法向量为， 则，故. 则到平面的距离为． 则四面体的体积为. 故选：A 5．（2023-24高二上·湖北武汉·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵两条异面直线的方向向量分别是 ，， 又两条异面所成的角为，则， 故选：B. 6．（2023-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为， 所以，整理得，又z＝2，所以. 故选:A. 7．（2023-24高二下·江苏扬州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 【答案】C 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误； 对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为， ，有，则或，B选项错误； 对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线l与平面所成的角为，C选项正确； 对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线， 若，则，解得，D选项错误. 故选：C. 8．（2023-24高二下·江苏淮安·期中）在三棱锥中，平面平面是的中点.，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于平面平面且交线为，平面，， 所以平面，由于平面，所以， 由于，平面， 所以平面，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 由于，所以， ， 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：B    9．（2023-24高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 10．（2023-24高一下·安徽六安·期末）是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，则平面，直线与平面所成角为. 作于点H，连接，因平面，则， 又平面，则平面， 又平面，则. 于是有，， 即(*). 因由对称性知，，代入（*）得， ,故. 故选：A. 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为. 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以，所以. 设直线与平面所成角为，所以， 故选:A 11．（2023-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 12．（2023-24高二上·江苏·期中）如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长2，，，0，，，2，，，1，，，2，， 则，1，，，， 则，0，，，2，， 设平面的法向量，，， 则，即，令， 可得，1，， ，，， ， 设直线与平面所成的角为，，， 所以， 所以 ， 设， 则， 设，，， 当时，即， 则，时，函数单调递减，，时，函数单调递增， 而时，；当时，； 当时，， 所以，时，，，所以，， 进而可得， 所以，． 故选：D． 13．（2023-24高二下·甘肃甘南·期中）正方体的棱长为是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，设，，， 则，，所以， 因为为定值，要想三棱锥的体积最大，则点到底面的距离最大，其中， 所以当时，取最大值为，因为，所以的最大值为，则三棱锥的体积最大时，，， 设平面的法向量，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为， 故选：A 14．（2023-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（    ） A．平面，且到平面的距离为 B．与平面不平行，且与平面所成角大于30° C．与平面不平行，且与平面所成角小于30° D．与平面不平行，且与平面所成角等于30° 【答案】C 【详解】连接交点为，以为坐标原点，方向分别轴正方向建立空间直角坐标系， 由正四棱锥的棱长均为，点为的中点， 则,,,,,,， 则，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，得， 设与平面所成的角为，线面角范围为大于等于下雨等于， 则，则， 故与平面不平行，且与平面所成的角小于． 故选：C． 15．（2023-24高二下·江西·期中）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则有，则， 设点， 则点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 16．（2023-24高二上·重庆·期末）在正方体中，是中点，点在线段上（含端点），若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设， 所以， 设，所以， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，所以， 所以， 令，对称轴， 所以， 所以，即， 故选：A.    17．（2023-24高二下·江苏徐州·期中）如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取BD中点O，连接AO，CO，， 则，且，于是是二面角的平面角， 显然平面，在平面内过点作，则， 直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，设二面角的大小为，， 因此，，， 于是， 显然，则当时，， 所以的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，求出动点的坐标，利用向量建立函数关系是解题的关键. 二、多选题 18．（2023-24高二上·河南洛阳·期末）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】， 所以二面角的大小可能为或． 故选：BC 19．（2023-24高二上·山西朔州·期末）在空间直角坐标系中，、、，则（    ） A． B．异面直线与所成的角为 C．点关于轴的对称点为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【详解】因为在空间直角坐标系中，、、， 对于A选项，，，所以，，A对； 对于B选项，设异面直线与所成的角为，则， ，故， 所以，异面直线与所成的角为，B错； 对于C选项，点关于轴的对称点为，C对； 对于D选项，易知平面的一个法向量为， 所以，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为，D对. 故选：ACD. 20．（2023-24高二上·江苏南通·期末）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，则（    ） A． B．是平面的一个法向量 C．共面 D．点到平面的距离为 【答案】BC 【详解】 如图所示建立空间直角坐标系，易知， ， 对于A项，有，显然， 即不成立，故A错误； 对于B项，有，易得， 即是平面的一个法向量，故B正确； 对于C项，有， 易知，所以共面，故C正确； 对于D项，有， 设平面的一个法向量为，则， 取，即， 故点到平面的距离，故D错误. 故选：BC 21．（2023-24高二下·河北衡水·期末）如图所示，已知正方体的边长为2，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面AEF C．点到平面AEF的距离为2 D．二面角的大小为 【答案】ABC 【详解】以D为原点，DA，DC，所在直线分别为为x，y，z轴所在直线，建立空间直角坐标系，    则,,,,,,,，， 对于选项A：可得,． 因为，则，故A正确； 对于选项B：可得，， 设为平面AEF的一个法向量，则， 令，则，可得， 因为，即， 且平面AEF，所以平面AEF，故B正确； 对于选项C：因为， 所以点到平面AEF的距离为，故C正确； 对于选项D：由题意可知：是平面AFC的一个法向量， 则， 所以二面角的大小不是，所以D不正确． 故选：ABC. 22．（2023-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，点在侧面内，则以下说法正确的有（    ） A．平面 B．过点作正方体的截面，所得截面的面积是 C．点到平面的距离为 D．若平面，则点的轨迹长度为 【答案】AD 【详解】对于A，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，， 则，， ，，， 所以，， 则平面，故A正确； 对于B，作中点，的中点，的中点， 连接，，，，， 则正六边形为对应截面面积， 正六边形边长为， 则截面面积为：，故B错误； 对于C，由A选项知，向量为平面的法向量， 且，， 所以到平面的距离为 ，故C错误； 对于D，取BC中点R，CC1中点T，所以相交， 所以平面平面，即平面平面， 由B选项知，当动点在上运动时，平面，总是会有平面， 所以若平面，则点的轨迹为，， 故D正确； 故选：AD 23．（2023-24高二下·福建漳州·期末）如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（    ） A． B．直线与直线所成角的余弦值为 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．当时，动点到平面的距离的最小值为1 【答案】ACD 【详解】对A，由平面，平面，得，又由正方形可得，又平面，所以平面， 由平面，可得，故A正确； 如图，建立空间直角坐标系， 则， 设是平面的法向量，， 由，令，可得， ， ，解得，即， 对B，，，故B错误； 对C，平面的法向量，平面的法向量， 则，故C正确； 对D，由知，在以为球心，半径为1的球面上，， 球心到平面的距离， 到平面的距离的最小值为，故D正确. 故选：ACD 24．（2023-24高二上·江苏·期中）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（    ） A．平面平面 B．为的中点时， C．存在点，使得直线与的距离为 D．存在点，使得直线与平面所成的角为 【答案】AB 【详解】对于选项A，由题意知，，平面， 因为平面，所以， 又，、平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面，即选项A正确； 对于选项B，当为的中点时，取的中点，连接，， 则，，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为和都是等腰直角三角形，所以， 所以，所以，即选项B正确； 对于选项C，因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与的距离等价于直线到平面的距离， 也等价于点到平面的距离， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设点，其中，， 由射影定理知，，即， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以， 若直线与的距离为，则点到平面的距离为， 而点到平面的距离， 所以不存在点，使得直线与的距离为，即选项C错误； 对于选项D，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以， 若直线与平面所成的角为， 则， 由，知， 代入上式整理得，此方程无解， 所以不存在点，使得直线与平面所成的角为，即选项D错误． 故选：AB． 25．（2023-24高二下·江苏扬州·期末）棱长为2的菱形中，，将沿折起，使顶点至点，连接，构成三棱锥.设二面角的大小为，直线和直线所成角为.在折起的过程中，下列说法正确的是（    ）. A．任取三棱锥中的三条棱，它们共面的概率为0.2 B．存在一个位置，使 C．当时，三棱锥的外接球的表面积为 D．当时，的最大值为 【答案】ABD 【详解】任取三棱锥中的三条棱，有种， 其中共面一共有种，故概率为，故A对； 如图：若，则为等边三角形，取的中点， ，同理，，平面， 所以平面， 平面，所以.故B对. 设，连接，因为与都是等边三角形， 则有，即为二面角的平面角，， 与的中心依次为，设平面，平面 ，则为外接球的球心， ，，则四边形外接圆的直径为， ，在直角中，利用勾股定理得到， 在中，利用勾股定理得， 外接球的表面积为.所以C错； 在点处建系，为轴，为轴，则，,，， ，， 则， ，，则 ， 的最大值为，故D对. 故选：ABD. 26．（2023-24高二下·河北唐山·期末）已知点是正方体表面上的一个动点，则以下说法正确的是（    ） A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为椭圆 D．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面 【答案】AB 【详解】不妨设正方体棱长为. A选项，当在平面上运动时，点到平面的距离为2， 所以四棱锥的体积，故A正确； B选项，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，如图， ， 设与所成角为，则， 当时，.， 则，，， ，即， 当时，，所以， 又因为，所以，故B正确； C选项，若点在底面上运动，设， 平面的法向量取， 则直线与平面所成的角为时，有， 化简为，则点的轨迹为四分之一圆，故C错误； D选项，如图， ， 因为，且平面， 所以平面，即向量是平面的法向量， ， 若平面，则，即， 因为直线与正方形有公共点，即存在点满足平面，故D错误； 故选：AB. 三、填空题 27．（2023-24高二下·福建龙岩·期中）已知点，平面的一个法向量为，点在平面外，则点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】由点和，可得， 又由平面的一个法向量为，所以点B到平面PAD的距离为. 故答案为：. 28．（2023-24高二下·江苏连云港·期中）如图，长方体的顶点A在平面内，其余顶点均在平面的同侧，，，，若顶点B到平面的距离为2，顶点D到平面的距离为2，则顶点到平面的距离为 . 【答案】/ 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 由题意可得，解得， 所以顶点到平面的距离为. 故答案为：. 29．（2023-24高二上·湖南衡阳·期中）如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则直线AD与BC所成角的大小为 . 【答案】 【详解】取的中点E，连接OE，以O为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 依题意，，则， 设直线AD与BC所成的角为， 则，解得， 所以直线AD与BC所成的角为. 故答案为： 30．（2023-24高二上·河南商丘·期中）在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且，为的中点，，设直线与平面所成的角为，则 ． 【答案】 【详解】因为底面，且平面，所以，， 又因为四边形为正方形，所以， 以为原点，所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 因为为的中点，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 所以到平面的距离为， 在直角中，可得， 所以，所以． 故答案为：.    31．（2023-24高二上·广东茂名·期中）如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是 .（把所有正确结论的序号填写在横线上）    ①存在点Q，使得； ②存在点Q，使得； ③对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为 ④对于任意点Q，都是钝角三角形 【答案】②③ 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为，是棱上的动点， 建立空间直角坐标系如下图所示，    所以,，，， , 设，其中， 所以，， 当，即，所以， 显然方程组无解，所以不存在使得，即不存在点，使得，故①错误； 当时，解得，故②正确； 因为，其中， 所以点到的距离为 ，故③正确； 因为，，其中， 所以， 所以三角形为直角三角形或钝角三角形，故④错误． 故答案为：②③. 32．（2023-24高二上·安徽马鞍山·期末）二面角中，，且，若，，则此二面角的大小为 ． 【答案】 【详解】   如图所示，根据题意知：，， ，， 易知二面角的平面角即， 所以， 即， 由空间向量夹角的范围知，所以， 即此二面角的大小为. 故答案为： 33．（2023-24高一下·天津和平·期末）如图，正三棱柱的所有棱长均相等，点M，P，N分别是棱，，的中点，则二面角的正弦值为 ，异面直线与所成的角的余弦值为 ． 【答案】 / / 【详解】 取的中点，连接，则在正三棱柱中，平面， 四边形为矩形，以为坐标原点， 以的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示坐标系， 平面的一个法向量为，不妨设正三棱柱的棱长为， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则，， ，， 所以二面角的正弦值为； ， ， 异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：，. 34．（2023-24高二下·浙江台州·期末）在正方体中，为正方形的中心，直线底面，则二面角的平面角的正弦值的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】 不妨设正方体的边长为，以为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系. 则平面即为由轴和轴确定的平面，，. 设与同向的一个非零向量是，是原点在上的投影，则由于向量与垂直且可落入平面内，故存在实数使得，即. 设和分别是与确定的平面和与确定的平面的一个法向量. 则，故. 解得的一个可能的取值是，. 由于，故，. 记二面角的值为，则 . 一方面，由于 ， 故， 从而. 故，从而. 另一方面，当为直线时，由于垂直于平面，在平面内，故，. 所以二面角的大小等于，即. 综上，二面角的正弦值的最大值是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用空间向量方法计算二面角的余弦值，再用代数变形求正弦值的最大值. 35．（2023-24高二上·江西南昌·期末）在棱长为2的正方体中，在线段上运动，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 . 【答案】 【详解】以为正交基地，建立空间直角坐标系， 则，设， 则， 设面的法向量为， 则，取得， 设直线与平面所成角为， 则， 当时，，则. 故答案为：. 36．（2023-24高二上·湖南长沙·期末）正三棱柱中，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为 ． 【答案】/ 【详解】   如图，正三棱柱中，取中点，连接， 则，则平面，不妨设， 以为坐标原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 于是，则， ， 取平面ABC的一个法向量为， 设直线PN与平面ABC所成的角为， ， 当时，，此时角最大． 故答案为：． 37．（2023-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的余弦值的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】以D为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，则，， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 而，则点P到平面BFE的距离， 又， 在等腰中，到的高为，则 而，于是， 解得或，由，得，则， 设直线与所成的角为，则，， ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可. 38．（2023-24高二上·广东江门·期末）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 . 【答案】/ 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因动点在线段上，则令， 即有点，所以，则， 从而， 因此点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号， 所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为， 又因为， 所以面积的最小值. 【点睛】关键点点睛：求出点到直线的距离的最小值是解决本题的关键. 39．（2023-24高二上·四川绵阳·期末）如图①是直角梯形，，，是边长为2的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则面积的最小值为 . 【答案】/ 【详解】    折起前，连接菱形的对角线，交于点， 所以，所以折起后有， 因为菱形的边长为2， 所以， 又因为，，且 所以在中，有， 所以， 所以折起前后四边形的面积固定， 若以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大， 则此时点到平面的距离最大， 则此时有面面， 又面面，，面， 所以面， 又面， 所以， 又， 所以两两互相垂直， 所以以为原点，所在直线分别为所在直线建立如图所示的空间直角坐标系：    若要面积最小，则只需点到直线的距离最小即可， 由题意， 过点作于点，则， 又因为， 所以，即， 所以， 因为三点共线， 所以不妨设 ， 所以点到直线的距离为 ， 所以当时，， 又， 所以面积的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解题关键是得到面面，结合菱形性质，建立适当的空间直角坐标系，由此即可顺利得解. 四、解答题 40．（2023-24高二下·贵州黔东南·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在正四棱柱中，，，两两垂直，且， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.    因为，分别为的中点，所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则有，，即， 因为，所以， 又平面，所以平面； （2）由（1）可知，， ， 所以与平面所成角的正弦值为. 41．（2023-24高二下·云南楚雄·期末）如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，． (1)证明：平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：取为的中点，连接． 因为为棱的中点，所以，且． 又为棱的中点，所以． 因为且，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以． 又平面平面， 所以平面． （2）取为的中点，为的中点，连接． 因为为正三棱柱，所以两两垂直． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设平面的法向量为，则 令，则，可得， 又是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 42．（2023-24高二下·黑龙江大庆·期中）四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点. (1)求证：平面平面BDE； (2)当E为PC中点时，求所成二面角锐角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）底面ABCD是正方形， ， 平面ABCD，平面ABCD， ，又平面PAC， 平面PAC，又平面BDE， 平面平面BDE. （2）平面ABCD，平面ABCD， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面ABE的法向量为，则， 解得，令得，故， 设平面DBE的法向量为， 则， 解得，令得，故， 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以，所以锐二面角为. 43．（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)点到平面的距离为. 【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质可知，，四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为正方形，所以， 因为，，， 所以平面， 所以， 因为， 所以， 又因为平面 所以平面. （2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 取，则，， 所以， 设二面角的大小为， 则，解得， 所以，平面的一个法向量， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 44．（2024·河南·模拟预测）在直四棱柱中，底面为矩形，，分别为底面的中心和的中点，连接． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为分别为底面的中心和的中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）以为空间坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由已知得， 所以， 又， 设平面与平面的法向量分别为， 所以，解得，令，则， 故， 所以，解得，令，则， 故， 因为，所以， 设平面与平面所成角的大小为， 所以． 45．（2023-24高二下·甘肃庆阳·期中）如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，. (1)求二面角的余弦值； (2)线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取的中点为. 平面平面平面，平面平面，平面. 以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，过且平行的直线为轴， 建立如图的空间直角坐标系， ， ，，， 设平面的法向量为 即 令，则. 又平面的法向量为，则， 设二面角的平面角为，由图形知为锐角， ，即二面角的余弦值为. （2）设，， . 又平面的法向量为平面，∴， ∴，，即. ∴，故在线段上存在点，使平面，且的值是. 46．（2023-24高二下·江苏扬州·期中）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、的中点，平面． (1)求证：； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点N，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在点满足题意， 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，又底面是正方形，则， 且与是平面内两条相交直线， 所以平面，平面，所以， 又分别是的中点，所以， 所以. （2）因为分别是的中点， 所以， 所以平面即是平面， 由（1）知平面，则平面，平面， ，则， 设点到平面的距离为，由， 得，即， 解得， 所以点到平面的距离为. （3）如图以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且， ，， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， ， ，整理得， 解得或（舍）， ，即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 47．（2023-24高三上·江苏南京·期中）如图，矩形所在平面与所在平面垂直，，    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值是，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为四边形为矩形， 所以， 因为，即， 又， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）由题意可知，平面平面,平面平面, 且, 所以平面, 所以. 因为, 所以平面, 又因为平面，所以. 所以. 如图所示以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，且， 则， 所以， 设为平面的法向量， 则，取， 则. 因为平面,则为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得. 即,,, 所以异面直线与夹角余弦值为 .    48．（2023-24高二下·河南·期中）如图为上、下底面半径分别为1，2的圆台，其中AB为上底面直径，BP为母线，CD在上底面，且，.该圆台的体积为为线段AP上一点，且平面PBC.    (1)求的长度; (2)若平面PAD∩平面，求直线与平面PAC所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）    如图，取AB的中点，连接，则， 因为，，所以， 所以四边形是平行四边形，所以. 因为平面平面，所以平面. 又平面平面，，所以平面平面. 因为平面，所以平面PBC. 又平面PAB，平面平面，所以. 又是AB的中点，所以是AP的中点. 设圆台的高为h， 由，解得， 故. （2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 故， 因为平面PBC，又平面PAD，平面平面，故， 设为平面PAC的法向量， 则取，得为平面的一个法向量， 设为与平面所成的角，则. 49．（2023-24高二下·江苏常州·期中）图①展现的是一种被称为“正四角反棱柱”的多面体，其上下底面平行且均为正方形，它的俯视图是一个正八边形（图②）.已知此多面体上下底面的边长为2，高为. (1)判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)不垂直，理由见解析 (2) (3) 【详解】（1）连接，交于点，由为正方形知， 连接，交于点，由“俯视图为正八边形”知平面， 以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系. 则. ， . 所以不垂直于，所以直线与直线不垂直. （2）， 设平面的一个法向量为， 则， 取，得. 平面的一个法向量为. 设二面角平面角为， 则. 由图知，所以二面角的大小为. （3），由（2）平面的一个法向量为， 所以，点到平面的距离. 50．（2023-24高二下·江苏常州·期中）如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)不存在,理由见详解 【详解】（1）是正三角形, 为的中点,, 又平面,平面, , 又平面,平面,平面,且, 平面. （2） 取的中点,连接, 由（1）得平面,且底面是的正方形,所以以为原点,分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,得到如下点的坐标, 又,,分别是,,上的点,且满足, ， ,, 由（1）得平面,所以平面的法向量为, 设平面的法向量为, 则,即,解得,, 设平面与平面所成锐二面角为, , 所以平面与平面所成锐二面角的大小. （3）设线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为,且, ,, , 整理可得:,方程无解, 不存在这样的点. 51．（2023-24高二下·浙江湖州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，且为线段的中点，为线段上的动点，. (1)证明：； (2)求实数的值，使得平面与平面所成锐二面角的平面角的正弦值最小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为且为线段的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （2）因为平面，平面，则， 又，，面，所以平面， 因为平面，则平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 如图分别以所在的直线为轴， 不妨设，则，，，，， ，设，，， 则，解得， 设平面的法向量为，， 则， 所以，取，则，即， 设平面的法向量为，，， 则，取， 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， 则， 所以， 令，则， 所以 ， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，即时，，则. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$