第5章　一元一次方程 训练课件 2024—2025学年北师大版（2024）数学七年级上册

第五章　一元一次方程 微专题10　一元一次方程题型综合 　　　 绝对值问题 1.先阅读下列解题过程，然后解答问题. 解方程：＝2. 解：当x－3≥0时，原方程可化为x－3＝2，解得x＝5；当x－3＜0时，原方程可化为x－3＝－2，解得x＝1. 所以原方程的解是x＝5或x＝1. 解方程：－4＝0. 返回首页 解：原方程可化为＝4. 当3x－2≥0时，原方程可化为3x－2＝4， 解得x＝2； 当3x－2＜0时，原方程可化为3x－2＝－4， 解得x＝－. 所以原方程的解是x＝2或x＝－. 返回首页 2.根据绝对值定义，若有＝a，则x＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些绝对值方程. (1)已知＝16，则代数式a＋b的值为__________； (2)解方程：＝. 解：由绝对值的意义，得方程x－2＝3x＋2或x－2＝－3x－2. 解得x＝－2或x＝0. 12或－20 返回首页 　　　　 新定义问题 3.(易错题)用“⊗”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a⊗b＝ (1)－1⊗2＝_____； －2 返回首页 (2)若关于n的方程满足：1⊗n＝－n－3，求n的值. 解：因为1⊗n＝－n－2，根据题意可分为两种情况讨论： ①当1≤n时，可得1－n＝－n－3. 解得n＝－4＜1，不符合题意，舍去. ②当1＞n时，可得n－2×1＝－n－3. 解得n＝－＜1，符合题意.综上所述，n＝－. 返回首页 4.我们规定：若关于x的方程ax＝b的解为x＝b－a，则称该方程为“差解方程”.例如：2x＝4的解为x＝2，且2＝4－2，则2x＝4是“差解方程”. (1)判断3x＝4.5是不是“差解方程”. 解：3x＝4.5是“差解方程”.理由如下： 解方程3x＝4.5，得x＝1.5. 因为1.5＝4.5－3， 所以3x＝4.5是“差解方程”. 返回首页 (2)若关于x的方程2x＝4m＋6是“差解方程”，求m的值. 解：解方程2x＝4m＋6，得x＝2m＋3. 因为方程2x＝4m＋6是“差解方程”， 所以x＝4m＋6－2＝4m＋4. 所以2m＋3＝4m＋4. 解得m＝－. 返回首页 $$ 第五章　一元一次方程 微专题11　问题解决策略：直观分析 　　　 借助图形 1.(教材P157改编)一条南北大街旁依次有五栋居民楼A，B，C，D，E(每栋楼间距相等)，现要立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和最短，邮筒应立在____处. C 返回首页 2.(教材P158改编)一条路上由西向东有A，B，C，D，E五所公寓，依次住有200人、300人、400人、500人、600人，任意相邻的两所公寓之间的距离都是100 m.现要在某所公寓的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到车站的距离之和最小，则车站应该建在____公寓 . D 返回首页 3.(教材P157改编)在一次测试中，共有48名学生参加.答对第一题的有36人，答对第二题的有32人，两道题都答错的有2人，则两道题都答对的有____人. 4.(教材P157改编)有11个队参加排球赛，比赛时分成两组，第一组5个队，第二组6个队.各组都进行单循环赛(即每两队都要比赛一场)，则共需要比赛____场. 22 25 返回首页 5.小明在下午6点多一点开始解一道数学题，当时钟面时针与分针正好成直角；当他解完这道题时，发现此时7点不到，且时针与分针又恰好成直角.请问小明解这道题共用了min. 6.现要设计一个长方形养鸭场，其长边靠墙，墙长25 m，其他三边用64 m长的竹篱笆围成.王海同学设计的鸭场长比宽多4 m；刘江同学设计的鸭场长比宽多10 m.你认为______的设计符合实际. 王海 返回首页 7.(教材P156改编)某商场因换季清仓，对某件标价为200元的服装进行打折销售，若按标价打八折，再降价10元销售，仍可获利25％，求这件服装的进价. 解：设这件服装的进价为x元. 根据题意，得200×80％－10－x＝25％x. 解得x＝120. 答：这件服装的进价为120元. 返回首页 8.(教材P157改编)一队学生从学校出发去骑行，整个队伍以30 km/h的速度前进.骑行了半小时，突然发现有东西遗忘在学校，一名队员马上以50 km/h的速度返回学校，取到东西后仍以50 km/h的速度追赶队伍，则这名队员从掉头返校到追上队伍经过了多长时间(取东西的时间忽略不计)？ 解：设这名队员从掉头返校到追上队伍经过了x h. 根据题意，得50x－30x＝30××2. 解得x＝1.5. 所以这名队员从掉头返校到追上队伍经过了1.5 h. 返回首页 　　　　借助表格 9.(2024·东莞期中)某商场用6 600元购进甲、乙两种节能灯共100只.甲种进价60元/只，售价80元/只；乙种进价70元/只，售价100元/只. (1)甲、乙两种节能灯各进了多少只？ 解：设甲种节能灯进了x只，则乙种节能灯进了(100－x)只. 根据题意，得60x＋70(100－x)＝6 600. 解得x＝40. 100－x＝100－40＝60. 答：甲种节能灯进了40只，乙种节能灯进了60只. 返回首页 (2)全部售完这100只节能灯后，该商场获利多少元？ 解：根据题意，得 (80－60)×40＋(100－70)×60＝20×40＋30×60＝2 600(元). 答：该商场获利2 600元. 返回首页 10.(2023·揭阳期末)“双11”期间，某个体商户在网上购进某品牌A，B两款羽绒服来销售，若购进3件A和4件B需支付2 400元，若购进1件A和1件B需支付700元. (1)求A，B两款羽绒服在网上的售价每件分别是多少元. 返回首页 解：设A款羽绒服在网上的售价每件是x元，则B款羽绒服在网上的售价每件是(700－x)元. 根据题意，得3x＋4(700－x)＝2 400. 解得x＝400.700－x＝700－400＝300. 答：A款羽绒服在网上的售价每件是400元，B款羽绒服在网上的售价每件是300元. 返回首页 (2)若个体商户把网上购买的A，B两款羽绒服各10件，均按每件600元进行销售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服按六折销售完，若总获利为3 800元，求个体商户打折销售的羽绒服是多少件. 解：设个体商户打折销售的羽绒服是m件. 根据题意，得600(20－m)＋600×0.6m－(400×10＋300×10)＝3 800.解得m＝5. 答：个体商户打折销售的羽绒服是5件. 返回首页 11.某学校准备印刷一批证书，现有两个印刷厂可供选择： 甲厂收费方式：收制版费500元，每本印刷费0.5元； 乙厂收费方式：不超过1 000本时，每本收印刷费1.5元；超过1 000本时，超过部分每本收印刷费0.25元. 若该校印制证书x本. (1)当x不超过1 000时，甲厂的收费为_____________元，乙厂的收费为______元. (2)当x超过1 000时，甲厂的收费为_____________元，乙厂的收费为________________元. (500＋0.5x) 1.5x (500＋0.5x) (0.25x＋1 250) 返回首页 (3)当要印制证书2 000本时，选择哪个印刷厂更节省费用？节省了多少元？ 解：当x＝2 000时， 甲厂的收费为500＋0.5×2 000＝1 500(元)， 乙厂的收费为0.25×2 000＋1 250＝1 750(元). 1 750＞1 500，1 750－1 500＝250(元). 答：当印制证书2 000本时，选择甲印刷厂更节省费用，节省了250元. 返回首页 (4)请问印刷多少本证书时，甲、乙两厂的收费相同？ 解：当x≤1 000时，500＋0.5x＝1.5x，解得x＝500； 当x＞1 000时，500＋0.5x＝0.25x＋1250，解得x＝3 000. 答：印刷500或3 000本证书时，甲、乙两厂收费相同. 返回首页 $$ 第五章　一元一次方程 微专题9　一元一次方程解的应用 　　　　错解问题 1.数学迷小虎在解方程＝－1去分母时，方程右边的－1漏乘了3，因而求得方程的解为x＝－2，请你帮小虎同学求出a的值，并且求出原方程的解. 解：把x＝－2代入方程2x－1＝x＋a－1，得－4－1＝－2＋a－1. 解得a＝－2. 把a＝－2代入原方程，得＝－1. 解得x＝－4. 返回首页 　　　　同解问题 2.已知关于x的方程mx－(x－3m)＝5与方程＝－1的解相同，求m的值. 解：解方程＝－1，得x＝－7. 因为两个方程的解相同，所以方程mx－(x－3m)＝5的解为x＝－7. 所以－7m－(－3－3m)＝5.解得m＝－. 返回首页 　　　　方程的解互为倒数 3.若关于x的方程＝x－与方程3＋4x＝2(3－x)的解互为倒数，则m的值为. 返回首页 　　　　方程的解互为相反数 4.已知关于x的一元一次方程2x＋10－3m＝0的解与方程＋＝1的解互为相反数，那么代数式m－4n－1的值为____. 15 返回首页 　　　　已知解的关系求参数 5.已知关于x的方程2(x＋1)－m＝－的解比方程5(x－1)－1＝ 4(x－1)＋1的解大2，求m的值. 解：解方程5(x－1)－1＝4(x－1)＋1，得x＝3. 由题意，得方程2(x＋1)－m＝－的解为x＝3＋2＝5. 把x＝5代入方程2(x＋1)－m＝－，得2×(5＋1)－m＝－， 即12－m＝－. 解得m＝22. 返回首页 　　　　利用整体思想，求方程的解 6.已知关于x的一元一次方程＋5＝2 024x＋m的解为x＝2 018，试求关于y的一元一次方程－5＝2 024(y－5)－m的解. 解：方程－5＝2 024(y－5)－m的两边都乘－1，得＋5＝2 024(5－y)＋m. 因为关于x的方程＋5＝2 024x＋m的解为x＝2 018，所以5－y＝2 018.解得y＝－2 013. 返回首页 $$ 第五章　一元一次方程 第10课　第五章复习 　　　　　一元一次方程及其解 1.下列方程中是一元一次方程的是(　　) A.x2－4x＝3 B.5x＝6x－1 C.x＋2y＝0 D.x－2＝ 2.(2023·揭阳普宁市期末)已知x＝5是方程ax－8＝20＋a的解，则a＝________. B 7 返回首页 　　　 　一元一次方程的解法 3.(2023·汕头濠江区期末)若3a＝5b，则下列等式中一定成立的是(　　) A.＝ B.3a＋5b＝0 C.3a－3b＝2b D.3(a－1)＝5(b－1) C 返回首页 4.解下列方程时，去括号正确的是(　　) A.由2(x－1)＝x＋3，得2x－1＝x＋3 B.由(2－4x)＝3，得5－10x＝3 C.由－5(1－x)＝4，得－5－5x＝4 D.由3＝4(－x)，得6－4x＝－3 B 返回首页 5.解下列方程： (1)5x＋8＝1－2x； 解：移项，得5x＋2x＝1－8. 合并同类项，得7x＝－7. 方程的两边都除以7，得x＝－1. 返回首页 (2)＝. 解：去分母，得3(x＋1)＝2(2－3x). 去括号，得3x＋3＝4－6x. 移项，得3x＋6x＝4－3. 合并同类项，得9x＝1. 方程的两边都除以9，得x＝. 返回首页 6.小明在解方程＝－1去分母时，方程右边的－1漏乘了12，因而求得方程的解为y＝3.请你帮助小明求出a的值，并正确解出原方程. 解：根据题意，得方程8y－4＝3y＋3a－1的解为y＝3.把y＝3代入， 得24－4＝9＋3a－1.解得a＝4. 所以原方程为＝－1.解得y＝. 返回首页 　　 　　一元一次方程的应用 7.一个长方形的周长为30 cm，若这个长方形的长减少1 cm，宽变为原来的2倍就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm，则可列方程为(　　) A.x＋1＝2(30－x) B.x＋1＝(15－x)＋2 C.x－1＝2(30－x) D.x－1＝2(15－x) D 返回首页 8.今年女儿8岁，妈妈36岁，若x年后妈妈的年龄是女儿年龄的3倍，则x的值为(　　) A.4 B.6 C.8 D.12 B 返回首页 9.某车间有28名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓22个.应分配多少名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套？ 解：设分配x名工人生产螺栓，则分配(28－x)名工人生产螺母. 依题意，得2×22x＝12(28－x).解得x＝6.因此，应分配6名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套. 返回首页 10.(2023·桂林期末)某水利工程，甲工程队单独施工需要40天可以完成，乙工程队单独施工需要60天可以完成. (1)现在乙工程队施工10天后，为了加快进度，甲工程队加入，两队合作完成余下的工程，问完成此项水利工程一共用了多少天？ 解：设完成此项水利工程一共用了x天. 根据题意，得＋＝1.解得x＝30. 因此，完成此项水利工程一共用了30天. 返回首页 (2)完成此项水利工程，甲、乙二队共得到施工费68万元.如果按每队完成的工作量计算施工费，那么甲工程队可以得到多少万元？ 解：×68＝34(万元). 因此，甲工程队可以得到34万元. 返回首页 11.某社区超市第一次用6 000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：   甲 乙 进价/(元/件) 22 30 售价/(元/件) 29 40 返回首页 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ 解：设该超市购进乙种商品x件，则购进甲种商品(2x－30)件. 根据题意，得30x＋22(2x－30)＝6 000.解得x＝90. 所以2×90－30＝150(件). 因此，该超市购进甲种商品150件，乙种商品90件. 返回首页 (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 解：(29－22)×150＋(40－30)×90＝1 950(元). 因此，该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完一共可获得利润1 950元. 返回首页 (3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲种商品按原价销售，乙种商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙种商品进行五折促销.若在本次销售过程中超市共获利2 350元，则以五折售出的乙种商品有多少件？ 返回首页 解：由题意，知第二次购进甲种商品150件，乙种商品270件. 设以五折售出的乙种商品有a件，则未打折售出的乙种商品有(270－a)件. 根据题意，得(29－22)×150＋(40－30)(270－a)＋(40×0.5－30)a＝2 350.解得a＝70. 因此，以五折售出的乙种商品有70件. 返回首页 $$ 第五章　一元一次方程 第1课　认识方程 　　　 　方程的概念 　　含有________的表示量相等的______称为方程.如x－2＝5，x＋y＝1，x(x－3)＝10，－＝2是方程，而x＋3，7＋3＝10，x＜5不是方程. 未知数 等式 返回首页 　　　 　一元一次方程的概念 (1)在一个方程中，只含有____个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是___，这样的方程叫作一元一次方程.如x＋1＝3，6－t＝2t是一元一次方程，而xy＋1＝0是方程，但不是一元一次方程. (2)一元一次方程必须同时满足下列条件： ①方程中的代数式都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的次数都是1. 一 1 返回首页 　　　　 下列方程中，是一元一次方程的有(　　) ①2x＋2y＝1；②m－6＝3；③＋1＝2；④3x2－5x＋26＝0. A.1个 B.2个　　 C.3个 D.4个 A 返回首页 　　　　 给出下列式子：①2x－5＝x；②x－2；③2y－3＝1；④3x＋y＝2；⑤y＝3；⑥15－6＝9.其中是一元一次方程的有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 B 返回首页 　　　　 列一元一次方程 　　　　 (教材P137)根据题意列方程： (1)一根绳子剪去，恰好剪去了 m，求绳子原来的长度. 解：设这根绳子原来的长度为x m. 根据题意，得到方程x＝. 返回首页 (2)一份数学竞赛题，有25道选择题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，某同学做了全部试题，得了85分，他共做对了多少道题？ 解：设他共做对了x道题，则做错了(25－x)道题. 根据题意，得到方程4x－(25－x)＝85. 返回首页 　　　　 根据题意列方程： (1)一个数的2倍与10的和等于18，求这个数. 解：设这个数为x. 根据题意，得到方程2x＋10＝18. 返回首页 (2)已知长方形的周长是16 cm，长比宽多2 cm，则这个长方形的长是多少？ 解：设这个长方形的长是x cm， 则宽是(x－2)cm. 根据题意，得到方程2[x＋(x－2)]＝16. 返回首页 　　　　 方程的解 　　使方程左、右两边的值______的未知数的值，叫作方程的解.如x＝3是方程x－2＝1的解. 　　　　 相等 返回首页 　　　　 (教材P137)x＝2是下列方程的解吗？ (1)2x＋(5－x)＝10； 解：当x＝2时，方程左边＝2×2＋(5－2)＝7，方程右边＝10， 因为左边≠右边，所以x＝2不是方程2x＋(5－x)＝10的解. (2)2x2－6＝x. 解：当x＝2时，方程左边＝2×22－6＝2，方程右边＝2， 因为左边＝右边，所以x＝2是方程2x2－6＝x的解. 返回首页 　　　　 检验下列各数是否为方程6x＋1＝4x－3的解. (1)x＝－1； 解：当x＝－1时，左边＝6×(－1)＋1＝－5， 右边＝4×(－1)－3＝－7， 因为左边≠右边，所以x＝－1不是方程6x＋1＝4x－3的解. 返回首页 (2)x＝－2. 解：当x＝－2时，左边＝6×(－2)＋1＝－11， 右边＝4×(－2)－3＝－11，因为左边＝右边， 所以x＝－2是方程6x＋1＝4x－3的解. 返回首页 1.已知下列各式：①4×5＝3×7－1，②x－10＝3，③9－4x＞0，④x－＝3，⑤y＝10，⑥x＋2≠3，⑦2x＋3y＝3.其中是方程的是__________，是一元一次方程的是______.(填序号) 基础过关 ②④⑤⑦ ②⑤ 返回首页 2.根据条件“x比它的少4”的数量关系列方程，正确的是(　　) A.x－x＝4 B.x＋x＝4 C.x－＝4 D.x－x＝4 D 返回首页 3.下列方程中，解为x＝2的是(　　) A.2x＝6 B.(x－3)(x＋2)＝0 C.x2＝3 D.3x－6＝0 4.下列各数中，是方程2x－1＝3的解的是(　　) A.x＝2 B.x＝－2 C.x＝1 D.x＝－1 D A 返回首页 5.已知(m－2)＋3＝12是关于x的一元一次方程，则m的值为(　　) A.1 B.2 C.－2 D.±2 6.已知x＝－3是方程2x＋2＝m的解，则代数式3m2－m－1的值为____. 能力过关 C 51 返回首页 7.根据下列问题，设未知数并列出方程. (1)某中学七年级甲、乙两班共有学生112名，已知乙班比甲班少4名学生，请问两个班各有多少名学生？ 思维过关 解：设甲班有x名学生，则乙班有(x－4)名学生. 根据题意，得到方程x＋x－4＝112，即2x－4＝112. 返回首页 (2)(教材P154改编)如图，一个正方形先剪去宽为3的长方形，再剪去宽为5的长方形，且剪下来的两个长方形面积相等，求原正方形的边长. 解：设原正方形的边长为x. 根据题意，得到方程3x＝5(x－3). 返回首页 $$ 第五章　一元一次方程 第2课　一元一次方程的解法(1) ——等式的基本性质 　　　　 等式的基本性质 (1)等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式. 如果a＝b，那么a＋c____b＋c，a－c____b－c. (2)等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式. 如果a＝b，那么ac____bc，(c≠0). ＝ ＝ ＝ ＝ 返回首页 　　　　 若a＝b，则下列等式不一定成立的是(　　) A.a＋2＝b＋2 B.a－c＝b＋c C.4a＝4b D.＝ B 返回首页 　　　　 (2023·广州荔湾区期末)已知等式3a＝2b＋5，则下列等式中不一定成立的是(　　) A.3a－5＝2b B.3a＋1＝2b＋6 C.a＝b＋ D.3ac＝2bc＋5 D 返回首页 　　　 利用等式的基本性质解方程 　　　　 (教材P140)解下列方程： (1)x－2＝6； 解：方程的两边都加2，得x－2＋2＝6＋2. 于是x＝8. (2)－3x＝6. 解：方程的两边都除以－3，得＝. 化简，得x＝－2. 返回首页 　　　　 解下列方程： (1)x＋3＝6； 解：方程的两边都减3，得x＋3－3＝6－3. 于是x＝3. 返回首页 (2)－x＝6. 解：方程的两边都乘－2，得 －x·(－2)＝6×(－2). 化简，得x＝－12. 返回首页 　　　　 (教材P141)解下列方程： (1)3x＋1＝4； 解：方程的两边都减1，得3x＋1－1＝4－1. 于是3x＝3. 方程的两边都除以3，得x＝1. (2)x－1＝5. 解：方程的两边都加1，得x－1＋1＝5＋1. 于是x＝6.方程的两边都除以，得x＝9. 返回首页 　　　　 解下列方程： (1)4x＋7＝3； 解：方程的两边都减7，得4x＋7－7＝3－7. 于是4x＝－4. 方程的两边都除以4，得x＝－1. 返回首页 (2)＋＝. 解：方程的两边都减，得＋－＝－. 于是＝. 方程的两边都乘3，得 x＝1. 返回首页 1.如果a＝b，那么下列等式一定成立的是(　　) A.a＝－b B.a＋＝b－ C.＝ D.ab＝1 基础过关 C 返回首页 2.已知方程x－2y＋3＝8，则整式x－2y的值为(　　) A.5 B.10 C.12 D.15 3.下列变形正确的是(　　) A.由x＋3＝5，得x＝8 B.由7x＝－4，得x＝－ C.由y＝0，得y＝2 D.由3＝x－2，得3＋2＝x A D 返回首页 4.用适当的数或式子填空： (1)如果x－2＝3，那么x＝___； (2)如果3x＝1，那么x＝； (3)如果－＝n，那么m＝_______. 5 －10n 返回首页 5.解下列方程： (1)5＋x＝－2； 解：方程的两边都减5，得5＋x－5＝－2－5. 于是x＝－7. (2)4x－7＝13. 解：方程的两边都加7，得4x－7＋7＝13＋7. 于是4x＝20. 方程的两边都除以4，得x＝5. 返回首页 6.解下列方程： (1)－4x－2＝2； 解：方程的两边都加2，得－4x－2＋2＝2＋2. 于是－4x＝4. 方程的两边都除以－4，得x＝－1. (2)－x＋2＝8. 解：方程的两边都减2，得－x＋2－2＝8－2. 于是－x＝6.方程的两边都除以－，得x＝－12. 返回首页 7.(教材P146改编)假设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体.如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放___个“■”. 能力过关 6 返回首页 8.(2023·湛江二模)若方程3x＋1＝4和方程2x＋a＝0的解相同，则a＝(　　) A.1 B.2 C.－1 D.－2 D 返回首页 9.王老师在黑板上写了一个等式(m－3)x＝5(m－3)，小明说只有当x＝5时，该等式成立；小刚说不一定，当x≠5时，这个等式也可能成立.你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由. 思维过关 解：小明的说法错误，小刚的说法正确.理由如下： 当m－3＝0时，x可取任意数； 当m－3≠0时，解方程得x＝5. 所以小明的说法错误，小刚的说法正确. 返回首页 $$ 第五章　一元一次方程 第3课　一元一次方程的解法(2)——移项 　　　 　移项的概念 　　把原方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形称为移项. 　　注意移项时的两个变化：位置变化和符号变化. 返回首页 　　　　 下面的移项对不对？如果不对，请改正. (1)5＋x＝10移项，得x＝10＋5；(　　) 改正：__________ (2)6x＝2x＋8移项，得6x＋2x＝－8；(　　) 改正：___________ (3)5－2x＝4－3x移项，得－3x－2x＝4－5.(　　) 改正：______________ × x＝10－5 × 6x－2x＝8 × 3x－2x＝4－5 返回首页 　　　　 通过移项将方程变形，错误的是(　　) A.由x＋2＝2x－7，得x－2x＝－7－2 B.由5y－2＝－6，得5y＝－6＋2 C.由3－x＝2x＋7，得x－2x＝7－3 D.由9＋2x＝x，得2x－x＝－9 C 返回首页 　　　　 利用移项、合并同类项解方程 　　　 (教材P142)解下列方程： (1)2x＋3＝11； 解：移项，得2x＝11－3. 化简，得2x＝8. 方程的两边都除以2，得x＝4. 返回首页 (2)2y＋1＝5y＋7； 解：移项，得2y－5y＝7－1. 合并同类项，得－3y＝6. 方程的两边都除以－3，得y＝－2. (3)x－2＝x－. 解：移项，得x－x＝－＋2. 合并同类项，得x＝.方程的两边都除以，得x＝1. 返回首页 　　　　 解下列方程： (1)－2x＋1＝－3x； 解：移项，得－2x＋3x＝－1. 合并同类项，得x＝－1. (2)0.5x－0.7＝6.5－1.3x； 解：移项，得0.5x＋1.3x＝6.5＋0.7. 合并同类项，得1.8x＝7.2. 方程的两边都除以1.8，得x＝4. 返回首页 (3)5x＋10＋x＝2＋2x. 解：移项，得5x＋x－2x＝2－10. 合并同类项，得4x＝－8. 方程的两边都除以4，得x＝－2. 返回首页 移项解方程的步骤： (1)移项(含未知数的项移到方程的____边，常数项移到方程的____边)； (2)合并同类项； (3)系数化为1(方程两边同时除以未知数的______). 左 右 系数 返回首页 1.在解方程x－2＝4x＋5时，下列移项正确的是(　　) A.x＋4x＝5－2　 B.x＋4x＝2＋5 C.x－4x＝5＋2 D.x－4x＝－2－5 基础过关 C 返回首页 2.若式子x＋2与4－x的值相等，则x等于(　　) A.1 B.－1 C.3 D.－3 A 返回首页 3.(2024·广东佛山三模)小明做作业时发现方程已被墨水污染：3x＋＝2x＋■.电话询问老师后知道：方程的解为x＝1且被墨水遮盖的是一个常数.则该常数是(　　) A. B.－ C. D.－ A 返回首页 4.解下列方程： (1)3＝2x＋9； 解：移项，得－2x＝9－3. 化简，得－2x＝6. 方程的两边都除以－2，得x＝－3. (2)5x＋9＝2－2x. 解：移项，得5x＋2x＝2－9. 合并同类项，得7x＝－7. 方程的两边都除以7，得x＝－1. 返回首页 5.若3ab2n－1与abn＋1是同类项，则n的值为(　　) A.2 B.1 C.－1 D.0 6.关于x的方程2x－4＝3m和2x＋3＝13有相同的解，则m的值为(　　) A.10 B.－2 C.2 D.8 能力过关 A C 返回首页 7.已知A＝2x＋1，B＝3－x.当x取何值时，A＝B？ 解：根据题意，得2x＋1＝3－x. 解得x＝. 即当x＝时，A＝B. 返回首页 8.解方程：2－4x＝6x＋7－3x； 解：移项，得－4x－6x＋3x＝7－2. 合并同类项，得－7x＝5. 方程的两边都除以－7，得x＝－. 返回首页 9.(整体思想)一题多解是培养我们发散思维的重要方法，方程“6(4x－3)＋2(3－4x)＝3(4x－3)＋5”可以有多种不同的解法. (1)观察此方程，假设4x－3＝y，则原方程可变形为关于y的方程：_______________； 思维过关 6y－2y＝3y＋5 返回首页 (2)请通过先求y的值来求原方程的解. 解：假设4x－3＝y，则原方程可变形为关于y的方程：6y－2y＝3y＋5. 移项，得6y－2y－3y＝5.合并同类项，得y＝5.所以4x－3＝5. 移项，得4x＝5＋3.化简，得4x＝8.方程的两边都除以4，得x＝2. 所以原方程的解为x＝2. 返回首页 $$ 第五章　一元一次方程 第4课　一元一次方程的解法(3) ——去括号 整式加减中的去括号法则： (1)括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都________； (2)括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都________. 不改变 要改变 返回首页 　　　 　去括号 　　解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则______(括号前的系数要乘括号里的________). 相同 每一项 返回首页 　　　　 在解方程－3(2x＋1)＝x时，去括号正确的是(　　) A.－6x＋1＝－x B.－6x＋3＝－x C.－6x－3＝x D.－6x－1＝x C 返回首页 　　　　 在解方程3(2x－4)－(x－7)＝5时，下列去括号正确的是(　　) A.6x－4－x－7＝5 B.6x－4－x＋7＝5 C.6x－12－x－7＝5 D.6x－12－x＋7＝5 D 返回首页 　　　　 解含有括号的一元一次方程 　　　　 (教材P143)解方程： 4x－3(20－x)＝－4. 解：去括号，得4x－60＋3x＝－4. 移项，得4x＋3x＝60－4. 合并同类项，得7x＝56. 方程的两边都除以7，得x＝8. 返回首页 　　　　 (2023·珠海斗门区期末)解方程： 2(3x－1)＝2x－10. 解：去括号，得6x－2＝2x－10. 移项，得6x－2x＝－10＋2. 合并同类项，得4x＝－8. 方程的两边都除以4，得x＝－2. 返回首页 　　　　 当x为何值时，代数式5(2x－7)比2(3x＋4)小7？ 解：根据题意，得2(3x＋4)－5(2x－7)＝7. 去括号，得6x＋8－10x＋35＝7. 移项，得6x－10x＝7－8－35. 合并同类项，得－4x＝－36. 方程的两边都除以－4，得x＝9. 故当x＝9时，5(2x－7)比2(3x＋4)小7. 返回首页 　　　　 设A＝x＋5，B＝2x－2.当x取何值时，A的值比B的值大5？ 解：根据题意，得(x＋5)－(2x－2)＝5. 去括号，得x＋5－2x＋2＝5. 移项、合并同类项，得－x＝－2. 方程的两边都除以－1，得x＝2. 故当x＝2时，A的值比B的值大5. 返回首页 解含有括号的一元一次方程的步骤： (1)去括号；(2)移项；(3)合并同类项；(4)系数化为1. 返回首页 1.解方程3－(x－6)＝5(x－1)时，去括号正确的是(　　) A.3－x＋6＝5x－1 B.3－x－6＝5x－1 C.3－x＋6＝5x－5 D.3－x－6＝5x－5 基础过关 C 返回首页 2.若代数式3a＋1与3a－1互为相反数，则a的值是(　　) A. B.－ C.0 D.－3 C 返回首页 3.研究下面解方程1＋4(2x－3)＝5x－(1－3x)的过程： 去括号，得1＋8x－12＝5x－1－3x.① 移项，得8x－5x＋3x＝－1－1－12.② 合并同类项，得6x＝10.③ 方程两边都除以6，得x＝.④ 以上解题过程中，最先出现错误的步骤是(　　) A.① B.② C.③ D.④ A 返回首页 4.解下列方程： (1)3(2x＋1)＝6； 解：去括号，得6x＋3＝6. 移项，得6x＝6－3.化简，得6x＝3. 方程的两边都除以6，得x＝. 返回首页 (2)2x－3(20－x)＝0. 解：去括号，得2x－60＋3x＝0. 移项，得2x＋3x＝60. 合并同类项，得5x＝60. 方程的两边都除以5，得x＝12. 返回首页 5.(2023·茂名电白区期末)定义：若A－B＝m，则称A与B是关于m的关联数.例如：若A－B＝2，则称A与B是关于2的关联数.若2x－1与3x－5是关于4的关联数，则x的值是(　　) A.0 B.1 C.8 D.2 能力过关 A 返回首页 6.已知方程6x－9＝10x－5与方程3a－1＝3(x＋a)－2a的解相同. (1)这个相同的解是________； (2)求a的值. 解：由解相同，得3a－1＝3(－1＋a)－2a. 去括号，得3a－1＝－3＋3a－2a.移项、合并同类项，得2a＝－2.方程的两边都除以2，得a＝－1. x＝－1 返回首页 7.对任意4个有理数a，b，c，d，定义新运算＝ad－bc. (1)＝_____； (2)若＝35，求x的值； 思维过关 解：由题意，得3x－(－2x)＝35. 解得x＝7. －7 返回首页 (3)若＝，求x的值. 解：由题意，得2(x＋1)－3(x－1)＝2x－10.解得x＝5. 返回首页 $$ 第五章　一元一次方程 第5课　一元一次方程的解法(4) ——去分母 　　　　 去分母 　　　　 解方程1＋＝，去分母正确的是(　　) A.1＋x－3＝3x B.1＋x＋3＝3x C.6＋x＋3＝3x D.6＋x－3＝3x C 返回首页 　　　　 将方程－1＝去分母，得(　　) A.3(x＋1)－6＝2x B.3(x＋1)－1＝2x C.3x＋1－1＝2x D.2(x＋1)－6＝3x A 返回首页 去分母时的注意事项： (1)去分母时，方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，包括不含分母的项； (2)分数线起到括号的作用，分子是多项式的项，去掉分母后，要将分子用括号括起来. 返回首页 　　　　 解一元一次方程 　　解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. 注：解一元一次方程的步骤不是一成不变的，有些步骤可能会省略，要根据方程的特点灵活选用. 返回首页 　　　　 (教材P145)解下列方程： (1)＝； 解：去分母，得2(x＋4)＝5(x－2). 去括号，得2x＋8＝5x－10. 移项，得2x－5x＝－10－8. 合并同类项，得－3x＝－18. 方程的两边都除以－3，得x＝6. 返回首页 (2)＝. 解：去分母，得3(x－1)＝2(x＋3). 去括号，得3x－3＝2x＋6. 移项，得3x－2x＝6＋3. 合并同类项，得x＝9. 返回首页 　　　　 解下列方程： (1)＝； 解：去分母，得3(3y＋4)＝2(2y－1). 去括号，得9y＋12＝4y－2.移项，得9y－4y＝－2－12. 合并同类项，得5y＝－14. 方程的两边都除以5，得y＝－. 返回首页 (2)－1＝. 解：去分母，得3(x＋1)－6＝2(2－x). 去括号，得3x＋3－6＝4－2x.移项，得3x＋2x＝4＋6－3. 合并同类项，得5x＝7. 方程的两边都除以5，得x＝. 返回首页 　　　　 当x为何值时，代数式x＋1的值与的值互为相反数？ 解：由题意，得x＋1＋＝0. 解得x＝8. 所以当x＝8时，代数式x＋1的值与的值互为相反数. 返回首页 　　　　 当x为何值时，代数式的值比代数式的值少1？ 解：由题意，得＝－1.解得x＝－. 所以当x＝－时，代数式的值比代数式的值少1. 返回首页 1.将方程－＝1去分母、去括号正确的是(　　) A.2x－x－1＝1 B.2x－x－1＝4 C.2x－x＋1＝4 D.2x－x＋1＝1 基础过关 C 返回首页 2.已知一元一次方程－4＝5x－2，则下列解方程的过程正确的是(　　) A.去分母，得3(1－2x)－4＝2(5x－2) B.去分母，得3(1－2x)－8＝5x－2 C.去分母、去括号，得3－6x－8＝10x－4 D.去分母、去括号，得3－6x－8＝5x－2 C 返回首页 3.(2023·广州期末)解方程：＝1－. 能力过关 解：去分母，得3(2x＋3)＝15－(4－x). 去括号，得6x＋9＝15－4＋x. 移项，得6x－x＝15－4－9. 合并同类项，得5x＝2. 方程的两边都除以5，得x＝. 返回首页 4.解方程：＋2x＝3－. 解：去分母，得3(x－6)＋12x＝18－2(2x＋5). 去括号，得3x－18＋12x＝18－4x－10. 移项，得3x＋12x＋4x＝18－10＋18. 合并同类项，得19x＝26. 方程的两边都除以19，得x＝. 返回首页 5.阅读下列解题过程： 解方程：－＝1. 解：去分母，得3(3x＋1)－2(4x－1)＝1.① 去括号，得9x＋3－8x－2＝1.② 移项，得9x－8x＝1＋3－2.③ 合并同类项，得x＝2.④ 思维过关 返回首页 回答下列问题： (1)步骤①错在____________________________； (2)步骤②错在________________________； (3)步骤③错在________________； 去分母时等号右边的1没有乘6 去括号时部分项没有变号 移项时没有变号 返回首页 (4)写出此题的正确解题步骤. 解：去分母，得3(3x＋1)－2(4x－1)＝6. 去括号，得9x＋3－8x＋2＝6. 移项，得9x－8x＝6－3－2. 合并同类项，得x＝1. 返回首页 6.(2023·揭阳期末)已知方程＝3－与关于x的一元一次方程2－kx＝x的解相同，求k的值. 解：方程＝3－去分母，得 2(x－1)＝18－3x. 去括号，得2x－2＝18－3x. 移项，得2x＋3x＝18＋2. 合并同类项，得5x＝20. 返回首页 方程的两边都除以5，得x＝4. 把x＝4代入方程2－kx＝x中，得2－4k＝4. 移项，得－4k＝4－2. 化简，得－4k＝2. 方程的两边都除以－4，得k＝－. 返回首页 $$ 第五章　一元一次方程 第6课　一元一次方程的解法复习 1.下列等式变形正确的是(　　) A.如果mx＝my，那么x＝y B.如果＝，那么x＝y C.如果－x＝8，那么x＝－4 D.如果x－2＝y－2，那么x＝y D 返回首页 2.下列方程变形中，正确的是(　　) A.方程3x＋4＝4x－5，移项，得3x－4x＝5－4 B.方程－x＝4，系数化为1，得x＝4×(－) C.方程3－2(x＋1)＝5，去括号，得3－2x－2＝5 D.方程－1＝，去分母，得3(x－1)－1＝2(3x＋1) C 返回首页 3.(2024·东莞三模)若－2an－2b4与3ab2m是同类项，则mn的值为(　　) A.4 B.6 C.8 D.9 4.当x＝_____时，式子2x－1的值比式子5x＋6的值小1. C －2 返回首页 5.小明在解关于x的一元一次方程－m＝时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为4x－m＝3，并解得x＝1.请根据以上已知条件求出原方程正确的解为(　　) A.x＝ B.x＝1 C.x＝ D.x＝－ A 返回首页 6.(2023·汕头潮南区期末)把方程－1＝的分母化成整数后，可得方程(　　) A.－1＝ B.－1＝ C.－10＝ D.－1＝ B 返回首页 7.解下列方程： (1)3x＋1＝x－5； 解：移项，得3x－x＝－5－1. 合并同类项，得2x＝－6. 方程的两边都除以2，得x＝－3. 返回首页 (2)4(2x－1)－5(x－1)＝10. 解：去括号，得8x－4－5x＋5＝10. 移项，得8x－5x＝10＋4－5. 合并同类项，得3x＝9. 方程的两边都除以3，得x＝3. 返回首页 8.解下列方程： (1)－＝2； 解：去分母，得2(4x＋2)－3(x－1)＝12. 去括号，得8x＋4－3x＋3＝12. 移项，得8x－3x＝12－4－3. 合并同类项，得5x＝5. 方程的两边都除以5，得x＝1. 返回首页 (2)x－＝＋1. 解：去分母，得6x－3(x－1)＝2(x＋2)＋6. 去括号，得6x－3x＋3＝2x＋4＋6. 移项、合并同类项，得x＝7. 返回首页 9.关于x的一元一次方程＋m＝5，其中m是正整数.若方程有正整数解，求m的值. 解：去分母，得 3x－1＋2m＝10.移项、化简，得 3x＝11－2m.方程的两边都除以3，得 x＝. 因为m是正整数，方程有正整数解，所以m＝1或m＝4. 返回首页 10.(2023·汕头陈店镇期末)阅读理解题： 你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法. 阅读下列材料： 问题：利用一元一次方程将0.化成分数. 设0.＝x. 由0.＝0.777…，可知10×0.＝7.777…＝7＋0.， 即7＋x＝10x.(请你体会将方程两边都乘以10起到的作用) 可解得x＝，即0.＝. (1)填空：将0.直接写成分数形式为. 返回首页 (2)请仿照上述方法把小数0.化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程. 解：设0.＝x. 由0.＝0.252525…，可知100×0.＝25.252525…＝25＋0.， 即25＋x＝100x. 解得x＝，即0.＝. 返回首页 11.(2023·深圳福田区期末)定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例如：方程4x＝8和x＋1＝0为“美好方程”. (1)若关于x的方程3x＋m＝0与方程4x－2＝x＋10是“美好方程”，则m的值为___； 9 返回首页 (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； 解：因为“美好方程”的两个解之和为1， 所以另一个方程的解为1－n. 因为两个解的差为8， 所以n－(1－n)＝8或1－n－n＝8. 解得n＝或n＝－. 返回首页 (3)若关于x的一元一次方程x＋3＝2x＋k和x＋1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程(y＋1)＝2y＋k－1的解. 解：解方程x＋1＝0，得x＝－2 024. 因为关于x的一元一次方程x＋3＝2x＋k和x＋1＝0是“美好方程”，所以方程x＋3＝2x＋k的解为x＝1－(－2 024)＝2 025. 因为关于y的一元一次方程(y＋1)＝2y＋k－1可化为(y＋1)＋3＝2(y＋1)＋k，所以y＋1＝x＝2 025. 所以y＝2 024. 返回首页 $$ 第五章　一元一次方程 第7课　一元一次方程的应用(1) ——几何问题 　　　　 等体积(周长)变形问题 　　　　 (教材P147)将一个底面直径为20 cm，高为9 cm的“矮胖”形圆柱，锻压成底面直径为10 cm的“瘦高”形圆柱，此时高变成了多少？ 解：设此时高变成了x cm. 根据题意，得π×(10÷2)2x＝π×(20÷2)2×9. 解得x＝36. 所以此时高变成了36 cm. 返回首页 　　　　 用一个底面为20 cm×20 cm的长方体容器(已装满水)向一个长、宽、高分别是16 cm，10 cm和5 cm的长方体空铁盒内倒水.当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了多少？ 解：设长方体容器中水的高度下降了x cm. 由题意，得20×20x＝16×10×5. 解得x＝2. 所以长方体容器中水的高度下降了2 cm. 返回首页 　　　　 (教材P147)用一根长为28 cm的铁丝围成一个长方形，若长方形的长比宽多4 cm，则此长方形的长、宽各为多少厘米？ 解：设长方形的宽为x cm，则长为(x＋4)cm. 由题意，得2(2x＋4)＝28. 解得x＝5. 5＋4＝9 (cm). 所以长方形的长为9 cm，宽为5 cm. 返回首页 　　　　 一个长方形的周长为26 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可成为一个正方形，长方形的长与宽各为多少厘米？ 解：设长方形的长为x cm，则宽为(13－x)cm. 由题意，得x－1＝13－x＋2. 解得x＝8. 13－8＝5(cm). 所以长方形的长为8 cm，宽为5 cm. 返回首页 　　　　 从图中找等量关系 　　　　 在长方形ABCD中，放入6个大小相同的小长方形，尺寸如图所示.设小长方形的宽AE＝x cm，依题意，可列方程(　　) A.6＋2x＝14－3x B.6＋2x＝x＋(14－3x) C.6＋2x＝14－x D.6＋2x＝x＋(14－x) B 返回首页 　　　　 如图(单位：cm)，一块长4 cm、宽1 cm的长方形纸板①，一块长5 cm、宽2 cm的长方形纸板②与一块正方形纸板③以及另两块长方形纸板④和⑤，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积为____cm2. 36 返回首页 (1)列一元一次方程解应用题的一般步骤： ①审题(找出已知、未知和等量关系)；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤作答. (2)解决等体积(周长)变形问题时利用的一个基本关系式：变形前的体积(周长)＝变形后的体积(周长). (3)在组合拼接成正方形(长方形)的图中常用的等量关系式：正方形的四条边长相等(长方形的对边相等). 返回首页 1.如图是一种正方形地砖的设计图，为了求这个正方形地砖的边长，可根据图示列方程(　　) A.4－2x＝6x B.2＋4x＝6x C.2＋6x＝4x D.4＋2x＝6x 基础过关 D 返回首页 2.有一个底面半径为10 cm，高为30 cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10 cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为(　　) A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm C 返回首页 3.如图，将一个长方形剪去一个宽为4的长条，再将剩余的长方形补上一个宽为2的长条就变成了一个正方形.若增加的与剪去的两个长条的面积相等，则这个相等的面积是(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 B 返回首页 4.用一个棱长4 dm的正方体铁块熔铸成宽2.5 dm，高1.6 dm的长方体铁块，长方体铁块的长是多少分米？ 解：设长方体铁块的长是x dm. 由题意，得2.5×1.6x＝43. 解得x＝16. 因此，长方体铁块的长是16 dm. 返回首页 5.如图，宽为30 cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，求小长方形的长. 能力过关 解：设小长方形的长为x cm，则宽为(30－x)cm. 依题意，得2x＝x＋4(30－x). 解得x＝24.所以小长方形的长为24 cm. 返回首页 6.有一个盛水的圆柱体玻璃容器，它的底面直径为12 cm(容器厚度忽略不计)，容器内水的高度为10 cm. (1)如图①，容器内水的体积为________cm3(结果保留π)； 思维过关 360 π 返回首页 (2)如图②，把一根底面直径为6 cm，高为12 cm的实心玻璃棒插入水中(玻璃棒完全淹没于水中)，求水面上升的高度； 解：(2)设水面上升的高度为a cm.根据题意，得π×()2×12＝π×()2·a. 解得a＝3. 因此，水面上升的高度为3 cm. 返回首页 (3)如图③，若把一根底面直径为6 cm的足够长的实心玻璃棒插入水中，求水面上升的高度. 解：设水面上升的高度为b cm.根据题意，得π×()2×(10＋b)＝π×()2·b. 解得b＝.因此，水面上升的高度为 cm. 返回首页 $$ 第五章　一元一次方程 第8课　一元一次方程的应用(2) ——盈不足问题 　　　 (教材P149)(2023·东莞期末)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元.问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为(　　) A.8x＋3＝7x－4 B.8x－3＝7x＋4 C.＝ D.＝ B 返回首页 　　　　 用若干千克化肥给一块麦田施肥，每亩用6 kg，还差 17 kg；每亩用5 kg，还多3 kg.这块麦田有多少亩？ 解：设这块麦田有x亩. 根据题意，得6x－17＝5x＋3. 解得x＝20. 答：这块麦田有20亩. 返回首页 　　　　 (教材P149)《九章算术》有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，则多出3 400钱；每人出300钱，则多出100钱.合伙买金的共有(　　) A.33人 B.32人 C.30人 D.29人 A 返回首页 　　　　 几个人合买一个篮球，若每人出4元，则还差8元；若每人出5元，则还差3元，一共有多少人？这个篮球的价格是多少？ 解：设一共有x人. 根据题意，得4x＋8＝5x＋3. 解得x＝5. 4x＋8＝28. 答：一共有5人，这个篮球的价格是28元. 返回首页 　　　　 某校组织七年级学生到景区参观学习，租用某型号的客车，租用4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位.求该客车的载客量及七年级学生的人数. 解：设该客车的载客量为x人. 根据题意，得4x＋30＝5x－10. 解得x＝40. 4×40＋30＝190(人). 答：该客车的载客量为40人，七年级学生的人数为190. 返回首页 　　　　 某校七(1)班学生去大兴区参加训练，活动时小组组长将若干瓶矿泉水分给小组成员(包括组长).如果每人2瓶，那么剩余4瓶；如果每人3瓶，那么有一人只有1瓶.求这个小组的人数及矿泉水的瓶数. 解：设这个小组有x人. 根据题意，得2x＋4＝3(x－1)＋1. 解得x＝6. 所以矿泉水有2×6＋4＝16(瓶). 答：这个小组有6人，有16瓶矿泉水. 返回首页 1.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一.书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数几何？”意思是：有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱.问：共有几个人？设共有x人共同出钱买鸡，则下面所列方程正确的是(　　) A.9x＋11＝6x－16 B.9x－11＝6x＋16 C.6x－11＝9x＋16 D.6x＋11＝9x－16 基础过关 B 返回首页 2.小亮和家人元旦参团去广州游玩，由于节假日旅游旺季，酒店房源紧张，只有混合民宿(一人一个床位)可以选择：若每间房住4人，则有8人无法入住；若每间房住5人，则有一间房空了3个床位.设小亮所在旅游团共有x人，则可列方程为(　　) A.＝ B.＝ C.4x－8＝5x＋3 D.4x＋8＝5x－3 A 返回首页 3.某市有一批医疗物资需要运送到医院，原计划租用载货量为30 t的卡车若干辆，恰好可以一次性全部运完；若租用载货量为20 t的卡车，则需要多租2辆，且最后一辆卡车还差10 t装满，其他卡车满载. (1)请问这批医疗物资有多少吨？ 能力过关 解：设租用载货量为30 t的卡车x辆.根据题意，得30x＝20(x＋2)－10.解得x＝3.所以这批医疗物资有30×3＝90(t).答：这批医疗物资有90 t. 返回首页 (2)若载货量为20 t的卡车每辆租金为500元，载货量为30 t的卡车每辆租金为800元，要使医疗物资一次性运完，怎样租车最划算？ 解：若全部租用载货量为30 t的卡车，共需要租金3×800＝2 400(元)；若全部租用载货量为20 t的卡车，共需要租金5×500＝2 500(元)；若租用载货量为20 t的卡车3辆，载货量为30 t的卡车1辆，共需要租金3×500＋1×800＝2 300(元)；若租用载货量为20 t的卡车2辆，载货量为30 t的卡车2辆，共需要租金2×500＋2×800＝2 600(元).因为2 300＜2 400＜2 500＜2 600， 所以租用载货量为20 t的卡车3辆，载货量为30 t的卡车1辆最划算. 答：要使医疗物资一次性运完，租用载货量为20 t的卡车3辆，载货量为30 t的卡车1辆最划算. 返回首页 4.某市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的两侧全部栽上桂花树，要求每一侧路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等.如果每隔5 m栽1棵，那么树苗缺22棵；如果每隔6 m栽1棵，那么树苗正好用完.请问共有多少棵树苗？该条主干道共有多长？ 思维过关 解：设共有x棵树苗.依题意，得5＝6(x－1).解得x＝112.6×(×112－1)＝330(m). 答：共有112棵树苗，该主干道长330 m. 返回首页 $$ 第五章　一元一次方程 第9课　一元一次方程的应用(3) ——行程问题 　　　　 追及问题 　　　　 (教材P151)某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生以4 km/h的速度从学校出发，20 min后，小王骑自行车前去追赶.如果小王以12 km/h的速度行驶，那么小王要用多少小时才能追上队伍？设小王要用x h才能追上队伍，那么可列出的方程是(　　) A.12x＝4(x＋20) B.12x＝4(＋x) C.12x＝4×＋x D.4x＝12(＋x) B 返回首页 　　　　 一辆慢车速度为48 km/h，一辆快车速度为60 km/h，慢车在前，快车在后，两车之间的距离为36 km.快车追上慢车需要多少小时？ 解：设快车追上慢车需要x h，依题意，得 60x－48x＝36. 解得x＝3. 因此，快车追上慢车需要3 h. 返回首页 　　　　 相遇问题 　　　　 小鑫和小磊一起相约到两家之间的公园健身锻炼，两家相距2 600 m ，小鑫以80 m/min 的速度从家出发，10 min后，小磊以100 m/min的速度从家出发，问小磊出发后多少分钟与小鑫相遇？设小磊出发后x min与小鑫相遇，则可列方程为________________________. 100x＋80(x＋10)＝2 600 返回首页 　　　 甲、乙两站间的路程为360 km，一列快车从乙站开出，每小时行驶72 km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48 km. 若快车先开 25 min，两车相向而行，则慢车行驶h后两车相遇. 返回首页 　　　　 环形跑道中的行程问题 　　　　 (教材P151)甲、乙两人在400 m的环形跑道上练习长跑，甲每分钟跑300 m，乙每分钟跑260 m，两人同地、同时、同向起跑， x min后第一次相遇，则x的值为(　　) A.10 B.15 C.20 D.30 A 返回首页 拓展提问：在两人开始跑步7 min后，甲捡到了乙掉落在跑道上的学生卡，于是捡起后立刻沿环形跑道反方向跑去交还给乙.假定捡学生卡的时间忽略不计，则从甲开始反向跑步，到甲、乙两人相遇，中间经过了____s. 30 返回首页 　　　 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长 400 m，乙每秒跑6 m，甲每秒跑4 m. (1)如果甲、乙两人在跑道上同时同地反向出发，那么经过____s两人首次相遇； 40 返回首页 (2)如果甲、乙两人在跑道上同时同地同向出发，那么经过多少秒两人第二次相遇？ 解：设经过x s，甲、乙两人第二次相遇. 依据题意，得6x－4x＝2×400. 解得x＝400. 因此，经过400 s两人第二次相遇. 返回首页 (1)在追及问题中，两个个体移动的距离差＝初始距离(当移动时间相同时，有：速度差×时间＝初始距离). (2)在相遇问题中，两个个体移动的距离和＝初始距离(当移动时间相同时，有：速度和×时间＝初始距离). (3)在环形跑道中，①若同起点的两个个体同向而行，则可视作追击问题；反向而行，可视作相遇问题.②若计算首次相遇，则初始距离可视为环形跑道一圈的长度；之后计算第几次相遇，初始距离可视为环形跑道的几倍. 返回首页 1.某中学组织学生去郊游，一队学生从学校出发，以5 km/h的速度步行先走，一位老师在学生出发40 min后骑摩托车追赶，速度为30 km/h，结果他们同时到达目的地，则目的地距学校___km. 基础过关 4 返回首页 2.已知A，B两城市间有一条200 km的高速公路，现有一长途客车从A城市开往B城市，速度为60 km/h，有一小汽车同时从B城市开往A城市，速度是90 km/h，则两车相遇地距离A城市____km. 80 返回首页 3.已知运动场环形跑道的周长为400 m，小红跑步的速度是爷爷的，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次与爷爷相遇. (1)小红跑步的速度是_____m/min；爷爷跑步的速度是_____m/min. 能力过关 120 200 返回首页 (2)如果小红追上爷爷后立即转身沿相反方向跑，那么几分钟后小红再次与爷爷相遇？ 解：设t min后小红再次与爷爷相遇. 根据题意，得120t＋200t＝400.解得t＝.因此， min后小红再次与爷爷相遇. 返回首页 4.点A，B，C在数轴上表示的数a，b，c满足(b＋10)2＋＝0，且a是绝对值最小的有理数. (1)a的值为___，b的值为______，c的值为____. 思维过关 0 －10 14 返回首页 (2)已知点P，Q是数轴上的两个动点，点P从点B出发，以4个单位长度/s的速度向右运动，点Q从点C出发，速度为2个单位长度/s. ①若在点P出发的同时点Q向左运动，则___s后点P和点Q在数轴上相遇. ②若点P运动到点A处时，点Q开始向右运动，则点P运动几秒后这两点之间的距离为2个单位长度？ 4 返回首页 解：设点P运动t s后这两点之间的距离为2个单位长度.因为点B表示的数是－10，点A表示的数是0，所以A，B两点之间的距离为10.所以点P运动到点A的时间为10÷4＝2.5(s). 在点P追上点Q之前，当两点之间的距离为2个单位长度时，得4t＋2＝2(t－2.5)＋14－(－10).解得t＝8.5. 在点P追上点Q之后，当两点之间的距离为2个单位长度时，得4t－2＝2(t－2.5)＋14－(－10).解得t＝10.5. 故点P运动8.5 s或10.5 s后这两点之间的距离为2个单位长度. 返回首页 $$