第4章　基本平面图形 训练课件 2024—2025学年北师大版（2024）数学七年级上册

第四章　基本平面图形 微专题6　线段计算 1.如图，延长线段AB到点F，延长线段BA到点E，点M，N分别是线段AE，BF的中点，若AE∶AB∶BF＝1∶2∶3，且EF＝18 cm，求线段MN的长. 解：设EA＝x cm，则AB＝2x cm，BF＝3x cm，EF＝6x cm. 因为点M，N分别是线段EA，BF的中点， 所以EM＝MA＝x cm，BN＝NF＝x cm. 因为AB＝2x cm， 所以MN＝MA＋AB＋BN＝4x cm. 返回首页 因为EF＝18 cm， 所以6x＝18，即x＝3. 所以MN＝4×3＝12(cm). 返回首页 2.如图，已知线段AB和CD的公共部分BD＝AB＝CD，线段AB，CD的中点E，F之间距离是10 cm，求AB，CD的长. 解：设BD＝x cm，则AB＝3x cm，CD＝4x cm，AC＝6x cm. 因为点E，F分别为AB，CD的中点， 所以AE＝AB＝1.5x cm，CF＝CD＝2x cm. 所以EF＝AC－AE－CF＝6x－1.5x－2x＝2.5x cm. 因为EF＝10 cm，所以2.5x＝10，即x＝4. 所以AB＝3×4＝12(cm)，CD＝4×4＝16(cm). 返回首页 3.如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点. (1)若AC＝8 cm，BC＝6 cm，则线段MN的长为______. 7 cm 返回首页 (2)若C为线段AB上任意一点，且满足AC＋BC＝a cm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由. 解：MN＝a cm.理由如下：因为点M，N分别是AC，BC的中点， 所以MC＝AC，NC＝BC. 所以MN＝MC＋NC＝AC＋BC＝(AC＋BC)＝a cm. 返回首页 (3)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请写出你的结论，并说明理由. 解：MN＝b cm.理由如下： 如图. 因为点M，N分别是AC，BC的中点， 所以MC＝AC，NC＝BC. 所以MN＝MC－NC＝AC－BC＝(AC－BC)＝b cm. 返回首页 4.已知线段AB＝30，延长BA至点C，使CB∶AB＝4∶3，点D，E均为线段BA延长线上两点，且BD＝3AE，M，N分别是线段DE，AB的中点，当点C是线段BD的三等分点时，求MN的长. 解：因为AB＝30，CB∶AB＝4∶3， 所以CB＝40. ①若CB＝BD，如图. 因为CB＝40，所以BD＝60. 因为BD＝3AE，所以AE＝20. 返回首页 所以DE＝BD－AB－AE＝60－30－20＝10. 因为M是线段DE的中点，N是线段AB的中点， 所以DM＝ME＝5，BN＝AB＝15. 所以MN＝BD－DM－BN＝60－5－15＝40. ②若CB＝BD，如图. 返回首页 因为CB＝40，所以BD＝3CB＝120. 因为BD＝3AE，所以AE＝40. 所以DE＝BD－AB－AE＝120－30－40＝50. 因为M是线段DE的中点，N是线段AB的中点， 所以DM＝ME＝25，BN＝AB＝15. 所以MN＝BD－DM－BN＝120－25－15＝80. 综上所述，MN的长为40或80. 返回首页 $$ 第四章　基本平面图形 微专题7　角度计算 1.如图，∠AOB被分成∠AOC∶∠COD∶∠DOB＝2∶3∶4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON＝90°，求∠AOB的度数. 解：设∠AOC＝2x，则∠COD＝3x，∠DOB＝4x，∠AOB＝9x. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，所以∠MOC＝x，∠NOD＝2x. 所以∠MON＝x＋3x＋2x＝6x. 又因为∠MON＝90°，所以6x＝90°. 所以x＝15°. 所以∠AOB＝9x＝135°. 返回首页 2.(2023·湛江经开区期末)如图，点O在直线AB上，已知∠1＝30°. (1)若∠COE＝90°，则∠2＝____°； 60 返回首页 (2)若∠COE＝2∠2，求∠2的度数； 解：因为∠1＋∠BOE＝180°，∠1＝30°， 所以∠BOE＝180°－∠1＝180°－30°＝150°. 因为∠COE＝2∠2，所以∠BOE＝3∠2. 所以∠2＝∠BOE＝×150°＝50°. 返回首页 (3)在(2)的条件下，若OD平分∠BOE，求∠COD的度数. 解：因为OD平分∠BOE，∠BOE＝150°， 所以∠BOD＝∠BOE＝×150°＝75°. 因为∠2＝50°， 所以∠COD＝∠BOD－∠2＝75°－50°＝25°. 返回首页 3.如图，点O在直线AB上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC. (1)求∠DOE的度数； 解：因为OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC， 所以∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC. 所以∠DOE＝∠COD＋∠COE＝(∠AOC＋∠BOC)＝∠AOB＝×180°＝90°. 返回首页 (2)如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数； 解：因为∠AOD＝∠COD＝65°， 所以∠AOE＝∠AOD＋∠DOE＝65°＋90°＝155°. 返回首页 (3)如果∠COD∶∠COE＝3∶2，求∠AOE的度数. 解：因为∠COD∶∠COE＝3∶2， 所以设∠COD＝3x，∠COE＝2x. 因为∠COD＋∠COE＝90°， 所以3x＋2x＝90°.所以x＝18°. 所以∠COD＝54°.所以∠AOD＝54°. 所以∠AOE＝∠AOD＋∠DOE＝54°＋90°＝144°. 返回首页 $$ 第四章　基本平面图形 微专题8　动态问题探究 1.如图，P是线段AB上一点，AB＝12 cm，C，D两点分别从P，B出发以1 cm/s，2 cm/s的速度沿直线BA向左运动(点C在线段AP上，点D在线段BP上)，运动的时间为t s. (1)若当t＝1时，PD＝2AC，请求出AP的长； 返回首页 解：依题意，可知BD＝2 cm，PC＝1 cm，则BD＝2PC. 因为PD＝2AC， 所以BD＋PD＝2(PC＋AC)，即PB＝2AP. 因为AB＝AP＋PB＝3AP＝12 cm， 所以AP＝4 cm. 返回首页 (2)若C，D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请求出AP的长； 解：根据C，D的运动速度知BD＝2PC. 因为PD＝2AC， 所以BD＋PD＝2(PC＋AC)，即PB＝2AP. 所以AP＝AB＝4 cm. 返回首页 (3)在(2)的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ－BQ＝PQ，求PQ的长. 解：①当点Q在线段AB上时，如图所示. 因为AQ－BQ＝PQ，所以AQ＝PQ＋BQ. 因为AQ＝AP＋PQ，所以AP＝BQ. 由(2)，可知AP＝4 cm.所以BQ＝4 cm. 所以PQ＝AB－AP－BQ＝4 cm. 返回首页 ②当点Q在AB的延长线上时，如图所示. 同理，可得AP＝BQ. 则PQ＝AQ－AP＝AQ－BQ＝AB＝12 cm. 综上所述，PQ的长为4 cm或12 cm. 返回首页 2.如图，已知点A，B在数轴上对应的数分别为－2和14，点C，D在线段AB上，且CD＝4，点E，F分别是AC，BD的中点. (1)若AC＝4，求线段EF的长. 解：因为点A，B在数轴上对应的数分别为－2和14， 所以AB＝16. 因为CD＝4，AC＝4， 所以BD＝AB－CD－AC＝8. 因为E，F分别是AC，BD的中点， 所以CE＝AC＝2，DF＝BD＝4. 所以EF＝CE＋CD＋DF＝10. 返回首页 (2)当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化.如果不变，请求出EF的长；如果变化，请说明理由. 解：不变. 因为AB＝16，CD＝4，所以AC＋BD＝AB－CD＝12. 因为E，F分别是AC，BD的中点，所以CE＝AC，DF＝BD. 所以CE＋DF＝AC＋BD＝(AC＋BD) ＝6. 所以EF＝CE＋CD＋DF＝10. 返回首页 3.点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处. (1)如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，∠MOC＝______； 25° 返回首页 (2)如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数； 解：因为∠BOC＝65°，OC是∠MOB的平分线， 所以∠MOB＝2∠BOC＝130°. 所以∠BON＝∠MOB－∠MON＝130°－90°＝40°. 所以∠CON＝∠BOC－∠BON＝65°－40°＝25°. 返回首页 (3)将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数. 解：因为∠NOC＝∠AOM，所以∠AOM＝4∠NOC. 因为∠BOC＝65°，所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－65°＝115°.因为∠MON＝90°，所以∠AOM＋∠NOC＝∠AOC－∠MON＝115°－90°＝25°.所以4∠NOC＋∠NOC＝25°. 所以∠NOC＝5°. 所以∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝70°. 返回首页 4.(2023·东莞松山湖实验学校期末)如图①，已知 OM平分∠AOC，ON平分∠BOC. (1)若∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，则∠MON＝____°. 45 返回首页 (2)如图②，将图①中的边OC绕 O点向下旋转，∠AOB＝90°不变，若此时∠BOC＝2m°，OM，ON仍然平分∠AOC，∠BOC，则∠MON的度数是否发生改变？若不变，请写出推理过程；若改变，请求出其值. 返回首页 解：∠MON的度数不变.理由如下： 因为∠AOB＝90°，∠BOC＝2m°， 所以∠AOC＝90°＋2m°. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 所以∠MOC＝∠AOC＝45°＋m°， ∠NOC＝∠BOC＝m°. 所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝45°＋m°－m°＝45°. 返回首页 (3)如图③，在图②的前提下，边OA绕 O点向下旋转，若此时∠AOB＝x°，∠BOC＝y°，OM，ON仍然平分∠AOC，∠BOC，求此时∠MON的度数. 返回首页 解：因为∠AOB＝x°，∠BOC＝y°， 所以∠AOC＝x°＋y°. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 所以∠MOC＝∠AOC＝(x°＋y°)， ∠NOC＝∠BOC＝y°. 所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝(x°＋y°)－y°＝x°. 返回首页 $$ 第四章　基本平面图形 第1课　线段、射线、直线 　　　 线段、射线、直线的表示方法 名称 区别 图形 端点个数 表示方法 度量情况 线段   ___个 ①用端点的___个大写字母表示，如线段AB或线段BA； ②用___个小写字母表示，如线段a 能度量 2 2 1 返回首页 名称 区别 图形 端点个数 表示方法 度量情况 射线   ___个 用___个大写字母表示(注：端点字母写前面)，如射线OA 不能度量 1 2 返回首页 名称 区别 图形 端点个数 表示方法 度量情况 直线   ___个 ①用___个大写字母表示，如直线AB或直线BA； ②用___个小写字母表示，如直线l 不能度量 0 2 1 返回首页 联系 线段和射线都是直线的一部分，线段向一个方向无限延伸得到射线，向两个方向无限延伸得到直线；射线向反方向延伸就成为直线 返回首页 　　　　 下列各图中直线的表示方法正确的是(　　) B 返回首页 　　　 下列各图中射线OA与OB表示同一条射线的是(　　) B 返回首页 　　 如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是(　　) A.点P在直线AB外 B.点C在直线AB外 C.直线AC不经过点M D.直线AC经过点B B 返回首页 　　　　 针对所给图形，下列说法正确的是(　　) A.点O在射线AB上 B.点A在线段OB上 C.点O不在直线AB上 D.点B是直线AB的一个端点 B 返回首页 　　　　　关于直线的一个基本事实 　　经过两点有且只有一条直线.可以简述为“__________________”. 　　　 (教材P112)负责装修的李师傅要在墙上钉牢一根木条，那么李师傅至少要钉___颗钉子，这依据的数学原理是__________________. 两点确定一条直线 2 两点确定一条直线 返回首页 　　　　 植树时，为了使同一行树坑在一条直线上，只需定出两个树坑的位置，其中的数学道理是__________________. 两点确定一条直线 返回首页 　　　 根据几何语言作图 　　　　 (教材P116)如图，平面内有A，B，C，D四点.按下列语句画图. (1)画直线AB，射线BD，线段BC； 解：如图所示，直线AB，射线BD，线段BC即为所求. (2)连接AC，交射线BD于点E. 解：点E即为所求. 返回首页 　　　　 如图，平面内有四个点A，B，C，D. (1)在图中画线段AC，BD交于点E； (2)在图中作射线BC； (3)画直线AB，CD，交于点P. 解：(1)(2)(3)如图所示. 返回首页 1.下列各图中表示射线MN，线段PQ的是(　　) 基础过关 B 返回首页 2.(2023·汕头龙湖区期末)如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是(　　) C 返回首页 3.(2023·佛山南海区期中)下列说法正确的是(　　) A.过一点P只能作一条直线 B.直线AB和直线BA表示同一条直线 C.射线AB和射线BA表示同一条射线 D.射线a比直线b短 能力过关 B 返回首页 4.如图，点B，C在线段AD上. (1)图中以点A为一个端点的线段有___条，以点B为一个端点的线段有___条； (2)图中共有___条线段. 3 3 6 返回首页 5.如图①，经过平面上不同的两个点可以画一条直线.如图②，图③，经过平面上不同的三个点中任意两个点画直线，一共可以画一条或三条直线.那么经过平面上不同的四个点中任意两个点画直线，一共可以画几条直线？请画图说明. 思维过关 返回首页 解：如图，分三种情况，经过平面上不同的四个点中的任意两个点，可以画1条、4条或6条直线. 返回首页 $$ 第四章　基本平面图形 第2课　比较线段的长短 　　　 　关于线段的一个基本事实 (1)两点之间的所有连线中，_____最短.可以简述为_________________. (2)两点之间线段的长度，叫作这两点之间的______. 线段 两点之间线段最短 距离 返回首页 　　　　 (教材P113)小颖从家到超市共有4条路可走(如图)，小颖选择路线____才能使路程最短，用数学知识解释为__________________. ② 两点之间线段最短 返回首页 　　　　 如图，王亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，这是因为(　　) A.两点确定一条直线 B.经过一点有无数条直线 C.两点之间线段最短 D.以上答案都不对 C 返回首页 　　　　 线段长短的比较 线段长短的比较方法： ①度量法：用刻度尺分别量出两条线段的______，从而进行比较； ②叠合法：如图，把一条线段移到另一条线段上，使一端______，从而进行比较. 长度 重合 返回首页 　　　　 有不在同一直线上的两条线段AB和CD，李明很难判断出它们的长短，因此他借助于刻度尺进行测量，由此可得出AB________CD.(填“＞”“＜”或“＝”) 　　　 为比较两条线段AB与CD的长短，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则(　　) A.AB＜CD B.AB＞CD C.AB＝CD D.以上都有可能 ＞ B 返回首页 　　 　尺规作图 　　只用没有刻度的______和______画图称为尺规作图. 直尺 圆规 返回首页 　　　　 (教材P115)如图，已知线段a和线段AB.延长线段AB到C，使BC＝a(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹). 解：如图，线段BC即为所求. 返回首页 　　　　 如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段c，使它等于a＋3b.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，线段AB即为所求线段c. 返回首页 　　　 　 线段的和、差计算 　　　　 如图，A，B，C三点在一条直线上，根据下面的图形填空： (1)AC＝______＋______＋______； (2)AB＝AC－______； (3)DB＋BC＝______－AD. AD DB BC BC AC 返回首页 　　　　 如图，点C，D在线段AB上. (1)若AC＝2，CD＝5，BD＝3，求AB的长； (2)若AB＝18，AC＝4，BD＝5，求CD的长. 解：AB＝AC＋CD＋BD＝2＋5＋3＝10. 解：CD＝AB－AC－BD＝18－4－5＝9. 返回首页 1.如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程.这样做根据的道理是(　　) A.两点之间，直线最短 B.两点确定一条直线 C.两点之间，线段最短 D.两点确定一条线段 基础过关 C 返回首页 2.如图，用圆规比较两条线段A'B'和AB的长短，其中正确的是(　　) A.A'B'＞AB B.A'B'＝AB C.A'B'＜AB D.没有刻度，无法确定 A 返回首页 3.如图①，已知线段a，b，则图②中线段AB表示的是(　　) A.a－b B.a＋b C.a－2b D.2a－b 能力过关 D 返回首页 4.如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是(　　) A.AC＝BD　　 B.AC＜BD C.AC＞BD D.不能确定 A 返回首页 5.(教材P117改编)如图，已知线段AB. (1)请用尺规按下列要求作图： ①延长线段AB到C，使BC＝AB； ②延长线段BA到D，使AD＝AC.(不写画法，但要保留画图痕迹) 思维过关 解：如图，BC， AD即为所求. 返回首页 (2)请直接回答线段BD与线段AC长度之间的大小关系. (3)如果AB＝2 cm，那么BD＝___cm，CD＝___cm. 解：BD＞AC. 6 8 返回首页 6.如图，已知B，C在线段AD上. (1)图中共有_____条线段； 6 (2)若AB＝CD，BD＝4AB，BC＝12 cm，求AD的长. 解：因为BD＝4AB，AB＝CD， 所以BD＝4CD.所以BC＝3CD. 因为BC＝12 cm，所以AB＝CD＝4 cm. 所以AD＝AB＋BC＋CD＝4＋12＋4＝20(cm). 返回首页 $$ 第四章　基本平面图形 第3课　线段的中点及相关计算 　　　　线段的中点 　　如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫作线段AB的中点. 　　此时，AM＝______＝______(或AB＝_______＝_______). BM AB 2AM 2BM 返回首页 　　　 如图，CB＝4 cm，DB＝7 cm，点D为AC的中点，求AB的长. 解：由题意，知CB＝4 cm，DB＝7 cm， 所以DC＝DB－CB＝7－4＝3(cm). 又因为点D为AC的中点， 所以AD＝DC＝3 cm. 故AB＝AD＋DB＝3＋7＝10(cm). 返回首页 　　　　 如图，AD＝DB，E是BC的中点，BE＝AC＝2 cm，求线段DE的长. 解：因为BE＝AC＝2 cm，所以AC＝10 cm. 因为E是BC的中点，所以EC＝BE＝2 cm，BC＝2BE＝4 cm. 所以AB＝AC－BC＝10－4＝6(cm). 又因为AD＝DB，所以AB＝AD＋DB＝AD＋2AD＝3AD. 所以AD＝2 cm，DB＝4 cm. 所以DE＝AC－AD－EC＝10－2－2＝6(cm). 返回首页 　　　　 如图，线段AB＝10，延长AB到点C，使BC＝6，点M，N分别为AC，BC的中点，求线段BM，MN的长. 解：因为AB＝10，BC＝6， 所以AC＝AB＋BC＝16. 又因为M为AC的中点，N为BC的中点， 所以MC＝AM＝8，BN＝NC＝3. 所以BM＝AB－AM＝10－8＝2，MN＝BM＋BN＝2＋3＝5. 返回首页 　　　　 如图，线段AD＝8 cm，线段AC＝BD＝6 cm，E，F分别是线段AB，CD的中点，求EF的长. 解：因为AD＝8 cm，AC＝BD＝6 cm， 所以AB＝CD＝2 cm. 因为E，F分别是线段AB，CD的中点， 所以AE＝AB＝1 cm，DF＝CD＝1 cm. 所以EF＝AD－AE－DF＝8－1－1＝6(cm). 返回首页 1.已知点C在线段AB上，下列各式：①AC＋CB＝AB；②AC＝CB；③AB＝2AC；④BC＝AB.其中能说明点C是线段AB中点的有(　　) A.① B.①② C.②③ D.②③④ 基础过关 D 返回首页 2.已知线段AB＝9，点C在线段AB上，且有AC＝AB，M是AB的中点，则MC等于(　　) A.3 B. C. D. B 返回首页 3.如图，已知C，D是线段AB上的两点，C是AD的中点，CD∶BD＝5∶2.若BD＝2 cm，求AB的长. 能力过关 解：因为BD＝2 cm，CD∶BD＝5∶2， 所以CD＝5 cm. 因为C是AD的中点， 所以AD＝2CD＝10 cm. 所以AB＝AD＋BD＝10＋2＝12(cm). 返回首页 4.如图，有两根木条，一根AB长为80 cm，另一根CD长为130 cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N(圆孔直径忽略不计，M，N抽象成两个点)，将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是(　　) A.25 cm B.105 cm C.25 cm或105 cm D.50 cm或210 cm C 返回首页 5.如图，C，D是线段AB上的点，AD＝CB＝7 cm. (1)线段AC与DB相等吗？请说明理由. 思维过关 解：相等.理由如下： 因为AD＝CB＝7 cm， 所以AC＋CD＝CD＋DB.所以AC＝DB. 返回首页 (2)如果M是CD的中点，那么M是AB的中点吗？请说明理由. 解：M是AB的中点.理由如下： 因为M是CD的中点，所以CM＝DM. 由(1)，知AC＝DB，所以AC＋CM＝DB＋DM，即AM＝MB. 所以M是AB的中点. 返回首页 6.【创新意识】(分类讨论思想)如图，点C在线段AB上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段AB的“巧分点”. 已知AB＝6，点C是线段AB的“巧分点”，求BC的长. 返回首页 解：当点C是线段AB的“巧分点”时，可能有BC＝2AC，AC＝2BC，AB＝2AC＝2BC三种情况. ①如图，BC＝2AC时，AC＝AB＝×6＝2； ②如图，AC＝2BC时，AC＝AB＝×6＝4； ③如图，AB＝2AC＝2BC时，AC＝AB＝×6＝3. 综上所述，BC的长为2或4或3. 返回首页 $$ 第四章　基本平面图形 第4课　角的概念及表示方法 　　　　 角的概念及表示方法 1.(1)角由两条具有__________的______组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，如图①； (2)角也可以看成是由一条______绕着它的______旋转而成的，如图②. 公共端点 射线 射线 端点 返回首页 2.角的表示方法 表示方法 图形 示范 注意事项 ①用三个大写字母表示   ∠ABC 顶点字母必须写在______ ②用一个大写字母表示   ∠B 一个大写字母只能表示独立的角 中间 返回首页 表示方法 图形 示范 注意事项 ③用数字表示   ∠1 拼合角不能用数字表示，只能用三个字母表示 ④用希腊字母 表示   ∠α 常见的希腊字母有α，β 返回首页 　　　　 下列图形中，能用∠AOB，∠1，∠O三种方法表示同一个角的是(　　) A 返回首页 　　　　 如图，下列说法错误的是(　　) A.∠B与∠CBA表示同一个角 B.∠α可以用∠O表示 C.∠A与∠CAO表示同一个角 D.∠1可以用∠ACO表示 B 返回首页 　　　　(教材P125)请将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下表： 第一种表示 ∠ABE __________ ∠ACB __________ 第二种表示 _____ ∠1 _____ ∠3 ∠ABC ∠ACF ∠4 ∠2 返回首页 　　　　 (1)如图①，可以将角表示为______或__________或_____； (2)如图②，共有___个角，分别表示为__________________________. ∠O ∠AOB ∠1 3 ∠ABC，∠ABD，∠CBD 返回首页 　　　 　角的分类 　　角可分为锐角(0°＜α＜90°)、直角(90°)、钝角(90°＜α＜180°)、平角(180°)、周角(360°). 返回首页 　　　　 如图，在平面内有A，B，C三点.请画出直线AC，线段BC，射线AB，数数看，此时图中共有几个钝角？ 解：如图即为所求，图中共有3个钝角. 返回首页 　　　　 如图，一共有几个小于平角的角？它们应如何表示？并指出它们是锐角、直角还是钝角. 解：一共有7个小于平角的角，分别为∠B，∠C，∠BAC，∠ADB，∠ADC，∠BAD，∠DAC，其中∠ADB是钝角，其余都为锐角. 返回首页 1.(2023·深圳坪山区期末)如图，∠1还可以表示为(　　) A.∠A B.∠CAD C.∠BAC D.∠BAD 基础过关 B 返回首页 2.下列图中有关角的表示与描述正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 返回首页 3.如图，下列说法错误的是(　　) A.∠DAO可用∠DAC表示 B.∠COB也可用∠O表示 C.∠2也可用∠OBC表示 D.∠CDB也可用∠1表示 能力过关 B 返回首页 4.如图，写出符合下列条件的角.(图中所有的角均指小于平角的角) (1)能用一个大写字母表示的角； 解：∠B，∠C. (2)以点A为顶点的角. 解：∠CAD，∠BAD，∠BAC. 返回首页 5.【几何直观】如图. (1)以点B为顶点的角有几个？分别表示出来. 思维过关 解：以点B为顶点的角有∠ABC，∠ABD，∠DBC，共3个. (2)请分别指出以射线BA为边的角. 解：以射线BA为边的角有∠ABE，∠ABC. 返回首页 (3)以D为顶点，DC为一边且小于平角的角有几个？分别写出来. 解：以D为顶点，DC为一边且小于平角的角有2个，分别为∠BDC，∠EDC. 返回首页 $$ 第四章　基本平面图形 第5课　角的比较与运算(1) 　　　　 角度换算 1°的 为1分，记作1'，即1°＝____'.1'的 为1秒，记作1″，即1'＝____″. 60 60 返回首页 　　　　 (教材P120)计算： (1)0.15°＝_____″； (2)33'＝______°； (3)30.12°＝____°___'____″. 　　　　 (1)55.31°＝____°____'____″； (2)46°24'＝______°； (3)20°13'12″＝_______°. 540 0.55 30 7 12 55 18 36 46.4 20.22 返回首页 　　　　 (1)52°45'－32°44'＝____°___'； (2)15°37'＋42°11'＝____°____'. 　　　　 (1)90°－29°18'＝____°____'； (2)35°28'×2＝____°____'. 20 1 57 48 60 42 70 56 返回首页 　　　　 方向角问题 (1)八个基本方向角. 返回首页 (2)其他的方向角常常以正南、正北为基准，向东或向西旋转的角度表示方向.如图，OA表示北偏西50°方向；OB表示南偏东30°方向. 返回首页 　　　　如图，甲从点A出发向北偏东60°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西20°方向走到点C，则∠BAC的度数是(　　) A.80° B.100° C.120° D.140° D 返回首页 　　　　如图，OA表示北偏东20°方向的一条射线，OB表示南偏西50°方向的一条射线，则∠AOB的度数是(　　) A.100° B.120° C.140° D.150° D 返回首页 　　　 　 钟面角问题 　　　　 (教材P127)填空： (1)钟表在8：00时，分针与时针的夹角是_____°； (2)9：00时，钟面上的时针与分针的夹角是____°； (3)12：00时，时钟的时针与分针的夹角为___°. 120 90 0 返回首页 　　　　 如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹角为(　　) A.50° B.45° C.42.5° D.40° B 返回首页 (1)钟表表盘角度：①一大格(相邻两个数字之间)是30°；②一小格(一分钟对应的刻度)是6°. (2)钟表指针转动速度：①时针每分钟转动0.5°；②分针每分钟转动6°. 返回首页 1.填空： (1)12°12'＝______°； (2)54.36°＝____°____'____″. 基础过关 12.2 54 21 36 返回首页 2.已知轮船A在码头B的北偏东30°方向上，那么码头B在轮船A的(　　) A.北偏东60°方向上 B.南偏西30°方向上 C.南偏西60°方向上 D.南偏东30°方向上 B 返回首页 3.在下列各时刻中，钟面上分针和时针成直角的是(　　) A.12时15分 B.3时 C.3时30分 D.6时45分 4.若∠1＝40.4°，∠2＝40°4'，则∠1与∠2的关系是(　　) A.∠1＝∠2　　 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.以上都不对 能力过关 B B 返回首页 5.如图，下列说法中错误的是(　　) A.OA的方向是东北方向 B.OB的方向是北偏西55°方向 C.OC的方向是南偏西30°方向 D.OD的方向是南偏东30°方向 思维过关 C 返回首页 6.(1)下午2：40时，时钟上分针与时针所成的夹角是多少度？ 解：下午2：40时，时针在2和3之间，分针指向8， 6×30°－30°×＝180°－20°＝160°， 所以下午2：40时，时钟上分针与时针所成的夹角是160°. 返回首页 (2)钟表在3点25分时，分针与时针所成的夹角是多少度？ 解：3点25分时，时针在3和4之间，分针指向5， 30°×2－30°×＝60°－12.5°＝47.5°， 所以在3点25分时，分针与时针所成的夹角是47.5°. 返回首页 $$ 第四章　基本平面图形 第6课　角的比较与运算(2) 　　　　 角的大小比较 　　　　 如图，用三角板比较∠A与∠B的大小，其中正确的是(　　) A.∠A＞∠B B.∠A＜∠B C.∠A＝∠B D.没有量角器，无法确定 B 返回首页 　　　　 比较图中∠BOC，∠BOD的大小：因为OB是公共边，______在∠BOD的内部，所以∠BOC____∠BOD(填“＞” “＜”或“＝”). OC ＜ 返回首页 　　　　 角的和差计算 　　　　 (教材P132)(2023·深圳高级中学期末)如图，一副三角板中，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，如果∠1＝27°，那么∠2的大小是____度. 57 返回首页 　　　 如图，∠AOB＝∠COD＝120°，若∠BOC＝108°，则∠AOD的度数是_______. 132° 返回首页 　　　　 角的平分线 (1)角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个______的角，这条射线叫作这个角的平分线. (2)如图，因为OC是∠AOB的平分线(或OC平分∠AOB)， 所以∠AOC＝__________＝________(或∠AOB＝___________＝___________). 相等 ∠BOC ∠AOB 2∠AOC 2∠BOC 返回首页 　　　 (教材P123)如图，∠AOD＝70°，∠COD＝20°，OB是∠AOC的平分线，求∠AOB的度数. 解：因为∠AOD＝70°， ∠COD＝20°， 所以∠AOC＝∠AOD－∠COD＝70°－20°＝50°. 因为OB是∠AOC的平分线， 所以∠AOB＝∠AOC＝25°. 返回首页 　　　　 如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOC＝50°，∠BOD＝4∠DOE，求∠DOE的度数. 解：因为OC平分∠AOD，∠AOC＝50°， 所以∠AOD＝2∠AOC＝100°. 因为∠AOD＋∠BOD＝180°， 所以∠BOD＝180°－100°＝80°. 因为∠BOD＝4∠DOE， 所以∠DOE＝∠BOD＝20°. 返回首页 　　　　 尺规作图 　　　　 (教材P124)如图，已知∠COB，请利用尺规作一个与∠COB相等的角(不写作法，保留作图痕迹). 解：如图，∠QGP即为所求. 返回首页 　　　　 如图，已知∠1，∠2.求作：∠AOB，使∠AOB＝∠1＋∠2. 解：如图所示，∠AOB即为所求. 返回首页 1.如图，已知∠AOB∶∠BOC＝2∶3，∠AOC＝75°，那么∠AOB等于(　　) A.20° B.30° C.35° D.45° 基础过关 B 返回首页 2.如图，∠AOC＝90°，OC平分∠DOB，且∠DOC＝25°35'，∠BOA的度数是(　　) A.64°65' B.54°65' C.64°25' D.54°25' C 返回首页 3.(分类讨论思想)(2023·汕头澄海区期末)已知∠AOB＝90°，∠BOC＝32°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数为____________. 4.如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处(两块三角板可以在同一平面内自由转动)，给出以下结论：①∠BAE＝∠DAC；②∠BAE＋∠DAC＝180°；③∠BAE－∠DAC＝45°；④∠BAD≠∠EAC.其中不正确的是________(填序号). 能力过关 61°或29° ①③④ 返回首页 5.【运算能力】如图，O为直线AB上一点，∠DOE＝90°，OD是∠AOC的平分线，若∠AOC＝70°. (1)∠BOD的度数为_______； 思维过关 145° 返回首页 (2)试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由. 解：OE平分∠BOC.理由如下： 因为OD是∠AOC的平分线，∠AOC＝70°， 所以∠AOD＝∠COD＝∠AOC＝×70°＝35°. 因为∠COE＋∠COD＝∠DOE＝90°，所以∠COE＝∠DOE－∠COD＝90°－35°＝55°. 因为∠AOD＋∠DOE＋∠BOE＝180°， 所以∠BOE＝180°－∠AOD－∠DOE＝180°－35°－90°＝55°. 所以∠COE＝∠BOE.所以OE平分∠BOC. 返回首页 $$ 第四章　基本平面图形 第7课　多边形和圆的初步认识 　　　 　多边形及其相关概念 (1)多边形：由若干条________________的线段__________相连组成的封闭平面图形. (2)多边形的对角线：连接不相邻两个顶点的线段. 不在同一直线上 首尾顺次 返回首页 (3)观察图形，填写表格： … 多边形的边数 3 4 5 6 … n 多边形的顶点数         …   过多边形的一个顶点的对角线的条数         …   多边形对角线的条数             (4)正多边形：各边______，各角也______的多边形叫作正多边形. 3 4 5 6 n 0 1 2 3 n－3 0 2 5 9 … 相等 相等 返回首页 　　　　 下列多边形中，对角线有5条的多边形是(　　) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 B 返回首页 　　　　 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则此多边形的边数为(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 B 返回首页 　　　　 圆及其相关概念 如图，平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，______________所形成的图形叫作圆.固定的端点O称为______，线段OA称为______. 另一个端点A 圆心 半径 返回首页 　　圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫作扇形.顶点在圆心的角叫作圆心角. 返回首页 　　　　 (教材P130)如图，把一个圆分成两个扇形，则扇形A的圆心角为_____°. 　　　 某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2∶7∶3，如图所示的扇形图表示上述分布情况，则∠AOB＝______. 144 60° 返回首页 1.从五边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将五边形分成n个三角形.则m，n的值分别为(　　) A.1，2 B.2，3 C.3，4 D.4，4 基础过关 B 返回首页 2.一个圆中有三个扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是(　　) A.30° B.108° C.110° D.120° B 返回首页 3.下列说法不正确的是(　　) A.各边都相等的多边形是正多边形 B.正多边形的各边都相等 C.各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形 D.各内角都相等的多边形不一定是正多边形 A 返回首页 4.将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为(　　) A.五边形 B.四边形或五边形 C.三角形或五边形 D.三角形或四边形或五边形 D 返回首页 5.将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2∶3∶4，求这三个扇形圆心角的度数. 能力过关 解：因为周角的度数是360°， 360°×＝80°，360°×＝120°， 360°×＝160°，所以这三个扇形圆心角的度数分别为80°，120°，160°. 返回首页 6.从多边形一条边上的一点(不是顶点)出发，连接各个顶点得到2 024个三角形，则这个多边形的边数为(　　) A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 C 返回首页 7.【推理意识】(2022·佛山南海区月考)探究归纳题： (1)试验分析： 如图①，经过一个顶点(如点A)可以作___条对角线，它把四边形ABCD分为___个三角形. 思维过关 1 2 返回首页 (2)拓展延伸： 运用(1)的分析方法，可得：图②过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___个三角形；图③过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___个三角形. (3)探索归纳：对于n边形(n＞3)，过一个顶点的所有对角线把这个n边形分为________个三角形.(用含n的式子表示) (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为____个三角形. 3 4 (n－2) 48 返回首页 $$ 第四章　基本平面图形 第8课　第四章复习 　　　 　线段、射线、直线 1.下列说法错误的是(　　) A.线段AB的长度表示A，B两点之间的距离 B.过一点能作无数条直线 C.射线AB和射线BA表示不同射线 D.平角是一条直线 D 返回首页 2.现实生活中有人乱穿马路，却不愿从天桥或斑马线通过，用数学知识解释这一现象，其原因为(　　) A.两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 B.过一点有无数条直线 C.两点确定一条直线 D.两点之间，线段最短 D 返回首页 　　　　线段的相关计算 3.(2023·广州越秀区期末)如图，C，D是线段AB上的点，若AB＝16，AC∶CB＝1∶3，点D为BC的中点，则线段AD的长度是(　　) A.12 B.10 C.9 D.8 B 返回首页 4.下列点A，B，C不可能在同一条直线上的是(　　) A.AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝2 cm B.AB＝8 cm，BC＝5 cm，AC＝13 cm C.AB＝17 cm，BC＝7 cm，AC＝12 cm D.AB＝3 cm，BC＝9 cm，AC＝6 cm C 返回首页 　　　　 角的相关计算 5.(2023·广州花都区期末)如图，∠AOB＝90°，∠1＝54°27'，那么∠BOC的度数是(　　) A.35°33' B.35°73' C.125°73' D.125°33' A 返回首页 6.如图，点A，B，O分别表示手绘地图中厦门鼓浪屿风景区内郑成功纪念馆、郑成功水操台遗址、日光岩三个景点.经测量∠AOB＝66°，郑成功水操台遗址在日光岩的北偏东28°方向，则郑成功纪念馆在日光岩的(　　) A.北偏东38°方向 B.北偏西28°方向 C.北偏西38°方向 D.北偏东52°方向 C 返回首页 　　　 　多边形和圆的初步认识 7.从十边形的一个顶点出发可以画出的对角线的条数是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 8.将一个圆分割成四个扇形，使四个扇形的面积之比为1∶2∶3∶4，则四个扇形圆心角度数最大的是(　　) A.72° B.144° C.108° D.180° A B 返回首页 9.如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＋∠COD＝90°；③∠AOD＋∠BOC＝180°；④若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；⑤∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线.其中正确的有__________(填序号). ①③④⑤ 返回首页 10.如图①中有1个角，图②中有3个角，图③中有6个角……依此类推. (1)图④中角的个数为____； (2)图 中角的个数为. 10 返回首页 11.如图，已知线段AB＝36，在线段AB上有四个点C，D，M，N.其中点N在点D的右侧，且AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，AC＝2AM，DB＝6DN，求线段MN的长. 解：因为AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，AB＝36，所以AC＝6，CD＝12，DB＝18. 因为AC＝2AM，所以AM＝MC＝3. 因为DB＝6DN，所以DN＝3. 所以MN＝MC＋CD＋DN＝3＋12＋3＝18. 返回首页 12.如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE.试求∠COE的度数. 解：因为∠AOB＝90°，OC平分∠AOB， 所以∠COB＝∠AOB＝45°. 因为∠COD＝90°，所以∠BOD＝∠COD－∠COB＝45°. 因为∠BOD＝3∠DOE，所以∠DOE＝15°. 所以∠COE＝∠COD－∠DOE＝90°－15°＝75°. 返回首页 13.【运算能力、几何直观】线段与角的计算. (1)如图①，已知点C为AB上一点，AC＝15 cm，CB＝AC.若D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长. 返回首页 解：因为AC＝15 cm，CB＝AC， 所以CB＝×15＝10(cm). 所以AB＝AC＋CB＝15＋10＝25(cm). 因为D，E分别为AC，AB的中点，所以AE＝BE＝AB＝12.5 cm，AD＝DC＝AC＝7.5 cm. 所以DE＝AE－AD＝12.5－7.5＝5(cm). 返回首页 (2)如图②，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD.若∠AOB＝110°，∠COD＝10°，求∠EOF. 解：因为OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD， 所以∠EOC＝∠AOC，∠DOF＝∠BOD. 所以∠EOC＋∠DOF＝∠AOC＋∠BOD＝(∠AOC＋∠BOD). 又因为∠AOB＝110°，∠COD＝10°，所以∠AOC＋∠BOD＝∠AOB－∠COD＝100°. 所以∠EOC＋∠DOF＝50°.所以∠EOF＝∠EOC＋∠DOF＋∠COD＝50°＋10°＝60°. 返回首页 $$