湖北省崇阳县第一中学2024-2025学年高二上学期数学周测试题（二）

崇阳一中高二上学期数学周测试题（二） (时间：120分钟　满分：150分) 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 若复数，则的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 2. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．180石 B．12500石 C．160石 D．120石 3. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少一个红球 C．至少有一个黑球与都是红球 D．恰好有一个黑球与都是红球 4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5. 在中,若，，，则 A．1 B． C． D．2 6. 一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为（    ） A． B． C． D． 7. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（　　） A． B． C．2 D．8 8. 某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分) 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在上的投影向量为 10. 在四面体中，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若Q为的重心，则 C．若，，则 D．若四面体的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则． 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，恒成立 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，，则是等边三角形 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 12. 已知平面向量，若，则 ． 13. 在长方形中，，，点满足， ． 14. 已知正四棱台上下底面边长分别为2和8，侧面梯形的高为5，则该四棱台的体积为 ． 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15. (13分)已知{}是空间的一个基底，且=，=，=， (1)试判断{}能否作为空间的一个基底，并证明； (2)试以(1)中的基底表示向量． 16. (15分)如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离． 17. (15分)某校为普及航天知识，在高一年级开展了航天知识竞赛.将成绩（单位：分）分成6组，绘制成频率分布直方图，如图所示： (1)估计该校高一年级航天知识竞赛成绩的第80百分位数； (2)为了进一步了解学生对航天知识的掌握情况，在成绩位于和的两组中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取5名学生. （i）求这5名学生中位于内的人数； （ii）若从这5名学生中随机抽取2名学生进行访谈，求这2名学生中至少有1人成绩在内的概率. 18. (17分)在中， (1)求值； (2)求角和的面积. 19. (17分)如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点.若，，. (1)用，，表示； (2)求的长； (3)求与所成角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 崇阳一中高二上学期数学周测试题（二）参考答案 1．A【详解】，则，因此，的共轭复数的虚部为. 2．A【详解】解：由题意，这批米内夹谷约为石， 3．D【详解】从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球的可能结果有3种： 两个都是黑球、两个都是红球、恰好一个黑球和一个红球， 所以事件“至少一个黑球”包括两个都是黑球、恰好一个黑球和一个红球两种可能结果， 事件“至少一个红球”包括两个都是红球、恰好一个黑球和一个红球两种可能结果， 所以，A中的两个事件不互斥也不对立，B中两个事件不互斥也不对立， C中两个事件互斥且对立，D中两个事件互斥但不对立. 4．D【详解】对于A选项，直线有可能在平面内，故A选项错误.对于B选项，两个平面有可能相交，平行于它们的交线，故B选项错误.对于C选项，可能平行，故C选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D选项正确.故选D. 【点睛】本小题主要考查空间线、面位置关系的判断，属于基础题. 5．B【详解】由正弦定理得，. 6．C 【详解】如图，设截面圆的圆心为，由题意可知，圆面的直径为6，则，又，所以球的半径，所以球的体积 7．B【详解】依题意，因为的面积为， 所以 ，解得， 所以，，又因为， 由勾股定理得：． 8．B【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意，，解得， 所以.该圆锥体积为 9．BD【详解】，所以，故A错误； ，故B正确；， ，，，故C错误； 向量在上的投影向量为，故D正确． 10．ABC 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由Q为的重心，得， 则， 于是，即，B正确； 对于C，若，，则 ，C正确； 对于D，由四面体的各棱长都为2，得， ， 则，D错误． 11．ACD【详解】对A，由正弦定理可知，正确； 对B，因为三角形为锐角三角形，所以，则，B错误； 对C，如示意图，点A在射线上，，易得，则，即符合条件的三角形有2个，正确；   对D，由余弦定理可知，，而，即该三角形为正三角形，正确. 12．【详解】，因为，所以，即，. 13．【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立平面直坐标系， 则，所以， 因为，所以， 所以，，所以，所以. 14．112【详解】  如图，取正四棱台的轴截面，，，，分别为棱的中点，由题意可知，，，所以，正四棱台的高，所以该四棱台的体积为． 15．能，＝17－5－30. 【详解】能作为空间的一组基底. （1）假设共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使=x+y成立 又因为{}是空间的一个基底，所以不共面. 因此，此方程组无解，即不存在实数x，y使=x+y， 所以不共面.故{}能作为空间的一个基底. （2）设=p+q+z，则有 因为{}为空间的一个基底，所以，解得， 故＝17－5－30. 16．【详解】（1）在长方体中，令，则为中点，连接， 由为的中点，得，而平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得， 矩形中，，则矩形为正方形，， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （3）在中，过作于，由平面平面，平面平面， 平面，因此平面，显然，， 在中，，所以点到平面的距离为. 17．【详解】（1）由， 可得.由频率分布直方图可知，前4组的频率和为，前5组的频率和为 因此，80%分位数一定位于内.由， 估计该校高一年级航天知识竞赛成绩的80%分位数约为115分. （2）（i）由题意与的频率之比为2:3，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在分数段内抽取3人. （ii）在分数段内抽取2人，分别记为，，在分数段内抽取3人，分别记为.从这5名学生中任取2人的样本空间， 设“从这5名学生中任取2人，至少有1人成绩在内”为事件， 而事件包含7个可能结果，即， 所以，故抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为. 18．【详解】（1）在中，由正弦定理得因为，所以， 由余弦定理得，代入， 解得或（舍） （2）由余弦定理推论得， 因为，所以角；因此的面积为. 19．【详解】（1）由题意得，因为，所以， ，， 所以 （2），所以， 所以， 所以与所成角的余弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$