精品解析：上海市格致中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

格致中学2024学年第一学期高三年级数学开学考 2024.09 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知全集，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】全集，则， 故. 故答案为： 2. 已知若函数是定义在上的严格增函数，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，结合指数函数及一次函数性质列不等式求范围. 【详解】由题设，. 故答案为： 3. 已知关于的二次不等式的解集为，则不等式的解集为_____________.（用集合或区间表示） 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可知的两根分别为从而可得，代入求解即可. 【详解】解：由题意可知的两根分别为， 由韦达定理可得， 所以不等式即为， 即，解得或. 所以原不等式的解集为：或. 故答案为：或 4. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数有求参数，再由奇函数性质求函数值即可. 【详解】由题意，，则时有， 所以. 故答案为： 5. 已知向量，，若，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标计算公式计算即得. 【详解】由，可得，， 因，则，解得，. 故答案为：. 6. 已知在的二项展开式中，各项系数和为，则展开式中，含项的系数为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由各项系数和求参数，再利用二项式展开式通项确定所求项系数. 【详解】由题意，， 故二项式为，其通项公式为， 所以时，有，故含项的系数为. 故答案为： 7. 已知抛物线的准线为，若以此抛物线上一点为圆心的圆既与相切，又与轴相切，则所得圆的半径为_____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题设及抛物线定义得到轴，设结合所得圆的半径，即可求结果. 【详解】由题意，到准线的距离与到轴的距离相等， 而抛物线上一点到准线距离等于其到焦点距离，且焦点， 所以轴，令，则， 所以所得圆的半径. 故答案为：2 8. 某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别为30000只、40000只、60000只和70000只，又知这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97和0.98，则从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】设“任取一件产品，结果是不合格品”，“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，，，，，根据全概率公式可得求解即可. 【详解】由题意可知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05、0.04、0.03和0.02， 设“任取一件产品，结果是不合格品”， “任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，，，，， 根据已知题意得，， ， ， ， ，，，， 根据全概率公式可得 . 故答案为：. 9. 已知为虚数，其实部为1，且（其中为虚数单位），则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据复数的运算法则和复数的相等即可求解. 【详解】设， 则 ， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 10. 若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是______. 【答案】180 【解析】 【分析】根据特殊元素优先法，按照0是否被取到，先分类再分步即可解决. 【详解】根据题意，可将四位数分成两类： 第一类，数字0被取到，则可从2，4中任选一个，再从1，3，5中任选两个， 接着从除0外的另外三个数中取一个排在首位，剩下的在三个数位上全排， 此时共有个四位数； 第二类，数字0没被取到，故2，4全被取到，只需从1，3，5中任选两个， 再与2，4共4个数字在四个数位上全排，此时共有个四位数. 根据分类加法计数原理，不同的四位数的个数是. 故答案为：180. 11. 如图，已知点在点的正北方向，点、点分别在点的正西、正东方向，且，，，若为锐角，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件并作关于的对称点，且在线段上，应用正弦定理求得，再应用余弦定理求得，最后利用等面积法列方程求. 【详解】由且为三角形内角，又且为锐角， 所以，如下图作关于的对称点，且在线段上， 连接，则，即，故， 所以， 在中，，即， 在中，，即， 所以， 综上，， ， ， 两式相减，得，即， 由，则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键是作等腰三角形，利用正余弦定理求相关线段的长度，并结合等面积法求高即可. 12. 已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则使得不等式成立的的最小值为______. 【答案】13 【解析】 【分析】分别谈论为奇数和偶数时，的解，得的最小值. 【详解】由. 当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以当为奇数时，， 由. 当为偶数时，， 由. 又为偶数，所以 综上可知：的最小值为13. 故答案为：13 二、选择题：（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）. 13. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，对此描述正确的是（ ） A. 气候温度高，海水表层温度就高 B. 气候温度高，海水表层温度就低 C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关系数的意义判断各项的正误即可. 【详解】由于相关系数表示一个变量变化对另一个变量变化趋势的影响， 所以随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势. 故选：D 14. 若在是减函数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据辅助角公式化简，再结合余弦函数单调性性质列不等式，解得结果. 【详解】. 当x∈时，∈， 所以结合题意可知，，即，故所求a的最大值是· 故选C. 【点睛】本题考查辅助角公式、余弦函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题. 15. 关于空间向量，以下说法错误的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是锐角 C. 已知向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量夹角的范围、空间基底的定义和空间向量基本定理的知识依次判断即可. 【详解】选项A：根据共线向量的概念可知，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A说法正确； 选项B：若，则与的夹角是锐角或与同向，即夹角为0，B说法错误； 选项C：假设是共面向量，则存在使得， 因为向量是不共面的向量，所以无解，则也是不共面的向量，C说法正确； 选项D：因为，且，所以四点共面，D说法正确； 故选：B 16. 设，有下列命题：①当时，函数有三个零点； ②当时，是函数的极大值点； ③存在实数，，使得函数在区间上存在最大值1； ④存在实数，使得点为曲线的对称中心.其中是真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数和函数单调性和极值点的关系即可判断命题①②;利用即可找出实数，，使得函数在区间上存在最大值1，从而判断命题③；利用即可判断命题④. 【详解】， 对于①：当时，在和上，，函数单调递增， 在上，，函数单调递减，且，， 若，则，此时函数只有一个零点，故①错误； 对于②：当时，在和上，，函数单调递增， 在上，，函数单调递减，故是函数的极小值点，故②错误； 对于③：当时，由①知，函数在区间上单调递减，故， 故存在实数，，使得函数在区间上存在最大值1，故③正确； 对于④：当时，， 故点为曲线的对称中心，故④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若的对称中心为，则；若的对称轴为，则； 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）. 17. 如图，在三棱锥中，，，点是的中点. （1）求绕旋转一周形成的几何体的体积； （2）点在棱上，且，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径，以为高的圆锥，求出体积即可； （2）建立空间直角坐标系，求出直线与平面所成角的正弦值，再把角用反三角的形式表示出来即可. 【小问1详解】 如图：因为绕旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥， 由，， 所以，所以，所以， 又因为，点是的中点， 所以，且， 所以， 所以，且， 所以平面，所以绕旋转一周形成的几何体 为以为底面圆半径，以为高的圆锥， 所以. 【小问2详解】 如图：由上可知：平面，又， ， 所以，所以，为等腰直角三角形， 又由点是的中点，所以， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角 坐标系， 由， ，，，， 所以，又有， 设平面的一个法向量为， 则即 ，令，则， 所以，设直线与平面所成角为， 所以， 所以. 18. 已知（），且满足，. （1）求函数的解析式； （2）函数满足条件，若存在实数，使得、、成等差数列，求正实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接将函数代入，计算即可； （2）先求出的方程，然后利用等差中项建立等式，化简，求出定义域，然后利用函数在定义域上有解即可. 【小问1详解】 由题可知， ， 解得，所以； 【小问2详解】 由题可知，得， 所以， 若存在实数使、、为等差数列，可得， 即若存在实数，， 显然， 因为，所以， 化简得 ， 故该方程在有解即可， 当时，得，不符合题意； 当时，得， 可得， 解得， 所以只需或即可， 得无解；，解得 又因为，所以得. 19. 某地生产队在面积相等的50000块稻田上种植一种新型水稻，从中抽取100块得到各块稻田的亩产量（单位：kg）与优质频数并部分整理成下表（最终亩产量均在900kg到1200kg之间） 亩产量 优质频数 5 10 14 18 6 普通频数 1 2 4 6 4 （1）这50000块稻田中，亩产量在的频数约为多少？ （2）估计这片稻田的平均亩产量（单位kg）； （3）已知在100块抽取稻田中亩产量在的优质稻田有25块，是否有0.95的把握认为产品是否优质与亩产量不少于1050kg且少于1200kg有关？（参考公式：，参考数据：） 【答案】（1）块； （2）； （3）没有. 【解析】 【分析】（1）根据表格各区间的频数，结合样本容量，进而确定50000块稻田中的频数； （2）由平均数求法求这片稻田的平均亩产量； （3）根据表格列出列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论. 【小问1详解】 由表格、、、、的亩产区间， 对应频数分别为，频数共为，故样本中亩产量在的频数约为. 所以，50000块稻田中亩产量在的频数约为块. 【小问2详解】 由（1），抽取100块稻田的平均亩产量为. 所以，这片稻田的平均亩产量约为. 【小问3详解】 由题意，可得如下列联表， 亩产 亩产 优质 29 49 78 普通 7 15 22 36 64 100 故， 所以，没有0.95的把握认为产品是否优质与亩产量不少于1050kg且少于1200kg有关. 20. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. （1）求椭圆的方程； （2）过点及点的直线与椭圆交于另一点，为线段的中点，直线与直线交于点，求直线的方程； （3）设过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，直线与直线交于点，直线与椭圆交于另一点，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设，易得，结合点在椭圆上及参数关系求椭圆方程； （2）由题意求点B、N的坐标，进而确定直线，最后求Q坐标，即可得所求直线； （3）设，设直线并联立椭圆，应用韦达定理及同（2）过程求出Q纵坐标，作差法判断，最后由，结合基本不等式及点在椭圆上求最值. 【小问1详解】 由，且轴，则，即， 又，（负值舍） 所以. 【小问2详解】 由题设，直线， 联立，得， 整理得，（舍），故， 而，所以，直线， 将代入，可得，即. 所以，直线. 【小问3详解】 由题设，直线斜率必存在，令， 联立，则， 整理得， 所以，即， 设，则， 显然斜率存在，令， 将代入，可得， 所以 ， 所以，故， 故， 当且仅当时等号成立. 所以面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，设直线并联立椭圆求出相关点坐标，进而确定Q纵坐标，利用作差法及韦达定理判断是关键. 21. 已知. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的极值； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）0 （3） 【解析】 【分析】(1)将代入，利用导数研究函数在处的导数，得到切线的斜率，然后根据点斜式可得切线方程； (2)将代入，对求导，根据导数符号确定函数单调区间，即可求得极值； (3) 当时，恒成立,则对求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数在上不等式成立的必要条件，再验证充分性成立，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 将代入，对求导，可得， 当，，， 所以根据点斜式可列出切线方程， 化简可得， 所以曲线在点处的切线方程. 【小问2详解】 将代入，对求导， 可得， 因为，所以，即的定义域为， 令，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减， 当，，单调递增， 则在，无极大值，只有极小值为， 所以当时，函数的极小值为0. 【小问3详解】 根据题意知， 则， 设， 则， 因为当时，恒成立，且， 所以，得， 故是原不等式成立的必要条件, 在证明必要条件也是充分条件， 当，时，， 所以在上单调递增，且， 所以在上单调递增，且， 综上可得的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学2024学年第一学期高三年级数学开学考 2024.09 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知全集，，则_____________. 2. 已知若函数是定义在上的严格增函数，则实数的取值范围是_____________. 3. 已知关于的二次不等式的解集为，则不等式的解集为_____________.（用集合或区间表示） 4. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_____________. 5. 已知向量，，若，则_____________. 6. 已知在的二项展开式中，各项系数和为，则展开式中，含项的系数为_____________. 7. 已知抛物线的准线为，若以此抛物线上一点为圆心的圆既与相切，又与轴相切，则所得圆的半径为_____________. 8. 某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别为30000只、40000只、60000只和70000只，又知这四条流水线的产品合格率依次为0.95、0.96、0.97和0.98，则从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是_____________. 9. 已知为虚数，其实部为1，且（其中为虚数单位），则实数的值为______. 10. 若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是______. 11. 如图，已知点在点的正北方向，点、点分别在点的正西、正东方向，且，，，若为锐角，则_____________. 12. 已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则使得不等式成立的的最小值为______. 二、选择题：（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）. 13. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，对此描述正确的是（ ） A. 气候温度高，海水表层温度就高 B. 气候温度高，海水表层温度就低 C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 14. 若在是减函数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 15. 关于空间向量，以下说法错误的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是锐角 C. 已知向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 16. 设，有下列命题：①当时，函数有三个零点； ②当时，是函数的极大值点； ③存在实数，，使得函数在区间上存在最大值1； ④存在实数，使得点为曲线的对称中心.其中是真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）. 17. 如图，在三棱锥中，，，点是的中点. （1）求绕旋转一周形成的几何体的体积； （2）点在棱上，且，求直线与平面所成角的大小. 18. 已知（），且满足，. （1）求函数的解析式； （2）函数满足条件，若存在实数，使得、、成等差数列，求正实数的取值范围. 19. 某地生产队在面积相等的50000块稻田上种植一种新型水稻，从中抽取100块得到各块稻田的亩产量（单位：kg）与优质频数并部分整理成下表（最终亩产量均在900kg到1200kg之间） 亩产量 优质频数 5 10 14 18 6 普通频数 1 2 4 6 4 （1）这50000块稻田中，亩产量在的频数约为多少？ （2）估计这片稻田的平均亩产量（单位kg）； （3）已知在100块抽取稻田中亩产量在的优质稻田有25块，是否有0.95的把握认为产品是否优质与亩产量不少于1050kg且少于1200kg有关？（参考公式：，参考数据：） 20. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. （1）求椭圆的方程； （2）过点及点的直线与椭圆交于另一点，为线段的中点，直线与直线交于点，求直线的方程； （3）设过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，直线与直线交于点，直线与椭圆交于另一点，求面积的最大值. 21. 已知. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的极值； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $