第2章 整式及其加减知识归纳与题型突破（22类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记 巧练（沪科版2024）

第二章 整式及其加减知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一 用字母表示数 1、 用字母表示数 用字母或含有字母的式子表示数或数量关系，在用字母表示数中，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来. 2、 用字母表示数具有如下特点 （1） 任意性：字母可以表示任意数； （2） 限制性：字母的取值必须使式子有意义且符合实际情况； （3） 确定性：字母的取值一旦确定，式子的值也随之确定； （4） 一般性：用字母表示数能更准确地反映事物的规律，更具有一般性； 知识点二 代数式 1、代数式的定义 用加减乘除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单个的数或字母也是代数式. 2、 代数式的书写规范 （1） 在代数式中如果出现乘号，通常将乘号写作“·”或省略不写，并且数字写在字母前面. （2） 数字与数字相乘时，只能用“x”，不能省略或写成“·” （3） 数字因数为带分数时，要化为假分数 （4） 除法运算一般写成（）的形式 （5） 若式子后面有单位且式子是和差的形式，应把式子用括号括起来 知识点三 列代数式 1、 列代数式 把问题中与数量有关事务语句用含数字、字母和运算符号的式子表示出来. 2、 列代数式 （1） 抓住关键性词语，如“大”“小”“多”“少”“和”“差”“积”“商”“倍”等，弄清题目中的量及各个量之间的关系. （2） 弄清运算顺序，通常按照“先读先写”的顺序列式 （3） 对于层次较多的题目，可以采取“浓缩原题，分段处理，最后组装”的方式来处理 （4） 正确运用括号，先用小括号，侯勇中括号，再用大括号 知识点四 单项式 1、 单项式 由数和字母的积组成的代数式叫作单项式，单个的字母或数字也是单项式 2、 单项式的系数与次数 （1） 系数：单项式中的数字因数是单项式的系数 （2） 次数：单项式中所有字母的指数之和是单项式的次数 特别提醒： （1） 单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关，而单项式的次数只与字母的指数有关； （2） 确定一个单项式的次数时，要注意： ① 没有写指数的字母，实际上其指数是“1”，计算时不要将其遗漏； ② 不要把系数的指数当做字母的指数一同计算. 知识点五 多项式 1、多项式 几个单项式的和叫作多项式. 一个式子是多项式需具备两个条件： （1）式子中含有运算符号“+”“—” （2）分母中不含有字母 2、多项式的项 在多项式里，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，这个多项式就叫作几项式 3、多项式的次数 一个多项式里，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数 知识点六 整式 1、 定义 单项式与多项式统称为整式 2、 代数式、整式、单项式、多项式的关系 代数式包含整式，整式又分为单项式和多项式 知识点七 代数式的值 1、 代数式的值 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中字母的运算关系计算得出的结果叫作代数式的值. 2、 求代数式值的步骤 （1） 代入：将指定的数值代替代数式中的字母 （2） 计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果 知识点八 同类项 1、 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项.常数项与常数项是同类项. 2、 判断同类项的方法 （1）同类项必须同时满足“两个相同”: ①所含字母相同; ②相同字母的指数也分别相同，两者缺一不可. （2）是不是同类项有“两个无关”: ①与系数无关; ②与字母的排列顺序无关.如3mn与-nm是同类项. （3）同类项可以有两项，也可以有三项、四项或更多项，但至少有两项. 3、合并同类项 （1）合并同类项的法则 同类项的系数相加，所得结果作为系数,字母和字母的指数不变. 4、合并同类项的一般步骤 （1）找出同类项,当项数较多时,通常在同类项的下面作相同的标记(连同各项的符号一同标记); （2）运用加法交换律、加法结合律将多项式中的同类项结合; （3）利用合并同类项法则合并同类项; （4）写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式). 知识点九 去括号 1、去括号法则 （1）如果括号前面是“+”号，去括号时把括号连同它前面的“+”号去掉，括号内的各项都不改变符号. （2）如果括号前面是“一”号,去括号时把括号连同它前面的“一”号去掉，括号内的各项都改变符号. 2、去多层括号的方法 先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序，一般由内向外，即先去小括号,再去中括号，最后去大括号.有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号. 知识点十 整式加减 1、整式加减的运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2、整式的化简求值的步骤 一化：利用整式加减的运算法则将整式化简. 二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 三计算：依据有理数的运算法则进行计算. 3、降（升）幂排序 我们常常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序来排列.若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的降幂排列;若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的升幂排列. 03 题型归纳 题型一　用字母表示数 例1. （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）如图，长和宽为、的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．140 B．70 C．35 D．24 【答案】B 【分析】根据长方形周长公式，长方形面积公式，分别求出、的值，代入即可求解，本题考查了用字母表示数，求代数式的值，解题的关键是：根据已知条件求出、的值． 【详解】解：长方形的周长为14， ，即：， 长方形的面积为10， ， ， 故选：． 巩固训练 1．（2023八年级上·全国·专题练习）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】A地到B地的路程：， 提速后的速度：， 提速后的时间：， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·北京朝阳·期中）一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利 元（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】根据题意列式即可． 【详解】根据题意得，一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利元． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是熟练掌握总利润=单件利润×件数． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是 【答案】 / 【分析】一个两位数，十位上数字是5，表示5个十，即50，个位上的数字是a，所以此数为． 【详解】解：一个两位数，十位上数字是5，个位上的数字是a，此数为． 故答案为：． 【点睛】此题考查用字母表示数，解答关键是明确十位上的数字表示几个十． 题型二　用代数式表示式 例2．（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）工地上有吨水泥，如果每天用去吨，用了天后，剩下的吨数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用字母表示数，根据“每天用去的吨数用的天数用去的吨数”，再根据“总数量用去的吨数剩下的吨数”用字母表示出剩下水泥的吨数代入数值，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：剩下的吨数为（吨） 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏泰州·开学考试）c是a的，c是b的，那么a与b的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比的代数式表示式，根据题意将a与b转化为c的倍数，相比即可解题． 【详解】解：是a的，c是b的， ，， ， 故选：C． 2．（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）a是一个两位数，b是一个三位数，如果把b放在a的左边组成一个五位数，这个五位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，由题意得，把新的五位数中b扩大100倍，即可求解． 【详解】解：由题意得，这个五位数是， 故选：C． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，矩形中挖去一个圆形，则阴影部分面积的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，根据阴影部分的面积=长方形的面积-圆的面积列出代数式，化简即可． 【详解】解：阴影部分面积为， 故选B． 题型三　用代数式表示数、图形规律 例3. （23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（　　） A．2024 B．2022 C．6069 D．6070 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律，由前4个图形总结得到第n的图形的规律，即可得到第2024个图形含有的正方形数量． 【详解】解：第1个图中有正方形1个， 第2个图中有正方形个， 第3个图中有正方形个， 第4个图中有正方形个， 所以第n个图中有正方形个． 当时，图中有个正方形． 故选：D． 巩固训练 1．（2024·四川德阳·模拟预测）下面是按一定规律排列的一列数； 第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第n个数：． 那么，在第9个数，第10个数，第11个数，第12个数中，最小的数是（　　） A．第9个数 B．第10个数 C．第11个数 D．第12个数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算、代数式表示和规律探求，属于常考题型，由前3个数的计算结果找到规律是解本题的关键． 根据题意分别计算第1个数、第2个数、第3个数后找出规律，然后进行比较即得答案． 【详解】解：第1个数：， 第2个数：， 第3个数：， ， 第n个数：， 所以第9个数，第10个数、第11个数、第12个数分别为，，，，其中最小的数为第12个数， 故选：D． 2．（2024·江苏·模拟预测）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（　　） A．15 B．17 C．19 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出是解题的关键．由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形个，第③个图案有三角形个，第④个图案有三角形，…第n个图案有三角形个（时），由此得出规律解决问题． 【详解】解：∵第①个图案有三角形1个， 第②图案有三角形个， 第③个图案有三角形个， … ∴第n个图案有三角形个（时）， 则第⑦个图中三角形的个数是个， 故选：D． 3．（23-24七年级上·四川达州·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 …这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16 …这样的数称为“正方形数”． 从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形中的数字规律，看懂题意，理解“正方形数”、 “三角形数”，根据题中图形及数字等式确定规律，逐项验证即可得到答案，数形结合，找准规律是解决问题的关键． 【详解】 解：规律是， A、不是“正方形数”， 选项不符合规律，不符合题意； B、是“正方形数”，，选项不符合规律，不符合题意； C、是“正方形数”，，选项符合规律，符合题意； D、是“正方形数”，，选项不符合规律，不符合题意； 故选：C． 题型四　代数式的定义 例4. ．（23-24六年级上·山东淄博·期末）以下列各式中：①，②，③，④，⑤a，⑥0．是代数式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的识别，注意：代数式中不含等号，也不含不等号，单独的一个数或字母也是代数式． 根据代数式的概念，代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子，单个的数和单个的字母也是代数式，逐一判断即可． 【详解】解：①是数字，是代数式；②，是等式，不是代数式；③，不是代数式；④是代数式；⑤a是代数式；⑥是数字，是代数式； 故是代数式的是①④⑤⑥， 故选：D． 巩固训练 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查的是代数式的判断．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．根据代数式的定义逐一判断即可． 【详解】解：①0是代数式； ②是代数式； ③不是代数式； ④是代数式； ⑤是代数式； ⑥是代数式； ⑦不是代数式； ⑧不是代数式． 代数式有5个， 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）在，，，，，，，中，代数式有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】此题主要考查了代数式的定义，代数式是有数和字母组成，表示加、减、乘、除、乘方、开方等运算的式子，或含有字母的数学表达式，注意不能含有、、、、、、等符号． 【详解】解：，，含有和，所以不是代数式， 代数式的有，，，，，，共6个． 故选：A． 3．（23-24七年级上·湖南永州·期中）在下列式子中，（1），（2），（3），（4）0，（5），（6），（7），（8），其中代数式的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查的是代数式的判断．根据代数式的定义：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式，逐一判断即可． 【详解】解：是代数式； 中含有等号，不是代数式； 中含有不等号，不是代数式； 0是代数式； 中含有等号，不是代数式； 是代数式； 是代数式； 是代数式． 综上：共有5个代数式． 故选：C． 题型五　代数式的书写规范 例5. （22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列各式中，符合整式书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代数式的书写要求分别判断得出答案．此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； B、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； C、不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； D、符合代数式的书写要求，故此选项符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列单项式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“ ”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【详解】、应书写成，此选项书写形式不规范，不符合题意； 、，省略不写，此选项书写形式不规范，不符合题意； 、此选项书写形式规范，符合题意； 、应书写成，此选项书写形式不规范，不符合题意； 故选：． 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式是解题的关键． 【详解】解；根据代数式的书写规则可知，只有书写规范，符合题意， 故选：B． 3．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）下列各式符合整式书写规范的是（    ） A． B． C．个 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A、正确书写形式为，故本选项错误； B、书写形式正确，故本选项正确； C、正确书写形式为个，故本选项错误； D、正确书写形式为，故本选项错误． 故选：B． 题型六　代数式表示的意义 例6．（2024·河南信阳·一模）某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（  ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价10%，再打八折 C．先提价30%，再降价35% D．先打七五折，再提价10% 【答案】D 【分析】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可． 【详解】解：设原件为x元， 选项A：∵先打九五折，再打九五折， ∴调价后的价格为元， 选项B：∵先提价10%，再打八折， ∴调价后的价格为元， 选项C：∵先提价30%，再降价35%， ∴调价后的价格为元， 选项D：∵先打七五折，再提价10%， ∴调价后的价格为元， ∵ 故选：D 巩固训练 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，弄清它们所表示的数量之间的运算关系即可得出答案． 【详解】解：代数式的意义是m除以n与1的差所得的商， 故选D． 2．（23-24七年级上·海南海口·期末）代数式用语言叙述正确的是（    ） A．a与的平方差 B．a的平方与4的差乘以b的平方 C．a与的差的平方 D．a的平方与b的平方的4倍的差 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握代数式的运算顺序是解题的关键．根据代数式的运算顺序用语言叙述即可． 【详解】解：代数式用语言叙述为：a的平方与b的平方的4倍的差， 故选：D． 3．（23-24七年级上·河北邢台·期末）商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据代数式的方法，熟练掌握代数式的计算是解题的关键． 【详解】解：∵第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件， ∴第二天售出的该商品数量是件， ∴两天一共售出的该商品数量为件， 故选：C． 题型七　已知字母或式子的值求代数式的值 例7. （23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）根据下列条件求值： (1)若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为6，求的值． (2)已知，，，，求的值． 【答案】(1)7或 (2) 【分析】（1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出，，以及的值，代入原式计算即可得到结果． （2）先由，得，，又因为，，则，再代入进行计算，即可作答． 此题考查了代数式求值，相反数，绝对值，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【详解】（1） 解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为6 ∴，，或， 当时，原式； 当时，原式． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ 巩固训练 1．（23-24七年级下·福建福州·期末）若有理数满足，，且，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查了绝对值的性质，分类讨论思想，代数式的化简求值，首先依据绝对值的性质求得、，然后结合条件，分类讨论分析得出数值代入所求代数式即可，熟练掌握绝对值的性质及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，，则； ，，则； ∴的值为． 2．（22-23八年级上·山东威海·期中）已知：， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2020 【分析】本题考查了代数式求值． （1）利用整体代入计算即可求解； （2）由已知得到，，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴ ． 3．（22-23七年级上·广东湛江·期中）已知a、b互为相反数，且，c、d互为倒数，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了求代数式的值，相反数和倒数的定义，解题的关键是掌握运算法则，正确求出，，． 由相反数和倒数的定义，得到，，，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵a、b互为相反数，且，c、d互为倒数， ∴，，， ∴ ． 题型八　单项式及相关概念 例8. （23-24七年级上·安徽·单元测试）下列式子、、、、、、中，单项式的个数是（       ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式的定义，即数字与字母的乘积、字母与字母的乘积和单个的数字、字母都是单项式，根据单项式的定义判断即可． 【详解】解：根据单项式的定义可知，、和为单项式，共3个， 故选：B． 巩固训练 1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）下列说法中正确的是（  ） A．0不是单项式 B．是单项式 C．的系数是0 D．是整式 【答案】D 【分析】本题考查了整式的知识，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式．单项式和多项式统称为整式． 【详解】解：A．0是单项式，故原说法不正确； B．的分母含字母，不是单项式，故原说法不正确； C．的系数是1 ，故原说法不正确； D．是整式，正确． 故选：D． 2．（23-24七年级上·吉林·期中）单项式的系数和次数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数与次数，解题的关键是掌握：单项式就是数与字母的乘积，数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，据此即可求解． 【详解】解：单项式的系数是，次数是：． 故选：A． 3．（2024·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的变化类、单项式，根据题目中的单项式，可以发现系数是从1开始连续的正整数，指数是从2开始的连续的正整数，从而可以写出第n个单项式． 【详解】解： ∴第n个单项式是， 故选：C． 题型九　多项式及相关概念 例9. （22-23七年级上·广东深圳·期中）下列说法错误的是 （    ） A． 是二次三项式 B． 不是单项式 C． 的系数是 D． 的次数是 6 【答案】D 【分析】此题主要考查了单项式、多项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．正确掌握相关定义是解题关键．直接利用多项式、单项式的相关定义判断得出答案． 【详解】解：A．是二次三项式，正确，故此选项不合题意； B．是多项式，不是单项式，正确，故此选项不符合题意； C．的系数是，正确，故此选项不合题意； D．，次数是4，不是6，错误，故此选项符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（22-23七年级上·河南南阳·期末）下列语句中错误的是（    ） A．数字0也是单项式 B．单项式与的乘积可以表示为 C．是二次三项式 D．把多项式按x的降幂排列是 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式、多项式，熟练掌握单项式、多项式的定义是解决本题的关键．直接根据单项式和多项式的概念解答即可． 【详解】解：A．0是单项式，故A不符合题意； B．单项式与的乘积不可以表示为，应为故B符合题意； C．是二次三项式，故C不符合题意； D．把多项式按x的降幂排列是，故D不符合题意． 故选∶B． 2．（22-23七年级上·河南商丘·期末）下列多项式中，次数为4的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数的定义，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的次数的定义求解即可． 【详解】解：A、最高次项为，次数为，不符合题意； B、最高次项为，次数为，不符合题意； C、最高次项为和，次数为4，符合题意； D、最高次项为，次数为，不符合题意； 故选：C． 3．（22-23七年级上·山东济宁·期中）下列说法中，正确的有（    ） ①的系数是15；②的次数是2；③多项式的次数是3；④和都是整式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数，整式的定义，熟练相关定义是解题的关键； 根据单项式的系数和次数、多项式的次数，整式的定义逐项判断即可． 【详解】解：①、单项式的系数是，故①错误； ②的次数是3，故②错误； ③多项式的次数是3，故③正确； ④和分别是多项式和单项式，都是整式，故④正确； 故正确的有：③④，共2个， 故选：B． 题型十　多项式系数、指数中字母求值 例10. （22-23七年级上·吉林松原·期中）若多项式是关于x的三次三项式，其中二次项系数为． (1)直接写出a与b之间的关系； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得即可求解； （2）根据题意可得，求出m，n的值即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式是关于x的三次三项式，其中二次项系数为， ∴， ∴a与b之间的关系是； （2）解：由（1）可得：， 解得， ∴＝． 巩固训练 1．（20-21七年级下·黑龙江大庆·期中）若多项式是关于x、y的三次三项式；单项式与单项式的次数相同，求代数式的值． 【答案】100 【分析】根据单项式和多项式的次数的定义可知2a+2=1，b-1=2，求出a和b的值，将代数式化简后代入a和b的值计算即可． 【详解】∵是关于x、y的三次三项式， ∴2a+2=1，解得：a=， ∵与的次数相同， ∴b-1=2，解得：b=3， =100． 2．（23-24七年级上·重庆北碚·期中）已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求代数式的值． 【答案】(1)m的值是1，n的值； (2)8 【分析】本题考查了多项式以及单项式的次数，代数式求值，正确求出、的值是关键． （1）根据多项式的次数和单项式的次数概念求解，即可得到答案； （2）将（1）所得、的值代入计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， 的值是1，n的值； （2）解：由（1）可知，，， ． 3．（23-24七年级上·湖北恩施·期中）已知多项式是六次多项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查多项式与单项式，根据题意求出m与n的值，然后代入所求式子即可求出答案．解题的关键是熟练运用多项式的次数与单项式的次数的概念．单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：由题意可知：，， ∴，， ∴． 题型十一　将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 例11. （23-24七年级下·北京房山·期中）把多项式按字母x降幂排列为 【答案】 【分析】本题考查了多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式按字母x降幂排列为， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）将多项式按字母升幂排序： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式．把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．据此先分清多项式的各项，然后各项按字母m的指数从小到大进行排列． 【详解】将多项式按字母升幂排序为：． 故答案为： 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）若多项式是按字母x降幂排列的，则m的值是 ． 【答案】4或3或2 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据多项式是按字母x降幂排列求解即可． 【详解】解：∵多项式是按字母x降幂排列， ∴或5或4， ∴或3或2． 故答案为：4或3或2． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）将多项式按字母y的降幂排列后，从左边数第三项为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式的排列，正确降幂排列是解题的关键． 【详解】多项式按字母y的降幂排列为， 故从左边数第三项为， 故答案为：． 题型十二　整式 例12. （2024七年级上·上海·专题练习）下列式子：，其中单项式有 ；整式有 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式、单项式的概念．数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．有限个单项式求和得到的代数式叫做整式．根据整式、单项式的概念，紧扣概念作出判断． 【详解】解：单项式有：， 整式有：， 故答案为：；． 巩固训练 1．（2024七年级上·上海·专题练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． （1）单项式： ； （2）整式： ； （3）二项式： ． 【答案】 ③④⑨ ①②③④⑤⑨ ②⑤ 【分析】本题考查了单项式，整式，二项式的定义．根据单项式，整式，整式，二项式的定义即可求解． 【详解】解：（1）单项式有：③，④0，⑨； （2）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨； （3）二项式有：②，⑤； 故答案为：（1）③④⑨；（2）①②③④⑤⑨；（3）②⑤ 2．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）在，，，，，，单项式有 ．多项式有 ，整式有 ． 【答案】 ， ， ，，， 【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称．根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：，是单项式； ，是多项式； ，，，是整式； 故答案为：，；，；，，，． 3．（23-24七年级上·吉林·期中）下列各式：；；；；；，其中是整式的有 （只填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了整式的定义，单项式与多项式统称为整式；直接根据整式的定义即可判断求解，掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：；；；；；，其中是整式的有；；； 故答案为：． 题型十三　规律探索 例13. （23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第9行第3个数为 ． 【答案】 【分析】根据图形的变化规律可得，第行有个数，且两端都是，每个数是它下一行左右相邻两数的和，根据此规律写出第7，8，9行从左往右第一个数，第8，9行从左往右第二个数，第9行从左往右第三个数即可．本题主要考查图形的变化规律，根据图形归纳出第行有个数，且两端都是，每个数是它下一行左右相邻两数的和是解题的关键． 【详解】解：由图形的变化可知， 第行有个数，且两端都是，每个数是它下一行左右相邻两数的和， 第7，8，9行从左往右第一个数分别是，，； 第8，9行从左往右第二个数分别是，； 第9行第3个数从左往右第三个数为， 故答案为： 巩固训练 1．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）按如图的方式摆放桌子和椅子，则10张桌子可以坐 人． 【答案】42 【分析】本题考查图案的变化规律，由所给桌子的排列方式可知，每增加一张桌子，可坐的人数就增加4，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 1张桌子可坐的人数为：； 2张桌子可坐的人数为：； 1张桌子可坐的人数为：； … 所以10张桌子可坐的人数为：． 故答案为：42． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）将下列计算的结果直接写成幂的形式： ； _________； _________； _________； （2）一般地，把n个a（a为有理数且，n为正整数）相除的结果记作，读作“a的圈n次方”． 计算：____________（其中，n为正整数）． （3）计算：． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】（1）根据除方的定义计算即可； （2）把除法转化为乘法即可得出答案； （3）根据新定义计算即可． 本题考查了有理数的乘方，有理数的乘除法，体现了转化思想，掌握除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数是解题的关键． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：，，； （2）根据除法法则（其中，为正整数）． 故答案为： （3）原式 ． 3．（2024·安徽池州·三模）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是________； (2)第n个结构式的分子式是________； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． 【答案】(1) (2) (3)不属于，理由见解析 【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解． （1）由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是，据此即可求解； （2）由（1）中的结论即可求解； （3）令，计算即可判断； 【详解】（1）解：由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是； ∴第6个结构式的分子式是， 故答案为： （2）解：由（1）可知：第n个结构式的分子式是， 故答案为： （3）解：令，则， ∴分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物 题型十四　同类项 例14. （23-24七年级上·江苏徐州·期末）不是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项，解题的关键是熟记同类项的定义． 含有相同的字母，且相同字母的指数也分别相等的几个单项式是同类项，根据定义求解即可． 【详解】解：A、和符合同类项的定义，故本选项不符合题意； B、和所含相同字母的指数不同，不是同类项，符合题意； C、和符合同类项的定义，故本选项不符合题意； D、和符合同类项的定义，故本选项不符合题意； 故选：B． 巩固训练 1．（23-24七年级上·海南儋州·期末）下列各式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的识别，同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，据此判断即可． 【详解】解：A．与，所含字母不相同，不是同类项，故本选项不合题意； B．与，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不合题； C．与，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项符合题意； D．与，所含字母不相同，不是同类项，故本选项不合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）下列各组中的两项不是同类项的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项的概念，根据同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项进行判断即可，正确理解同类项的概念是解题的关键． 【详解】．根据同类项的定义，与是同类项，不符合题意； ．根据同类项的定义，与不是同类项，符合题意； ．根据同类项的定义，与是同类项，不符合题意； ．根据单独的数是同类项，故与是同类项，不符合题意； 故选：． 3．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列各题中的两个项，不属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此求解即可． 【详解】解：A、与所含字母相同，相同字母的指数也相同，二者是同类项，不符合题意； B、与二者是同类项，不符合题意； C、与所含字母相同，相同字母的指数也相同，二者是同类项，不符合题意； D、与所含字母相同，相同字母的指数不相同，二者不是同类项，符合题意； 故选：D． 题型十五　合并同类项 例15. （23-24七年级上·吉林四平·期末）如果单项式与单项式是同类项，那么这两个单项式的和是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项、单项式和多项式，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．直接利用同类项的定义分析得出，再根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：单项式与单项式是同类项， ， ． 故选：A． 巩固训练 1．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项，在合并同类项时，系数相加，字母及其指数不变，据此判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B、，故本选项符合题意； C、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； D、，故本选项不合题意； 故选B． 2．（2024·江苏常州·中考真题）计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同类项的计算，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．（23-24七年级上·广东湛江·期末）下面的计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，去括号法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据合并同类项的法则判断A、B；根据去括号法则判断C、D． 【详解】解：A、，故A错误； B、与不是同类项，不能合并，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 故选：C． 题型十六　合并同类项的应用 例16. （23-24七年级上·四川南充·期中）若与的和是单项式，则的值为（   ） A．6 B．2 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项以及同类项，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键． 先根据同类项的概念求出的值，进而可得出结论． 【详解】与的和是单项式， 与是同类项， ， 解得， ． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24六年级上·山东烟台·期末）若单项式与单项式是同类项，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项定义，代数式求值，先根据同类项的定义和已知条件，列出关于m，n的方程，求出m，n，再把m，n的值代入进行计算即可． 【详解】解：单项式与单项式是同类项， ， 解得：，， ， 故选：C． 2．（22-23七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）若与是同类项，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2017 【答案】C 【分析】此题主要考查同类项的定义，代数式求值，根据同类项的定义求出a，b的值， 然后代入代数式求值即可 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（23-24七年级上·河南商丘·期中）如果两个关于x、y的单项式与是同类项（其中）． (1)求a的值． (2)如果这两个单项式的和为零，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同类项的定义、合并同类项法则的应用等知识点，掌握合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变成为解题的关键． （1）根据同类项的定义列方程求解即可． （2）根据合并同类项的法则把系数相加可得，即，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：由同类项的定义可得：，解得； （2）解：∵两个单项式的和为零， ∴， ∴，即， ∴ 题型十七　去括号法则 例17. （23-24七年级上·湖南长沙·期中） 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，先根据去括号法则将括号展开，再合并同类项即可．注意去括号时括号前是负号时要变号． 【详解】解： ． 巩固训练 1．（2024六年级上·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了去括号，解题的关键是掌握去括号法则：将括号前的因式分别乘以括号内的每一项． （1）根据去括号法则将括号展开即可； （2）根据去括号法则将括号展开即可； （3）根据去括号法则将括号展开即可； （4）根据去括号法则将括号展开即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（2024六年级上·上海·专题练习）先去括号，再合并同类项． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了去括号和合并同类项，解题的关键是掌握去括号法则，以及合并同类项，字母和字母指数不变，只把系数相加减． （1）按照去括号和合并同类项法则进行计算即可； （2）按照去括号和合并同类项法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （1）先去括号，然后合并同类项； （2）先去括号，然后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十八　添括号法则 例18. （23-24七年级上·四川达州·期末）当时，代数式的值为7，则若当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，把，代入，可以解得的值，然后把代入所求代数式，整理得到的形式，然后将的值整体代入即可求解． 【详解】解：∵当时，， ∴， 当时， ， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了求代数式的值，首先由已知得，再将转化为，然后整体代入即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）填空：=+（ ）=（ ）； 【答案】 【分析】此题主要考查了添括号，正确掌握相关法则是解题关键． 直接利用添括号法则分别得出答案． 【详解】解：； 故答案为：； 3．（2024·四川成都·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，根据“”，得到，把变形为，然后整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型十九　整式加减的运算 例19. （22-23七年级上·山东济宁·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，掌握整式的加减相关运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）将同类项合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，注意有括号的先去括号，去括号之后合并同类项，注意同类项不仅仅要字母相同，相同字母的指数也必须相同才是同类项，才能合并． （1）先去括号，然后再合并同类项即可得出答案； （2）先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） 3．（23-24六年级上·山东青岛·期末）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 题型二十　整式加减的应用 例20. （22-23六年级下·山东烟台·期中）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为3，则另一边长为（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查整式的加法运算．大正方形的边长为，小正方形的边长为，得到两个直角梯形的上底为，下底为，根据拼成的长方形的另一边为直角梯形的上底加下底的和，进行计算求解即可． 【详解】解：∵大正方形的边长为，小正方形的边长为，， ∴剩余的两个直角梯形的上底为，下底为， ∴矩形的另一边为梯形上、下底的和，即：； 故选：B． 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖北恩施·单元测试）三角形的周长为a，它的一边长是周长的，另一边长是周长与4的差的一半，则第三边的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 本题的关键是要用表示出三角形两边的长． 先表示出一条边长为，另一条边的长为，然后用周长分别减去这两边的长即可得到第三边的长． 【详解】解：第三边的长． 故选：C． 2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）为参加“我爱校园”摄影比赛，小明同学将参与植树活动的照片放大为长，宽的形状，又精心在四周加上了宽的木框，则这幅作品占的面积为 ． 【答案】 【分析】此题涉及面积公式的运用，解答时直接运用面积的公式求出答案．本题主要考查了整式的混合运算．列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系列出式子． 【详解】解：根据题意可知， 这幅摄影作品占的面积是． 故答案为： 3．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）某校三年级和四年级各有两个班，三年级（一）班比三年级（二）班多人，四年级(一)班比四年级（二）班少人，三年级比四年级少人，那么三年级（一）班比四年级（二）班少 人． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，设三年级（一）班人，四年级（二）班人，则三年级（二）班人，四年级(一)班人，由题意可得，据此可得，即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设三年级（一）班人，四年级（二）班人，则三年级（二）班人，四年级(一)班人， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴三年级（一）班比四年级（二）班少人， 故答案为：． 题型二十一　整式加减中的化简求值 例21. （23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知实数满足，若，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算．关键是能正确进行整式的加减运算．把用含有和式子表示，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ 巩固训练 1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）合并同类项即可化简，再代入计算即可得出答案； （2）先去括号，再合并同类项即可化简，代入，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 2．（23-24七年级上·福建漳州·单元测试）已知代数式，且，求：的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，掌握合并同类项和去括号法则是解答本题的关键．先化简，再把A，B带入化简结果，去括号合并同类项，然后求出x，y的值，再代入即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴或3，， ∵， ∴当时，；当时，， 当，时，原式； 当，时，原式； 综上所述，的值为． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，直接利用整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 题型二十二　整式加减中的无关型问题 例22. （23-24九年级上·重庆开州·开学考试）已知多项式的值与字母x的取值无关，其中m、n是常数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减、有理数乘方、代数式的值，先去括号，然后合并同类项，再根据多项式的值与字母x的取值无关，列出等式，求出m、n的值． 【详解】解： ， ∵多项式的值与字母x的取值无关， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）已知关于的整式，整式． (1)求的值； (2)若是常数，且的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键． （1）将M和N代入，然后利用整式的加减运算法则求解即可； （2）由结果与x值无关，得到，求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∵是常数，且的值与无关， ∴， ∴． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于的多项式、，其中，、为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含x项和项，求m、n的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先将的式子乘3，再减去的式子，最后合并同类项即可； （2）根据题意得到：、，求出、的值即可． 本题考查了整式的加减，关键要利用合并同类项进行化简整式． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意不含x项和项 可得：， 解得：； ， 解得： 3．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：．      (1)求m、n的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为__________个单位长度； ②应用：如图1所示，当火车匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要2秒，则火车的速度为__________个单位长度/秒． (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)7， (2)①3个单位长度；②个单位长度/秒 (3)存在，， 【分析】（1）根据得，计算即可． （2）①设A表示的数为, B表示的数为,小火车的长度为,根据题意，，，建立方程计算即可． ②根据①得，火车完全经过点M需要2秒，点A运动路程为单位长度，利用速度=路程÷时间计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，继而表示，代入化简，令t的系数为零计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． （2）①设A表示的数为, B表示的数为，小火车的长度为, 根据题意，得，，， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长3个单位长度， 故答案为：3． ②根据①得，火车完全经过点M需要2秒， 故点A运动路程为３单位长度， ∴玩具火车的速度为：（单位长度/秒） 故答案为：． （3）存在，，理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是， ∴， 根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴， ∵常数k使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 整式及其加减知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一 用字母表示数 1、 用字母表示数 用字母或含有字母的式子表示数或数量关系，在用字母表示数中，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来. 2、 用字母表示数具有如下特点 （1） 任意性：字母可以表示任意数； （2） 限制性：字母的取值必须使式子有意义且符合实际情况； （3） 确定性：字母的取值一旦确定，式子的值也随之确定； （4） 一般性：用字母表示数能更准确地反映事物的规律，更具有一般性； 知识点二 代数式 1、代数式的定义 用加减乘除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单个的数或字母也是代数式. 2、 代数式的书写规范 （1） 在代数式中如果出现乘号，通常将乘号写作“·”或省略不写，并且数字写在字母前面. （2） 数字与数字相乘时，只能用“x”，不能省略或写成“·” （3） 数字因数为带分数时，要化为假分数 （4） 除法运算一般写成（）的形式 （5） 若式子后面有单位且式子是和差的形式，应把式子用括号括起来 知识点三 列代数式 1、 列代数式 把问题中与数量有关事务语句用含数字、字母和运算符号的式子表示出来. 2、 列代数式 （1） 抓住关键性词语，如“大”“小”“多”“少”“和”“差”“积”“商”“倍”等，弄清题目中的量及各个量之间的关系. （2） 弄清运算顺序，通常按照“先读先写”的顺序列式 （3） 对于层次较多的题目，可以采取“浓缩原题，分段处理，最后组装”的方式来处理 （4） 正确运用括号，先用小括号，侯勇中括号，再用大括号 知识点四 单项式 1、 单项式 由数和字母的积组成的代数式叫作单项式，单个的字母或数字也是单项式 2、 单项式的系数与次数 （1） 系数：单项式中的数字因数是单项式的系数 （2） 次数：单项式中所有字母的指数之和是单项式的次数 特别提醒： （1） 单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关，而单项式的次数只与字母的指数有关； （2） 确定一个单项式的次数时，要注意： ① 没有写指数的字母，实际上其指数是“1”，计算时不要将其遗漏； ② 不要把系数的指数当做字母的指数一同计算. 知识点五 多项式 1、多项式 几个单项式的和叫作多项式. 一个式子是多项式需具备两个条件： （1）式子中含有运算符号“+”“—” （2）分母中不含有字母 2、多项式的项 在多项式里，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，一个多项式含有几项，这个多项式就叫作几项式 3、多项式的次数 一个多项式里，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数 知识点六 整式 1、 定义 单项式与多项式统称为整式 2、 代数式、整式、单项式、多项式的关系 代数式包含整式，整式又分为单项式和多项式 知识点七 代数式的值 1、 代数式的值 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中字母的运算关系计算得出的结果叫作代数式的值. 2、 求代数式值的步骤 （1） 代入：将指定的数值代替代数式中的字母 （2） 计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果 知识点八 同类项 1、 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项.常数项与常数项是同类项. 2、 判断同类项的方法 （1）同类项必须同时满足“两个相同”: ①所含字母相同; ②相同字母的指数也分别相同，两者缺一不可. （2）是不是同类项有“两个无关”: ①与系数无关; ②与字母的排列顺序无关.如3mn与-nm是同类项. （3）同类项可以有两项，也可以有三项、四项或更多项，但至少有两项. 3、合并同类项 （1）合并同类项的法则 同类项的系数相加，所得结果作为系数,字母和字母的指数不变. 4、合并同类项的一般步骤 （1）找出同类项,当项数较多时,通常在同类项的下面作相同的标记(连同各项的符号一同标记); （2）运用加法交换律、加法结合律将多项式中的同类项结合; （3）利用合并同类项法则合并同类项; （4）写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式). 知识点九 去括号 1、去括号法则 （1）如果括号前面是“+”号，去括号时把括号连同它前面的“+”号去掉，括号内的各项都不改变符号. （2）如果括号前面是“一”号,去括号时把括号连同它前面的“一”号去掉，括号内的各项都改变符号. 2、去多层括号的方法 先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序，一般由内向外，即先去小括号,再去中括号，最后去大括号.有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号. 知识点十 整式加减 1、整式加减的运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2、整式的化简求值的步骤 一化：利用整式加减的运算法则将整式化简. 二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子. 三计算：依据有理数的运算法则进行计算. 3、降（升）幂排序 我们常常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序来排列.若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的降幂排列;若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的升幂排列. 03 题型归纳 题型一　用字母表示数 例1. （23-24八年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）如图，长和宽为、的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．140 B．70 C．35 D．24 巩固训练 1．（2023八年级上·全国·专题练习）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·北京朝阳·期中）一种商品每件盈利为a元，售出60件，共盈利 元（用含a的式子表示） 3．（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是 题型二　用代数式表示式 例2．（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）工地上有吨水泥，如果每天用去吨，用了天后，剩下的吨数为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏泰州·开学考试）c是a的，c是b的，那么a与b的比是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）a是一个两位数，b是一个三位数，如果把b放在a的左边组成一个五位数，这个五位数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，矩形中挖去一个圆形，则阴影部分面积的表达式为（    ） A． B． C． D． 题型三　用代数式表示数、图形规律 例3. （23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（　　） A．2024 B．2022 C．6069 D．6070 巩固训练 1．（2024·四川德阳·模拟预测）下面是按一定规律排列的一列数； 第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第n个数：． 那么，在第9个数，第10个数，第11个数，第12个数中，最小的数是（　　） A．第9个数 B．第10个数 C．第11个数 D．第12个数 2．（2024·江苏·模拟预测）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（　　） A．15 B．17 C．19 D．24 3．（23-24七年级上·四川达州·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 …这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16 …这样的数称为“正方形数”． 从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（   ） A． B． C． D． 题型四　代数式的定义 例4. ．（23-24六年级上·山东淄博·期末）以下列各式中：①，②，③，④，⑤a，⑥0．是代数式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）在，，，，，，，中，代数式有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24七年级上·湖南永州·期中）在下列式子中，（1），（2），（3），（4）0，（5），（6），（7），（8），其中代数式的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型五　代数式的书写规范 例5. （22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）下列各式中，符合整式书写要求的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列单项式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）下列各式符合整式书写规范的是（    ） A． B． C．个 D． 题型六　代数式表示的意义 例6．（2024·河南信阳·一模）某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（  ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价10%，再打八折 C．先提价30%，再降价35% D．先打七五折，再提价10% 巩固训练 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）代数式的意义是（    ） A．m除以n减1 B．n减1除m C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商 2．（23-24七年级上·海南海口·期末）代数式用语言叙述正确的是（    ） A．a与的平方差 B．a的平方与4的差乘以b的平方 C．a与的差的平方 D．a的平方与b的平方的4倍的差 3．（23-24七年级上·河北邢台·期末）商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 题型七　已知字母或式子的值求代数式的值 例7. （23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）根据下列条件求值： (1)若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为6，求的值． (2)已知，，，，求的值． 巩固训练 1．（23-24七年级下·福建福州·期末）若有理数满足，，且，求的值． 2．（22-23八年级上·山东威海·期中）已知：， (1)求的值； (2)求的值． 3．（22-23七年级上·广东湛江·期中）已知a、b互为相反数，且，c、d互为倒数，求的值． 题型八　单项式及相关概念 例8. （23-24七年级上·安徽·单元测试）下列式子、、、、、、中，单项式的个数是（       ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 巩固训练 1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）下列说法中正确的是（  ） A．0不是单项式 B．是单项式 C．的系数是0 D．是整式 2．（23-24七年级上·吉林·期中）单项式的系数和次数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 题型九　多项式及相关概念 例9. （22-23七年级上·广东深圳·期中）下列说法错误的是 （    ） A． 是二次三项式 B． 不是单项式 C． 的系数是 D． 的次数是 6 巩固训练 1．（22-23七年级上·河南南阳·期末）下列语句中错误的是（    ） A．数字0也是单项式 B．单项式与的乘积可以表示为 C．是二次三项式 D．把多项式按x的降幂排列是 2．（22-23七年级上·河南商丘·期末）下列多项式中，次数为4的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·山东济宁·期中）下列说法中，正确的有（    ） ①的系数是15；②的次数是2；③多项式的次数是3；④和都是整式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十　多项式系数、指数中字母求值 例10. （22-23七年级上·吉林松原·期中）若多项式是关于x的三次三项式，其中二次项系数为． (1)直接写出a与b之间的关系； (2)求的值． 巩固训练 1．（20-21七年级下·黑龙江大庆·期中）若多项式是关于x、y的三次三项式；单项式与单项式的次数相同，求代数式的值． 2．（23-24七年级上·重庆北碚·期中）已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求代数式的值． 3．（23-24七年级上·湖北恩施·期中）已知多项式是六次多项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 题型十一　将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 例11. （23-24七年级下·北京房山·期中）把多项式按字母x降幂排列为 巩固训练 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）将多项式按字母升幂排序： ． 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）若多项式是按字母x降幂排列的，则m的值是 ． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）将多项式按字母y的降幂排列后，从左边数第三项为 ． 题型十二　整式 例12. （2024七年级上·上海·专题练习）下列式子：，其中单项式有 ；整式有 ． 巩固训练 1．（2024七年级上·上海·专题练习）将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． （1）单项式： ； （2）整式： ； （3）二项式： ． 2．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）在，，，，，，单项式有 ．多项式有 ，整式有 ． 3．（23-24七年级上·吉林·期中）下列各式：；；；；；，其中是整式的有 （只填序号）． 题型十三　规律探索 例13. （23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第9行第3个数为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）按如图的方式摆放桌子和椅子，则10张桌子可以坐 人． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）将下列计算的结果直接写成幂的形式： ； _________； _________； _________； （2）一般地，把n个a（a为有理数且，n为正整数）相除的结果记作，读作“a的圈n次方”． 计算：____________（其中，n为正整数）． （3）计算：． 3．（2024·安徽池州·三模）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是________； (2)第n个结构式的分子式是________； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． 题型十四　同类项 例14. （23-24七年级上·江苏徐州·期末）不是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 巩固训练 1．（23-24七年级上·海南儋州·期末）下列各式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）下列各组中的两项不是同类项的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列各题中的两个项，不属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型十五　合并同类项 例15. （23-24七年级上·吉林四平·期末）如果单项式与单项式是同类项，那么这两个单项式的和是（　　） A． B． C． D．无法确定 巩固训练 1．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏常州·中考真题）计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东湛江·期末）下面的计算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型十六　合并同类项的应用 例16. （23-24七年级上·四川南充·期中）若与的和是单项式，则的值为（   ） A．6 B．2 C．7 D．8 巩固训练 1．（23-24六年级上·山东烟台·期末）若单项式与单项式是同类项，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（22-23七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）若与是同类项，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2017 3．（23-24七年级上·河南商丘·期中）如果两个关于x、y的单项式与是同类项（其中）． (1)求a的值． (2)如果这两个单项式的和为零，求的值． 题型十七　去括号法则 例17. （23-24七年级上·湖南长沙·期中） 巩固训练 1．（2024六年级上·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2024六年级上·上海·专题练习）先去括号，再合并同类项． (1)； (2)． 3．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）化简： (1)； (2)． 题型十八　添括号法则 例18. （23-24七年级上·四川达州·期末）当时，代数式的值为7，则若当时，代数式的值为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）若，则代数式的值是 ． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）填空：=+（ ）=（ ）； 3．（2024·四川成都·模拟预测）若，则 ． 题型十九　整式加减的运算 例19. （22-23七年级上·山东济宁·期中）化简： (1)； (2)． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）化简： (1)； (2)． 2．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）化简： (1)； (2)． 3．（23-24六年级上·山东青岛·期末）化简： (1) (2) 题型二十　整式加减的应用 例20. （22-23六年级下·山东烟台·期中）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为3，则另一边长为（    ） A． B． C． D．以上都不对 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖北恩施·单元测试）三角形的周长为a，它的一边长是周长的，另一边长是周长与4的差的一半，则第三边的长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）为参加“我爱校园”摄影比赛，小明同学将参与植树活动的照片放大为长，宽的形状，又精心在四周加上了宽的木框，则这幅作品占的面积为 ． 3．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）某校三年级和四年级各有两个班，三年级（一）班比三年级（二）班多人，四年级(一)班比四年级（二）班少人，三年级比四年级少人，那么三年级（一）班比四年级（二）班少 人． 题型二十一　整式加减中的化简求值 例21. （23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知实数满足，若，则的值是 巩固训练 1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 2．（23-24七年级上·福建漳州·单元测试）已知代数式，且，求：的值． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 题型二十二　整式加减中的无关型问题 例22. （23-24九年级上·重庆开州·开学考试）已知多项式的值与字母x的取值无关，其中m、n是常数，那么 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）已知关于的整式，整式． (1)求的值； (2)若是常数，且的值与无关，求的值． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）已知关于的多项式、，其中，、为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含x项和项，求m、n的值． 3．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：．      (1)求m、n的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为__________个单位长度； ②应用：如图1所示，当火车匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要2秒，则火车的速度为__________个单位长度/秒． (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$