专题09 分段函数中的等高线问题-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第一册）

专题09 分段函数中的等高线问题 目录 1 1 一、求等高线对应的交点横坐标之和 1 二、求等高线对应的交点横坐标之积 2 三、求以等高线对应的交点横坐标为自变量的函数值域 3 四、利用等高线的性质巧求参数的值或取值范围 6 8 等高线本是地理学中的名词，借用到数学中来便有其特殊的含义。对于函数 ，若存在互不相等的实数 ，使 ，则称直线 为函数 的等高线. 解决等高线问题时，要注意函数本身的整体性，遵循分段处理的原则，首先画出分段函数的图象，充分利用形的直观性与数的精确性，挖掘函数的性质，如对称性、不变性（如定和、定积）等，从而有效地、快速地解决问题。下面介绍这类问题的四种常见题型及其解题思路. 一、求等高线对应的交点横坐标之和 例1．已知函数则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．对于，， C．若方程有4个不相等的实根，，，，则的范围为 D．函数有6个不同的零点 二、求等高线对应的交点横坐标之积 例1．已知函数，若关于的方程恰好有4个实根，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、求以等高线对应的交点横坐标为自变量的函数值域 例1．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例 2已知函数 方程 有四个不同根 , 且满足 , 则 的取值范围是 . 例3已知函数 若方程 有四个不同根 , 且满足 , 不等式 恒成立, 则 的最小值为 . 四、利用等高线的性质巧求参数的值或取值范围 例1．已知，是函数图象上纵坐标相等的两点，线段的中点在函数的图象上，则点的横坐标的值为 . 例2．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的在最大值为0 B．函数在上单调递增 C．函数为偶函数 D．若方程在R上有4个不等实根，则 一、单选题 1．已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D．函数有6个零点 2．已知f(x)＝ 若关于x的方程有四个实根（其中x1<x2<x3<x4）,则x1＋x2＋x3＋2x4的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 3．若函数，若有4个不同实根，设4个不同实根，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 5．已知定义在R上的函数f（x）=，若存在互不相等的实数a，b，c，满足f（a）=f（b）=f（c）=m，则mabc的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知函数，，若关于的方程恰有4个不同的实数根，则的取值范围是 . 7．已知函数，若方程有4个不同实根，则的取值范围是 ． 8．已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 分段函数中的等高线问题 1 1 一、求等高线对应的交点横坐标之和 1 二、求等高线对应的交点横坐标之积 2 三、求以等高线对应的交点横坐标为自变量的函数值域 3 四、利用等高线的性质巧求参数的值或取值范围 6 8 等高线本是地理学中的名词，借用到数学中来便有其特殊的含义。对于函数 ，若存在互不相等的实数 ，使 ，则称直线 为函数 的等高线. 解决等高线问题时，要注意函数本身的整体性，遵循分段处理的原则，首先画出分段函数的图象，充分利用形的直观性与数的精确性，挖掘函数的性质，如对称性、不变性（如定和、定积）等，从而有效地、快速地解决问题。下面介绍这类问题的四种常见题型及其解题思路. 一、求等高线对应的交点横坐标之和 例1．已知函数则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．对于，， C．若方程有4个不相等的实根，，，，则的范围为 D．函数有6个不同的零点 【答案】ACD 【分析】作出函数图象，根据函数单调性和对称性以及零点分布情况一一代入选项分析即可. 【详解】作出函数图象如下图所示： 对A，当时，， 时，， 当，时，， ，故A正确； 对B，取，，则，故B错误； 对C，根据函数图象可知当时，有四个不同的实根， ，由得， 由得，则， 则，故C正确； 对D，令，则，令，则， 当时，则，解得或， 当时，，解得， 观察图象知，当或时，直线与函数图象各有一个交点， 当时，直线与函数图象有四个交点， 则函数有6个不同的零点，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题C选项的关键是利用函数的局部对称性得到，再根据分段函数关系式得到，最后减少变量即可判断整体和的范围. 二、求等高线对应的交点横坐标之积 例1．已知函数，若关于的方程恰好有4个实根，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，作出函数的图象，利用方程恰好有4个实根，可得，设，进而可得，可得，故可得结论. 【详解】由题意，函数，则函数的图象为： 由图象可知，方程恰好有4个实根，则实数， 设，则为方程的两个实根，故， 由，即，即， 所以，，而， 故的取值范围为. 故选：D. 【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，分析能力，属于基础题. 三、求以等高线对应的交点横坐标为自变量的函数值域 例1．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果． 【详解】画出函数的图象如图所示． 不妨令，则，则． 结合图象可得，故． ∴． 故选：B． 【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 例 2已知函数 方程 有四个不同根 , 且满足 , 则 的取值范围是 . 解析 作出函数图象, 可得 ,从而得 , 且 , 所以 ,所以 . 令 , 则 在 上单调递增, 所以 .点评 本题首先利用整体不变性 为定值) 消元，然后换元，化繁为简，化生为熟. 例3已知函数 若方程 有四个不同根 , 且满足 , 不等式 恒成立, 则 的最小值为 . 解析 作出函数 的图象, 如图 5 所示. 由对称性，得 。 由 , 得 , 所以 . 由 ，得 ，则 。 若不等式 恒成立，则 恒成立。 由 , 故 , 故 的最小值为 . 点评 本题通过参变分离, 将恒成立问题转化为最值问题. 四、利用等高线的性质巧求参数的值或取值范围 例1．已知，是函数图象上纵坐标相等的两点，线段的中点在函数的图象上，则点的横坐标的值为 . 【答案】 【解析】依题意画出函数图象，如图设的横坐标分别为，，的中点的横坐标为，根据题意得到方程组，解得. 【详解】解：因为则可画函数图象如下图所示： 设的横坐标分别为，，的中点的横坐标为，依题意可得 ①，②，③， ①减②得④ ①乘②得即 ⑤ 将④代入⑤得即 故答案为： 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，指数的运算，属于中档题. 例2．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的在最大值为0 B．函数在上单调递增 C．函数为偶函数 D．若方程在R上有4个不等实根，则 【答案】ACD 【分析】将函数配方，根据单调性，可判断选项A,B真假，根据奇偶性定义，可判断选项C真假，做出的图像，结合对称性，可判断选项D真假. 【详解】，时，当时函数取最大值0，∴A正确； 在递减，在递增，∴B不正确； 令， 所以为偶函数，所以选项C正确； 令，的根转化为与的交点， 做出图像如下图所示： 图像关于对称，当与有四个交点时， 两两分别关于对称，所以， 所以选项D正确. 故选：ACD 一、单选题 1．已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D．函数有6个零点 【答案】B 【分析】作出函数的图象，对于A：直接观察即可；对于B：通过求解；对于C：根据图像得到，，进一步计算求解；对于D：令，求出的根，代入，继续根据图像可求根的个数. 【详解】作出函数的图象如下： 对于A：关于x的方程有四个不同的根，即函数与的图象有4个交点，由图象可得，A错误； 对于B：由图可知，解得，B正确； 对于C：由图象知，所以，且， 所以， 又由， 所以，C错误； 对于D：对于函数函数，令，则， 可得， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 综合得函数有个零点，D错误. 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于零点个数问题，可以转化为函数图像的交点个数来求解，直观，方便. 2．已知f(x)＝ 若关于x的方程有四个实根（其中x1<x2<x3<x4）,则x1＋x2＋x3＋2x4的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题画出函数的图象，利用数形结合可得. 【详解】关于x的方程有四个实根,则与有四个交点，横坐标为， 则且，即， ∴， 令， 则，所以在上单调递减， ∴， 即的取值范围为. 故选：D. 3．若函数，若有4个不同实根，设4个不同实根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数的图象和直线，由图可得的关系与性质，从而得结论． 【详解】作出函数的图象，再作出直线，如图， 由图可得，，因此， ∴， 故选：D．    4．设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 不妨设，由，得，结合图象可知，，则，令，可知在上单调递减，故，则，故选B. 【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 5．已知定义在R上的函数f（x）=，若存在互不相等的实数a，b，c，满足f（a）=f（b）=f（c）=m，则mabc的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出f（x）的图象，由对数的运算性质可得ab=4，再由二次函数的值域求法，结合图象可得c的范围，计算可得所求范围． 【详解】解：设a<b<c,作出f（x）的图象， 可得m=1-log2a=log2b-1=3-c， 即有log2a+log2b=2，即为ab=4， mabc=4mc=4c（3-c），4＜c＜6， 可得mabc=-2（c-3）2+18，在（4，6）递减， 得mabc的范围是（0，16）． 故选A． 【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查方程根的个数以及二次函数的值域求法，考查运算能力，属于中档题． 二、填空题 6．已知函数，，若关于的方程恰有4个不同的实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据图象，以及函数关系，得到，，代入后转化为二次函数求取值范围. 【详解】如图，若关于的方程恰有4个不同的实数根，则 ，，， 即，则， ， ， 所以的取值范围是. 故答案为： 7．已知函数，若方程有4个不同实根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先判断的单调性并求出的极值，然后根据方程有4个不同实根求的取值范围，进而利用根与系数的关系求出，最后利用对数运算求出，代入求解即可. 【详解】当时，，则， 当时，，当时，， 可得在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为． 当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为． 若方程有4个不同实根，则，解得． 因为是方程的两个不同实根， 即方程的两个不同实根，所以， 所以， 因为，所以． 因为是的两个不同实根，所以， 易知，所以，得． 所以，所以的取值范围是． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用导数与对数函数的性质得到分段函数在各段的最值，从而求得的范围，进而得解. 8．已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是 . 【答案】 【分析】判断函数关于直线对称，画出函数的大致图象，由函数与有4个交点，进而求出的取值范围，由利用函数 和换元法并结合二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】当时，，函数关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示 ，方程有四个不相等的实根， 函数与有4个交点， 由函数的图象可知， 即的取值范围为：， 由函数的图象可知：，，且，， ，，，， 令，，，设，则，， 根据对勾函数单调性其单调递增，则， 又， 设，，对称轴为，则 即，即范围为 故答案为：． 【点睛】方法点睛：函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$