专题08 善转化，巧解任意与存在法-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第一册）

专题08 善转化, 巧解任意与存在法 目录 1 1 1. 参变分离法 1 2. 变更主元法 2 3. 数形结合法 3 8 任意性与存在性问题是函数、方程、不等式等内容交汇处的一个高频考查的常规问题. 本讲谈谈常见的转化方法. 数学解题贵在转化. 任意类或存在类的单变量不等式问题，常见的转化方法有参变分离法、变更主元法、数形结合法. 双变量不等式存在性或任意性问题的五种类型： 若 , 则有 ； 若 , 则有 ; 若 , 则有 ； 若 , 则有 ; 若 , 则有 , 即 的值域是 值域的子集; 对于 , 则有 , 即 的值域与 值域的交集不为空集。 一、任意类或存在类的单变量不等式的解法 1. 参变分离法 例1．已知函数． （1）若函数有零点，求实数的取值范围； （2）若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 2. 变更主元法 例1．对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D．或 3. 数形结合法 例1 已如函数 , 若对任意 都有 成立, 则 的取值范围 例2．设函数，若对任意不等式恒成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 二、任意类或存在类的双变量不等式的解法 任意类或存在类的双变量问题，它们的基础始终还是单变量的任意性与存在性问题. 把问题转化为两个单变量不等式，从而降低思维难度，提升解题效率。 例 1 已知函数 , 若对任意 , 存在 , 使得 ,则 的取值范围是 . 例2．已知函数，，若对于任意，存在，，使得，则实数的取值范围是 　　． 三、任意类或存在类的双变量等式的解法 ，使得 在 上的值域 在 上的值域； ，使得 在 上的值域 在 上的值域 。 例1 设 , 若对 , 使得 成立, 求 的取值范围. 例2．设函数，函数． （1）求函数的值域； （2）若对于任意的，总存在，，使得成立，求实数的取值范围． 例3．已知函数且，是偶函数，函数且． （1）求的值； （2）若函数有零点，求的取值范围； （3）当时，若，，使得恒成立，求实数的取值范围． 一．选择题（共5小题） 1．已知命题：“函数在区间，上单调递减”；命题：“存在正数，使得成立”，若为真命题，则的取值范围是　　 A．， B． C．， D．， 2．若存在使成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．已知函数，，若对任意，，存在，，使，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．设函数是定义在上的增函数，实数使得对于任意，都成立，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 5．设函数，，若对任意的，，存在，，使得，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 二．填空题（共1小题） 6．已知函数．若存在，使得成立，则的取值范围是 　　． 三．解答题（共3小题） 7．已知函数，满足，其中为偶函数，为奇函数． （1）求，的解析式； （2）求函数的值域； （3）设，若对任意的，，都存在，，使得成立，求实数的取值范围． 8．已知函数，且满足． （1）设，若对任意的，存在，都有，求实数的取值范围； （2）当（1）中时，若，，，都有成立，求实数的取值范围． 9．设集合，． （1）若中仅有一个元素，求实数的取值集合； （2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 善转化, 巧解任意与存在法 1 1 1. 参变分离法 1 2. 变更主元法 2 3. 数形结合法 3 8 任意性与存在性问题是函数、方程、不等式等内容交汇处的一个高频考查的常规问题. 本讲谈谈常见的转化方法. 数学解题贵在转化. 任意类或存在类的单变量不等式问题，常见的转化方法有参变分离法、变更主元法、数形结合法. 双变量不等式存在性或任意性问题的五种类型： 若 , 则有 ； 若 , 则有 ; 若 , 则有 ； 若 , 则有 ; 若 , 则有 , 即 的值域是 值域的子集; 对于 , 则有 , 即 的值域与 值域的交集不为空集。 一、任意类或存在类的单变量不等式的解法 1. 参变分离法 例1．已知函数． （1）若函数有零点，求实数的取值范围； （2）若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 【分析】（1）依题意只需有解，，，求出的范围，即可求得实数的取值范围； （2）令，，只需在，恒成立即可，分别求解实数的取值范围即可． 【解答】解：（1）函数有零点，方程有解， 有解，，， 令，，， 则，，， 实数的取值范围为：，，； （2）令，， 对任意的，，都有， 当，即时，显然成立， 只需在，恒成立即可． ①， 在，时，，， ，， 综上，实数的取值范围为，． 【点评】本题考查了函数零点问题、不等式恒成立问题处理方法，考查了分类思想，属于中档题． 点评 常用结论: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 2. 变更主元法 例1．对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D．或 【分析】解法1、由题意，可以采用分离参数法．，对，，讨论，求解不等即可得到答案． 解法2、构造函数法，构造关于的函数，由，转化为，令函数，即，对于中的任意，从而求解不等式． 【解答】解：解法 由题意，恒成立，等价于． 当时，即，，则． ，，解得：． 当时，即时，不等式不成立． 当时，即，，则． ，，解得：． 综上所述：的取值范围是，， 故选：． 解法2：构造函数法 由，，令函数， ，即，对于中的任意恒成立， 则有且（4），即，解得：，解得：或． 所以的取值范围是，， 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式恒成立问题，分离参数法是解决恒等式的问题的方法之一，好灵活运用，同时本题要注意与0大小讨论．构造函数法也是解决恒等式常用的方法，有某些题，非常有优势，必须掌握．属于难题． 3. 数形结合法 例1 已如函数 , 若对任意 都有 成立, 则 的取值范围【解析】 不等式 对任意 恒成立. 如果参变分离，由于 所在区间含参，需分类讨论。 【解析】换一个角度考虑，利用二次函数的性质，只需端点处的函数值小于零即可，即 解得 . 例2．设函数，若对任意不等式恒成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据图象可知在上单调递减，从而将已知不等式变为自变量之间的比较，从而整理可得，若恒成立，则，解不等式求得结果. 【详解】作出函数的大致图象如下图所示： 由图象可知函数在上单调递减     ，即：     ，解得： 即 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用函数的单调性求解不等式的问题，其中涉及到恒成立思想的应用.解决本题的关键是能够根据解析式得到函数的单调性，从而将函数值的比较转变为自变量大小的比较. 二、任意类或存在类的双变量不等式的解法 任意类或存在类的双变量问题，它们的基础始终还是单变量的任意性与存在性问题. 把问题转化为两个单变量不等式，从而降低思维难度，提升解题效率。 例 1 已知函数 , 若对任意 , 存在 , 使得 ,则 的取值范围是 . 【分析】 设变量 满足 即 所以 . 【解析】 由题意，得 。 函数 在 上为减函数, 所以 ； 函数 在 上为增函数, 所以 . 所以 , 解得 , 故 的取值范围是 . 例2．已知函数，，若对于任意，存在，，使得，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】根据题意可得：，分别根据单调性求最值，代入运算求解． 【解答】解：根据题意可得：， 在上单调递减，则（1）， 又在，上单调递增，则（2）， ，则 故答案为：，． 【点评】本题考查了函数的恒成立问题，转化为函数的最值间的关系是解题关键，属于中档题． 三、任意类或存在类的双变量等式的解法 ，使得 在 上的值域 在 上的值域； ，使得 在 上的值域 在 上的值域 。 例1 设 , 若对 , 使得 成立, 求 的取值范围. 解 令 , 则 .设 . 因为函数 在 上单调递增, 所以 的值域为 ,即 的值域为 。 又因为 , 且 ,所以 的值域为 。 由题意, 得 , 即 解得 ,故 的取值范围为 . 例2．设函数，函数． （1）求函数的值域； （2）若对于任意的，总存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）分、及利用基本不等式求解； （2）设的值域为，求出，时的值域，把对于任意的，总存在，，使得成立，转化为，由此列关于的不等式组求解． 【解答】解：（1）当时，， 当时，， 若，则（当且仅当时取“” ， 若，则（当且仅当时取“” ． 函数的值域为； （2）由（1）得：，， 又，，． 依题意，即， 解得：， 实数的取值范围是，． 【点评】本题考查函数的值域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题． 例3．已知函数且，是偶函数，函数且． （1）求的值； （2）若函数有零点，求的取值范围； （3）当时，若，，使得恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）由偶函数的性质可知对于，都有，代入化简即可求出的值． （2）有零点，即，即有解，即函数图象与直线有交点，对的范围分情况讨论，求出的值域，从而求出的取值范围． （3）由题意可知，即对任意的恒成立，设，所以当时，恒成立，再结函数在上的单调性，即可求出结果． 【解答】解：（1）因为为偶函数，所以，都有， 即对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 所以． （2）有零点，即，即有解， 令，则函数图象与直线有交点， 当时，无解， 当时，在上单调递减，在上单调递减， 值域为， 由有解可得， 综上可知，的取值范围是． （3）， 当时，， 由（2）知，当且仅当时取等号，所以的最小值为1， 因为，，使得成立， 所以， 即对任意的恒成立， 设， 所以当时，恒成立， 所以，即， 设函数在单调递减， 所以（1）， 所以，即实数的取值范围为，． 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，考查了对数函数的性质，同时考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题． 一．选择题（共5小题） 1．已知命题：“函数在区间，上单调递减”；命题：“存在正数，使得成立”，若为真命题，则的取值范围是　　 A．， B． C．， D．， 【分析】根据在，上恒成立即可求出命题为真命题时的取值范围，而由命题知在上有解，通过求导可判断在上单调递增，从而可以得出命题为真命题时的取值范围，再由为真命题知，都为真命题，从而对上面求的两个的范围求交集即可得到答案． 【解答】解：命题； 在，上单调递减； ，即在，上恒成立； 时，在，上取最小值； ； 命题即在上有解； 设，； 在上单调递增； ，即； ； 为真命题； ，都为真命题； ； 的取值范围是，． 故选：． 【点评】考查函数的单调性和函数导数的关系，不等式在一个区间上恒成立和在该区间上有解的区别，函数单调性定义的运用，的真假和，真假的关系． 2．若存在使成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据不等式，分离参数可得，判断不等式右边函数的单调性，可得所求的范围． 【解答】解：由得， 由在递增，可得， 存在使成立， 可得， 即的范围是，． 故选：． 【点评】本题主要考查特称命题的应用，运用参数分离和函数的单调性是解决本题的关键，属于中档题． 3．已知函数，，若对任意，，存在，，使，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】将不等式问题转化为，然后利用函数的单调性和指数函数的性质分别求解和，即可得到的取值范围． 【解答】解：因为对任意，，存在，，使， 只需， 又函数，， 当，时，单调递增，则（3）， 当，时，，即取最小时，取最小值， 因为，，所以， 所以，解得． 故选：． 【点评】本题考查了函数与不等式的综合应用，存在性问题与恒成立问题，利用函数的单调性求解函数的最值问题，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题． 4．设函数是定义在上的增函数，实数使得对于任意，都成立，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【分析】解法一：由条件得对于，恒成立，令，只需在，上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数的取值范围； 解法二：由，得，对讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数的取值范围． 【解答】解：法一：由条件得对于，恒成立 令，只需在，上的最小值大于0即可． ． ①当，即时，，，故； ②当，即时，，，故； ③当，即时，（1），满足，故． 综上． 法二：由得， ，，， ①当时，恒成立，此时； ②当，时，恒成立． 求当，时，函数的最小值． 令，则， 而函数是，上的减函数，所以当且仅当，即时，． 故要使不等式在，上恒成立，只需， 由①②得． 故选：． 【点评】本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，利用函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．注意要利用分类讨论的数学思想． 5．设函数，，若对任意的，，存在，，使得，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】作函数与函数的图象，利用数形结合的思想讨论即可． 【解答】解：作函数与函数的图象如右图， ①当时，， 故对任意的，，存在，，使得成立； ②当时，， 故， 解得，； 结合选项可知，正确； 故选：． 【点评】本题考查了数形结合的思想应用． 二．填空题（共1小题） 6．已知函数．若存在，使得成立，则的取值范围是 　，　． 【分析】由题意得，由绝对值不等式的性质可得，所以，由不等式的性质得，所以，从而可求出的取值范围． 【解答】解：已知函数， 存在，使得成立，等价于， 因为，当且仅当时成立，所以，则， 因为，当且仅当，即时等号成立，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为：，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题． 三．解答题（共3小题） 7．已知函数，满足，其中为偶函数，为奇函数． （1）求，的解析式； （2）求函数的值域； （3）设，若对任意的，，都存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据函数的奇偶性即可联立方程求解， （2）利用换元法，结合二次函数的性质即可求解， （3）将问题转化为两个函数的最值，利用函数的单调性以及基本不等式求解最值即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，由于为偶函数，为奇函数，且， 故， 两式相加可得， 进而可得：， （2）， 令，，则， 故值域为； （3）由于，均为单调递减函数，故为单调递减函数， 故当，时，，，即， 故在，上的最小值为， ，当且仅当时等号成立， 故在，上的最小值为1， 若对任意的，，都存在，，使得成立， 只需要， 又，故，解得， 故的取值范围为，． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于中档题． 8．已知函数，且满足． （1）设，若对任意的，存在，都有，求实数的取值范围； （2）当（1）中时，若，，，都有成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）由已知结合函数的对称性及不等式恒成立与存在性问题与最值关系的转化即可求解； （2）问题转化为，结合（1）可求的最大值，再由不等式恒成立分离参数，转化为求解最值问题，结合函数单调性即可求解． 【解答】解：（1）因为满足， 所以的对称中心为，所以，即， 因为，所以， 所以， 又因为对任意的，存在，都有成立， 所以，， ， 因为，设，，， 则有图象开口向下，对称轴为的抛物线， 当时，在，上单调递增，所以（1）， 所以，解得，所以； 当时，在，上单调递减，所以，所以， 解得，故； 当时，， 故，解得，所以， 综上所述：实数的取值范围为． （2）当时，对，，，都有成立， 则， 由（1）可知时，， 所以． 则在，恒成立 则在，恒成立． 令，，，则， 因为在，单调递增， 故当时，， 所以，所以， 综上所述，实数的取值范围为，． 【点评】本题主要考查了由恒成立与存在性问题求解参数范围，体现了与最值关系的转化，属于中档题． 9．设集合，． （1）若中仅有一个元素，求实数的取值集合； （2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【分析】（1）令，设，通过换元可知：由在上仅有一根或两相等实根，通过分类讨论利用△及其根与系数的关系即可得出； （2）要使原不等式对任意，恒成立，即（a）恒成立．转化为一次函数，利用其单调性只须解出即可． 【解答】解：（1）令，设，由在上仅有一根或两相等实根， ①有两等根时，△． 验证：这时． ②有一正根和一负根时，． ③若，则，此时，（舍去），或，，此时中只有一个元素． 实数的取值集合为或． （2）要使原不等式对任意，恒成立，即（a）恒成立． 只须． 【点评】熟练掌握换元法、指数函数的单调性、一元二次方程的判别式△及根与系数的关系、一次函数的单调性等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$