从函数观点看一元二次方程与一元二次不等式课件-2025届高三数学一轮复习

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 从函数观点看一元二次方程 & 2.3 一元二次不等式 1 必备知识解读 知识点1 从函数观点看一元二次方程 例1-1 函数没有零点，则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 【解析】 函数没有零点， 一元二次方程 没有实 数根，则，即 . 2 例1-2 ［教材改编P47 T4］(2024·湖南省株洲市期末)已知1与3是函数 的两个零点，求函数的解析式. 【解析】方法1 （代入法） 由题知函数的图象经过两点, ， 则解得所以解析式为 . 方法2 （根与系数的关系） 由题意知，1与3是方程 的两个根，由根 与系数的关系知， 解得 所以解析式为 . 3 知识点2 十字相乘法 例2-3 分解因式： （1） ; 【解析】 ， . 4 （2） . 【解析】 , 对 ,有 . 即 . 5 知识点3 一元二次不等式 例3-4 若不等式的解集为，则函数 的图象为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】因为不等式的解集为，所以，且函数图象与 轴的交点坐标分 别为, ,结合选项可知B正确. 6 例3-5 解下列不等式： （1） ； 【解析】原不等式变形为,解方程,得,， 原不等 式的解集为或 . 7 （2） ； 图2.2-1 【解析】方法1 方程的 ，实根为 , . 函数的图象是开口向下的抛物线，与 轴 交于点和 ,如图2.2-1所示． 由图象得不等式的解集是或 . 方法2 在不等式两边同乘以 ， 可得 ．（【七十二变】将问题转化为二次项系数为正的情形） 方程的实根为，,所以不等式的解集为 或 . 8 （3） ； 【解析】原不等式变形为 . , 原不等式的解集为 . 9 （4） . 【解析】原不等式变形为 . 解方程，得 . 原不等式的解集为或,即 . 10 关键能力构建 题型1 二次函数的零点与一元二次方程的根 例6 已知的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数 的取值范围． 【解析】方法1 设方程的两根分别为， ， 则 ， . 由根与系数的关系， 得 ， 即，解得 . 故实数的取值范围是 . 11 方法2 函数的大致图象如图2.2-2所示，则有当时， ， 图2.2-2 即 ， 解得 . 故实数的取值范围是 ． 12 【学会了吗丨变式题】 1.已知函数在区间上有零点，则 的取值范围为________． 【解析】函数的图象为开口向上，对称轴为直线 的抛 物线. 当时，， 由函数图象可知,要使函数 在 上有零点，必有当时， ， 解得 . 13 题型2 解一元二次不等式 例7 解下列不等式： （1） ； 【解析】因为，所以方程 有两个不等 实根， . 又二次函数 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为或 . 14 （2） ； 【解析】因为，所以方程 有两 个不等实根， . 又二次函数 的图象开口向下，所以原不等式的解集为 }. 15 （3） ； 【解析】原不等式可化为，所以原不等式的解集为 . 16 （4） ； 【解析】原不等式可化为，所以原不等式的解集为 }. 17 （5） ； 【解析】原不等式可化为 ， 因为 ， 所以方程 无实根, 又二次函数的图象开口向上，所以原不等式的解集为 . 18 （6） . 【解析】原不等式可化为 ， 因为 ， 所以方程 无实根, 又二次函数的图象开口向上，所以原不等式的解集为 . 19 【学会了吗丨变式题】 2.设集合，，则 ( ) C A. B. C.，， D.，1， 【解析】 ， ，，，， ，则 ，， ． 20 3.(2024·四川省宜宾市二诊)已知集合， ，则 ( ) C A.或 B.或 C.或 D.或 【解析】 ， 则或 ， 或 ， 则或 ． 21 例8（1） 解关于的不等式： . 【解析】将不等式变形为.（需根据 与 的大小关系分类讨论） 当时，有， 不等式的解集为或 ； 当时，， 不等式的解集为 ； 当时，有， 不等式的解集为或 ； 当时，， 不等式的解集为 ； 当时，有， 不等式的解集为或 . 22 （2）解关于的不等式: . 【解析】若 （【易错点】易忽略对二次项系数的讨论，从而造成漏解），则原 不等式为，故解集为 . 若， . ①若 ， 当,即时，方程的两根为, , 原不等式的解集为 ｝； 当，即时，原不等式的解集为 ； 当，即时，原不等式的解集为 . 23 ②若 ， 当,即时，原不等式的解集为或 ｝； 当,即时，原不等式可化为 , 原不等式的解集为 ； 当，即时，原不等式的解集为 . 综上所述，当时，原不等式的解集为 ;当 时，原不等式的解集为 ｝; 当时，原不等式的解集为 ; 当时，原不等式的解集为或 ｝; 当时，原不等式的解集为 ; 当时，原不等式的解集为 . 24 【学会了吗丨变式题】 4.［多选题］(2024·甘肃省张掖市民乐一中期中)关于的不等式 的解集可能是( ) ACD A.或 B.或 C. D. 25 【解析】当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式等价于 ， 若，则不等式的解为 ； 若，则不等式的解为 ； 若，则不等式化为，其解集为 . 当时，原不等式等价于，解得或 . 综上，当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为或．故选 ． 26 例9 解下列不等式： （1） ； 【解析】原不等式可化为 ， 令，则不等式可化为 , 解得，又,,即 , ． 故原不等式的解集为 }． 27 （2） ； 【解析】原不等式可化为，令 ，则不等式可化为 ,解得 , 又，,即, ． 故原不等式的解集为 ． 28 （3） ． 【解析】原不等式可化为 ， 令，则不等式可化为 , 解得或 （舍去）, ,或 ． 故原不等式的解集为或 . 29 题型3 三个二次之间的关系 例10 不等式的解集为，则函数 的 图象大致为( ) C A. B. C. D. 30 【解析】因为的解集为 ， 所以方程的两根分别为和1，且 ， 则变形可得 故函数 的图象开口向下，且与 轴的交点坐标为和 . 故C选项的图象符合. 31 例11（1） (2024·北京15中月考)若不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是( ) C A. B. C.} D. 【解析】因为不等式的解集为 ，所以方程 的两实数根分别为和3，且 ， 所以解得 代入不等式，得 ， 即，解得 ， 所以不等式的解集为 }． 32 （2）(2024·河南省驻马店市期中)若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为( ) A A. B.或 C. D.或 【解析】因为不等式的解集为 ， 所以且和2是方程 的解，（三个“二次”之间的关系） 由根与系数的关系知，解得 所以不等式可化为 ，即 ，（之所以变号是因为 ，此处易错） 即，解得，所以不等式 的 解集为 ． 33 【学会了吗丨变式题】 5.关于的不等式的解集为，则实数 ___. 1 【解析】由条件知函数的图象与轴仅有一个交点 ， 即,解得.此时的图象与 轴的交点 坐标为,故 . 34 题型4 一元二次不等式恒成立问题 例12 (2024·福建省莆田三中段考)已知关于的不等式在 上恒成立， 则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】方法1 令，由题意得，其图象开口向上，与 轴无交点， 即，解得 . 方法2 .由题意得，当 时， ,解得 . 35 子题 (2024·湖南省邵阳市邵东一中月考)若关于的不等式在 上 恒成立，则实数 的取值范围是________. 【解析】方法1 （最值法） 函数的图象的对称轴方程为 . 当,即时，其图象开口向上，在上，函数 在处取到最小值，且,所以 ; 当，即时，在上，函数在 处取到最小值，且 ,所以 ; 当，即时,在上，函数在 处取到最小值，且 ，显然不合题意. 综上，实数的取值范围是 . 36 方法2 （分离参数法）（【作用】利用分离参数法可以避免分类讨论） 不等式可化 为,由于，则,所以在 上恒成立. 令，，则 . 令,,则，当且仅当，即 时 等号成立， 所以当时， 取最小值8, 则，故的取值范围是 . 37 【学会了吗丨变式题】 6.(2024·河北省石家庄二十七中月考)若两个正实数,满足 ,且 恒成立，则实数 的取值范围是多少？ 【解析】 ,当且仅当 时取等号. 若 恒成立， 则,即 , 所以.故实数的取值范围是 . 38 题型5 分式不等式的解法 例13 不等式 的解集为________________． 【解析】方法1 原不等式可化为，即 ． 原不等式等价于 （【注意】分母不能为零） 即故 . 原不等式的解集为 ． 方法2 原不等式可化为，即 ． 原不等式等价于或解得 ． 故原不等式的解集为 ． 39 例14 不等式 的解集为________________________． 或 【解析】方法1 （穿根引线法） 方程 ，即 的根为，， ． 将， ，4标在数轴上，然后用一条光滑的曲线从数轴右端的上方起，依次穿过 这些点，则不等式的解集即为曲线在数轴上方的部分对应的 的取值范围（如图 2.2- 3所示）． 图2.2-3 故原不等式的解集为或 . 40 方法2 （不等式组法） 原不等式可化为或 即或 解得或 . 故原不等式的解集为或 . 方法3 （列表法） 原不等式可化为 .列表如下. 41 - - - - - - - - 由上表可知，原不等式的解集为或 ． 题型6 一元二次不等式的实际应用 图2.2-4 例15 某物流公司购买了一块长，宽 的矩 形地块，计划建设占地如图2.2-4中阴影部分所示的仓库，其余 地方为道路和停车场，要求顶点在地块对角线上，, 分别 在边,上，假设的长度为 ． （1）求仓库占地面积关于 的函数解析式； 【解析】依题意，得，所以,即 ，解得 ， 所以仓库占地面积关于的函数解析式为 . 43 （2）要使仓库占地面积不少于，求 的取值范围. 【解析】仓库占地面积不少于，即 ， 化简得，解得 ， 所以的取值范围为 . 44 【学会了吗丨变式题】 7.(2024·陕西省安康市期中)某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若 按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使 这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价 （单位：元）的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意可知，，即 ，解得 ，又每盏最低售价为15元， 所求取值范围为 ． 45 核心素养聚焦 考向 一元二次不等式的解法 例16（1） (2023·新课标Ⅰ卷)已知集合,,0,1,， ， 则 ( ) C A.,,0, B. C. D. 【解析】因为或，所以 . 46 （2）(全国Ⅰ卷)已知集合,,1,3,,则 ( ) D A.， B.， C.， D.， 【解析】由，得，即集合 ，又集合 ,1,3,，所以 . 47 高考新题型专练 1.［多选题］(2023·甘肃省兰州一中期中)已知不等式 ， 下列说法正确的是( ) BCD A.若，则不等式的解集为 B.若，则不等式的解集为或 C.若，则不等式的解集为或 D.若，则不等式的解集为或 48 【解析】不等式，即 ，令 ，解得, ， 对于A，当时，，则，解得 ，故A错误； 对于B，当时，，，则，解得或 ，故B正确； 对于C，当时，即，解得或 ,故C正确； 对于D，当时，，解得或 ，故D正确. 故选 ． 49 2.［多选题］(2024·安徽省宿州市示范高中期末)已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是( ) BCD A. B. C.不等式的解集为或 } D. 的最小值为6 50 【解析】 不等式的解集为， ,且2和3是方程 的两根，,,即, , ，故A错误，B正确. 可化为，即 ，故不等式的解集 为或 ，故C正确. ，当且仅当 时，等号成立，故D正确. 故选 ． 51 习题课 A 基础练 知识测评 建议时间：30分钟 1.设集合，，则 ( ) D A. B.或 C. D.或 【解析】易得集合或，结合数轴，可得 或 . 52 2.“”是“函数 有零点”的( ) C A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 【解析】函数有零点等价于方程 有实数解，则 ，解得 . ，, “”是“函数 有零点”的必 要不充分条件. 53 3.若,式子都有意义，则实数 的取值范围为( ) D A. B.或 C.或 D. 【解析】由题意得不等式对一切恒成立，则 ， 解得 . 54 4.［多选题］已知不等式的解集是 ，则( ) BCD A. B. C. D. 【解析】不等式的解集是，所以 且 解得, . 则 ，选项D正确； ，选项B正确； ，选项C正确； ，选项A错误． 故选 ． 55 5.(2024·江西省宜春市宜丰中学期中)不等式 的解集是 ___________________. 或 【解析】原不等式等价于或解得或 . 56 6.(2024·湖南省娄底市期末)若函数 的两个零点是2和3，则不等式 的解集为__________． 【解析】函数的两个零点是2和3，所以2和3是方程 的两个根， 所以解得 所以不等式可化为 ， 即，解得 ， 所以不等式的解集为 ． 57 7.(2024·山东省青岛海军中学月考)已知关于的不等式 ． （1）当时，解关于 的不等式； 【解析】由题意得,当时， ，解得 . 故当时，关于的不等式的解集为 ． 58 （2）当时，解关于 的不等式． 【解析】当时，不等式可化为 ， 的根为， . ①当时，， 不等式解集为 ， ②当时，， 不等式解集为 ， ③当时，， 不等式解集为 ， 综上，当时，不等式解集为 ； 当时，不等式解集为 ； 当时，不等式解集为 ． 59 8.(2024·江苏省启东市东南中学期中)已知不等式的解集为 或 ． （1）求, 的值； 【解析】不等式的解集为或 ， 所以1和是方程 的实数根， 方程可化为 ， 由根与系数的关系知，解得 （2）为何值时，的解集为 ； 【解析】不等式为 ， 令，解得 ， 所以当时，不等式的解集为 . 60 （3）解不等式 ． 【解析】不等式为 ， 即 . 当时，解不等式得 , 当时，不等式 ，不成立， 当时，解不等式得 . 综上所述，当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ． 61 B 综合练 高考模拟 建议时间：30分钟 9.设不等式的解集为，若，则实数 的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意知，恒成立，且当 时，函数 需大于或等于0,当时，函数 需大于或等于0, 即解得 .故选C. 62 10.(2024·陕西省西安市铁一中学月考)已知关于的不等式 的解集 为，其中，则 的最小值为( ) C A. B.1 C.2 D.8 【解析】关于的不等式的解集为，其中，所以 和 是方程的实数根，由根与系数的关系知 解得 ，，所以，当且仅当，即 时 取“”，所以 的最小值为2． 63 11.(2024·辽宁省沈阳实验中学月考)关于的不等式 的解集 为,且，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由条件知,为方程的两根，则 , ,故 ,解得 . 64 12.［多选题］(2024·山东省聊城市期中)高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一， 享有“数学王子”的美誉.设，用表示不超过的最大整数，则称 为高斯 函数，也称取整函数，例如：， ．则能满足不等式 的 的值可以为( ) BC A. B. C.7 D.8 【解析】由，得 ，又当且仅当 时，，所以 ,3,4,5,6,7，所以不等式的解集为 ．结合选项可知 正确. 65 13.若不等式对一切非负的,恒成立，则实数 的取 值范围为____________________. 或 【解析】若 ，则原不等式恒成立； 若，则原不等式可化为 . 令,则， . 问题转化为关于的二次函数在上的最小值非负，故有 或 解得实数的取值范围为或 . 66 14.某商品在2023年的价格为8元/件，年销量是 件．现经销商在2024年将该商品的价 格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该 商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为 . 该商品的成本价为3元/件． （1）写出该商品价格下调后，经销商的年收益（单位：元）与实际价格 （单位：元/件）的函数关系式； 【解析】由题意知，该商品价格下调后为元/件，则年销量增加到 件，故 经销商的年收益， . 67 （2）设 ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2024年的收益比 2023年至少增长 ? 【解析】当时，依题意有 ，化简得 ,解得或 . 又，所以 ，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保 证经销商2024年的收益比2023年至少增长 . 68 C 培优练 能力提升 15.设,若时均有成立，则 __. 【解析】由知方程 有两个不同的实 数根，设为，.由，知,异号，不妨设 . （1）当时，不等式即,对任意 未必成立，不符合题意. （2）当时，由知,而当时， ，从而 ，不符合题意. 69 （3）当时, . ①当时，，则 . 如图D 2.2-1,当时，未必恒有 成立，不符合题意. 图D 2.2-1 70 ②当时，，则 . 如图D 2.2-2,当时，未必恒有 成立，不符合题意. 图D 2.2-2 ③当时，,则 . 如图D 2.2-3,当时，恒有 成立，满足条件. 图D 2.2-3 综上可知，所求实数的值为 . 72 $$