专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题03.三角形中的倒角模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 2 模型2.风筝（鹰爪）模型 24 模型3.角内（外）翻模型 36 48 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 例1．（2023·山西晋城·七年级校联考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，． “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，， 即， 又：在中，， ∴， 即． “创新小组”想出了另外一种方法 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， …… …… 任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 例2．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，，，请直接写出的度数． 例3．（2023·浙江杭州·八年级专题练习）（2018十三中开学考）已知，在中，∠A=60°， （1）如图①，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= ； （2）如图②，∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，则； （3）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，…，（内部有个点），则 ； （4）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，…，，若，求n的值． 变式1．（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究. 小亮：已知，如图①，在中，点D是内一点，连接，试探究与之间的关系．       小红：以用三角形内角和定理去解决．小明：外角的相关结论也能解决． (1)请你在横线上补全小红的探究过程： ∵（___________________） ∴（等式性质） ∵________， ∴________． ∴．（________________） (2)请你按照小明的思路完成探究过程． (3)利用探究的结果填空．如图②，，则_______． 变式2．（2023·成都市·七年级专题练习）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 变式3.（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证． 模型2.风筝（鹰爪）模型 图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 例1．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ） A． B． C． D． 例2．（2023·山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    例3．（2023·河南鹤壁·七年级统考期末）中，，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令，，． 初探：(1)如图1，若点P在线段AB上，且，则_____________； (2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________； (3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________； 再探：(4)如图4，若点P运动到的内部，写出此时∠1，∠2，之间的关系，并说明理由． 变式1．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数； （2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系；（3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程） 模型3.角内（外）翻模型 图3 图4 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 例1.（2023春·广东·七年级专题练习）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 例2．（2023·山西临汾·七年级统考期末）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1−∠2=60°，则∠B的度数是 ． 例3．（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时之间的数量关系为：_________； （3）如图3，将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出的平分线，试判断射线的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？      变式1．（2023春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处，如果，那么的度数为 ．    变式2．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ）    A． B． C． D． 1．（2023·广东广州·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（    ） A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 2．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，在五边形中，若去掉一个的角后得到一个六边形，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度数是 度． 6．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）在中，，，将、按照如图所示折叠，若，则 ° 7．（2023·天津·八年级校考期中）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为 ． 8．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图，点在上，点在上，平分，交于，平分，交于，、相交于，、相交于，若，，则的度数为 ． 9．（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °． 10．（2023秋·山东·八年级专题练习）已知，在中，点E在边上，点D是上一个动点，将沿E、D所在直线进行翻折得到．(1)如图，若，则______； (2)在图中细心的小明发现了，，之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明． 11．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）例题再现：（1）如图1，五角星的顶角分别是，则_________（直接写出答案）； 知识链接：n边形的内角和等于．变式拓展：（2）如图2，将该五角星剪掉一个顶角． ①求的度数；②若，求的度数． 12．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则___________；②如图3，，的二等分线（即角平分线），相交于点，若，，求的度数． 13．（23-24七年级下·山东威海·期末）[实验探究]（1）将一副三角板如图1摆放，使三角板的两条直角边分别经过点，点，且，则______；（2）在图1的基础上，三角板保持不动，将三角板旋转得到图2，使三角板的两条直角边依然分别经过点，点，则______． [猜想证明]如图3，试猜想之间的关系，并证明． [结论应用]请直接利用以上的结论，解决问题：如图4，与的角平分线交于点，若，，求的度数． 14.（2023·湖北·七年级期末）三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上． （1）说明为什么．（2）说明为什么． （3）与，哪一个更大？证明你的答案； （4）与，哪一个更大？证明你的答案． 15．（2023·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．（1）如图1，若α+β=100°，求∠MBC+∠NDC的度数； （2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=40°，请直接写出α、β所满足的数量关系式； （3）如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由． 16．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，(1)探索与之间的数量关系，并说明理由． (2)如果点落在四边形外点的位置，与、之间的数量关系有何变化，请说明理由． 17．（2023·云南保山·八年级校考期中）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． （1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明． 18．（2023·广东·八年级校考阶段练习）（1）如图①∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？ （2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空： ∠1+∠2　 　∠B+∠C（填“＞”“＜”“＝”），当∠A＝60°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝　 　 （3）如图③，是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系，并证明你的猜想． 19．（2023春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知，在中，，点在上，过点的一条直线与直线、分别交于点、．(1)如图1，，则______°． (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并加以证明； (3)如图3，直接写出、、之间的数量关系______．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 2 模型2.风筝（鹰爪）模型 24 模型3.角内（外）翻模型 36 48 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 例1．（2023·山西晋城·七年级校联考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．    “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，， 即， 又：在中，， ∴， 即． “创新小组”想出了另外一种方法 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， …… …… 任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】(1)三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度） (2)见解析 【分析】（1）连接之后，构成了三角形，从而利用三角形内角和的基本性质，由此填写即可； （2）利用三角形的外角定理进行证明即可． 【详解】（1）故答案为：三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度） （2）证明：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，∴，， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形内角和定理以及外角定理的应用，理解并熟练运用这些基本定理是解题关键． 例2．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，，，请直接写出的度数． 【答案】（1）=++，理由见详解；（2）21° 【分析】（1）连接CD并延长到点E，利用三角形的外角的性质求解即可；（2）由（1）可知：∠ADB-∠C=∠A+∠B=90°，从而得∠EDO-∠BCO=×90°=45°，结合∠EDO+∠E=∠BCO+∠B，即可求解． 【详解】解：（1）=++，理由如下： 连接CD并延长到点E， ∵∠ADE＝∠ACD＋∠A，∠BDE＝∠BCD＋∠B， ∴∠ADE＋∠BDE＝∠ACD＋∠A＋∠BCD＋∠B，∴=++． （2）由第（1）题可得：=++，∴∠ADB-∠ACB=∠A+∠B=66°+24°=90°， ∵平分，平分，∴∠EDO-∠BCO=（∠ADB-∠C）=×90°=45°， ∵∠DOE=∠BOC，∴∠EDO+∠E=∠BCO+∠B， ∴∠B-∠E=∠EDO-∠BCO=45°，∴∠E=∠B-45°=66°-45°=21°． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形外角的性质，是解题的关键． 例3．（2023·浙江杭州·八年级专题练习）（2018十三中开学考）已知，在中，∠A=60°， （1）如图①，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= ； （2）如图②，∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，则； （3）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，…，（内部有个点），则 ； （4）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，…，，若，求n的值． 【答案】（1）120°；（2）100°；（3）；（4）n=4 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据角平分线的定义即可求出∠OBC＋∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据三等分线的定义即可求出∠O2BC＋∠O2CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据n等分线的定义即可求出∠On－1BC＋∠O n－1CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论． 【详解】解：（1）∵在中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120° ∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB ∴∠OBC＋∠OCB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=60° ∴∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB）=120° 故答案为：120°． （2）∵在中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120° ∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2， ∴∠O2BC=∠ABC，∠O2CB=∠ACB ∴∠O2BC＋∠O2CB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=80° ∴180°－（∠O2BC＋∠O2CB）=100° 故答案为：100°． （3）∵在中，∠A=60°， ∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120° ∵∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，……， ∴∠O n－1BC=∠ABC，∠O n－1CB=∠ACB ∴∠O n－1BC＋∠O n－1CB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=° ∴180°－（∠O2BC＋∠O2CB）= 故答案为： （4）由（3）知： ∴解得：n=4 经检验：n=4是原方程的解． 【点睛】本题考查了n等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键． 变式1．（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究. 小亮：已知，如图①，在中，点D是内一点，连接，试探究与之间的关系．    小红：以用三角形内角和定理去解决． 小明：外角的相关结论也能解决． (1)请你在横线上补全小红的探究过程： ∵（___________________） ∴（等式性质） ∵________， ∴________． ∴．（________________） (2)请你按照小明的思路完成探究过程． (3)利用探究的结果填空．如图②，，则_______．    【答案】(1)三角形的内角和定理，，，等量代换(2)过程见解析(3) 【分析】（1）按照步骤进行填写作答即可；（2）如图①，延长交于，由题意知，，则；（3）如图②，连接，由（1）可知，，由，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵（三角形的内角和定理）， ∴（等式性质）， ∵， ∴， ∴．（等量代换）， 故答案为：三角形的内角和定理，，，等量代换． （2）解：如图①，延长交于，    由题意知，，∴； （3）解：由（1）可知，， ∵，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 变式2．（2023·成都市·七年级专题练习）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【分析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小. 【详解】解：连接 平分，平分， 故选： 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键. 变式3.（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证． 【详解】作点关于的对称点，则点落在线段CD上．连接交于点，连接． 由轴对称图形的性质可得，． 在中，，在中，． 因此，所以． 模型2.风筝（鹰爪）模型 图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 例1．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形的外角和是及三角形的外角定理求解判断即可． 【详解】解：如图，连结BD，延长AD到E， ，， ， 故选项A正确，符合题意；B不正确，不符合题意； 多边形的外角和是，∴∴ 故选项C不正确，不符合题意；选项D不正确，不符合题意．故选：A． 【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是是解题的基础． 例2．（2023·山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由见解析 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质和平角的定义解决． （2）根据三角形内角和定理和平角的定义即可解答． （3）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可解答； （4）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，根据三角形的内角和定理得，以此即可求解． （5）连接，根据三角形内角和定理的推论即可解答． （6）过点作，由（1）可知，，则，根据平行线和角平分线的性质可得，则，以此即可求解． （7）由（1）可知，，则，根据角平分线的性质和四边形的内角和为即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作，    ∵，，， ，． （2），， ．故答案为：． （3），，， ；故答案为：； （4），，， ，， ．故答案为：． （5）如图，连接，    ，， ， ，， ．故答案为：． （6）如图，过点作，则，    由（1）知，，， ，，，， 、分别是和，， ，．故答案为：． （7），理由如下： 由（1）知，，， 、分别为和的角平分线， ，， ，， ，即． 【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的性质，根据题干作出正确的辅助线是解题关键． 例3．（2023·河南鹤壁·七年级统考期末）中，，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令，，． 初探：(1)如图1，若点P在线段AB上，且，则_____________； (2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________； (3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________； 再探：(4)如图4，若点P运动到的内部，写出此时∠1，∠2，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)，见解析． 【分析】（1）连接，证明即可；（2）利用（1）中结论解答即可； （3）直接利用三角形的外角性质求解即可；（4）同样直接利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，， ， ，，，故答案为：； （2）解：由（1）可知，，故答案为：； （3）解：如图， ，，， 即，故答案为：； （4）解：，证明如下：如图，连接， ，， ，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角和性质，解题的关键是灵活运用所学求解． 变式1．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数； （2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系；（3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程） 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（1）根据翻折的性质表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得 ，问题随之得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出、，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：（1）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，，， ∴，整理得，， ∵，，∴，即； （2）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，∴， 整理得，，即；故答案为：； （3）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，∴， 整理得，，即． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是，是解题的关键． 模型3.角内（外）翻模型 图3 图4 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 例1.（2023春·广东·七年级专题练习）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB， ∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°， ∵沿DE折叠，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A， ∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'， ∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型． 例2．（2023·山西临汾·七年级统考期末）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1−∠2=60°，则∠B的度数是 ． 【答案】30° 【分析】由折叠的性质得到∠D=∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：∠D=∠B，根据外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D， ∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B，∴∠1-∠2=2∠B=60°．∴∠B=30°，故答案为：30°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 例3．（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时之间的数量关系为：_________； （3）如图3，将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出的平分线，试判断射线的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？      【答案】（1），（2）；（3）；（4）位置不改变，． 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案；（3）如图，延长，交于点Q，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案；（4）如图，平分，平分，可得，，由对折可得：，， 由（2）的结论可得： ，即，证明，可得． 【详解】（1）结论： 理由：连接，         沿折叠A和重合，∴ ∵， ∴． （2） 理由：连接， 沿折叠A和重合，∴ ∵， ∴； （3）如图，延长，交于点Q，延长，交于点，则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ∴，∴，∵，∴； （4），理由见解析 如图，平分，平分， ∴，，    由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即∴， ∴， ∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 变式1．（2023春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处，如果，那么的度数为 ．    【答案】/度 【分析】根据翻折性质求得，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由折叠性质得，， ∵，，∴，， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查翻折性质，三角形的内角和定理，熟练掌握翻折性质是解答的关键． 变式2．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理求出，根据对顶角相等得出，根据三角形内角和定理可得结果． 【详解】解：∵，，∴， ∴， ∵，∴，故B正确．故选：B．    【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，解题的关键是运用多边形的内角和定理求出的度数． 1．（2023·广东广州·八年级统考期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（    ） A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形内角与外角的关系．根据外角的性质，可推出∠1+∠4=∠6，∠6=∠2-∠3，从而推出∠1+∠4=∠2-∠3 【详解】解：∵∠6是△ABC的外角，∴∠1+∠4=∠6①， 又∵∠2是△CDF的外角，∴∠6=∠2-∠3②， 由①和②得：∠1+∠4=∠2-∠3．故选D． 【点睛】此题考查了三角形内角和外角，解题的关键是记住外角和定理． 2．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，在五边形中，若去掉一个的角后得到一个六边形，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理可得，根据平角的定义可得，从而求出结论． 【详解】解：∵，∴， ∵，∴．故选D． 【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键． 3．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠，三角形的内角和定理，根据折叠的性质，结合角的和差关系求出，，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵，且∠1=100°，∴，∴， ∵，且， ∴，∴， ∴，故选：B． 4．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质是解题的关键． 延长交于点，利用四边形的内角和定理得到：，利用四边形的内角和定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得的值，则结论可求． 【详解】解：延长交于点，设交于点，如图， 四边形的内角和为，， ，． 由折叠的性质可得：． ，． 在和中，，， ，，． ，， ，， ，， ，．故选：D． 5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度数是 度． 【答案】55/五十五 【分析】延长B'E，C'F，交于点D，依据∠A=∠D，∠AED+∠AFD=250°，即可得到∠A的度数． 【详解】解：如图，延长B'E，C'F，交于点D， 由折叠可得，∠B=∠B'，∠C=∠C'，∴∠A=∠D， 又∵∠1+∠2=110°，∴∠AED+∠AFD=360°-110°=250°， ∴四边形AEDF中，∠A=（360°-250°）=55°，故答案为：55． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是构造四边形，利用四边形内角和进行计算． 6．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）在中，，，将、按照如图所示折叠，若，则 ° 【答案】 【分析】先根据折叠的性质求出，，，再根据三角形内角和定理求出，，进而求出，然后求出四边形内角和，进而得出，即可得出答案． 【详解】根据折叠性质得，，． ∵，，∴，， ∴，， ∴． 在四边形中，. ∴， 即，∴， ∴．故答案为：265． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，四边形的内角和等，确定各角之间的数量关系是解题的关键． 7．（2023·天津·八年级校考期中）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】由翻折的性质可知：，，再根据三角形的内角和定理求解即可； 【详解】解：由翻折的性质可知：．． ，．故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的翻折变换，三角形内角和定理等知识；熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 8．（22-23八年级上·浙江台州·开学考试）如图，点在上，点在上，平分，交于，平分，交于，、相交于，、相交于，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形的内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 根据三角形的内角和定理，及角平分线上的性质先计算的度数，从而得出的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵平分，交于，平分，交于， ∴，， 又，，∴，， ∴，∴， ∴，即，∴．故答案为：． 9．（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °． 【答案】 增大 10 【分析】利用三角形的外角性质先求得∠ABE+∠ADE=30°，根据角平分线的定义得到∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长，∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°， ∵∠BAD＝70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线， ∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°， 同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°， ∴∠BCD增大了10°．故答案为：增大，10． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练运用题目中所给的结论是解题的关键． 10．（2023秋·山东·八年级专题练习）已知，在中，点E在边上，点D是上一个动点，将沿E、D所在直线进行翻折得到．(1)如图，若，则______； (2)在图中细心的小明发现了，，之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明． 【答案】(1)；(2)，证明见解析． 【分析】（1）先由三角形内角和求出，再由折叠的性质得 ，进而可求出的度数； （2）先由三角形内角和求出，再由折叠的性质得 ，进而可求出，，之间的关系． 【详解】（1）在中，，∴． 由折叠的性质，可知：，，∴． 又∵∠， ∴ ．故答案为：； （2）．证明：在中，，∴． 由折叠的性质，可知：，∴． 又∵， ∴ ，即． 【点睛】本题考查了三角形内角和，以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 11．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）例题再现：（1）如图1，五角星的顶角分别是，则_________（直接写出答案）； 知识链接：n边形的内角和等于．变式拓展：（2）如图2，将该五角星剪掉一个顶角． ①求的度数；②若，求的度数．    【答案】（1）（2）①② 【分析】（1）利用三角形的外角的性质和三角形的内角和进行求解即可； （2）①三角形的外角的性质得到，，进而得到，即可得解；②根据以及，求出，进而求出，再利用①中结论进行求解即可。 【详解】解：（1）如图，      ∵， 又∵，∴；故答案为：； （2）①如图，∵是的一个外角，∴．同理，． ∵在四边形中，，∴． ②由（1）知，． 又∵，∴∴．∴． 由①知，．∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角的性质，多边形的内角和．熟练掌握相关知识点，正确的计算，是解题的关键． 12．（23-24七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则___________；②如图3，，的二等分线（即角平分线），相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)(2)①  ② 【分析】本题主要考查几何变换的综合问题，解题的关键是掌握“箭头四角形”的性质及其运用，学会利用参数解决问题．（1）如图中，连接并延长到，利用三角形的外角的性质证明即可；（2）①利用（1）中结论计算即可；②如图中, 设 利用（1）中结论,求出即可解决问题． 【详解】（1）结论: 理由：如图1中，连接并延长到， 因为 所以 ，即； （2）①如图中,由（1）知:，由于 所以 ，故答案为； ②如图中, 设 ， 由（1）可知:，，，． 13．（23-24七年级下·山东威海·期末）[实验探究]（1）将一副三角板如图1摆放，使三角板的两条直角边分别经过点，点，且，则______；（2）在图1的基础上，三角板保持不动，将三角板旋转得到图2，使三角板的两条直角边依然分别经过点，点，则______． [猜想证明]如图3，试猜想之间的关系，并证明． [结论应用]请直接利用以上的结论，解决问题：如图4，与的角平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】[实验探究] （1）；（2）；[猜想证明] ，证明见解析；[结论应用] 【分析】本题考查了三角形内角和定理，准确识别图形是解题的关键． [实验探究] （1）根据直角三角板的性质可得，，即可求解；（2）根据直角三角板的性质可得，，即可求解； [猜想证明] 连接，在和中，根据三角形内角和定理可得，，即可求解； [结论应用] 由[猜想证明]得：，，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：[实验探究] （1）∵，∴， ∵， ∴；故答案为： （2）∵，∴， ∵， ∴；故答案为： [猜想证明]  ，证明如下：如图，连接， 在中，，在中，， ∴， 即； [结论应用]  由[猜想证明]得：，， ∵与的角平分线交于点，∴， ∴，∴，解得：． 14.（2023·湖北·七年级期末）三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上． （1）说明为什么．（2）说明为什么． （3）与，哪一个更大？证明你的答案； （4）与，哪一个更大？证明你的答案． （1）由三角形三边关系，． （2）由三角形三边关系，． 因此， ． （3）由三角形三边关系，，，以及， 将三个不等式相加，得． （4）由（2）可知． 类似可得，以及． 将这三个不等式相加，可得， 即． 15．（2023·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．（1）如图1，若α+β=100°，求∠MBC+∠NDC的度数； （2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=40°，请直接写出α、β所满足的数量关系式； （3）如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）β﹣α=80°；（3）平行，见解析 【分析】（1）连接AC，根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）连接AG，由∠MBC+∠NDC=α+β，得∠MBG+∠NDG=(α+β)，结合∠MBG+∠NDG=α+40°，即可得到结论；（3）延长BC交DF于H，易得∠CBE+∠CDH=（α+β），结合∠CDH =β﹣∠DHB，可得∠CBE+β﹣∠DHB=（α+β），进而得∠CBE=∠DHB，即可得到结论． 【详解】（1）如图1，连接AC，∵∠MBC=∠BAC+∠BCA，∠NDC=∠CAD+∠ACD， ∴∠MBC+∠NDC=∠BAC+∠BCA+∠CAD+∠ACD =（∠BAC+∠CAD）+（∠BCA+∠ACD）=∠BAD+∠BCD=α+β=100°； （2）如图1，连接AG，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β， ∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠MBG+∠NDG=∠MBC+∠NDC=(α+β)， ∵∠MBG=∠BAG+∠BGA，∠NDG=∠DAG+∠DGA， ∴∠MBG+∠NDG=∠BAG+∠BGA+∠DAG+∠DGA=（∠BAG +∠DAG）+（∠DGA++∠BGA）=∠BAD+∠BGD=α+40°， ∴(α+β)= α+40°，即：β﹣α=80°； （3）平行，理由如下：如图2，延长BC交DF于H，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β， ∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=∠MBC，∠CDH=∠NDC， ∴∠CBE+∠CDH=∠MBC+∠NDC=（∠MBC+∠NDC）=（α+β）， ∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB=（α+β）， ∵α=β，∴∠CBE+β﹣∠DHB=（β+β）=β，∴∠CBE=∠DHB，∴BE∥DF． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质定理，角平分线的定义，平行线的判定定理，添加合适的辅助线，构造三角形，熟练掌握三角形外角的性质定理，是解题的关键． 16．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，(1)探索与之间的数量关系，并说明理由． (2)如果点落在四边形外点的位置，与、之间的数量关系有何变化，请说明理由． 【答案】(1)2∠A=∠1+∠2，理由见解析(2)∠A=（∠2-∠1），理由见解析 【分析】（1）根据折叠性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°-∠A，代入∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE）求出即可； （2）先根据翻折的性质表示出∠1、∠2，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）2∠A=∠1+∠2， 理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE， ∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE）， ∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A． （2）∵沿DE折叠A和A'′重合，∴∠AED=∠A′'ED，∠ADE=∠A′'DE， 又∵∠1=∠A'ED-∠BED=∠AED-（180°-∠AED）=2∠AED-180°， ∠2=180°-2∠ADE，∠AED+∠ADE=180°-∠A， ∴∠1+90°+90°-∠2=180°-∠A，即∠A=（∠2-∠1）． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． 17．（2023·云南保山·八年级校考期中）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． （1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明． 【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析. 【分析】（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解； （2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解； （3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到. 【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E， 在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º， 在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ； （2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2， ∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3 ∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴ ∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4 由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C ∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P （3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3, 同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2 ∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3 ∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴ ∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠A+∠C=2∠P 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 18．（2023·广东·八年级校考阶段练习）（1）如图①∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？ （2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空： ∠1+∠2　 　∠B+∠C（填“＞”“＜”“＝”），当∠A＝60°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝　 　 （3）如图③，是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）∠1+∠2＝∠B+∠C；理由见解析；（2）＝；240°（3）∠BDA+∠CEA＝2∠A；理由见解析． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可推得∠1+∠2与∠B+∠C的关系； （2）由折叠的性质和（1）的结论可得∠1+∠2与∠B+∠C的关系；当∠A＝60°时，先求出∠B+∠C的度数，再利用前者的结论即可得出答案； （3）如图③，延长BD交CE的延长线于A′，利用三角形的外角的性质即可得出结论：∠BDA+∠CEA＝2∠A． 【详解】解：（1）根据三角形内角是180°，可知：∠1+∠2＝180°﹣∠A，∠B+∠C＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝∠B+∠C； （2）由折叠的性质知：图②的∠1+∠2就是图①的∠1+∠2，而由（1）知：∠1+∠2＝∠B+∠C； ∴在图②中有∠1+∠2＝∠B+∠C；当∠A＝60°时，∠B+∠C＝180°﹣∠A=120°， ∴∠B+∠C+∠1+∠2＝120°×2＝240°；故答案为＝；240° （3）∠BDA+∠CEA与∠A的关系为：∠BDA+∠CEA＝2∠A． 理由如下：如图③，延长BD交CE的延长线于A′，连接AA′． ∵∠BDA＝∠DA′A+∠DAA′，∠AEC＝∠EA′A+∠EAA′，∠DA′E＝∠DAE， ∴∠BDA+∠AEC＝2∠DAE，∴∠BDA+∠CEA与∠A的关系为：∠BDA+∠CEA＝2∠A． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理与三角形外角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质是解此题的关键. 19．（2023春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知，在中，，点在上，过点的一条直线与直线、分别交于点、．(1)如图1，，则______°． (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并加以证明； (3)如图3，直接写出、、之间的数量关系______．    【答案】(1)140(2)，证明见解析(3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理先求出，再根据，代入后得出，即可得出答案； （2）先求出，再得出，进而可得出答案； （3）根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴； （2）， 证明：在中∵，∴， 在中，∵，∴， ∴，∵，∴； （3）解：∵，，， ∴，∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和180度是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！38 学科网（北京）股份有限公司 $$