专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 2 模型2.风筝（鹰爪）模型 24 模型3.角内（外）翻模型 36 48 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 例1．（2023·福建南平·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°， 即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角， ．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务： (1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 例2．（2023·湖北八年级期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 例3．（2023春·江苏·七年级专题练习）探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；②如图3，平分，平分，若，，则______°；③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数． 变式1．（2023·吉林·八年级统考期末）图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形中，，在对角线上截取，连按，，可将菱形分割为“风筝”（凸四边）和“飞镖”（凹四边形）两部分，则图2中的 °． 变式2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于，若，，则 ． 变式3.（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证． 模型2.风筝（鹰爪）模型 图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 例2．（2023春·甘肃天水·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角． (1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ．      例3．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务． 在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角内部有一点D，在其两边和上各取任意一点E，F，连接．求证：． 小丽的证法 小红的证法 证明： 如图2，连接并延长至点M， ， （    依据    ）， 又∵， ， ∴． 证明： ∵， （量角器测量所得）， ∴， （计算所得）． ∴（等量代换）． 任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________； (2)下列说法正确的是____________． A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理 B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，该定理的证明才完整 C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理 D．小红的证法只要将点D在的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理 (3)如图，若点D在锐角外部，与相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索之间的关系． 变式1．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数； （2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系；（3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程） 模型3.角内（外）翻模型 图3 图4 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 例1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 ． 例2．（2023·江苏泰州·七年级校考期中）在△ABC中，∠B＝33°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1—∠2的度数是 例3．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）如图，是一张三角形的纸片，点、分别是边、上的点将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在边上时，若，求的大小． (2)如图②，当点落在内部时，若，，求的大小． (3)当点落在外部时，如图③，若，，则______；如图④，、和的数量关系为______． 变式1．（2023春·江苏·七年级期中）如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．    变式2．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ） A． B． C． D． 1．（2023春·广西梧州·七年级统考期末）受疫情持续影响，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露营的帐篷酒店也是备受追捧．如图1是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图2所示，若，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南许昌·期中）点P是内一点，连结并延长交于D，连结，则图中、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·上海·八年级校考期中）如图，三角形纸片中，，，将纸片的一角沿折叠，使点落在内，若，则（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）将沿着平行于的直线折叠，点落到点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，五角星形的五个顶角分别是，，，，，若，则 ． 6．（2023春·河北唐山·七年级统考期末）某加工零件标出的部分数据（如图），小明说，这四个数据中有一个标错了，请你完善以下修改方案：若、、所标数据正确，则图中所标数据应 （填“增大”或“减小”） 度．    7．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点分别是边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为 ． 8．（22-23八年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图，在中，，点，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为 ． 9．（23-24八年级上·浙江台州·开学考试）如图：、的平分线相交于点，试找出，，的关系，并加以证明． 10．（2023·浙江·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”． （1）求证：； （2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数． 11．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ____； （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则____； （3）如图3，当时，将折成如图3形状，试求的度数（用含α的式子表示）． 12．（2023秋·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在中，，D是上一点，将沿折叠，使点B落在边上的E处，求的度数．    13．（2023·广西·八年级专题练习）如图，中， (1)若、的三等分线交于点、，请用表示、；(2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，． 14．（23-24八年级上·山东·期中）如图， (1)如图①②，请直接写出，与，之间的数量关系． (2)用你发现的结论解决下列问题：如图③，，分别是四边形的外角，的平分线，，求的度数． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，、分别是边、上的点，点平面内是一动点． (1)如图1，当点P在线段上时，①若， __________度； ②试写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在边的延长线上时，连接交于点，探索、、之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点在到形外部时，直接写出、、之间的数量关系． 16．（2023·四川达州·中考模拟）箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO交AB于点D，则．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用: （1）直接应用：①如图2， ．②如图3，的2等分线（即角平分线）交于点F，已知，则 ③如图4，分别为的2019等分线．它们的交点从上到下依次为．已知，则 度 17．（2023·吉林白城·八年级统考阶段练习）[题目]如图①，∠BAC内部有一点D．连接BD，CD．着∠A=68°，∠ABD= 16°．∠ACD=24°，求∠BDC的大小； [应用]如图②，在五角星中，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=____度； [扩展]如图③，在∠BAD内部有两个向上突起的角，若∠ABE= 20°，∠ECF =45°，∠ADF =15°，∠A=70°，则∠BEC+∠CFD = 度． 18．（2023·浙江·八年级期末）如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点， 研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由． 研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由． 研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 2 模型2.风筝（鹰爪）模型 24 模型3.角内（外）翻模型 36 48 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 例1．（2023·福建南平·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°， 即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角， ．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务： (1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】(1)三角形的内角和定理 (2)见解析 【分析】（1）根据解题过程作答即可；（2）连结CD并延长至F，由三角形外角的性质即可证明． 【详解】（1）由解题过程可得，“方法一”主要依据的一个数学定理是三角形的内角和定理， 故答案为：三角形的内角和定理； （2）连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角， ， ，即． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 例2．（2023·湖北八年级期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入计算即可． 【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F， ∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°， ∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF， ∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D， ∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD， ∵PB、PC是角平分线∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A−∠D ∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°． 法二：延长DC，与AB交于点E． ∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC． ∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°， ∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，整理得∠ACD−∠ABD＝58°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°．故选A. 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 例3．（2023春·江苏·七年级专题练习）探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；②如图3，平分，平分，若，，则______°；③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数． 【答案】(1)(2)①40，②90，③70° 【分析】（1）根据题意观察图形连接并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可证明；（2）①由（1）的结论可得，然后把，代入上式即可得到的值；②结合图形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的结论可知，易得答案．③由②方法，进而可得答案． 【详解】（1），理由如下： 连接并延长至点F， 由外角定理可得，， ∵，∴， ∵，∴； （2）①由（1）的结论易得：， ∵，，∴，故答案是：40； ②由（1）的结论易得，， ∵，，∴； ∵平分，平分，∴，， ∴； ③由②知，，∵，∴设为， ∵，∴，∴，∴为70°．故答案是：70°． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 变式1．（2023·吉林·八年级统考期末）图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形中，，在对角线上截取，连按，，可将菱形分割为“风筝”（凸四边）和“飞镖”（凹四边形）两部分，则图2中的 °． 【答案】144 【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角的性质、等腰三角形的相关性质以及三角形的全等证明，可以先求出的度数，再根据三角形全等求出,进而得出的度数． 【详解】在菱形中， ， ， 在 与中 故答案为：144 【点睛】题目主要考查菱形对角线的性质、等腰三角形的相关性质以及三角形的全等证明方法，难度适中． 变式2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于，若，，则 ． 【答案】 【分析】首先连接BC，根据三角形的内角和定理，求出，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断出，再根据BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，判断出；最后根据三角形的内角和定理，用即可求出∠A的度数. 【详解】如下图所示，连接BC， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠3=∠5，∠4=∠6， 又∵，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了三角形内角和的应用，熟练掌握相关角度的和差计算是解决本题的关键. 变式3.（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证． 【详解】作点关于的对称点，则点落在线段CD上．连接交于点，连接． 由轴对称图形的性质可得，． 在中，，在中，． 因此，所以． 模型2.风筝（鹰爪）模型 图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】根据多边形（三角形）的外角和为即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，故①正确，②不正确； ∵多边形的外角和是，∴，故③④不正确，故答案为：①． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理、外角和性质，掌握以上知识，能正确添加辅助线构成三角形是解题的关键． 例2．（2023春·甘肃天水·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．      (1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明与、的数量关系； （2）结合(1)的结论，根据与的平分线，，，即可求的度数； （3）结合(1)的结论，根据、分别是四边形外角、的角平分线.进而可以写出、与的数量关系． 【详解】（1）猜想：，理由如下： ∵，，∴， （2）∵，，， ∴， ∵、分别平分与，∴，， ∴， ∴， （3）、与的数量关系为：，理由如下： ∵、分别是四边形外角、的角平分线， ∴，， 由(1)可知:，， ∴，∴，故答案为：． 【点睛】此题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握多边形外角． 例3．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务． 在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角内部有一点D，在其两边和上各取任意一点E，F，连接．求证：． 小丽的证法 小红的证法 证明： 如图2，连接并延长至点M， ， （    依据    ）， 又∵， ， ∴． 证明： ∵， （量角器测量所得）， ∴， （计算所得）． ∴（等量代换）． 任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________； (2)下列说法正确的是____________． A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理 B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，该定理的证明才完整 C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理 D．小红的证法只要将点D在的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理 (3)如图，若点D在锐角外部，与相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索之间的关系． 【答案】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 (2)A(3)不成立， 【分析】（1）连接并延长至点M，根据三角形外角的性质解答即可； （2）按照定理的证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，即可得答案； （3）根据三角形外角的性质得，，整理可得答案 【详解】（1）解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （2）根据定理证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，故A正确； （3）不成立， 是的一个外角，， 为的一个外角，， （或）． 【点睛】本题考查了三角形的外角，解题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 变式1．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数； （2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系；（3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程） 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（1）根据翻折的性质表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得 ，问题随之得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出、，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：（1）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，，， ∴，整理得，， ∵，，∴，即； （2）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，∴， 整理得，，即；故答案为：； （3）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，∴， 整理得，，即． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是，是解题的关键． 模型3.角内（外）翻模型 图3 图4 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 例1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 例2．（2023·江苏泰州·七年级校考期中）在△ABC中，∠B＝33°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1—∠2的度数是 【答案】66° 【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图，由折叠的性质得：∠D＝∠B＝33°， 根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D， ∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+66°，∴∠1﹣∠2＝66°．故答案为：66°． 【点睛】此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 例3．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）如图，是一张三角形的纸片，点、分别是边、上的点将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在边上时，若，求的大小． (2)如图②，当点落在内部时，若，，求的大小． (3)当点落在外部时，如图③，若，，则______；如图④，、和的数量关系为______． 【答案】(1)；(2)；(3)①；②． 【分析】（1）利用折叠的性质及三角形的内角和定理可求解； （2）由折叠的性质及三角形的内角和定理可求解，再利用三角形的内角和定理可求解； （3）①由折叠的性质及三角形的内角和定理可求解，再利用三角形的内角和定理可求解，即可解答．②由折叠的性质及三角形的内角和定理可求解，再根据折叠性质得，再根据三角形内角和定理可求解． 【详解】（1）由折叠可知：， ，； （2）由折叠可知：，， ，，， ，，， ，； （3）如图，由折叠可知：，， ，，， ，，， ，，故答案为：； 如图，由折叠可知：，， ，， ， ，， ， 即．故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，折叠与对称的性质，灵活运用折叠与对称的性质求解角的关系是解题的关键． 变式1．（2023春·江苏·七年级期中）如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得到，，结合，得到，再根据，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】．根据折叠的性质，得到，， 因为，所以， 因为，所以．故选C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解题的关键． 变式2．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理求出，根据对顶角相等得出，根据三角形内角和定理可得结果． 【详解】解：∵，，∴， ∴， ∵，∴，故B正确．故选：B．    【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，解题的关键是运用多边形的内角和定理求出的度数． 1．（2023春·广西梧州·七年级统考期末）受疫情持续影响，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露营的帐篷酒店也是备受追捧．如图1是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图2所示，若，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ， 连接，先根据多边形内角和定理求出 、 的度数，即可求出 的度数，再根据平行线的性质得出 ，即可求出 的度数； 【详解】延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，由题意得，， ∴八边形 的内角和是： 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，多边形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 2．（23-24八年级上·河南许昌·期中）点P是内一点，连结并延长交于D，连结，则图中、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 直接根据三角形外角的性质可排除选项． 【详解】解：由题意得：，，∴．故选：D． 3．（2023春·上海·八年级校考期中）如图，三角形纸片中，，，将纸片的一角沿折叠，使点落在内，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据折叠的性质即可得． 【详解】解：在中，，，， ，在中，， 折叠，，即，解得，故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和是180度是解题关键． 4．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）将沿着平行于的直线折叠，点落到点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，先由三角形内角和定理和平行线的性质得到，再由折叠的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，由折叠的性质可得， ∴，故选：B． 5．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，五角星形的五个顶角分别是，，，，，若，则 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了三角形外角定理，三角形内角和等知识．根据三角形外角定理得到，，即可得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图： ∵是外角，∴， ∵是外角，∴，∴， ∴．故答案为： 6．（2023春·河北唐山·七年级统考期末）某加工零件标出的部分数据（如图），小明说，这四个数据中有一个标错了，请你完善以下修改方案：若、、所标数据正确，则图中所标数据应 （填“增大”或“减小”） 度．    【答案】 增大 5 【分析】连接并延长，利用外角的性质，求出的度数，即可得出结论． 【详解】解：连接并延长，如图：    则：， ∴， 即：，∴， ∵标注的，；∴图中所标数据应增大，故答案为：增大，5． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 7．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点分别是边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，理解题意是解题关键．由折叠可知，，，根据题意求得，可知，进而可得，，再根据即可求解． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵，则，∴，∴， 则，∴，故答案为： 8．（22-23八年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图，在中，，点，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）．先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：，， 由折叠得：，， ，，， ，故答案为：． 9．（23-24八年级上·浙江台州·开学考试）如图：、的平分线相交于点，试找出，，的关系，并加以证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．延长交于点，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可知，，进而可得；连接，由三角形内角和定理可得，，易得，进一步可知，然后证明，可得，即可证明结论． 【详解】解：，，的关系为， 证明如下：如图，延长交于点， ∵是的外角，∴， ∵是的外角，∴，∴，如图，连接， ∵，，∴， 又∵，∴， ∴， ∴，∴． 10．（2023·浙江·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”． （1）求证：； （2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）240° 【分析】（1）延长CD交AB于点E，根据三角形外角性质可证，，运用角的等量转换即可证明．（2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方法可证，，和是对顶角，可推出的度数等于2倍的度数，计算得出答案． 【详解】（1）证明：延长CD交AB于点E，如图： ∵是的外角，∴． ∵是的外角，∴， ∴． （2）解：∵和是对顶角，∴． 由（1）的结论可知，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键． 11．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ____； （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则____； （3）如图3，当时，将折成如图3形状，试求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可； （2）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可； （3）根据折叠的性质，则，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则，，，再根据等量代换即可． 【详解】解：（1）如图， 为直角三角形，，∴， ∵，，∴，∴； （2）如图，∵，∴，∵，， ∴，∴； （3）如图，，理由见下： 由题意得，，∴，， ∴，，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，即． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理，外角的性质是解题的关键． 12．（2023秋·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在中，，D是上一点，将沿折叠，使点B落在边上的E处，求的度数．    【答案】40° 【分析】根据翻折变换的性质得出，再根据直角三角形的性质可得，即，最后利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵将沿折叠，使点B落在边上的E处，∴， ∵，∴，∴， ∵,∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活利用相关性质是解题关键． 13．（2023·广西·八年级专题练习）如图，中， (1)若、的三等分线交于点、，请用表示、；(2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得，再由、的三等分线交于点、，可得再根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的内角和定理可得，再由、的等分线交于点、，可得再根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵、的三等分线交于点、， ∴ ∴， ； （2）解：∵，∴， ∵、的等分线交于点、， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比思想解答是解题的关键． 14．（23-24八年级上·山东·期中）如图， (1)如图①②，请直接写出，与，之间的数量关系． (2)用你发现的结论解决下列问题：如图③，，分别是四边形的外角，的平分线，，求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理以及邻补角的性质，三角形内角和定理： （1）根据四边形内角和定理以及邻补角的性质，即可解答； （2）由（1）得：，再由角平分线的定义，可得，然后三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，∴， ∵，∴； （2）解：由（1）得：， ∵，∴， ∵，分别是四边形的外角，的平分线， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，、分别是边、上的点，点平面内是一动点． (1)如图1，当点P在线段上时，①若， __________度； ②试写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在边的延长线上时，连接交于点，探索、、之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点在到形外部时，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①140；②，理由见解析 (2)，理由见解析(3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质．（1）①利用四边形内角和定理及平角的定义即可得求解；②利用①中结论即可求解． （2）利用三角形的外角的性质求解即可．（3）利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：①， ，， ，，．故答案为：140． ②，理由如下：由①可知，， ，． （2）解：，理由如下： ，，． （3）解：，理由如下：设与相交于点，如图， ，，． 16．（2023·四川达州·中考模拟）箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO交AB于点D，则．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用: （1）直接应用：①如图2， ．②如图3，的2等分线（即角平分线）交于点F，已知，则 ③如图4，分别为的2019等分线．它们的交点从上到下依次为．已知，则 度 【答案】（1）①，②，③； 【分析】（1）①由可得答案； ②由且知，从而得，代入计算可得； ③由， 知，代入 得， 据此得出，代入可得答案； （2）由知，结合得，连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可． 【详解】解：（1）①如图2，在凹四边形ABOC中，， 在凹四边形DOEF中，， ②如图3，，且 ，，； ③如图4，由题意知, 则 代入得 解得： ，； 故答案为①；②；③（）； 17．（2023·吉林白城·八年级统考阶段练习）[题目]如图①，∠BAC内部有一点D．连接BD，CD．着∠A=68°，∠ABD= 16°．∠ACD=24°，求∠BDC的大小； [应用]如图②，在五角星中，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=____度； [扩展]如图③，在∠BAD内部有两个向上突起的角，若∠ABE= 20°，∠ECF =45°，∠ADF =15°，∠A=70°，则∠BEC+∠CFD = 度． 【答案】∠BDC= 108°；180；150． 【分析】（1）三角内角和和外角性质即可求∠D的度数；（2）由三角形的外角性质可得∠ODE+∠OED=∠OBC+∠OCB，由内角和可求得∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=180°的度数；（3）由三角形的外角性质得∠BEC+∠CFD =∠BAC+∠ABE+∠CAD+∠ADF E，把各角的度数代入求解． 【详解】解：（1）连接BC．∵三角形内角和是180°∴∠A+∠ABC+∠ACB= 180° 又∵∠ABD= 16°，∠ACD = 24°，∠A=68°∴∠DBC+∠DCB = 72° 又∵∠D+∠DBC +∠DCB = 180°∴∠BDC= 108°． （2）连接BC，∵∠ODE+∠OED=180°-∠DOE ∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC ∠DOE=∠BOC ∴∠ODE+∠OED=∠OBC+∠OCB 又∵三角形内角和是180°∴∠A+∠ABE+∠ACD=180°-∠OBC-∠OCB ∴∠A+∠ABE+∠ACD=180°-∠ODE-∠OED ∴∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=180° （3）由（1）的结论可知 ∵∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠AEC ∠CFD=∠CAD+∠ADF +∠ACF ∴∠BEC+∠CFD =∠BAC+∠ABE+∠AEC+∠CAD+∠ADF+∠ACF ∠BEC+∠CFD=∠A+∠ABE+∠ADF +∠ECF =150° 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理以及外角的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 18．（2023·浙江·八年级期末）如图（1）是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点， 研究（1）：如果沿直线折叠，写出与的关系，并说明理由． 研究（2）：如果折成图2的形状，猜想和的关系，并说明理由． 研究（3）：如果折成图3的形状，猜想和的关系，并说明理由． 【答案】（1）∠BDA′=2∠A，理由见解析；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由见解析；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由见解析 【分析】（1）翻折问题要在图形是找着相等的量．图1中DE为折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性质可得结论∠BDA′=2∠A；（2）根据图2中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）根据图3中由于折叠∠A与∠DA′E是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：（1）∠BDA′=2∠A；根据折叠的性质可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A； （2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由：在四边形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°， ∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°， ∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E， ∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得， ∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A； （3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由：如图3，DA′交AC于点F， ∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′， ∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′， ∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及翻折变换的性质，遇到折叠的问题，一定要找准相等的量，结合题目所给出的条件在图形上找出之间的联系则可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！35 学科网（北京）股份有限公司 $$