专题02 电场能的性质（期中知识清单）高二物理上学期教科版

专题02 电场能的性质 目 录 【考点清单】 清单01 电势和电势能 2 清单02 电势差和电场强度 3 清单03 电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题 4 清单04 电场中的图像问题 4 清单05 电场力做功与功能关系 5 【考点突破】 清单01 电势和电势能 5 考点1：带电粒子在电场中的电势能 5 考点2：电场力做功的特点 6 考点3：利用功能关系计算电场力做功及电势能的变化 7 清单02 电势差和电场强度 7 考点1：匀强电场中电势差与电场强度的关系 7 考点2：计算匀强电场中两点的电势差 8 考点3：判断非匀强电场中等距的两点电势差的大小关系 9 清单03 电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题 10 考点1：根据带电粒子的运动判断其运动特点 10 考点2：根据带电粒子的运动判断电场情况 11 清单04 电场中的图像问题 12 考点1：φ-x图像 12 考点2：Ep-x 图像 13 清单05 电场力做功与功能关系 13 考点1：利用功能关系计算电场力做功及其电势能的变化 13 考点2：计算带电粒子通过非匀强电场的能量变化 15 考点3：等效重力类的计算 16 实战演练 17 清单01 电势和电势能 1．静电力做功 （1）特点：静电力做功与路径无关，只与 有关． （2）计算方法 ①W＝qEd，只适用于 电场，其中d为沿 的距离． ②WAB＝qUAB，适用于 电场． 2．电势能 （1）定义：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到 位置时静电力做的功． （2）静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于 ，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp. （3）电势能的相对性：电势能是相对的，通常把电荷离场源电荷 处的电势能规定为零，或把电荷在 表面的电势能规定为零． 3．电势 （1）定义：电荷在电场中某一点的 与它的电荷量的比值． （2）定义式：φ＝. （3）矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)． （4）相对性：电势具有 ，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同． 4．电势差 （1）定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时， 与移动电荷的 的比值． （2）定义式：UAB＝. （3）电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA. 5．等势面 （1）定义：电场中 的各点组成的面． （2）四个特点： ①在同一等势面上移动电荷时电场力 ②电场线一定与等势面垂直，并且从电势 的等势面指向电势 的等势面． ③等差等势面越密的地方电场强度越 ，反之越 ④任意两个等势面都不相交． （3） 几种典型的电场的等势面 匀强电场 点电荷的电场 等量通电电荷的电场 等量异种电荷的电场 正电荷周围电势大于零；负电荷周围电势小于零 连线上：E先减小后增加， 电势一直减小 中垂线：从中间往两端，电场强度E一直减小，电势不变（0势面） 连线上：中点电场强度最小， 电势最低且； 中垂线上，从中间往两端，电场强度E先增大后减小； 中点的电势最高 6. 电势高低的判断 判断依据 判断方法 电场线方向 沿电场线方向电势降低，并且降低最快 场源电荷的正负 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势大于零，越靠近正电荷电势越高；取无穷远处电势为零，负电荷周围电势小于零，越靠近负电荷电势越低 电势能的高低 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能小 电场力做功 根据，将WAB、q的正负号带入，由UAB的正负判断A、B的高低 清单02 电势差和电场强度 1. 公式E＝的理解 （1）只适用于 电场． （2）d为某两点沿 方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离． （3）电场强度的方向是 最快的方向． 2. 电场线、电势、电场强度的关系 （1）电场线与电场强度的关系：电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向． （2）电场线与等势面的关系：电场线与等势面 ，并从电势较 的等势面指向电势较 的等势面． （3）电场强度大小与电势无直接关系：零电势可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高． 3．E＝在非匀强电场中的三点妙用 判断电势差大小及电势高低 距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低 判断场强变化 φ－x图象的斜率k＝＝＝Ex，斜率的大小表示场强的大小，正负表示场强的方向 判断场强大小 等差等势面越密，场强越大 1. 匀强电场中的两个推论 推论1：匀强电场中的任意线段AB的中点的电势：，如图甲所示： 推论1：匀强电场中若两线段AB//CD，且AB=CD，则UAB=UCD（或），如图乙所示： 2. 解题思路 清单03 电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题 1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线． 2. 带电粒子运动轨迹的分析 （1）判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向． （2）判断电场力(或场强)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹的凹侧，再根据粒子的正、负判断场强的方向． （3）判断电场力做功的正、负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．　 清单04 电场中的图像问题 几种常见电场图象的特点及规律 v ­t图象 根据v ­t图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化 φ ­x图象 (1)电场强度的大小等于φ ­x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ ­x图线存在极值，其切线的斜率为零； (2)在φ ­x图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向； (3)在φ ­x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断 E­x图象 (1)反映了电场强度随位移变化的规律； (2)E＞0表示场强沿x轴正方向，E＜0表示场强沿x轴负方向； (3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定 Ep­x图象 (1)反映了电势能随位移变化的规律； (2)图线的切线斜率大小等于电场力大小； (3)进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况 清单05 电场力做功与功能关系 1．电场力做功的计算 (1)由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcos α. (2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场． (3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk. (4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB. 2．几种功能关系 (1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变； (2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变； (3)除重力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化． (4)所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化． 清单01 电势和电势能 考点1：带电粒子在电场中的电势能 1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在光滑绝缘水平面的P点正上方O点固定了一电荷量为Q的负点电荷，在水平面上的N点由静止释放一质量为m、电荷量为q的正检验电荷，该检验电荷经过P点时速度为v，规定电场中P点的电势为零，图中，，。下列说法正确的是（　　） A．N点电势为 B．P点电场强度大小是N点的16倍 C．此检验电荷在N点具有的电势能为 D．此检验电荷在N点的电势能小于在P点的电势能 2．（23-24高二下·湖南·期末）如图所示，在正四面体的两个顶点分别固定电荷量为Q的等量异种点电荷，a、b是所在棱的中点，c，d为正四面体的另外两个顶点，则下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的电场强度相同 B．a、c两点的电势相等 C．沿棱从b点到d点，电势逐渐升高 D．将正试探电荷沿棱从c点移动到d点，其电势能始终不变 考点2：电场力做功的特点 3．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在匀强电场中有A、B两点，将一电荷量为q的正电荷沿不同的三条路径AB、ACB和ADB到达B点，电场力做功分别为W1、W2、W3。则（　　） A．W1＞W2＞W3 B．W1＜W2＜W3 C．W1＝W2＝W3 D．W1＝W2＞W3 4．（2023高二上·江苏徐州·学业考试）如图所示，电场强度为E的匀强电场中，带电荷量为-q的电荷沿直线AB、折线ACB、曲线ANB运动，已知AB长为d。关于静电力做的功和大小关系，下列说法正确的是（    ）    A．沿三个路径运动时，静电力做功一样多 B．沿直线AB运动时，静电力做功最少 C．沿折线ACB运动时，静电力做功最多 D．沿直线AB运动时，静电力做功最多 考点3：利用功能关系计算电场力做功及电势能的变化 5．（22-23高二下·河南平顶山·期末）如图所示，匀强电场中有一个宽为、长为的矩形，电场线与矩形所在平面平行。把电荷量为的正电荷从A点移动到点电场力做功为，把电荷量为的正电荷从点移到点电场力做功也为，则匀强电场的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图所示，在电场强度为的匀强电场中有A、B两点，A、B两点间距离为10cm，AB和电场线方向夹角为，现将电荷量为的负电荷从A点移到B点，下列说法正确的是（    ） A．静电力对电荷做正功，电势能减少 B．静电力对电荷做正功，电势能减少 C．电荷克服静电力做功，电势能增加 D．电荷克服静电力做功，电势能增加 清单02 电势差和电场强度 考点1：匀强电场中电势差与电场强度的关系 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）匀强电场中有一与电场方向平行的扇形AOB区域，如图所示，圆心角，半径，其中C、D、F将圆弧AB四等分。已知，，，以下说法正确的是（    ） A．电场方向沿AB连线方向 B． C．电子在D点的电势能为 D．场强大小为3V/m 8．（多选）如图所示，圆心为的圆所在平面与匀强电场平行，圆的半径为圆上三点，。三点的电势分别为。其中。下列说法正确的是（    ） A．匀强电场的方向由指向 B．点的电势为7V C．电场强度的大小为 D．可能是一条等势线 考点2：计算匀强电场中两点的电势差 9．（22-23高一下·浙江温州·期末）如图所示，某匀强电场的电场强度E=5.0×103N/C，方向水平向右，A、B为同一条电场线上的两点，相距d=0.3m。 （1）在A点放置一个电荷量为的点电荷，求该电荷所受电场力的大小和方向； （2）将该电荷从A点移动到B点，求电场力所做的功W； （3）令B点的电势，求A点的电势。 10．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，圆心为O的圆处于足够大的匀强电场中，电场方向与圆平面平行，ab和cd为该圆直径。在a点有一粒子源，在平行于圆周面内沿各个方向发射初动能为Ek、电荷量为q（q>0）的粒子。粒子从圆周上不同点离开，从b、d点离开时动能相等为3Ek，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．该匀强电场的场强方向与ad平行 B．ad间的电势差为 C．粒子经过O点时的动能为1.5Ek D．a点的电势高于c点的电势 考点3：判断非匀强电场中等距的两点电势差的大小关系 11．（23-24高二上·广东深圳·期末）空间中存在水平向右的匀强电场，电场强度大小，一带电粒子从A点移动到B点时，电场力做功，平行于电场线且A、B间的距离为，之后粒子又从B点移动到C点，B、C间的距离为且BC与电场线方向的夹角为，求： （1）粒子所带电荷量； （2）粒子从B点移动到C点过程中电场力所做的功； （3）A、C两点的电势差。 12．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）如图所示，三角形所在平面有一与该平面平行的匀强电场。将电荷量的检验电荷从A点移动到点时电场力做功为零，从点移动到点时电场力做功，再从点移动到边的中点。已知，边长，以A点为电势零点，求： （1）A、两点的电势差； （2）匀强电场的大小； （3）移动到点时检验电荷的电势能。 清单03 电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题 考点1：根据带电粒子的运动判断其运动特点 13．（多选）（23-24高一下·湖南永州·期中）如图所示，实线是匀强电场的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a，b是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受静电力作用，则由此图可做出的正确判断是（    ） A．带电粒子带正电 B．带电粒子带负电 C．带电粒子在a点的速度大于在b点的速度 D．带电粒子在a点的速度小于在b点的速度 14．（多选）（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线。实线为带电粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，P、Q、R分别在电场线a、b、c上，据此可知（　　） A．该粒子一定正电荷 B．该粒子在P点的加速度比在Q点的加速度大 C．该粒子在P点的动能比在Q点的动能大 D．无论粒子运动方向如何，电场力对该粒子一定做负功 考点2：根据带电粒子的运动判断电场情况 15．（23-24高二上·湖北·阶段练习）如图所示，实线为一未知电场的一条电场线或等势线，虚线为一带正电粒子在只受电场力作用下的运动轨迹，粒子在A、B两点的电势能分别为,粒子在A、B两点的加速度分别为,则下列说法正确的是（    ） A．若实线为点电荷电场的一条电场线，则 B．若实线为等量异种电荷形成电场的一条等势线，则 C．若实线为匀强电场的电场线，则 D．若实线为匀强电场的等势线，则 16．（多选）（23-24高二上·新疆吐鲁番·期中）图中的实线表示电场线，虚线表示只受电场力作用的带电粒子的运动轨迹，粒子先经过M点，再经过N点，可以判定（　　） A．M点的电势大于N点的电势 B．M点的电势小于N点的电势 C．粒子在M点受到的电场力小于在N点受到的电场力 D．粒子在M点受到的电场力大于在N点受到的电场力 清单04 电场中的图像问题 考点1：φ-x图像 17．（23-24高二下·贵州毕节·期末）真空中，存在一平行于x轴方向的电场，x轴上各点的电势φ随位置x变化的关系如图所示，处电势为3V。一个带负电的粒子从处由静止释放，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．处的电场强度大于处的电场强度 B．在处左右两侧，电场方向相反 C．粒子将在到区间内往复运动 D．粒子沿x轴正方向运动过程中，电势能先变大后变小 18．（23-24高一下·辽宁·期末）两点电荷M、N分别固定在和坐标原点处，所形成电场的电势在x轴正半轴上的分布如图所示，图线与x轴交于处，处电势最低，取无穷远处电势为0，一正电荷q自处由静止释放，仅受电场力作用，则（　　） A．电荷M带负电，电荷N带正电 B．处的电场强度为0 C．电荷M、N所带电量大小之比为 D．正电荷q沿x轴正方向运动的过程中，电势能先减小后增大 考点2：Ep-x 图像 19．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）一个电子只在电场力作用下沿轴正方向运动，其电势能随位置变化的关系如图所示，其中区间是关于直线对称的曲线，区间是直线，则下列说法正确的是（　　） A．处电势为零 B．段是匀强电场 C．电子在、、处电势、、的关系为 D．电子在段做匀变速直线运动，在段做匀速直线运动 20．（23-24高二上·浙江·期末）如图所示，在原点O和x轴负半轴上坐标为-x1处分别固定两点电荷Q1、Q2（两点电荷的电荷量和电性均未知）。一带负电的试探电荷从坐标为x2处以一定的初速度沿x轴正方向运动，其电势能的变化情况已在图中绘出，图线与x轴交点的横坐标为x3，图线最高点对应的横坐标为x4，不计试探电荷受到的重力，则下列判断正确的是（　　） A．点电荷Q1带负电 B．x2∼x3之间的电场强度沿x轴负方向 C．试探电荷在x3∼x4之间受到的电场力沿x轴正方向 D．两点电荷Q1、Q2电荷量的比值为 清单05 电场力做功与功能关系 考点1：利用功能关系计算电场力做功及其电势能的变化 21．（多选）（23-24高二下·湖南·期末）如图甲所示，倾角为、足够长的光滑斜面固定在水平地面上，空间存在场强方向与斜面平行的匀强电场。一个带正电的滑块以一定的初速度从斜面底端开始上滑，上滑过程中滑块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示。已知，，则下列说法正确的是（　　） A．滑块的重力大小为 B．滑块受到的电场力大小为 C．滑块上滑的过程中，重力势能增加了 D．滑块上滑的过程中，重力势能与电势能之和减少 22．（23-24高二上·四川成都·期中）如图所示，为固定的正点电荷，两点在的正上方和相距分别为和，将另一点电荷从点由静止释放，运动到点时速度正好又变为零。若此电荷在点处的加速度大小为0.5g，试求： (1)此电荷在点处的加速度； (2)此电荷运动过程中速度最大时离的距离； (3)两点间的电势差（用和表示）。 考点2：计算带电粒子通过非匀强电场的能量变化 23．（23-24高一下·江苏无锡·期末）如图，竖直平面内A、B两点分别固定有一对等量同种点电荷，电荷量均为Q（Q>0）。A、B、M、N四点距O点的距离均为，以O为原点，竖直向上为正方向建立x轴。若取无穷远处为电势零点，则OM上的电势随位置x的变化关系如图所示（k为静电力常量）。一电荷量为Q（Q>0）质量为m的小球S以一定初动能从M点竖直下落，一段时间后经过N点。求 （1）小球S从M点运动到O点的过程中，MO间的电势差和电场力做的功； （2）小球S从M点运动到x=处，动能的变化量； （3）小球在OM段运动的加速度大小a随位置x的变化关系如图所示（g为重力加速度大小）。为保证小球S能运动到N点，小球S从M点下落时的初动能须满足什么条件。 24．（23-24高二上·福建福州·期中）如图所示，虚线是电荷量的正点电荷电场中的三个等势面，实线表示一个的带电粒子的运动轨迹，a、b和c是等势面上的三个点，a和c在同一个等势面上，，，已知粒子q的质量，经过b点速度的大小，重力忽略不计，静电力常量，求： （1）到点电荷Q的距离为r=1m处c点的电场强度E的大小； （2）试判断粒子q的电性（无需说明理由），并求出粒子q在a点的电势能Ep； （3）粒子q经过c点的速度的大小vc。 考点3：等效重力类的计算 25．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，倾角为的斜面末端连接一段水平轨道后与竖直的光滑半圆轨道平滑连接，圆轨道圆心为O，半径为，A、B为竖直直径的上、下两端点。整个轨道绝缘，小球带电量保持不变，空间存在水平向右的匀强电场。现有一质量为、带电荷量为的小球（可视为质点），以大小为的初速度从B点水平进入半圆轨道，从圆轨道的最高点A飞出后恰好以垂直斜面的速度落在斜面上C点。已知电场强度大小为，重力加速度g取，，。求： （1）小球在A点的速度大小； （2）小球在半圆轨道上速度最大时对轨道的压力； （3）小球落在C点的速度大小。 26．（23-24高二上·四川眉山·期末）如图所示，水平绝缘轨道AB和竖直放置半径为R的光滑绝缘半圆轨道BCD在B点平滑连接；过半圆轨道圆心O的水平边界MN下方有场强为E、方向水平向左的匀强电场，电场区域足够大。现有一质量为m，电荷量的金属小球a（可视为质点），从水平轨道上的A点由静止释放，在B点a球与质量为m、不带电的静止金属小球b发生弹性正碰（碰后两球速度交换、电荷均分，忽略两小球之间的库仑力）。碰后小球b恰好能通过D点。已知小球a与水平轨道间的动摩擦因数为，重力加速度为g。求： （1）小球b通过D点时的速度大小； （2）碰后小球a对轨道最大压力的大小和AB两点之间的距离； （3）若已知R＝0.2m、，则小球b通过D点后，落到水平绝缘轨道时距B点多远。 一、单选题 1．（22-23高二下·江苏南京·期末）如图所示，的边与匀强电场的电场方向平行。将电荷q从A点移到B点，电场力做功为，从A点移到C点、从C点移到B点，电场力做功分别为、，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东临沂·期末）如图，将两个试探电荷、分别放在点电荷右侧，三个电荷同处于同一水平直线，试探电荷带电量为，试探电荷带电量为。取无穷远处电势为0，电场力向右为正。下列是图像能正确表示两个试探电荷的所受到的库仑力和具有的电势能的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·安徽黄山·期末）如图所示，A、B、C三点构成等边三角形，边长为2cm，匀强电场方向与ABC构成的平面夹角30°。电势，，正点电荷q电量为。下列说法正确的是（    ） A．场强大小为V/m B．将正电荷q从A点沿直线移到B点，它的电势能先增大后减小 C．将正电荷q从A点沿直线加速移到C点，静电场力做功为 D．将正电荷q从B点沿直线匀速移到C点，非静电场力做的功为 4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）在光滑绝缘水平面存在着一个静电场，其中一条电场线沿x轴方向且各点电势随x坐标变化规律如图所示。一带电小球从O点由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴正向做直线运动的过程中，以下说法中正确的是（　　） A．该小球带正电 B．该小球在处的加速度大于在处的加速度 C．该小球在处的速度大于在处的速度 D．小球在处速度是在处速度的一半 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，一等腰梯形ABCD处于匀强电场中，电场强度方向平行于等腰梯形所在平面，已知∠DAB=∠CBA=60°，AB=2m，AD=1m，A、D、C三点的电势分别为1V、3V、5V。下列说法正确的是（　　） A．B点的电势为6V B．电场强度大小为 C．一质子在梯形区域内的电势能小于零 D．一电子从D点移到AB的中点，电场力做正功 6．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）如图所示，在匀强电场中，将带电量为的点电荷从电场中的A点移到B点，电场力做了的功，再从B点移到C点，电场力做了的功。已知电场的方向与所在的平面平行。下列说法正确的是（  ）    A．A、B两点的电势差=－4V B．B、C两点的电势差=2V C．A点的电势比C点的电势高 D．场强的方向垂直于AC指向B 7．（23-24高一下·河南·期末）如图所示，一带正电的点电荷从某点以竖直向上的初速度v射入水平向右的匀强电场中，图中实线为匀强电场的电场线，不计点电荷受到的重力，下列图中虚线可能正确描绘了点电荷运动轨迹的是（　　）    A．   B．   C．   D．    8．（23-24高一下·辽宁·期末）小明同学在学习电场部分知识时，课堂笔记只记录了“实线是电场线，一电子只受电场力，沿图中虚线所示的路径运动，先后通过M点和N点。”而没有记录电场线的方向，则下列说法中正确的是（　　） A．电子在M、N两点的速度大小关系为 B．电子在M、N两点的加速度大小关系为 C．电场中M、N点的电势大小关系为 D．电子从M点运动到N点的过程中，电场力对电子做正功 二、多选题 9．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随位移x变化的关系如图所示，其中段是关于直线对称的曲线，段是直线，则下列说法正确的是（　　） A．段的电场强度在逐渐减小 B．段的电场强度大小不变，方向沿着x轴负方向 C．段，粒子运动过程中的动能先增大后减小 D．若O、、、处电势为、、、，则 10．（23-24高一下·山东聊城·期末）如图所示，边长为0.1m的正六边形ABCDEF置于匀强电场中，且正六边形所在平面和电场线平行。A、B、D三个顶点处的电势分别为1V、2V、3V。下列说法正确的是（　　） A．通过CD两点的直线为电场中的等势线 B．匀强电场的电场强度大小为10V/m C．AE连线中点的电势为1.5V D．将一个电子由E点移动到D点，电子的电势能将增加 三、解答题 11．（23-24高一下·湖南长沙·期末）如图，带电量的A球固定在足够长的光滑绝缘斜面上，斜面的倾角，质量、带电量的B球在离A球处由静止释放。两球均可视为点电荷，静电力恒量，g取，。 （1）A球在B球释放处产生的电场强度E的大小和方向； （2）B球的速度最大时两球间的距离r； （3）B球从开始运动到速度最大时，其电势能改变了7.92J．求B球运动的最大速度。（结果可用根号表示） 12．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图甲，倾角为的斜面，底端固定一轻弹簧，顶端与一水平面相连。一绝缘轻绳将斜面上的物块A通过轻质定滑轮与水平面上的物块B相连。A、B的质量分别为M=1.2kg、m=0.6kg，A不带电，B带正电且电荷量q=8×10-4C。先将B锁定，使细绳处于拉紧状态，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧细绳与水平面平行。解除锁定，A、B从静止开始运动，此时A的加速度大小=4m/s2，B始终处于水平向右的匀强电场中且不会与滑轮碰撞，带电量保持不变。以物块A的初始位置为坐标原点O，沿斜面向下建立坐标轴Ox，弹簧弹力F与A的位置关系如图乙所示。弹簧未超过弹性限度，重力加速度g=10m/s2，不计一切摩擦。 （1）求匀强电场的电场强度大小E； （2）求物块A、B的最大速度； （3）取物块B的初始位置为零电势点，求物块B的电势能的最大值。 13．（23-24高一下·河南许昌·期末）如图所示，粗细均匀的光滑绝缘圆环，固定在竖直平面内，其圆心为O，半径为R，AB为圆环竖直方向的一条直径，CD也是圆环的一条直径，且与竖直方向的夹角为。电荷量为Q的带负电的小球甲固定在环上与C点等高的点，另一个质量为m的带电小球乙套在环上，可在环上自由滑动，当小球乙处在C点位置时，恰好处于静止状态，重力加速度为g，静电力常量为k。请解决下列问题： （1）小球乙的电性及带电量大小； （2）若将小球乙放在环上的D点，由静止从D点释放，求释放瞬间乙球的加速度； （3）若小球乙由静止从D点运动到B点的速度为v，求DB两点间的电势差。 14．（23-24高一下·湖南长沙·期末）如图（a），同一竖直平面内A、B、M、N四点距O点的距离均为，O为水平连线AB的中点，M、N在AB连线的中垂线上。A、B两点分别固定有一点电荷，电荷量均为Q（）。以O为原点，竖直向下为正方向建立x轴。若取无穷远处为电势零点，则ON上的电势φ随位置x的变化关系如图（b）所示。一电荷量为Q（）的小球以一定初动能从M点竖直下落，一段时间后经过N点，其在ON段运动的加速度大小a随位置x的变化关系如图（c）所示。图中g为重力加速度大小，k为静电力常量。 （1）求M点的电场强度； （2）求小球的重力； （3）为保证能运动到N点，从M点下落时的初动能须满足什么条件？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 电场能的性质 目 录 【考点清单】 清单01 电势和电势能 2 清单02 电势差和电场强度 3 清单03 电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题 4 清单04 电场中的图像问题 4 清单05 电场力做功与功能关系 5 【考点突破】 清单01 电势和电势能 5 考点1：带电粒子在电场中的电势能 5 考点2：电场力做功的特点 7 考点3：利用功能关系计算电场力做功及电势能的变化 8 清单02 电势差和电场强度 9 考点1：匀强电场中电势差与电场强度的关系 9 考点2：计算匀强电场中两点的电势差 11 考点3：判断非匀强电场中等距的两点电势差的大小关系 12 清单03 电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题 14 考点1：根据带电粒子的运动判断其运动特点 14 考点2：根据带电粒子的运动判断电场情况 15 清单04 电场中的图像问题 16 考点1：φ-x图像 16 考点2：Ep-x 图像 18 清单05 电场力做功与功能关系 19 考点1：利用功能关系计算电场力做功及其电势能的变化 20 考点2：计算带电粒子通过非匀强电场的能量变化 21 考点3：等效重力类的计算 23 实战演练 25 清单01 电势和电势能 1．静电力做功 （1）特点：静电力做功与路径无关，只与初、末位置有关． （2）计算方法 ①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离． ②WAB＝qUAB，适用于任何电场． 2．电势能 （1）定义：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功． （2）静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp. （3）电势能的相对性：电势能是相对的，通常把电荷离场源电荷无穷远处的电势能规定为零，或把电荷在大地表面的电势能规定为零． 3．电势 （1）定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值． （2）定义式：φ＝. （3）矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)． （4）相对性：电势具有相对性 ，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同． 4．电势差 （1）定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力所做的功 与移动电荷的电荷量 的比值． （2）定义式：UAB＝. （3）电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA. 5．等势面 （1）定义：电场中电势相等 的各点组成的面． （2）四个特点： ①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功 ②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高 的等势面指向电势低 的等势面． ③等差等势面越密的地方电场强度越大 ，反之越小 ④任意两个等势面都不相交． （3） 几种典型的电场的等势面 匀强电场 点电荷的电场 等量通电电荷的电场 等量异种电荷的电场 正电荷周围电势大于零；负电荷周围电势小于零 连线上：E先减小后增加， 电势一直减小 中垂线：从中间往两端，电场强度E一直减小，电势不变（0势面） 连线上：中点电场强度最小， 电势最低且； 中垂线上，从中间往两端，电场强度E先增大后减小； 中点的电势最高 6. 电势高低的判断 判断依据 判断方法 电场线方向 沿电场线方向电势降低，并且降低最快 场源电荷的正负 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势大于零，越靠近正电荷电势越高；取无穷远处电势为零，负电荷周围电势小于零，越靠近负电荷电势越低 电势能的高低 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能小 电场力做功 根据，将WAB、q的正负号带入，由UAB的正负判断A、B的高低 清单02 电势差和电场强度 1. 公式E＝的理解 （1）只适用于匀强电场． （2）d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离． （3）电场强度的方向是电势降低最快的方向． 2. 电场线、电势、电场强度的关系 （1）电场线与电场强度的关系：电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向． （2）电场线与等势面的关系：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面． （3）电场强度大小与电势无直接关系：零电势可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高． 3．E＝在非匀强电场中的三点妙用 判断电势差大小及电势高低 距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低 判断场强变化 φ－x图象的斜率k＝＝＝Ex，斜率的大小表示场强的大小，正负表示场强的方向 判断场强大小 等差等势面越密，场强越大 1. 匀强电场中的两个推论 推论1：匀强电场中的任意线段AB的中点的电势：，如图甲所示： 推论1：匀强电场中若两线段AB//CD，且AB=CD，则UAB=UCD（或），如图乙所示： 2. 解题思路 清单03 电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题 1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线． 2. 带电粒子运动轨迹的分析 （1）判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向． （2）判断电场力(或场强)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹的凹侧，再根据粒子的正、负判断场强的方向． （3）判断电场力做功的正、负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．　 清单04 电场中的图像问题 几种常见电场图象的特点及规律 v ­t图象 根据v ­t图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化 φ ­x图象 (1)电场强度的大小等于φ ­x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ ­x图线存在极值，其切线的斜率为零； (2)在φ ­x图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向； (3)在φ ­x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断 E­x图象 (1)反映了电场强度随位移变化的规律； (2)E＞0表示场强沿x轴正方向，E＜0表示场强沿x轴负方向； (3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定 Ep­x图象 (1)反映了电势能随位移变化的规律； (2)图线的切线斜率大小等于电场力大小； (3)进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况 清单05 电场力做功与功能关系 1．电场力做功的计算 (1)由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcos α. (2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场． (3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk. (4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB. 2．几种功能关系 (1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变； (2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变； (3)除重力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化． (4)所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化． 清单01 电势和电势能 考点1：带电粒子在电场中的电势能 1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在光滑绝缘水平面的P点正上方O点固定了一电荷量为Q的负点电荷，在水平面上的N点由静止释放一质量为m、电荷量为q的正检验电荷，该检验电荷经过P点时速度为v，规定电场中P点的电势为零，图中，，。下列说法正确的是（　　） A．N点电势为 B．P点电场强度大小是N点的16倍 C．此检验电荷在N点具有的电势能为 D．此检验电荷在N点的电势能小于在P点的电势能 【答案】AC 【详解】A．根据动能定理得，检验电荷由N到P的过程 由于P点的电势为零，即，解得N点的电势 故A正确； B．P点电场强度大小为 N点电场强度大小是 则 故B错误； C．检验电荷在N点具有的电势能为 故C正确； D．P点的电势为零，故此检验电荷在P点电势能为0，故此检验电荷在N点的电势能大于在P点的电势能，故D错误。 故选AC。 2．（23-24高二下·湖南·期末）如图所示，在正四面体的两个顶点分别固定电荷量为Q的等量异种点电荷，a、b是所在棱的中点，c，d为正四面体的另外两个顶点，则下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的电场强度相同 B．a、c两点的电势相等 C．沿棱从b点到d点，电势逐渐升高 D．将正试探电荷沿棱从c点移动到d点，其电势能始终不变 【答案】D 【详解】A．由电场强度的叠加原理可知，a、b两点的电场强度大小相等，方向不同，故A错误； BC．由以上分析知沿棱从a点到c点方向（或从b点到d点），与电场强度的方向成锐角，而沿场强方向电势降低，所以沿棱从a点到c点（或从b点到d点）电势逐渐降低，故BC错误； D．依题意，c，d两点位于两电荷的中垂面上，电势相等，将试探电荷沿棱从c点移动到d点，电场力不做功，其电势能始终不变，故D正确。 故选D。 考点2：电场力做功的特点 3．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在匀强电场中有A、B两点，将一电荷量为q的正电荷沿不同的三条路径AB、ACB和ADB到达B点，电场力做功分别为W1、W2、W3。则（　　） A．W1＞W2＞W3 B．W1＜W2＜W3 C．W1＝W2＝W3 D．W1＝W2＞W3 【答案】C 【详解】电场力做功与路径无关，只与初末位置有关，则将一电荷量为q的正电荷沿不同的三条路径AB、ACB和ADB到达B点，电场力做功W1＝W2＝W3 故选C。 4．（2023高二上·江苏徐州·学业考试）如图所示，电场强度为E的匀强电场中，带电荷量为-q的电荷沿直线AB、折线ACB、曲线ANB运动，已知AB长为d。关于静电力做的功和大小关系，下列说法正确的是（    ）    A．沿三个路径运动时，静电力做功一样多 B．沿直线AB运动时，静电力做功最少 C．沿折线ACB运动时，静电力做功最多 D．沿直线AB运动时，静电力做功最多 【答案】A 【详解】静电力做功与电荷经过的路径无关，电荷沿直线AB、折线ACB运动，其初、末位置相同，静电力做功一样多。 故选A。 考点3：利用功能关系计算电场力做功及电势能的变化 5．（22-23高二下·河南平顶山·期末）如图所示，匀强电场中有一个宽为、长为的矩形，电场线与矩形所在平面平行。把电荷量为的正电荷从A点移动到点电场力做功为，把电荷量为的正电荷从点移到点电场力做功也为，则匀强电场的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据几何关系可知 令AC与BD连线的交点为O，则有 即为等边三角形，令电场强度方向与AC夹角为，则电场强度与BD夹角为，把电荷量为的正电荷从A点移动到点电场力做功为，则有 把电荷量为的正电荷从点移到点电场力做功为，则有 解得 即电场强度方向沿，根据上述可解得 故选B。 6．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图所示，在电场强度为的匀强电场中有A、B两点，A、B两点间距离为10cm，AB和电场线方向夹角为，现将电荷量为的负电荷从A点移到B点，下列说法正确的是（    ） A．静电力对电荷做正功，电势能减少 B．静电力对电荷做正功，电势能减少 C．电荷克服静电力做功，电势能增加 D．电荷克服静电力做功，电势能增加 【答案】D 【详解】A、B两点的电势差为 将电荷量为的负电荷从A点移到B点，静电力做功为 故电荷克服静电力做功，根据功能关系，电势能增加。 故选D。 清单02 电势差和电场强度 考点1：匀强电场中电势差与电场强度的关系 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）匀强电场中有一与电场方向平行的扇形AOB区域，如图所示，圆心角，半径，其中C、D、F将圆弧AB四等分。已知，，，以下说法正确的是（    ） A．电场方向沿AB连线方向 B． C．电子在D点的电势能为 D．场强大小为3V/m 【答案】C 【详解】A．连接AB、OC、OD、OF，交点分别为I、H、G，由图可知，为等边三角形，为等腰三角形，如图所示 由几何关系可得AI=IG=GB 即I、G为AB的三等分点，由于匀强电场电势均匀变化，可得， 将F与G连接，且连线必会过O点，故FGO为0V的等势面，同理，可知DI为3V的等势面，过A点作DI的垂直线，可知电场线方向沿AO方向，故A错误； B．由图可知，C点的电势大于3V，故B错误； C．D点的电势为3V，则电子在D点的电势能为 故C正确； D． O点的电势为0V，则电场强度大小为 故D错误。 故选C。 8．（多选）如图所示，圆心为的圆所在平面与匀强电场平行，圆的半径为圆上三点，。三点的电势分别为。其中。下列说法正确的是（    ） A．匀强电场的方向由指向 B．点的电势为7V C．电场强度的大小为 D．可能是一条等势线 【答案】BC 【详解】A．令AB上的D点的电势为11V，则有 则， 可知CD和AB垂直，因此CD为等势线，AB为电场线，电场方向沿BA方向，A错误； B．根据 解得 B正确； C．匀强电场的电场强度大小为 C正确； D．是电场线，等势面与电场线垂直，则不是等势线，D错误。 故选BC。 考点2：计算匀强电场中两点的电势差 9．（22-23高一下·浙江温州·期末）如图所示，某匀强电场的电场强度E=5.0×103N/C，方向水平向右，A、B为同一条电场线上的两点，相距d=0.3m。 （1）在A点放置一个电荷量为的点电荷，求该电荷所受电场力的大小和方向； （2）将该电荷从A点移动到B点，求电场力所做的功W； （3）令B点的电势，求A点的电势。 【答案】（1）0.2N，方向水平向左；（2）-0.06J；（3）1500V 【详解】（1）该点电荷所受电场力大小为 解得 负点电荷所受电场力方向与电场强度方向相反，则电场力方向水平向左。 （2）将该电荷从A点移动到B点，电场力所做的功 解得 （3）将该电荷从A点移动到B点，电场力所做的功 解得 10．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，圆心为O的圆处于足够大的匀强电场中，电场方向与圆平面平行，ab和cd为该圆直径。在a点有一粒子源，在平行于圆周面内沿各个方向发射初动能为Ek、电荷量为q（q>0）的粒子。粒子从圆周上不同点离开，从b、d点离开时动能相等为3Ek，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．该匀强电场的场强方向与ad平行 B．ad间的电势差为 C．粒子经过O点时的动能为1.5Ek D．a点的电势高于c点的电势 【答案】A 【详解】A．粒子从圆周上不同点离开，从b、d点离开时动能相等为3Ek，可知b、d点所在直线电势相等，电场方向与圆平面平行，可知b、d点在同一等势面，且电场线与等势面垂直，则电场线必垂直于直线bd 所以有几何关系有该匀强电场的场强方向与ad平行，故A正确； B．由动能定理有 解得ad间的电势差为 故B错误； C．电场强度为 粒子由a点到O点有 解得粒子经过O点时的动能为 故C错误； D．圆处于匀强电场中，b、d点在同一等势面，电场线垂直于直线bd也必直线a c，即a、c在同一等势面，所以a点的电势等于c点的电势，故D错误。 故选A。 考点3：判断非匀强电场中等距的两点电势差的大小关系 11．（23-24高二上·广东深圳·期末）空间中存在水平向右的匀强电场，电场强度大小，一带电粒子从A点移动到B点时，电场力做功，平行于电场线且A、B间的距离为，之后粒子又从B点移动到C点，B、C间的距离为且BC与电场线方向的夹角为，求： （1）粒子所带电荷量； （2）粒子从B点移动到C点过程中电场力所做的功； （3）A、C两点的电势差。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）A、B两点间的电势差为 根据可得，粒子所带电荷量为 （2）B、C两点沿电场线方向的距离为 则B、C两点间的电势差为 粒子从B点移动到C点过程中电场力所做的功为 （3）A、C两点的电势差为 12．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）如图所示，三角形所在平面有一与该平面平行的匀强电场。将电荷量的检验电荷从A点移动到点时电场力做功为零，从点移动到点时电场力做功，再从点移动到边的中点。已知，边长，以A点为电势零点，求： （1）A、两点的电势差； （2）匀强电场的大小； （3）移动到点时检验电荷的电势能。 【答案】（1）-20V；（2）；（3） 【详解】（1）B、两点的电势差 检验电荷从A点移动到点时电场力做功为零，则A、B两点等电势，A、两点的电势差 （2）A、B两点等电势，A、B两点在同一等势线上，电场强度方向垂直于等势线，根据几何关系，C到AB所在直线的垂直距离 匀强电场的大小 （3）A、D两点的电势差 所以D点电势 移动到点时检验电荷的电势能 清单03 电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题 考点1：根据带电粒子的运动判断其运动特点 13．（多选）（23-24高一下·湖南永州·期中）如图所示，实线是匀强电场的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a，b是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受静电力作用，则由此图可做出的正确判断是（    ） A．带电粒子带正电 B．带电粒子带负电 C．带电粒子在a点的速度大于在b点的速度 D．带电粒子在a点的速度小于在b点的速度 【答案】AD 【详解】AB．根据曲线运动的合外力指向轨迹的凹处，可知带电粒子受到的电场力向左，故带电粒子带正电，故A正确，B错误； CD．若带电粒子从a点向b点运动，电场力与速度的夹角为锐角，电场力做正功，带电粒子速度增大，则带电粒子在a点的速度小于在b点的速度，若带电粒子从b点向a点运动，电场力与速度的夹角为钝角，电场力做负功，带电粒子速度减小，则带电粒子在a点的速度小于在b点的速度，综上所述，带电粒子在a点的速度小于在b点的速度，故C错误，D正确。 故选AD。 14．（多选）（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线。实线为带电粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，P、Q、R分别在电场线a、b、c上，据此可知（　　） A．该粒子一定正电荷 B．该粒子在P点的加速度比在Q点的加速度大 C．该粒子在P点的动能比在Q点的动能大 D．无论粒子运动方向如何，电场力对该粒子一定做负功 【答案】BC 【详解】A．由于带电粒子仅受电场力作用，所以电场力位于轨迹的凹侧，如图所示 由于不知道电场方向，所以无法确定粒子的电性，故A错误； B．根据电场线的疏密程度可知，P点场强大于Q点场强，则粒子在P点受到的电场力大于在Q点受到的电场力，根据牛顿第二定律可知，粒子在P点的加速度比在Q点的加速度大，故B正确； CD．若粒子从P点运动Q点，则电场力与速度方向的夹角大于，电场力做负功，粒子动能减小，粒子在P点的动能比在Q点的动能大；若粒子从Q运动P点，则电场力与速度方向的夹角小于，电场力做正功，粒子动能增加，粒子在P点的动能比在Q点的动能大；故C正确，D错误。 故选BC。 考点2：根据带电粒子的运动判断电场情况 15．（23-24高二上·湖北·阶段练习）如图所示，实线为一未知电场的一条电场线或等势线，虚线为一带正电粒子在只受电场力作用下的运动轨迹，粒子在A、B两点的电势能分别为,粒子在A、B两点的加速度分别为,则下列说法正确的是（    ） A．若实线为点电荷电场的一条电场线，则 B．若实线为等量异种电荷形成电场的一条等势线，则 C．若实线为匀强电场的电场线，则 D．若实线为匀强电场的等势线，则 【答案】D 【详解】A．若实线为点电荷电场的一条电场线，由于不清楚点电荷的电性，所以无法确定点电荷靠近M点还是N点，所以无法确定的大小，A错误； B．若实线为等量异种电荷形成电场的一条等势线，等量异种电荷关于MN对称，若等量异种电荷靠近M端，A点的电场强度大于B点的电场强度，则，若等量异种电荷靠近N端，A点的电场强度小于B点的电场强度，则，B错误； C．若实线为匀强电场的电场线，从A到B电场力做负功，电势能增加，所以，C错误； D．若实线为匀强电场的等势线，从A到B电场力做正功，电势能减少，所以 ，D正确。 故选D。 16．（多选）（23-24高二上·新疆吐鲁番·期中）图中的实线表示电场线，虚线表示只受电场力作用的带电粒子的运动轨迹，粒子先经过M点，再经过N点，可以判定（　　） A．M点的电势大于N点的电势 B．M点的电势小于N点的电势 C．粒子在M点受到的电场力小于在N点受到的电场力 D．粒子在M点受到的电场力大于在N点受到的电场力 【答案】AC 【详解】AB．顺着电场线，电势降低，所以，A正确，B错误； CD．N点电场线密，电场强，电场力大，M点电场线疏，电场弱，电场力小，粒子在M点受到的电场力小于在N点受到的电场力，C正确，D错误。 故选AC。 清单04 电场中的图像问题 考点1：φ-x图像 17．（23-24高二下·贵州毕节·期末）真空中，存在一平行于x轴方向的电场，x轴上各点的电势φ随位置x变化的关系如图所示，处电势为3V。一个带负电的粒子从处由静止释放，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．处的电场强度大于处的电场强度 B．在处左右两侧，电场方向相反 C．粒子将在到区间内往复运动 D．粒子沿x轴正方向运动过程中，电势能先变大后变小 【答案】C 【详解】AB．图像中，斜率表示电场强度，在处左右两侧，电场方向不变，且 ， 故 故AB错误； C．根据动能定理，因为初末速度为0，所以在原点两侧电场力做的功一正一负，大小相等，有 易知 所以负电荷相对于原点两侧的位移大小比为，即在处释放后沿x轴正向运动到的最远位置处的坐标为，故在该区间内往复运动，故C正确； D．粒子沿正方向运动过程中，由图可知，电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，故D错误。 故选C。 18．（23-24高一下·辽宁·期末）两点电荷M、N分别固定在和坐标原点处，所形成电场的电势在x轴正半轴上的分布如图所示，图线与x轴交于处，处电势最低，取无穷远处电势为0，一正电荷q自处由静止释放，仅受电场力作用，则（　　） A．电荷M带负电，电荷N带正电 B．处的电场强度为0 C．电荷M、N所带电量大小之比为 D．正电荷q沿x轴正方向运动的过程中，电势能先减小后增大 【答案】AD 【详解】A．根据电势变化情况可知，自区域场强方向先沿x轴正方向后沿x轴负方向，可知电荷M带负电，电荷N带正电，故A正确； B．图像，斜率表示电场强度，在x0处的图像斜率不为零，则电场强度也不为零，故B错误； C．x=20cm处图像斜率为零，则满足 则电荷M、N所带电量大小之比为 故C错误； D．一正电荷q自x0处由静止释放，正电荷会向电势低的方向运动，正电荷q沿x轴正方向运动的过程中，电势先降低后升高，由，因此正电荷的电势能先减小后增大，故D正确。 故选AD。 考点2：Ep-x 图像 19．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）一个电子只在电场力作用下沿轴正方向运动，其电势能随位置变化的关系如图所示，其中区间是关于直线对称的曲线，区间是直线，则下列说法正确的是（　　） A．处电势为零 B．段是匀强电场 C．电子在、、处电势、、的关系为 D．电子在段做匀变速直线运动，在段做匀速直线运动 【答案】B 【详解】A．根据 可知处电势不为零，故A错误； BD．根据 则 所以图像的斜率为，因此图像为直线，斜率不变，为匀强电场，电子做匀变速运动，段为非匀强电场，做变速运动，故B正确，D错误； C．电子带负电，经历、、处电势能增加，所以 故C错误。 故选B。 20．（23-24高二上·浙江·期末）如图所示，在原点O和x轴负半轴上坐标为-x1处分别固定两点电荷Q1、Q2（两点电荷的电荷量和电性均未知）。一带负电的试探电荷从坐标为x2处以一定的初速度沿x轴正方向运动，其电势能的变化情况已在图中绘出，图线与x轴交点的横坐标为x3，图线最高点对应的横坐标为x4，不计试探电荷受到的重力，则下列判断正确的是（　　） A．点电荷Q1带负电 B．x2∼x3之间的电场强度沿x轴负方向 C．试探电荷在x3∼x4之间受到的电场力沿x轴正方向 D．两点电荷Q1、Q2电荷量的比值为 【答案】D 【详解】BC．试探电荷在x2~x4之间电势能增大，说明试探电荷受到的电场力对试探电荷做负功，所以试探电荷所受电场力沿x轴负方向，电场强度的方向沿x轴正方向，故BC错误； A．由电场的分布特点，0~x4场强方向沿x轴正方向，x4之后场强沿x轴负方向，说明点电荷Q1带正电，点电荷Q2带负电，故A错误； D．由题图可知，x4处的电场强度为零，则 解得 故D正确。 故选D。 清单05 电场力做功与功能关系 考点1：利用功能关系计算电场力做功及其电势能的变化 21．（多选）（23-24高二下·湖南·期末）如图甲所示，倾角为、足够长的光滑斜面固定在水平地面上，空间存在场强方向与斜面平行的匀强电场。一个带正电的滑块以一定的初速度从斜面底端开始上滑，上滑过程中滑块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示。已知，，则下列说法正确的是（　　） A．滑块的重力大小为 B．滑块受到的电场力大小为 C．滑块上滑的过程中，重力势能增加了 D．滑块上滑的过程中，重力势能与电势能之和减少 【答案】BC 【详解】AB．由图像可知，滑块的动能由减为零，滑块的机械能由减为，又由于机械能在减小，可知电场力做负功，故匀强电场方向沿斜面向下。机械能随位移变化图像的斜率表示除重力之外的外力，即 由于动能随位移变化图像的斜率表示合外力，即 解得， 故A错误，B正确； C．由重力做功与重力势能关系有 由于上滑过程重力对滑块做负功，所以重力势能增加，即 故C正确； D．由能量守恒定律可知，滑块的能量为滑块的动能、电势能、重力势能之和，滑块上滑的过程中动能减小，所以重力势能与电势能之和增加，故D错误。 故选BC。 22．（23-24高二上·四川成都·期中）如图所示，为固定的正点电荷，两点在的正上方和相距分别为和，将另一点电荷从点由静止释放，运动到点时速度正好又变为零。若此电荷在点处的加速度大小为0.5g，试求： (1)此电荷在点处的加速度； (2)此电荷运动过程中速度最大时离的距离； (3)两点间的电势差（用和表示）。 【答案】(1)，方向竖直向上 (2) (3) 【详解】（1）根据题意，此电荷带正电，设此电荷带电量为，在A点，根据牛顿第二定律 在点，根据牛顿第二定律 解得 方向竖直向上。 （2）当电荷受力平衡时，此电荷运动过程中速度最大，可得 解得此电荷运动过程中速度最大时离的距离 （3）电荷从A点到点，根据动能定理 解得两点间的电势差 考点2：计算带电粒子通过非匀强电场的能量变化 23．（23-24高一下·江苏无锡·期末）如图，竖直平面内A、B两点分别固定有一对等量同种点电荷，电荷量均为Q（Q>0）。A、B、M、N四点距O点的距离均为，以O为原点，竖直向上为正方向建立x轴。若取无穷远处为电势零点，则OM上的电势随位置x的变化关系如图所示（k为静电力常量）。一电荷量为Q（Q>0）质量为m的小球S以一定初动能从M点竖直下落，一段时间后经过N点。求 （1）小球S从M点运动到O点的过程中，MO间的电势差和电场力做的功； （2）小球S从M点运动到x=处，动能的变化量； （3）小球在OM段运动的加速度大小a随位置x的变化关系如图所示（g为重力加速度大小）。为保证小球S能运动到N点，小球S从M点下落时的初动能须满足什么条件。 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】（1）小球S从M点运动到O点的过程中，MO间的电势差 电场力做的功 （2）小球S从M点运动到x=处，根据动能定理有 其中 联立解得 （3）根据对称，M点与N点的电势相等，为保证小球S能运动到N点，球S从M点下落时能通过x=处即可，根据动能定理有 其中 解得 24．（23-24高二上·福建福州·期中）如图所示，虚线是电荷量的正点电荷电场中的三个等势面，实线表示一个的带电粒子的运动轨迹，a、b和c是等势面上的三个点，a和c在同一个等势面上，，，已知粒子q的质量，经过b点速度的大小，重力忽略不计，静电力常量，求： （1）到点电荷Q的距离为r=1m处c点的电场强度E的大小； （2）试判断粒子q的电性（无需说明理由），并求出粒子q在a点的电势能Ep； （3）粒子q经过c点的速度的大小vc。 【答案】（1）；（2）正电性，；（3） 【详解】（1）到点电荷Q的距离为r=1m处c点的电场强度E的大小为 （2）粒子q的电性是正电性；a和c在同一个等势面上，则 粒子q在a点的电势能 （3）粒子在b点与c点，由能量守恒定律得 则 解得 考点3：等效重力类的计算 25．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，倾角为的斜面末端连接一段水平轨道后与竖直的光滑半圆轨道平滑连接，圆轨道圆心为O，半径为，A、B为竖直直径的上、下两端点。整个轨道绝缘，小球带电量保持不变，空间存在水平向右的匀强电场。现有一质量为、带电荷量为的小球（可视为质点），以大小为的初速度从B点水平进入半圆轨道，从圆轨道的最高点A飞出后恰好以垂直斜面的速度落在斜面上C点。已知电场强度大小为，重力加速度g取，，。求： （1）小球在A点的速度大小； （2）小球在半圆轨道上速度最大时对轨道的压力； （3）小球落在C点的速度大小。 【答案】（1）6m/s；（2）36.4N，方向与竖直方向夹角为53°；（3）3.6m/s 【详解】（1）小球从B点到A点，根据动能定理得 解得 （2）对小球受力分析有 解得 即当小球和圆心的连线与竖直方向夹角为53°时速度最大。根据动能定理得 速度最大时，根据向心力公式有 解得 根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小为36.4N，方向斜向右下方与竖直方向夹角为53°。 （3）小球从A点到C点，根据运动的合成和分解，在竖直方向上有 在水平方向上有 解得 26．（23-24高二上·四川眉山·期末）如图所示，水平绝缘轨道AB和竖直放置半径为R的光滑绝缘半圆轨道BCD在B点平滑连接；过半圆轨道圆心O的水平边界MN下方有场强为E、方向水平向左的匀强电场，电场区域足够大。现有一质量为m，电荷量的金属小球a（可视为质点），从水平轨道上的A点由静止释放，在B点a球与质量为m、不带电的静止金属小球b发生弹性正碰（碰后两球速度交换、电荷均分，忽略两小球之间的库仑力）。碰后小球b恰好能通过D点。已知小球a与水平轨道间的动摩擦因数为，重力加速度为g。求： （1）小球b通过D点时的速度大小； （2）碰后小球a对轨道最大压力的大小和AB两点之间的距离； （3）若已知R＝0.2m、，则小球b通过D点后，落到水平绝缘轨道时距B点多远。 【答案】（1）；（2），；（3） 【详解】（1）小球b恰好能通过D点，则 解得 （2）两球发生弹性碰撞，两球速度交换、电荷均分，则 根据动能定理可知， 解得， 由题可知，由小球a的受力可知，小球a运动到圆弧轨道的等效最低点时，对轨道的压力最大，且与水平方向的夹角为，此时有 解得 碰后小球a对轨道最大压力的大小为。 （3）小球b通过D点后有 ， 解得落到水平绝缘轨道时距B点为 一、单选题 1．（22-23高二下·江苏南京·期末）如图所示，的边与匀强电场的电场方向平行。将电荷q从A点移到B点，电场力做功为，从A点移到C点、从C点移到B点，电场力做功分别为、，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设匀强电场的电场强度为，，则将电荷q从A点移到B点，电场力做功为 将电荷q从A点移到C点，电场力做功为 将电荷q从C点移到B点，电场力做功为 则有， 故选C。 2．（23-24高一下·山东临沂·期末）如图，将两个试探电荷、分别放在点电荷右侧，三个电荷同处于同一水平直线，试探电荷带电量为，试探电荷带电量为。取无穷远处电势为0，电场力向右为正。下列是图像能正确表示两个试探电荷的所受到的库仑力和具有的电势能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点电荷右侧的电场方向向左，试探电荷带电量为，所受电场力方向向右，库仑力为正值，试探电荷带电量为，所受电场力方向向左，库仑力为负值,又因为图像中，场源电荷带负电，取无穷远处电势为0，则空间电势均为负值，则有， 由上述可知，A正确，BCD错误； 故选 A。 3．（23-24高二下·安徽黄山·期末）如图所示，A、B、C三点构成等边三角形，边长为2cm，匀强电场方向与ABC构成的平面夹角30°。电势，，正点电荷q电量为。下列说法正确的是（    ） A．场强大小为V/m B．将正电荷q从A点沿直线移到B点，它的电势能先增大后减小 C．将正电荷q从A点沿直线加速移到C点，静电场力做功为 D．将正电荷q从B点沿直线匀速移到C点，非静电场力做的功为 【答案】C 【详解】A．等边三角形的边长，设AB边中点为O，连接OC根据几何关系可得 因为 故AB为一条等势线，则电场线与AB垂直，又因为C点电势 OC两点的电势差 电场方向与ABC平面的夹角，根据电场强度与电势差之间的关系式，可得 故A错误； B．AB为一条等势线，正电荷从A点沿直线移到B点，电场力不做功，电势能不变，故B错误； CD．将正电荷q从A点沿直线加速移到C点，静电场力做功为 将正电荷q从B点沿直线匀速移到C点，则有 则 故C正确，D错误。 故选C。 4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）在光滑绝缘水平面存在着一个静电场，其中一条电场线沿x轴方向且各点电势随x坐标变化规律如图所示。一带电小球从O点由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴正向做直线运动的过程中，以下说法中正确的是（　　） A．该小球带正电 B．该小球在处的加速度大于在处的加速度 C．该小球在处的速度大于在处的速度 D．小球在处速度是在处速度的一半 【答案】B 【详解】A．由图像可知，电势增加，根据沿着电场线电势逐渐降低可知，电场沿x轴负方向，由于带电小球仅在电场力作用下沿x轴正向做直线运动，则小球受力沿x轴正向，受力方向与电场方向相反，所以该小球带负电，故A错误； B．由于 知图像某点切线的斜率等于场强，则知小球在处的场强大于在处的场强，由 小球在处的电场力大于在处的电场力，得该小球在处的加速度大于在处的加速度，故B正确； C．由图可知和两点电势相等，小球从运动到处，电场力做功为0，根据动能定理可知在、处速度相同，故C错误； D．根据动能定理可知，阶段 阶段 联立解得 速度之比为 故D错误。 故选B。 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，一等腰梯形ABCD处于匀强电场中，电场强度方向平行于等腰梯形所在平面，已知∠DAB=∠CBA=60°，AB=2m，AD=1m，A、D、C三点的电势分别为1V、3V、5V。下列说法正确的是（　　） A．B点的电势为6V B．电场强度大小为 C．一质子在梯形区域内的电势能小于零 D．一电子从D点移到AB的中点，电场力做正功 【答案】B 【详解】AB．取AB中点为F，由几何关系可知四边形AFCD为平行四边形，故 故 即DF为3V的等势线，作出电场线如图 所以B点的电势为 电场强度大小为 故A错误，B正确； C．如图可知，在梯形区域内BC电势最高为5V，A点电势最低为1V，根据 可知一质子在梯形区域内的电势能一定大于零，故C错误； D．因为 所以 一电子从D点移到AB的中点，又 故电场力做不做功，故D错误。 故选B。 6．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）如图所示，在匀强电场中，将带电量为的点电荷从电场中的A点移到B点，电场力做了的功，再从B点移到C点，电场力做了的功。已知电场的方向与所在的平面平行。下列说法正确的是（  ）    A．A、B两点的电势差=－4V B．B、C两点的电势差=2V C．A点的电势比C点的电势高 D．场强的方向垂直于AC指向B 【答案】C 【详解】A．由题可知 故A错误； B．同理可得 故B错误； C．可以解得AC的电势差 故A点的电势比C点的电势高，故C正确； D．由于该电场为匀强电场，所以等势面在所示平面内投影为直线且电势在任意直线上均匀变化。取A、B中点，此点电势为2V，连接C点，得到相同电势的一条直线，由于电场强度方向垂直等势面且指向电势减小的方向，所以过B点做该直线垂线即得到条电场线，方向如图所示    场强方向并不是垂直于AC的，故D错误； 故选C。 7．（23-24高一下·河南·期末）如图所示，一带正电的点电荷从某点以竖直向上的初速度v射入水平向右的匀强电场中，图中实线为匀强电场的电场线，不计点电荷受到的重力，下列图中虚线可能正确描绘了点电荷运动轨迹的是（　　）    A．   B．   C．   D．    【答案】C 【详解】带正电的点电荷在该匀强电场中受到水平向右的电场力，电场力与初速度不共线，点电荷一定做曲线运动，再结合曲线运动中合力指向轨迹的凹侧可知，选项C正确。 故选C。 8．（23-24高一下·辽宁·期末）小明同学在学习电场部分知识时，课堂笔记只记录了“实线是电场线，一电子只受电场力，沿图中虚线所示的路径运动，先后通过M点和N点。”而没有记录电场线的方向，则下列说法中正确的是（　　） A．电子在M、N两点的速度大小关系为 B．电子在M、N两点的加速度大小关系为 C．电场中M、N点的电势大小关系为 D．电子从M点运动到N点的过程中，电场力对电子做正功 【答案】B 【详解】AD．电子只受电场力，沿图中虚线所示的路径运动，先后通过M点和N点，根据曲线运动所受合力位于轨迹的凹侧，电子在电场中的受力和速度方向如图所示 由于电场力方向与速度方向的夹角大于，电子从M点运动到N点的过程中，电场力对电子做负功，电子的动能减小，则电子在M、N两点的速度大小关系为，故AD错误； B．根据电场线的疏密程度可知，M点场强大于N点场强，则电子在M点受到的电场力大于在N点受到的电场力，根据牛顿第二定律可知，电子在M、N两点的加速度大小关系为，故B正确； C．电子从M点运动到N点的过程中，电场力对电子做负功，电子的电势能增加，则电子在M点的电势能小于在N点的电势能，根据 由于电子带负电，所以电场中M、N点的电势大小关系为，故C错误。 故选B。 二、多选题 9．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随位移x变化的关系如图所示，其中段是关于直线对称的曲线，段是直线，则下列说法正确的是（　　） A．段的电场强度在逐渐减小 B．段的电场强度大小不变，方向沿着x轴负方向 C．段，粒子运动过程中的动能先增大后减小 D．若O、、、处电势为、、、，则 【答案】AC 【详解】A．根据， 可知 可知图像斜率的绝对值等于粒子受到的电场力大小，段图像斜率的绝对值逐渐减小，粒子受到的电场力逐渐减小，电场强度在逐渐减小，故A正确； B．段图像斜率的绝对值不变，电场强度大小不变，负电荷在高电势处电势能反而小，可知段电势逐渐减小，根据沿电场线电势降低，方向沿着x轴正方向，故B错误； C．段，粒子运动过程中电势能先减小后增大，电场力先做正功后做负功，动能先增大后减小，故C正确； D．粒子的电势能为 则 故D错误。 故选AC。 10．（23-24高一下·山东聊城·期末）如图所示，边长为0.1m的正六边形ABCDEF置于匀强电场中，且正六边形所在平面和电场线平行。A、B、D三个顶点处的电势分别为1V、2V、3V。下列说法正确的是（　　） A．通过CD两点的直线为电场中的等势线 B．匀强电场的电场强度大小为10V/m C．AE连线中点的电势为1.5V D．将一个电子由E点移动到D点，电子的电势能将增加 【答案】AC 【详解】A．连接AD，AD中点电势为2V，由正六边形对称性，则EB、AF、CD均为电场中的等势线，故A正确； B．匀强电场的场强大小为 故B错误； C．匀强电场中，沿着同一方向，距离相同的两点间电势差相等，又A、E点处的电势分别为1V和2V，故AE连线中点的电势为1.5V，故正确； D．由上得知，E的电势为2V，D点的电势相等为3V，则电子从E点移到D点电场力做正功，而且为 电势能将减小，而不是增加，故D错误。 故选AC。 三、解答题 11．（23-24高一下·湖南长沙·期末）如图，带电量的A球固定在足够长的光滑绝缘斜面上，斜面的倾角，质量、带电量的B球在离A球处由静止释放。两球均可视为点电荷，静电力恒量，g取，。 （1）A球在B球释放处产生的电场强度E的大小和方向； （2）B球的速度最大时两球间的距离r； （3）B球从开始运动到速度最大时，其电势能改变了7.92J．求B球运动的最大速度。（结果可用根号表示） 【答案】（1）；方向沿斜面向上；（2）1.2m；（3）或 【详解】（1）A球在B球释放处产生的电场强度大小 方向沿斜面向上。 （2）当B球所受静电力等于重力沿斜面向下的分力时B球的速度最大，此时 解得 （3）B球从开始运动至达到最大速度的过程中，设电场力做的功为，根据动能定理有 ， 解得 12．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图甲，倾角为的斜面，底端固定一轻弹簧，顶端与一水平面相连。一绝缘轻绳将斜面上的物块A通过轻质定滑轮与水平面上的物块B相连。A、B的质量分别为M=1.2kg、m=0.6kg，A不带电，B带正电且电荷量q=8×10-4C。先将B锁定，使细绳处于拉紧状态，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧细绳与水平面平行。解除锁定，A、B从静止开始运动，此时A的加速度大小=4m/s2，B始终处于水平向右的匀强电场中且不会与滑轮碰撞，带电量保持不变。以物块A的初始位置为坐标原点O，沿斜面向下建立坐标轴Ox，弹簧弹力F与A的位置关系如图乙所示。弹簧未超过弹性限度，重力加速度g=10m/s2，不计一切摩擦。 （1）求匀强电场的电场强度大小E； （2）求物块A、B的最大速度； （3）取物块B的初始位置为零电势点，求物块B的电势能的最大值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）对A，根据牛顿第二定律 对B，根据牛顿第二定律 解得， （2）物块A、B的速度最大时，物块A、B的加速度为零，则 由图可得 解得 对A、B整体，根据动能定理有 解得 （3）设弹簧压缩量为时，A、B间的绳子恰好松弛，设此时A、B的加速度都为，对B有 对A有 解得， 设A、B间的绳子恰好松弛时，A、B的速度为，对A、B整体，根据动能定理有 解得 此后B做匀减速运动，位移为 物块B向左运动的最大距离为 物块B的电势能的最大值 13．（23-24高一下·河南许昌·期末）如图所示，粗细均匀的光滑绝缘圆环，固定在竖直平面内，其圆心为O，半径为R，AB为圆环竖直方向的一条直径，CD也是圆环的一条直径，且与竖直方向的夹角为。电荷量为Q的带负电的小球甲固定在环上与C点等高的点，另一个质量为m的带电小球乙套在环上，可在环上自由滑动，当小球乙处在C点位置时，恰好处于静止状态，重力加速度为g，静电力常量为k。请解决下列问题： （1）小球乙的电性及带电量大小； （2）若将小球乙放在环上的D点，由静止从D点释放，求释放瞬间乙球的加速度； （3）若小球乙由静止从D点运动到B点的速度为v，求DB两点间的电势差。 【答案】（1）正电荷，；（2），方向沿D点的切线方向向下；（3） 【详解】（1）根据几何关系有可知，。 设乙球带电量大小为q，对小球乙受力分析可知，小球乙带正电荷才可能平衡，所以小球乙带正电荷。对乙球分析，根据平衡条件有 解得 （2）若将小球乙放在环上D点，由静止从D点释放，释放瞬间受力分析乙球的加速度大小为a，释放的瞬间由于速度为零，所以沿半径方向的向心加速度 则合加速度即为小球乙在切线方向的加速度，根据由牛顿第二定律有 结合上述解得 方向沿D点的切线方向向下。 （3）小球乙由静止从D点到B点过程有， 由动能定理可知 解得 14．（23-24高一下·湖南长沙·期末）如图（a），同一竖直平面内A、B、M、N四点距O点的距离均为，O为水平连线AB的中点，M、N在AB连线的中垂线上。A、B两点分别固定有一点电荷，电荷量均为Q（）。以O为原点，竖直向下为正方向建立x轴。若取无穷远处为电势零点，则ON上的电势φ随位置x的变化关系如图（b）所示。一电荷量为Q（）的小球以一定初动能从M点竖直下落，一段时间后经过N点，其在ON段运动的加速度大小a随位置x的变化关系如图（c）所示。图中g为重力加速度大小，k为静电力常量。 （1）求M点的电场强度； （2）求小球的重力； （3）为保证能运动到N点，从M点下落时的初动能须满足什么条件？ 【答案】（1），方向由O指向M；（2）；（3） 【详解】（1）由点电荷场强公式，单个点电荷在M点的场强大小① 由矢量的合成有② 方向由O指向M （2）设O点下方处为C点，A与C的距离为，小球在C处所受的库仑力大小为，由库仑定律和力的合成有③ 式中④ 设小球的质量为，小球在C点的加速度大小为a， 由牛顿第二定律有⑤ 由图（c）可知，式中 联立并代入数据得⑥ （3）设O点上方处为D点。根据图（c）和对称性可知，在D点所受的电场力大小等于小球的重力大小，方向竖直向上，在此处加速度为0；在D点上方做减速运动，在D点下方做加速运动，为保证能运动到N点，运动到D点时的速度必须大于零 设M点与D点电势差为，由电势差定义有⑦ 设小球初动能为，运动到D点的动能为，由动能定理有⑧ ⑨ 由对称性，D点与C点电势相等，M点与N点电势相等，依据图（b）所给数据，并联立⑥⑦⑧⑨式可得⑩ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$