3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（六大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

3．3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 课程标准 学习目标 1、正确理解函数零点的概念． 2、理解一元二次方程与二次函数的关系． 3、掌握图象法解一元二次方程． 4、能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决． 1、数学抽象：函数零点概念的理解． 2、直观想象：掌握图象法解一元二次方程． 3、数学运算：函数零点的计算、掌握图象法解一元二次不等式． 知识点01 一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有 ．(填序号) 知识点02 二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 【即学即练2】（2023·河南郑州·高一统考期末）已知二次函数的零点为和1，则关于x的不等式的解集为 ． 知识点03 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 【即学即练3】若一元二次不等式的解集是，则的值是 . 知识点04 利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 【即学即练4】（2023·全国·高一专题练习）某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是 ． 知识点05 一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 【即学即练5】已知函数． (1)若，试求的最小值； (2)对于任意的，不等式成立，试求的取值范围． 知识点06 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 【即学即练6】不等式的解集为 . 题型一：解不含参数的一元二次不等式 【典例1-1】（2024·高一·江西南昌·开学考试）解下列方程和不等式： (1) (2) 【典例1-2】解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) 【方法技巧与总结】 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集． 【变式1-1】解下列一元二次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1-2】（2024·高一·北京石景山·期中）不等式的解集是 ． 【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）不等式的解集是 ． 【变式1-4】（2024·高一·全国·课后作业）不等式的解集是 ． 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 【典例2-1】（多选题）（2024·高一·江苏南通·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．不等式的解集为 B．的解集为 C．的最小值为 D．的最小值为 【典例2-2】（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）（多选）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 【变式2-1】（2024·高一·山西朔州·阶段练习）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·云南曲靖·期中）已知函数，若的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高一·云南昭通·期末）已知不等式的解集为，则实数（    ） A．－3 B．3 C．－2 D．2 【变式2-4】（2024·高一·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 【变式2-5】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 【典例3-1】（2024·高一·江苏淮安·开学考试）已知不等式的解是或． (1)用字母a表示出b，c； (2)求不等式的解 【典例3-2】（2024·高一·江苏·开学考试）（1）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． （2）已知，解不等式：． 【方法技巧与总结】 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． （2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． （3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【变式3-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 【变式3-2】（2024·高一·全国·课堂例题）解关于x的不等式：（）； 【变式3-3】（2024·高一·天津·期中）解关于变量的不等式：． 【变式3-4】（2024·高一·全国·专题练习）求不等式的解集． 【变式3-5】（2024·高一·上海·随堂练习）（1）已知关于x的二次方程无实数解，求实数a的取值范围； （2）已知，解不等式． 【变式3-6】（2024·高一·上海·课后作业）解关于的不等式：． 【变式3-7】（2024·高一·安徽·期中）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 题型四：一次分式不等式的解法 【典例4-1】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）不等式的解集是 . 【典例4-2】（2024·高一·重庆铜梁·开学考试）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 . 【方法技巧与总结】 分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1） （2） （3）且 （4）且 【变式4-1】（2024·高一·广东·开学考试）不等式：的解为 ． 【变式4-2】（2024·高一·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【变式4-3】（2024·高一·上海·随堂练习）已知不等式的解集为，则 ，此时不等式的解集为 ． 【变式4-4】（2024·高一·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【变式4-5】（2024·高一·上海·单元测试）分式不等式的解集为 ． 【变式4-6】（2024·高一·全国·课堂例题）不等式的解集是 . 题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 【典例5-1】（2024·高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是 . 【典例5-2】（2024·高一·江苏盐城·开学考试）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 【方法技巧与总结】 利用不等式解决实际问题需注意以下四点 （1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向． （2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向． （3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值． （4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 【变式5-1】（2024·高一·全国·课后作业）如图所示，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形EFGH）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且，为使绿地面积不小于空地面积的一半，AE的长的最小值为 ． 【变式5-2】（2024·高一·全国·课后作业）某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km．问：从此时起，经 h后A市将受热带风暴影响，大约受影响 h. 【变式5-3】（2024·高一·上海奉贤·期中）某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件．现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（每100元销售额收取元），且为正整数．为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到元，但提价后每年的销售量会减少万件．若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数的取值组成的集合为 ． 【变式5-4】（2024·高一·四川绵阳·阶段练习）某种衬衫进货价为每件元，若以元一件出售，则每天能卖出件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m) 【变式5-5】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【变式5-6】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 题型六：不等式的恒成立问题 【典例6-1】（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【典例6-2】当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【方法技巧与总结】 不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数． 【变式6-1】（2024·高一·上海·单元测试）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 【变式6-2】（2024·高二·陕西渭南·阶段练习）已知. (1)当时，求满足的值的集合； (2)求满足的值的集合； (3)当时，恒成立，求满足条件的的取值范围. 【变式6-3】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）（1）若对于一切实数，不等式恒成立，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【变式6-4】（2024·高三·四川内江·阶段练习）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】（2024·高三·全国·单元测试）若对满足的任意实数恒成立，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·高一·北京·开学考试）已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 2．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·山西朔州·阶段练习）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·天津蓟州·阶段练习）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·上海·随堂练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高一·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 8．（2024·高一·江苏·开学考试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（    ）． A．4 B．40 C．8 D．28 10．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·高一·云南昆明·期末）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 12．（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 13．（2024·高一·黑龙江鹤岗·阶段练习）正实数、满足：，则的取值范围为 . 14．（2024·高一·上海长宁·开学考试）已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是 15．（2024·高一·云南文山·阶段练习）已知函数，． (1)当时，，求的最小值； (2)当时，，求关于x的不等式的解集． 16．（2024·高一·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)已知，集合、集合、集合，则同时满足A且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由； (2)已知，命题：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题：不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 17．（2024·高一·安徽滁州·阶段练习）（1）解不等式 （2）关于不等式解集为空集，求实数的取值范围． 18．（2024·高一·云南昆明·开学考试）一元二次不等式和初中学过的一元二次不等式与二次函数有着异曲同工之妙． (1)解一元二次不等式：； (2)解关于的不等式：； (3)已知关于的不等式的解集为，求的解集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3．3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 课程标准 学习目标 1、正确理解函数零点的概念． 2、理解一元二次方程与二次函数的关系． 3、掌握图象法解一元二次方程． 4、能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决． 1、数学抽象：函数零点概念的理解． 2、直观想象：掌握图象法解一元二次方程． 3、数学运算：函数零点的计算、掌握图象法解一元二次不等式． 知识点01 一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有 ．(填序号) 【答案】⑥⑦ 【解析】①不是，是二元一次不等式； ②不一定是，当时是一元二次不等式，当时不是一元二次不等式； ③不是，未知数的最高次数是； ④不是，是二元二次不等式； ⑤不一定是，原因同②； ⑥是，因为，二次项系数非零，也符合一元二次不等式的定义； ⑦是，因为符合一元二次不等式的定义． 故答案为：⑥⑦ 知识点02 二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 【即学即练2】（2023·河南郑州·高一统考期末）已知二次函数的零点为和1，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或 【解析】由于二次函数的零点为和1， 所以，解得， 则不等式，即， ，解得或， 所以关于x的不等式的解集为或. 故答案为：或 知识点03 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 【即学即练3】若一元二次不等式的解集是，则的值是 . 【答案】 【解析】一元二次不等式的解集是, 则和是一元二次方程的实数根, ∴, 解得. 故答案为： 知识点04 利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 【即学即练4】（2023·全国·高一专题练习）某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设按销售收入的征收木材税时，税金收入为万元， 则， 令，即，解得. 故答案为： 知识点05 一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 【即学即练5】已知函数． (1)若，试求的最小值； (2)对于任意的，不等式成立，试求的取值范围． 【解析】（1）依题意得， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为， （2）因为，所以要使对于任意的，不等式成立，只要在上恒成立， 设，则， 即，解得， 即的取值范围为 知识点06 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 【即学即练6】不等式的解集为 . 【答案】 【解析】原不等式可化为， 即， 即，即， 解得， ∴原不等式的解集为， 故答案为： 题型一：解不含参数的一元二次不等式 【典例1-1】（2024·高一·江西南昌·开学考试）解下列方程和不等式： (1) (2) 【解析】（1）依题意，， 解得或. （2）依题意， 解得或， 所以不等式的解集为或. 【典例1-2】解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) 【解析】（1）可以转化为 的解集为：. （2）移项可得， 的解集为 （3）化简可得， 的解集为 （4）因式分解可得，的解集为 【方法技巧与总结】 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集． 【变式1-1】解下列一元二次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【解析】（1）由，得， ，解得或， 所以原不等式的解集为； （2）由，得， ，解得， 所以原不等式的解集为； （3）由，得， 方程的根为， 所以原不等式的解集为； （4）由，得， 方程的根为， 所以原不等式的解集为； （5）由，得， ，得， 所以原不等式的解集为 （6）由，得， 得恒成立， 所以原不等式的解集为. 【变式1-2】（2024·高一·北京石景山·期中）不等式的解集是 ． 【答案】或. 【解析】由不等式可化为， 解得或（舍去），所以或， 即不等式的解集为或. 故答案为：或. 【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】由，即，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 【变式1-4】（2024·高一·全国·课后作业）不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】原不等式等价于，由于恒成立， 因此原不等式的解集为． 故答案为： 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 【典例2-1】（多选题）（2024·高一·江苏南通·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．不等式的解集为 B．的解集为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】不等式的解集为， 根据根与系数的关系，可得且，. 可化为，解得，B正确； ，当且仅当时等号成立，C正确； ，方程的解为，且， 不等式的解集为，A错误； ，而，当且仅当，即时取等号， 的最大值为，D错误. 故选：BC. 【典例2-2】（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）（多选）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为不等式的解集为， 所以，解得. 所以. 即. 故选：BCD. 【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系 （1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． （2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 【变式2-1】（2024·高一·山西朔州·阶段练习）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由于不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 故且，解得，， 故选：AC 【变式2-2】（2024·高一·云南曲靖·期中）已知函数，若的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的解集为， 所以，且是方程的两个根， 所以， 所以，所以， 故选：A. 【变式2-3】（2024·高一·云南昭通·期末）已知不等式的解集为，则实数（    ） A．－3 B．3 C．－2 D．2 【答案】B 【解析】因为不等式的解集为 所以方程的两个根为： 由韦达定理可得：，∴，∴， 故选：B. 【变式2-4】（2024·高一·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【解析】根据题意,可以知道,的两根为. 由根与系数的关系得到： . 因为开口向下,则,故A正确. ,故B正确. 且,对称轴为,,故C正确. ,两边同时除以, 得到,解得,故D错误. 故选:D. 【变式2-5】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 【典例3-1】（2024·高一·江苏淮安·开学考试）已知不等式的解是或． (1)用字母a表示出b，c； (2)求不等式的解 【解析】（1）由不等式的解为或， 可知且的两根为2和3， 由得韦达定理，，所以，； （2）由（1）可得：可变为， 因为，所以，整理得， 解得或，所以不等式的解是或． 【典例3-2】（2024·高一·江苏·开学考试）（1）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． （2）已知，解不等式：． 【解析】（1）由的解集为，知的两根为，2， 所以，解得 所求不等式为， 变形为， 即， 所以不等式的解集为． （2）原不等式为． ①若时，即时，则原不等式的解集为； ②若时，即时，则原不等式的解集为； ③若时，即时，则原不等式的解集为． 综上可得，当时，原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为． 【方法技巧与总结】 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． （2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． （3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【变式3-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 【解析】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【变式3-2】（2024·高一·全国·课堂例题）解关于x的不等式：（）； 【解析】 ①当，即时，原不等式无解． ②当，即或时， 方程的两根为，， 则原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式无解； 当或时，原不等式的解集为； 【变式3-3】（2024·高一·天津·期中）解关于变量的不等式：． 【解析】根据题意，， 分2种情况讨论： ①当时，不等式为：，解可得，此时不等式的解集为； ②若，的两个根为3和， 当时，不等式的解集为，，； 当时， 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为，． 综合可得：当时，不等式的解集为，，； 当时，不等式的解集为； 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为，． 【变式3-4】（2024·高一·全国·专题练习）求不等式的解集． 【解析】不等式，可化为， 即， 令，解得，， 当时，，解集为或； 当时，，解集为； 当时，，解集为或. 【变式3-5】（2024·高一·上海·随堂练习）（1）已知关于x的二次方程无实数解，求实数a的取值范围； （2）已知，解不等式． 【解析】（1）关于的二次方程无实数解， 函数的图象与轴无交点， ， 解得：， 实数的取值范围为； （2）令， 当时，， 解得：， 所以不等式的解集是． 【变式3-6】（2024·高一·上海·课后作业）解关于的不等式：． 【解析】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 【变式3-7】（2024·高一·安徽·期中）已知，关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)解关于的不等式． 【解析】（1）因为不等式的解集为或， 所以与是方程的两个实数根， 由根与系数的关系，得， 解得：，； （2）由（1）知不等式为， 即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为． 题型四：一次分式不等式的解法 【典例4-1】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【解析】由不等式，可得或. 不等式组，解得，即； 不等式组，解得，即. 综上可知，不等式的解集为. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高一·重庆铜梁·开学考试）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 . 【答案】 【解析】由题图知，1和2是方程的两个根，且，则， 即，因此不等式为，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 【方法技巧与总结】 分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1） （2） （3）且 （4）且 【变式4-1】（2024·高一·广东·开学考试）不等式：的解为 ． 【答案】或 【解析】由，得或，解得或， 所以不等式的解为或. 故答案为：或 【变式4-2】（2024·高一·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为，所以 所以 即所以不等式的解集为． 故答案为：． 【变式4-3】（2024·高一·上海·随堂练习）已知不等式的解集为，则 ，此时不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】根据题意可知，的两根分别为和， 则，， 解得，， 所以， 而可化为， 解得， 故答案为：，． 【变式4-4】（2024·高一·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为，所以恒成立， 所以， 所以，， 所以． 故答案为：. 【变式4-5】（2024·高一·上海·单元测试）分式不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由，得， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式4-6】（2024·高一·全国·课堂例题）不等式的解集是 . 【答案】或 【解析】等价于，解得或， 故解集为或. 故答案为：或 题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 【典例5-1】（2024·高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是 . 【答案】 【解析】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故答案为： 【典例5-2】（2024·高一·江苏盐城·开学考试）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 【答案】 【解析】设这辆汽车刹车前的车速为， 根据题意，有， 整理得， 解得或（舍去）， 所以这辆汽车刹车前的速度至少为． 故答案为： 【方法技巧与总结】 利用不等式解决实际问题需注意以下四点 （1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向． （2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向． （3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值． （4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 【变式5-1】（2024·高一·全国·课后作业）如图所示，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形EFGH）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且，为使绿地面积不小于空地面积的一半，AE的长的最小值为 ． 【答案】50米 【解析】设米，则， ，， ， 若绿地面积不小于空地面积的一半，则，即 解得，故AE的长的最小值为50米. 故答案为：50米. 【变式5-2】（2024·高一·全国·课后作业）某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km．问：从此时起，经 h后A市将受热带风暴影响，大约受影响 h. 【答案】 【解析】如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系. 因为，所以热带风暴中心B的坐标为， 则x h后热带风暴中心B到达点处， 依题意，当A市受热带风暴影响时，有，即， 整理得，解得，， 所以在h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达h. 故答案为：； 【变式5-3】（2024·高一·上海奉贤·期中）某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件．现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（每100元销售额收取元），且为正整数．为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到元，但提价后每年的销售量会减少万件．若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数的取值组成的集合为 ． 【答案】 【解析】由题设，且，， 所以且，即，， 令，则， 所以两根分别为，， 综上，可得，， 所以正整数的取值组成的集合为. 故答案为： 【变式5-4】（2024·高一·四川绵阳·阶段练习）某种衬衫进货价为每件元，若以元一件出售，则每天能卖出件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m) 【答案】 【解析】假设每件衬衫的售价是元，则每天的销售量为件， 每天出售衬衫的净收入， 令, ， ， 解得, 故答案为：. 【变式5-5】（2024·高一·河北石家庄·开学考试）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．    (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【解析】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若， 则利润， 其开口向下，对称轴为，所以当时， 利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 由整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 【变式5-6】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【解析】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 题型六：不等式的恒成立问题 【典例6-1】（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【解析】（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立， ②若，则不等式恒成立， 等价于 ，解得， 综上，实数m的取值范围是. （2）①当时，则原不等式可化为，显然恒成立， ②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若时不等式恒成立， 则，解得， ③当时，函数的图象开口向下， 若时不等式恒成立， 则，解得， 综上，实数m的取值范围是. 【典例6-2】当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】因为当时，不等式恒成立， 所以的根一个小于1，另一个大于2， 如图，可得，解得， 所以的取值范围是. 【方法技巧与总结】 不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数． 【变式6-1】（2024·高一·上海·单元测试）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】当时，有，故时符合要求； 当时，则有，即，即； 综上所述，. 【变式6-2】（2024·高二·陕西渭南·阶段练习）已知. (1)当时，求满足的值的集合； (2)求满足的值的集合； (3)当时，恒成立，求满足条件的的取值范围. 【解析】（1）当时，， 则； （2）易知， 若，则， 若，则或， 若，则，此时， 若，此时， 若，则，此时， 综上所述：时，解集为， 时解集为， 时解集为， 时解集为，时解集为； （3）由题意可知对任意恒成立， 所以，解之得. 【变式6-3】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）（1）若对于一切实数，不等式恒成立，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）要使恒成立，若，显然，满足题意； 若，则解得， 综上，的取值范围是． （2）令． 当时，恒成立，则的根一个小于1，另一个大于2． 如图，得即解得， 的取值范围是． 【变式6-4】（2024·高三·四川内江·阶段练习）“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式对恒成立， 所以，则. 则不等式恒成立的一个必要不充分条件是. 故选：B 【变式6-5】（2024·高三·全国·单元测试）若对满足的任意实数恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分离参变量得恒成立，则， 故不等式右边取最大值时必须同号（且都不为零）， 此时，因为若，则与其同号，则，矛盾． 由，设， 则， 若要求取最大值，则需，即， 此时， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：B． 1．（2024·高一·北京·开学考试）已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 【答案】C 【解析】∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数在处取得最小值， 又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得． ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数在处取得最小值， 又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得： 故选：C． 2．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．（2024·高二·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 4．（2024·高一·山西朔州·阶段练习）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则，原不等式等价于不等式的解集， 又由，则方程的两根分别为， 当时，，故原不等式的解集为. 故选：B 5．（2024·高一·天津蓟州·阶段练习）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当，即时，，恒成立； 当时，，解之得， 综上可得 故选：D 6．（2024·高一·上海·随堂练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得到， 当时，不等式的解为，又不等式的解集中恰有4个正整数解，所以， 当时，不等式的解为，不满足题意， 当时，不等式的解为，最多含1个正整数解，不满足题意， 故选：A. 7．（2024·高一·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 8．（2024·高一·江苏·开学考试）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 因为，所以当时，； 当时，； 时，； 由不等式恒成立，得或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，， 则，即， 则当时，，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：C． 9．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（    ）． A．4 B．40 C．8 D．28 【答案】CD 【解析】第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以. 故选：CD. 10．（多选题）（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于一元二次不等式，则 当时，函数开口向上，与轴的交点为， 故不等式的解集为； 当时，函数开口向下， 若，不等式解集为； 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 故选：ACD 11．（多选题）（2024·高一·云南昆明·期末）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】AD 【解析】关于的不等式即， 即， 当时，即，解集为空集，不合题意； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故； 当时，的解满足， 要使得关于的不等式只有一个整数解，需， 由于，故， 综合得的可能取值， 故选：AD 12．（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为命题“，使得”是假命题， 所以，使得， 当时，有，符合； 当时，则有即， ， 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 13．（2024·高一·黑龙江鹤岗·阶段练习）正实数、满足：，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意知正实数、满足：， 令，则，所以， 即，则，故， 则的取值范围为， 故答案为： 14．（2024·高一·上海长宁·开学考试）已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】由解得：或， 变形为， 因为，所以， 其中之间有1个整数解， 因此要想同时满足两不等式的整数值只有2024个， 则要满足有2023个整数值，则，解得：. 故答案为：. 15．（2024·高一·云南文山·阶段练习）已知函数，． (1)当时，，求的最小值； (2)当时，，求关于x的不等式的解集． 【解析】（1）因为时，，可得， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时取等号，即当且仅当，时取得最小值为． （2）因为当时，，可得， 则， 因为，所以，则解不等式可得或， 则不等式的解集为或． 16．（2024·高一·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)已知，集合、集合、集合，则同时满足A且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由； (2)已知，命题：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题：不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为， 因为A，则或或， 若，则，的值不存在； 若，则，解得； 若，则，无解； 综上所述：； 因为，则或或或， 若，则，解得； 若，则，无解； 若，则，无解； 若，则，解得； 综上所述，或； 所以存在、的值，当、或、时，满足A、. （2）因为、是方程的两个实根，则， 可得， 当时，， 由不等式对任意实数恒成立可得：， 即，解得或， 所以命题为真命题时，， 命题：不等式有解， 当时，原不等式一定有解， 当时，只需，解得， 不等式有解时， 又命题是假命题，则， 所以命题是真命题且命题是假命题时，实数的取值范围为. 17．（2024·高一·安徽滁州·阶段练习）（1）解不等式 （2）关于不等式解集为空集，求实数的取值范围． 【解析】（1）不等式可化为 通分可得，即 分解因式可得，则， 解得或或， 故解集为：或或； （2）当即时，原不等式可化为恒不成立，满足解集为空集； 当时，可得，解得， 综上，实数的取值范围为. 18．（2024·高一·云南昆明·开学考试）一元二次不等式和初中学过的一元二次不等式与二次函数有着异曲同工之妙． (1)解一元二次不等式：； (2)解关于的不等式：； (3)已知关于的不等式的解集为，求的解集． 【解析】（1）， 解得：或， 所以不等式的解集为； （2），即， 即，即或，且， 所以不等式的解集为或或； （3）由条件可知，方程的两根分别为和， 则，得，， 不等式，即，即， 则，得， 所以不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$