22.2.2 配方法（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

22.2 一元二次方程的解法 第2课时 配方法 数学（华东师大版） 九年级 上册 第22章 一元二次方程 学习目标 1、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程； 2、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程； 3、能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程； 　 温故知新 你还记得完全平方公式吗？ a2±2ab+b2 (a±b)2 = a2±2ab+b2= 反过来： (a±b)2 1.填上适当的数，使下列各等式成立. (1) x2－2x+ = ( x－ )2； (2) x2+8x+ = ( x+ )2； 12 1 42 4 观察上面的等式，你能发现有什么规律吗？ (3) x2－5x+ = ( x－ )2； (4) x2+x+ = ( x+ )2 . 　 导入新课 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 讲授新课 知识点一 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 探究交流 讲授新课 问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立. （1）x2+4x+ = ( x + )2 （2）x2-6x+ = ( x- )2 （3）x2+8x+ = ( x+ )2 （4） x2- x+ = ( x- )2 你发现了什么规律？ 22 2 32 3 42 4 讲授新课 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 归纳总结 想一想： x2+px+( )2=(x+ )2 配方的方法 讲授新课 思考：下列方程能用直接开平方法来解吗? (1) x2+6x+9=5 解：(1)原方程可化为(x+3)2=5 ∵x+3是5的平方根， ∴x+3=±. ∴x=-3±. 即x1=-3+，x2=-3-. (2) x2+6x+4=0 (2)解：移项，得：x2+6x=-4. 配方，得：x2+2x3 +32=-4+32， (x+3)2=5. 解这个方程，得x+3=±. 所以x1=-3+，x2=-3-. 讲授新课 把一个一元二次方程变形为(x＋h)2 ＝k (h、k为常数) 的形式，当k≥0时，就可以用直接开平方法求出方程的解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 讲授新课 典例精析 【例1】解下列方程： (1) x2－4x＋3＝0； 解: (1)移项，得 x2-4x=-3. 配方，得 x2-2x2 +22=-3+22， (x-2)2=1. 解这个方程，得x-2=±1. 所以x1=3，x2=1. (2) x2＋3x－1＝0． (2)移项，得 x2+3x=1. 配方，得 x2+2x=1+ , (x+)2= . 解这个方程，得 x+=±， 所以x1=-+，x2=--. 讲授新课 1. 配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 先把方程化为(x+h)2=k的形式，再用直接开平方法求解． 配方法 直接开平方法 (x+h)2=k (k≥0) x= 讲授新课 练一练 1、解下列方程： (1) x2+2x=3 (2) x2-6x=4 (4) x2-x-1=0 (3) x2+10x+20=0 x1=-3，x2=1 x1=3+，x2=3- x1=，x2= x1=-5+，x2=-5- 讲授新课 知识点二 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 解: 两边都除以2，得 x2－x+12=0. 移项，得 x2－x =－12. 配方，得 x2－2x + 2 =－12+ 2， (x－)2 =. 请你尝试用配方法解方程2x2－19x+24=0. 解这个方程，得 x－=±. 所以x1= ，x2=8. 讲授新课 典例精析 【例2】解方程：2x2－5x+2=0. 解: 两边都除以2，得 x2－x+1=0. 移项，得 x2－x=－1. 配方，得 x2－2x + 2 =－1+ 2， (x－)2 =. 解这个方程，得 x－=±. 所以x1= ，x2=2. 讲授新课 练一练 1、解方程：－3x2+4x+1=0. 解: 两边都除以－3，得 x2－x－=0. 移项，得 x2－x = . 配方，得 x2－2x + 2 = + 2， (x－ )2 = . 解这个方程，得 x－ =± . 所以 x1=，x2= － . 讲授新课 2、解下列方程： (1) 2x2-8x+1=0 (2) x2+2x-1=0 (5) -x2-x+=0 (4) 3x2-1=6x x1=，x2= (3) 2x2+3x=0 (6) -5x2+2x+1=0 x1＝-2＋，x2＝-2- x1＝0，x2＝ x1=，x2= x1=，x2= x1=，x2= 讲授新课 (2)当k=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=； (3)当k<0 时，∵任何实数x，都有(x+h)2≥0 ，∴方程无实数根. 一般的，对于方程 (x+h)2 = k . (1)当k>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 x1=， x2=； 讲授新课 3、用配方法解下列方程： (1)3x2+3＝6x； (2) -5x2+2x-1＝0. 解: (1)两边都除以3，得x2+1=2x. 移项，得：x2-2x =-1. 配方，得：x2-2x 1+ 12=-1+1， (x-1)2=0. 解这个方程，得x-1=0. 所以x1=x2=1. (2)两边都除以-5，得x2-x+=0. 移项，得：x2-x =. 配方，得：x2-2x + 2 =+ 2， (x-)2=. ∵(x-)2≥0， ∴原方程无解. 讲授新课 知识点二 利用配方法求最值 【例3】试用配方法确定代数式x2+6x+11的最小值. 解：x2+6x+11 =x2+6x+9+2 =(x+3)2+2 ∵ (x+3)2≥0 ∴ (x+3)2+2≥2 即 x2+6x+11 ≥2 ∴x2+6x+11的最小值为2. 讲授新课 1. 对于任意实数x，用配方法可以说明代数式4x2－24x＋37的值一定是( ) A A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数 练一练： 讲授新课 2、应用配方法求最值. (1) 2x2－4x＋5的最小值；(2) －3x2 ＋12x－16的最大值. 解：(1) 2x2－4x＋5=2(x－1)2 ＋3 , 所以当x =1时，原式有最小值，最小值为3. (2)－3x2 ＋12x－16=－3(x － 2)2－4 , 所以当x =2时，原式有最大值，最大值为－4. 当堂检测 1. 一元二次方程y2﹣y﹣ =0配方后可化为（　　） A. (y+ )2=1 B. (y- )2=1 C. (y+ )2= D. (y- )2= 2. 用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为( ) A. (x+3)2=16 B.(x-3)2=16 C.(x+3)2=2 D.(x-3)2=2 B B 当堂检测 3.当x＝　 　时，代数式2x2＋4x有最　 　(填“大”或“小”)值为______； 当x＝　 　时，代数式-2x2＋4x有最　 　(填“大”或“小”)值为______；　 　 －1 小 －2 1 大 2 4. 应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x + 5 的最小值； (2) -3x2 + 6x - 7 的最大值. 解：原式 = 2( x - 1 )2 + 3 当 x = 1 时，有最小值 3. 解：原式 = -3(x - 1)2 - 4 当 x = 1 时，有最大值 -4. 当堂检测 （1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11； （2）x(x + 4) = 8x + 12； （3）4x2 - 6x - 3 = 0； （4）3x2 + 6x - 9 = 0. 解：x2 + 2x + 2 = 0， (x + 1)2 = -1. ∴ 此方程无解. 解：x2 - 4x - 12 = 0， (x - 2)2 = 16. ∴ x1 = 6，x2 = -2. 解：x2 + 2x - 3 = 0， (x + 1)2 = 4. ∴ x1 = -3，x2 = 1. 5. 解下列方程： 当堂检测 6.用配方法说明：不论 m 取何实数，多项式 m2－5m＋7 的值必定大于零. 解： m2－5m＋7 = (m－ )2＋ ， ∵ (m－ )2≥0， ∴ m2－3m＋7＞0. 当堂检测 7、试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =(k-2)2＋1 ∵(k-2)2≥0，∴(k-2)2＋1≥1. ∴k2－4k＋5的值必定大于零. 当堂检测 8、如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？  解：设道路的宽为xm, 根据题意得 （35-x)(26-x)=850， 整理得 x2-61x+60=0. 解得 x1=60（不合题意，舍去）, x2=1. 答：道路的宽为1m. 当堂检测 9、若 ，求(xy)2 的值. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 当堂检测 10、已知a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 ∴△ABC为等边三角形. 课堂小结 配方法 定义 通过配完全平方式解一元二次方程的方法 步骤 应用 求代数式的最值或字母值 一移常数项，并将二次项系数化为 1； 二配完全平方式 [配上 ]； 三写成 (x + n)2 = p； 四直接开平方法解方程. 谢 谢~ $$