22.2.1 直接开平方法和因式分解法（第1课时直接开平方法）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

22.2 一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 数学（华东师大版） 九年级 上册 第22章 一元二次方程 学习目标 1、能根据平方根的意义理解直接开平方法的含义； 2、会用直接开平方法解形如 (x＋h)2＝k (h、k为常数，k≥0)的方程. 　 温故知新 使方程左右两边相等的未知数的值 三特征：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 三条件：(1)整式方程 (2)一元 (3)二次 定义 解(根) 一元二次方程 一般式 　 导入新课 一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2，小林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设盒子的棱长为 x dm，则一个正方体盒子的表面积为 6x2 dm2． 由此可列方程 10×6x2 = 1500， 即 x2 = 25． 根据平方根的意义得 x = ±5， 即 x1 = 5，x2 = －5． ∵ 棱长不能为负值，∴ 盒子的棱长为 5 dm． 讲授新课 知识点一 用直接开方法解一元二次方程 什么叫做平方根? 平方根有哪些性质？ 根据平方根的意义，你能解方程x2＝4吗？ 解： ∵x是4的平方根， ∴x＝±2. 即此一元二次方程的解(或根)为： x1=2，x2 =－2 我们常用x1、x2来表示未知数为x的一元二次方程的两个根. 讲授新课 (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0； (3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 一般的，对于可化为方程 x2 = p, (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根: ， ； 利用平方根的定义开平方求一元二次方程的根的方法叫开平方法. 讲授新课 开平方法解一元二次方程的基本步骤： 1.将方程变形成 这里的x可以是表示未知数的字母，也可以是含未知数的代数式. 2.利用平方根的意义开平方法得 讲授新课 典例精析 (1) x2-4=0 (2) 4x2-1=0 解：移项，得：x2=4. ∵x是4的平方根， ∴x=±2， 即x1=2，x2=-2. 移项，得：4x2=1. ∵x是的平方根 ∴x=± 即x1= ，x2=- 两边都除以4，得： x2=. 【例1】解下列方程： 讲授新课 练一练 1. 解下列方程： (1) x2 =16； (2) x2 -0.81=0； (3) y2 -144=0； (4) 9x2 =4. x1=4，x2=-4 x1=0.9，x2=-0.9 y1=12，y2=-12 x1=，x2=- 讲授新课 2. 若一个正方形的面积为2，则其边长为多少？周长呢？ 解： 设这个正方形的边长是x. 由题意，得x2=2， 解这个方程，得x1=，x2=-（不合题意，舍去） 这个正方形的周长为4. 答： 这个正方形的边长为，周长为4. 讲授新课 知识点二 利用完全平方公式解一元二次方程 怎样解方程： x2 + 2x – 1 = 0？ 把常数项移到等号右边，得 x2 + 2x = 1. 对等号左边配方，得 x2 + 2x + 1 = 1 + 1. 即 （x+1）2 = 2. 直接开方，得 x1 = –1，x2 = – –1 . 因为两边加1，式子左边可以恰好凑成完全平方式. 为什么在方程两边同时加上数“1”而不是其他数？ 讲授新课 降次 通过”降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为（x+m）2=n（n≥0）。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法。 讲授新课 典例精析 ( x+1 )2=2 【例2】解方程： 解：∵ (x+1)是2的平方根， ∴ x+1 =±， ∴ x=-1±， 即x1=-1+ ，x2=-1- . 形如(x＋h)2＝k (h、k为常数，k≥0)的一元二次方程，可以用直接开平方法求解. 讲授新课 【例3】解方程： 12( 2-x )2 -3=0 解：移项，得12(2-x)2=3 两边都除以12，得 (2-x)2 = ∵2-x是的平方根 ∴2-x=± 即x1= ，x2= 讲授新课 练一练 1. 解下列方程： (1) (x－1)2=4； (2) (x+2)2=3； (3) (x－4)2－25=0； (4) (2x+3)2－5=0. x1=3，x2=-1 x1=-2+，x2=-2- x1=9，x2=-1 x1=，x2= 讲授新课 (1) 2(x-1)2－5=0； 2. 解下列方程： x1=，x2= (2) (2y+3)2－16=0. y1=，y2= 讲授新课 典例精析 【例4】解方程： ( 2x-1 )2=( x-2 )2 解：2x-1= 即x1=-1，x2=1 即 2x-1=±(x-2) ∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2 把(2x-1)看成是(x-2)2的平方根，同样可以用直接开平方法求解. 当堂检测 C. 4(x − 1)2 = 9，解方程，得 4(x − 1) =±3，x1= ，x2 = ， D. (2x + 3)2 = 25，解方程，得 2x + 3 =±5，x1=1，x2=−4 1. 下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. x2 = −2，解方程，得 x =± B. (x − 2)2 = 4，解方程，得 x − 2 = 2，x = 4 D (1) 方程 x2 = 0.25 的根是 . (2) 方程 2x2 = 18 的根是 . (3) 方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 . x1 = 0.5，x2 = −0.5 x1＝3，x2＝−3 x1＝2，x2＝−1 2. 填空： 当堂检测 3. 已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 C 当堂检测 4.对于方程x2＝m－1. (1)若方程有两个不相等的实数根，则m______； (2)若方程有两个相等的实数根，则m_____； (3)若方程无实数根，则m_____． ＞1 ＝1 ＜1 当堂检测 5. 解下列方程： (1) x2 − 81＝0； (2) 2x2＝50； (3) (x＋1)2＝4. 解：x1＝9，x2＝−9. 解：x1＝5，x2＝ −5. 解：x1＝1，x2＝−3. 当堂检测 6、解下列方程： (1) 即x1=3，x2=-1. 解：移项，得 ∵x-1是4的平方根， ∴x-1=±2. ∴ x1= ， x2= (2) 解： 移项，得 两边都除以12，得 ∵3-2x是0.25的平方根， ∴3-2x=±0.5. 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5. 当堂检测 7.解方程： 解： ∴ 方程的两根为 或 当堂检测 解： ∴ 方程的两个根为 解： ∴ 方程的两根个为 8、解下列方程： 课堂小结 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x2 = p (p≥0) 或 (x + n)2 = p (p≥0) 的形式 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 谢 谢~ $$