5.1万有引力定律及应用-2025年高考物理一轮复习素养升级

第五章 万有引力与宇宙航行 本章高考考情速递 试题情境 生活实践类 地球不同纬度重力加速度的比较 学习探究类 开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型 考点 1. 开普勒行星运动定律（湖南卷T8-2022，全国甲卷T18-2021，福建卷T18-2021） 2. 万有引力定律及应用（新课标卷T17-2023，辽宁卷T9-2022，河北卷T2-2022，广东卷T2-2022） 3. 人造卫星、宇宙速度（天津卷T11-2023，广东卷T7-2023，山东卷T6-2022） 第1课时 万有引力定律及应用 素养目标： 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。 2.掌握计算天体质量和密度的方法。 1.（多选）我国自主研制建设的卫星移动通信系统“天通一号”，目前由01、02、03共三颗地球同步卫星组网而成。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球同步卫星运行的周期为T，下列说法正确的是（    ） A．地球同步卫星只能位于赤道上方某一高度的稳定轨道上 B．地球同步卫星离地球表面的高度都相同，均为 C．地球同步卫星的向心加速度与地球表面赤道上静止物体的向心加速度相同 D．地球同步卫星绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s 考点一　开普勒定律 例题1. 如图所示为太阳系主要天体的分布示意图，下列关于太阳系行星运动规律的描述正确的是（    ） A．所有行星均以太阳为中心做匀速圆周运动 B．地球与太阳的连线、火星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等 C．所有行星运行轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方之比都相等 D．地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，且这两个椭圆必定有公共的焦点 【易错分析】 开普勒行星运动第二定律描述是同一颗行星与太阳的连线扫过的面积相等。 考点二　万有引力定律 例题2. 一部科幻小说中在地球飞向某一新的恒星的过程中，科学家分别测出距该恒星表面高为h、的引力加速度大小为a和4a。若最后地球以距离该恒星表面高H处近似做圆周运动，求地球新的一“年”为（　　） A． B． C． D． 【易错分析】 恒星表面万有引力计算时，r表示到到球心的距离，球外一点到球心的距离。 考点三　万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上： G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg0。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 例题3. 中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 考点四　天体质量和密度的计算 1．利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝mr，得M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 例题4. 有两颗人造地球卫星A和B的轨道在同一平面内，A、B同向转动，轨道半径分别为r和4r，每隔时间t会发生一次“相冲”现象，即地球、卫星A和B三者位于同一条直线上，且A、B位于地球的同侧，已知万有引力常量为G，则地球质量可表示为（　　） A． B． C． D． 例题5. 如图所示，人造卫星P（可视为质点）绕地球做匀速圆周运动。在卫星运动轨道平面内，过卫星P作地球的两条切线，两条切线的夹角为，若卫星P绕地球运动的周期为T，引力常量为G。则地球的密度为（　　） A． B． C． D． （建议用时：30分钟） 1．地球沿椭圆轨道绕太阳运行时，所处不同位置对应的中国节气如图所示。地球从春分到夏至的运行过程中，下列说法正确的是（　　） A．运行时间小于从秋分到冬至的运行时间 B．地球在春分的运行速率小于在夏至的运行速率 C．太阳对地球的引力做正功 D．太阳对地球的引力逐渐减小 2．如图所示，有两个质量均为M、半径为R的密度均匀的实心大球体，从每个球体中挖去一个半径为的小球体，把两个空腔紧密接触，两个大球球心和两个空腔中心在一条直线上，则两个大球体的剩余部分之间的万有引力大小为（已知引力常量为G）（　　） A． B． C． D． 3．已知物体在均匀球壳内部任意一点受到的万有引力为零。若地球质量分布均匀，半径为R，当某个物体下降到距离地球表面某一深度时，其所在位置的重力加速度为地球表面处重力加速度的，则该位置距离地球球心的距离为（　　） A． B． C． D． 4．《天问》是屈原笔下的不朽诗篇，而天问”行星探索系列代表着中国人对深空物理研究的不懈追求。如图所示，半径相同的两球形行星A、B各有一个近表面卫星C、D，各自绕行周期分别为、，已知，忽略卫星到行星表面的高度，则行星A，B的密度之比为（　　） A． B． C． D．2 5．中国探月工程嫦娥四号团队获得2020年国际宇航联合会最高奖项“世界航天奖”。在月球上观察与月球处于同一环绕平面且同向转动的某一地球卫星，如图，将月球和地球的连线与月球和卫星的连线的夹角称为观察视角，视角的最大值为30°，若月球绕地球运动的周期为T，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．卫星受到地球的引力比月球受到地球的引力大 B．卫星的运行速率比月球的运行速率小 C．卫星的运行周期为 D．月球的平均密度为 6．某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为R，将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为F；在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为。已知引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．该行星的自转周期为 B．该行星的质量为 C．该行星赤道处的重力加速度为 D．该行星的密度为 7．（多选）如图所示，地球绕太阳公转的轨道接近圆，周期为1年。哈雷彗星绕日运行的轨道是一个非常扁的椭圆，周期约为76年。哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为。下列说法正确的是（　　） A．哈雷彗星在近日点和远日点的加速度之比 B．哈雷彗星在近日点和远日点的加速度之比 C．哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的倍 D．哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的倍 8．（多选）2023年的诺贝尔物理学奖颁发给了“采用实验方法产生阿秒光脉冲”的三位科学家。在物理学发展过程中，观测、实验、假说和逻辑推理等方法都起到了重要作用，下列叙述与事实相符的是（　　） A．密立根通过实验测量得出元电荷e的数值为 B．奥斯特通过实验发现，雷电的性质与摩擦产生的电的性质完全相同并命名了正电荷和负电荷 C．牛顿开创了实验与逻辑推理相结合的研究方法，并用这种方法研究了力与运动的关系 D．卡文迪什利用扭秤实验测定了万有引力常量的值，被称为“测出地球质量的人” 9．（多选）我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。已知中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，离地高度约为400km，地球半径约为6400km，忽略地球自转的影响，则（　　） A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力 B．漂浮在空间站中的宇航员所受合力比静止在地面上时小 C．空间站绕地球运动的线速度大于7.9km/s小于11.2km/s D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍 10．（多选）以下关于行星运动及万有引力的描述正确的是（　　） A．开普勒认为行星绕太阳运行的轨道是圆 B．太阳对行星的引力与地球对月球的引力属于同种性质的力 C．行星在绕太阳运行的轨道上各点速率均相等 D．卡文迪什利用扭秤实验测出了引力常量的数值 11．（多选）设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O′为隧道的中点，O′与地心O的距离为，假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体引力为零，P点到O′的距离为x，则（    ） A．列车在P点的加速度等于 B．列车在P点的加速度等于 C．列车在运动中的最大速度为 D．列车在运动中的最大速度为 12．（多选）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g；地球自转的周期为；地球近地卫星的周期为T；引力常量为G。地球的密度为（　　） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 万有引力与宇宙航行 本章高考考情速递 试题情境 生活实践类 地球不同纬度重力加速度的比较 学习探究类 开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型 考点 1. 开普勒行星运动定律（湖南卷T8-2022，全国甲卷T18-2021，福建卷T18-2021） 2. 万有引力定律及应用（新课标卷T17-2023，辽宁卷T9-2022，河北卷T2-2022，广东卷T2-2022） 3. 人造卫星、宇宙速度（天津卷T11-2023，广东卷T7-2023，山东卷T6-2022） 第1课时 万有引力定律及应用 素养目标： 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。 2.掌握计算天体质量和密度的方法。 1.（多选）我国自主研制建设的卫星移动通信系统“天通一号”，目前由01、02、03共三颗地球同步卫星组网而成。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球同步卫星运行的周期为T，下列说法正确的是（    ） A．地球同步卫星只能位于赤道上方某一高度的稳定轨道上 B．地球同步卫星离地球表面的高度都相同，均为 C．地球同步卫星的向心加速度与地球表面赤道上静止物体的向心加速度相同 D．地球同步卫星绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s 【答案】AB 【解析】AB．对地球同步卫星有 物体在地球表面，有 联立解得卫星轨道半径为 根据 可得卫星的离地高度为 即地球同步卫星只能位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，故AB正确； C．地球同步卫星与地球表面赤道上静止物体具有相同的周期，根据 因地球同步卫星的半径更大，故地球同步卫星的向心加速度更大，故C错误； D．7.9km/s是卫星围绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，轨道半径为地球半径；因地球同步卫星的轨道半径大于地球半径，所以地球同步卫星绕地球做圆周运动的速度小于7.9km/s，故D错误。 故选AB。 考点一　开普勒定律 答案：椭圆　一个焦点　面积　半长轴　公转周期 例题1. 如图所示为太阳系主要天体的分布示意图，下列关于太阳系行星运动规律的描述正确的是（    ） A．所有行星均以太阳为中心做匀速圆周运动 B．地球与太阳的连线、火星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等 C．所有行星运行轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方之比都相等 D．地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，且这两个椭圆必定有公共的焦点 【答案】D 【解析】A.八大行星均在椭圆轨道上运动，太阳处于椭圆其中一个焦点上，故A错误； B.同一行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等，故B错误； C.开普勒第三定律的内容为 （为常量） 故C错误； D.D项表达了开普勒第一定律（轨道定律）的内容，故D正确。 故选D。 【易错分析】 开普勒行星运动第二定律描述是同一颗行星与太阳的连线扫过的面积相等。 考点二　万有引力定律 答案：质量m1和m2的乘积　它们之间的距离r的二次方　G　质量分布均匀 例题2. 一部科幻小说中在地球飞向某一新的恒星的过程中，科学家分别测出距该恒星表面高为h、的引力加速度大小为a和4a。若最后地球以距离该恒星表面高H处近似做圆周运动，求地球新的一“年”为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设恒星半径r，根据题意 地球绕该恒星做圆周运动周期T，有 联立得 故选C。 【易错分析】 恒星表面万有引力计算时，r表示到到球心的距离，球外一点到球心的距离。 考点三　万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上： G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg0。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 例题3. 中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R-h为半径的地球的质量为M'，则根据密度相等有 由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有 联立以上两式并整理可得 故D正确，ABC错误。 故选D。 考点四　天体质量和密度的计算 1．利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝mr，得M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 例题4. 有两颗人造地球卫星A和B的轨道在同一平面内，A、B同向转动，轨道半径分别为r和4r，每隔时间t会发生一次“相冲”现象，即地球、卫星A和B三者位于同一条直线上，且A、B位于地球的同侧，已知万有引力常量为G，则地球质量可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】每隔时间t会发生一次“相冲”现象，得 根据万有引力提供向心力 联立解得地球质量为 故选D。 例题5. 如图所示，人造卫星P（可视为质点）绕地球做匀速圆周运动。在卫星运动轨道平面内，过卫星P作地球的两条切线，两条切线的夹角为，若卫星P绕地球运动的周期为T，引力常量为G。则地球的密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设卫星P绕地球运动的半径为，地球半径为，根据万有引力提供向心力 根据几何关系有 地球的体积为 地球的密度为 联立解得 故选B。 （建议用时：30分钟） 1．地球沿椭圆轨道绕太阳运行时，所处不同位置对应的中国节气如图所示。地球从春分到夏至的运行过程中，下列说法正确的是（　　） A．运行时间小于从秋分到冬至的运行时间 B．地球在春分的运行速率小于在夏至的运行速率 C．太阳对地球的引力做正功 D．太阳对地球的引力逐渐减小 【答案】D 【解析】A．由图可知，从春分到夏至的路程与从秋分到冬至的路程相同，地球从春分到夏至的运行过程离太阳较远，平均速率较小，运行时间大于从秋分到冬至的运行时间，故A错误； B．根据开普勒第二定律可知，地球从春分到夏至的运行过程中，与太阳的距离越来越大，地球在春分的运行速率大于在夏至的运行速率，故B错误； C．由图可知，太阳对地球的引力与地球线速度方向夹角为钝角，可知太阳对地球的引力做负功，故C错误； D．根据可知地球从春分到夏至的运行过程中，与太阳的距离越来越大，太阳对地球的引力逐渐减小，故D正确。 故选D。 2．如图所示，有两个质量均为M、半径为R的密度均匀的实心大球体，从每个球体中挖去一个半径为的小球体，把两个空腔紧密接触，两个大球球心和两个空腔中心在一条直线上，则两个大球体的剩余部分之间的万有引力大小为（已知引力常量为G）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】两个大球间的万有引力为 两个小球间的万有引力为 所以两个大球体的剩余部分之间的万有引力大小为 故选C。 3．已知物体在均匀球壳内部任意一点受到的万有引力为零。若地球质量分布均匀，半径为R，当某个物体下降到距离地球表面某一深度时，其所在位置的重力加速度为地球表面处重力加速度的，则该位置距离地球球心的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据万有引力定律，距离地表某一深度h时，有 联立可得 距离地表 则该位置距离地心距离为： 故选A。 4．《天问》是屈原笔下的不朽诗篇，而天问”行星探索系列代表着中国人对深空物理研究的不懈追求。如图所示，半径相同的两球形行星A、B各有一个近表面卫星C、D，各自绕行周期分别为、，已知，忽略卫星到行星表面的高度，则行星A，B的密度之比为（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由万有引力提供向心力 解得行星的质量为 行星的体积为 可得行星的密度为 则行星A，B的密度之比为 故选B。 5．中国探月工程嫦娥四号团队获得2020年国际宇航联合会最高奖项“世界航天奖”。在月球上观察与月球处于同一环绕平面且同向转动的某一地球卫星，如图，将月球和地球的连线与月球和卫星的连线的夹角称为观察视角，视角的最大值为30°，若月球绕地球运动的周期为T，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．卫星受到地球的引力比月球受到地球的引力大 B．卫星的运行速率比月球的运行速率小 C．卫星的运行周期为 D．月球的平均密度为 【答案】C 【解析】A．根据万有引力表达式 所以卫星的轨道半径比月球的轨道半径小，但卫星的质量也比月球小得多，所以卫星受到地球的引力并没有比月球受到地球的引力大，故A错误； B．根据万有引力提供向心力可得 可得 由于卫星的轨道半径比月球的轨道半径小，所以卫星的运行速率比月球的运行速率大，故B错误； C．设卫星的轨道半径为，运行周期为，月球的轨道半径为，根据开普勒第三定律可得 由图中几何关系可得 联立可得卫星的运行周期为 故C正确； D．由题意无法知道月球的质量和月球的半径，所以无法求出月球的密度，故D错误。 故选C。 6．某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为R，将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为F；在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为。已知引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．该行星的自转周期为 B．该行星的质量为 C．该行星赤道处的重力加速度为 D．该行星的密度为 【答案】D 【解析】物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力 在赤道表面静止时，万有引力和重力的合力提供向心力 其中 联立解得 A．根据向心力公式可得，该行星的自转周期为 故A错误； B．物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力 解得 故B错误； C．在赤道表面静止时，根据平衡条件，重力等于弹簧测力计的拉力，即 解得 故C错误； D．根据可知，该行星的密度为 故D正确。 故选D。 7．（多选）如图所示，地球绕太阳公转的轨道接近圆，周期为1年。哈雷彗星绕日运行的轨道是一个非常扁的椭圆，周期约为76年。哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为。下列说法正确的是（　　） A．哈雷彗星在近日点和远日点的加速度之比 B．哈雷彗星在近日点和远日点的加速度之比 C．哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的倍 D．哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的倍 【答案】BD 【解析】AB．根据 可得 可得哈雷彗星在近日点和远日点的加速度之比 选项A错误，B正确； CD．根据开普勒第三定律可知 即 哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的倍，选项C错误，D正确。 故选BD。 8．（多选）2023年的诺贝尔物理学奖颁发给了“采用实验方法产生阿秒光脉冲”的三位科学家。在物理学发展过程中，观测、实验、假说和逻辑推理等方法都起到了重要作用，下列叙述与事实相符的是（　　） A．密立根通过实验测量得出元电荷e的数值为 B．奥斯特通过实验发现，雷电的性质与摩擦产生的电的性质完全相同并命名了正电荷和负电荷 C．牛顿开创了实验与逻辑推理相结合的研究方法，并用这种方法研究了力与运动的关系 D．卡文迪什利用扭秤实验测定了万有引力常量的值，被称为“测出地球质量的人” 【答案】AD 【解析】A．密立根通过实验测量得出元电荷e的数值为 。故A正确； B．富兰克林通过实验发现，雷电的性质与摩擦产生的电的性质完全相同并命名了正电荷和负电荷。故B错误； C．伽利略开创了实验与逻辑推理相结合的研究方法，并用这种方法研究了力与运动的关系。故C错误； D．卡文迪什利用扭秤实验测定了万有引力常量的值，被称为“测出地球质量的人”。故D正确。 故选AD。 9．（多选）我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。已知中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，离地高度约为400km，地球半径约为6400km，忽略地球自转的影响，则（　　） A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力 B．漂浮在空间站中的宇航员所受合力比静止在地面上时小 C．空间站绕地球运动的线速度大于7.9km/s小于11.2km/s D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍 【答案】D 【解析】A．漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供向心力做匀速圆周运动而处于完全失重，视重为零，故A错误； B．忽略地球自转的影响，宇航员在地面上静止时所受的合力为零，空间站在太空绕地球做匀速圆周运动，宇航员所受的合力为地球的引力，即这使得宇航员受到的合力比静止在地面上时大，故B错误； C．空间站绕地球运动的线速度为 解得 则空间站绕地球运动的线速度小于7.9km/s，故C错误； D．根据题意知空间站绕地球运动的轨道半径与地球半径之比为 根据万有引力提供向心力，有 联立解得 地表的重力加速度为 可得 故D正确。 故选D。 10．（多选）以下关于行星运动及万有引力的描述正确的是（　　） A．开普勒认为行星绕太阳运行的轨道是圆 B．太阳对行星的引力与地球对月球的引力属于同种性质的力 C．行星在绕太阳运行的轨道上各点速率均相等 D．卡文迪什利用扭秤实验测出了引力常量的数值 【答案】BD 【解析】A．根据开普勒第一定律，开普勒认为行星绕太阳运行的轨道是椭圆，A错误； B．太阳对行星的引力与地球对月球的引力属于同种性质的力，都是万有引力，B正确； C．根据开普勒第二定律，行星在近日点速率最大，远日点速率最小，C错误； D．卡文迪什利用扭秤实验测出了引力常量的数值，D正确。 故选BD。 11．（多选）设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O′为隧道的中点，O′与地心O的距离为，假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体引力为零，P点到O′的距离为x，则（    ） A．列车在P点的加速度等于 B．列车在P点的加速度等于 C．列车在运动中的最大速度为 D．列车在运动中的最大速度为 【答案】AD 【解析】AB．设地球密度为，在地球表面处有 可得 设P点距地心为，则有 可得 联立可得在P点的重力加速度为 设 列车运动到P点加速度满足 解得 A正确，B错位； CD．列车在A点受到地球的引力为 列车在A点受到合力为 根据几何关系有 解得 列车在隧道内距的距离时，合力为 可知随均匀变化 列车从A到做加速度减小的加速运动，则列车在点有最大速度，则有 其中 ， 联立解得 C错误，D正确。 故选AD。 12．（多选）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g；地球自转的周期为；地球近地卫星的周期为T；引力常量为G。地球的密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】AB．设地球半径为R，由万有引力定律在两极和赤道分别有 设地球的密度为，则地球质量为 联立三式可得 故A错误，B正确； CD．由近地卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动，轨道半径等于地球半径，万有引力提供向心力 联立两式解得 故C错误，D正确。 故选BD。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$