第05讲有理数的乘法与除法（7个知识点+3种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

第05讲有理数的乘法与除法（7个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1.有理数的乘法法则（重点） 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点2.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点3.有理数的乘法运算律（难点） 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点4.多个有理数相乘（难点） 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点5.有理数除法法则（重点） 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点6.有理数的乘除混合运算（重点） 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点7.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 题型一：倒数（共7小题） 1．（2024•下陆区校级三模）2024的倒数是　　 A．2024 B． C． D． 2．（2024•无锡模拟）下列各对数中，互为倒数的一对是　　 A．4和 B．和 C．和 D．0和0 3．（2024•香坊区校级模拟）倒数等于本身的数是　　 A．0 B．1 C． D． 4．（2024春•郸城县月考）若是的倒数，则　　． 5．（2023秋•临沭县校级月考）阅读下列材料，计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：　　； 解法2提示：先计算原式的倒数，，故原式等于300． （1）请你用解法2的方法计算：； （2）现在这个题简单了吧？来吧，试试吧！ 6．（2023秋•姜堰区校级月考）列式并计算： （1）求的绝对值与10的相反数的和； （2）求与倒数的差． 7．（2023秋•方城县校级期末）已知：有理数所表示的点与表示的点距离4个单位，，互为相反数，且都不为零，，互为倒数． 求：的值． 题型二：有理数的乘法（共9小题） 8．（2024•山西模拟）计算的结果是　　 A．6 B．1 C． D． 9．（2023秋•舞阳县期末）已知，，且，则的值等于　　 A．9或 B．9或 C．1或 D．或 10．（2023秋•青山湖区校级期末）绝对值小于2010的所有整数的积是 　　． 11．（2023秋•泉港区期末）计算：　　． 12．（2023秋•大化县月考）找规律填空：，，，，　　． 13．（2024•大同开学）字母作为代数符号的一种工具，其本质就是“一般化”的表达和推理．请你根据下面不同的数量关系，解决问题．与均为非0自然数） （1）如果，当最小时，是 　　． （2）如果，则与的最小公倍数是 　　． （3）如果，则　　　　． （4）下面是用黑色和白色正方形拼成的图形： ①如果中间是6个黑色正方形，则四周共需要 　　个白色正方形． ②如果中间是个黑色正方形，则四周共需要 　　个白色正方形． 14．（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 15．（2023秋•中原区期末）学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题． 计算：，下面是两位同学的解法： 小方：原式； 小杨：原式． （1）两位同学的解法中，谁的解法较好？ （2）请你写出另一种更好的解法． 16．（2023秋•淮北期末）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： ① ②． 题型三：有理数的除法（共17小题） 17．（2024•张家口二模）计算的结果是　　 A．8 B． C．2 D． 18．（2023秋•沙市区期末）计算的结果为　　 A． B．1 C．9 D． 19．（2024春•顺河区校级期末）某同学在计算时，误将“”看成“”而算得结果是，则的正确结果是　　 A．3 B．2 C． D． 20．（2024•瑞安市校级模拟）计算的结果是　　 A．3 B． C． D． 21．（2024•城西区校级开学）计算时，除法变为乘法正确的是　　 A． B． C． D． 22．（2023秋•衢江区期末）下列运算，结果正确的是　　 A． B． C． D． 23．（2024春•闵行区期中）　　． 24．（2023秋•枣阳市期末）计算：　　． 25．（2023秋•济南期末）计算：． 26．（2023秋•大武口区校级月考）阅读下面解题过程并解答问题： 计算：． 解：原式第一步， 第二步， 第三步． （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第 　　步，错误原因是 　　； 第二处是第 　　步，错误原因是 　　； （2）请写出正确的解题过程． 27．（2023秋•富县期末）数学探究课上，老师布置的任务如下： 任务一：自学阅读材料．我们定义：如果两个有理数的差等于这两个有理数的商，那么这两个有理数就叫做“差商等数对”．即：如果，那么与就叫做“差商等数对”，记为．例如：，，则称数对，，是“差商等数对”． 任务二：根据自学阅读材料，尝试解决下列问题： （1）下列数对中，是“差商等数对”的是 　　；（填序号） ①； ②； （2）若是“差商等数对”，求出的值； （3）若是“差商等数对”，求的值． 28．（2024春•闵行区期中）计算：． 29．（2023秋•顺义区期末）计算：． 30．（2023秋•大兴区期末）计算：． 31．（2023秋•昌邑区校级期末）． 32．（2022秋•石楼县期末）请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是 故原式等于 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 33．（2023秋•成都期末）【初探】 从这九个数字中任选两个不同数字，分别记为，，由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相加的和除以11，所得的商记为．如：，，可以组成12，21，它们的和为33，因为，所以． （1）　　； （2）一定是整数吗？请说明理由； 【拓广】 从 这九个数字中任选三个不同数字，记为，，，由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位数相加的和除以22，所得的商记为，，． （3）若，，，且，求的值． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•陕西模拟）计算的结果是　　 A． B． C． D．6 2．（2024•金安区校级开学）下列各组的两个数互为倒数的是　　 A．和 B．和7 C．和 D．和0.5 3．（2024•周至县一模）计算：　　 A．2 B． C．32 D． 4．（2023秋•利川市期末）计算：的结果是　　 A． B． C．3 D．9 5．（2023秋•东莞市期末）已知数，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•信州区期末）下列说法正确的有　　个． ①相反数是它本身的数是0； ②零除以任何一个数都为零； ③绝对值是它本身的数是正数； ④倒数等于本身的数有； ⑤几个有理数相乘时负因数的个数为奇数个时积为负． A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2023春•雁峰区校级期末）已知，是的倒数，则的值为　　 A．或 B． C． D．或 8．（2022秋•广州期末）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是和0；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2022秋•井研县期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．（2023春•浦东新区期末）若两数之积为负数，则这两个数一定是　　 A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 二．填空题（共6小题） 11．（2023秋•太原期末）计算的结果是 　　． 12．（2024•安州区开学）若一个数的绝对值与这个数的商为，那么这个数为 　　． 13．（2023秋•德清县期末）若，，都是有理数，且，，则的值是 　　． 14．（2023秋•青龙县期末）计算：　　． 15．（2023秋•澄海区期末）若与为倒数，则的值为 　　． 16．（2023秋•泗县期末）已知非零自然数，，，都不超过4，若其中有两个相同，并且．则　　． 三．解答题（共8小题） 17．（2023秋•平昌县校级月考）计算：． 18．（2023秋•东莞市校级月考）计算：． 19．（2023秋•博罗县校级月考）计算： ①； ②． 20．（2023秋•金堂县校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 21．（2023秋•南城县期中）如图为5张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． （1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上数的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ （2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上数相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 22．（2022秋•官渡区校级期中）已知，互为倒数，，互为相反数，． 根据已知条件请回答： （1）　　，　　，　　，　　． （2）求：的值． 23．（2022秋•江津区期中）我们知道，每个自然数都有因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标”．例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10．所以10的“完美指标”是：，我们规定．若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”．例如，因为6的“完美指标”是，7没有正偶数因数，7的“完美指标”是，且，所以6比7更“完美”． 根据上述材料，求出18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数． 24．（2023秋•太和县期中）【阅读材料】 当有理数不等于0时， 把2个相同的有理数的除法运算记作； 把3个相同的有理数的除法运算记作； 把4个相同的有理数的除法运算记作； 把5个相同的有理数的除法运算记作； 特别地，规定． 【解决问题】 （1）若，，则　　；计算的结果是 　　． （2）计算：． （3）对于任何正整数，判断是否成立，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲有理数的乘法与除法（7个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1.有理数的乘法法则（重点） 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点2.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点3.有理数的乘法运算律（难点） 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点4.多个有理数相乘（难点） 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点5.有理数除法法则（重点） 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点6.有理数的乘除混合运算（重点） 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点7.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 题型一：倒数（共7小题） 1．（2024•下陆区校级三模）2024的倒数是　　 A．2024 B． C． D． 【分析】根据乘积是1的两数互为倒数解答即可． 【解答】解：2024的倒数是； 故选：． 【点评】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键． 2．（2024•无锡模拟）下列各对数中，互为倒数的一对是　　 A．4和 B．和 C．和 D．0和0 【分析】根据倒数和相反数的定义逐一判断可得． 【解答】解：、4和互为相反数，此选项不符合题意； 、和互为倒数，此选项符合题意； 、和不是互为倒数，此选项不符合题意； 、0没有倒数，此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查倒数，解题的关键是掌握倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数． 3．（2024•香坊区校级模拟）倒数等于本身的数是　　 A．0 B．1 C． D． 【分析】根据倒数的定义可知倒数等于本身的数是． 【解答】解：因为只有，， 所以倒数等于本身的数是． 故选：． 【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．倒数等于本身的数是． 4．（2024春•郸城县月考）若是的倒数，则　　． 【分析】根据乘积是1的两数互为倒数可得答案． 【解答】解：是的倒数， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了倒数及解一元一次方程，解题的关键是掌握倒数的定义． 5．（2023秋•临沭县校级月考）阅读下列材料，计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：　不对　； 解法2提示：先计算原式的倒数，，故原式等于300． （1）请你用解法2的方法计算：； （2）现在这个题简单了吧？来吧，试试吧！ 【分析】解法1根据除法没有分配律进行判断； （1）仿照解法2先计算原式的倒数，然后即可得出原式的结果； （2）先计算原式前半部分的结果，然后根据倒数的定义求出后半部分的结果，即可求出原式的值． 【解答】解法1：不对； 理由：除法没有分配律，故解法1不对； 故答案为：不对； （1）先计算原式的倒数， ， 故原式等于； （2） ， ， 原式． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，倒数的定义，关键是根据题中给出的计算方法举一反三． 6．（2023秋•姜堰区校级月考）列式并计算： （1）求的绝对值与10的相反数的和； （2）求与倒数的差． 【分析】（1）结合绝对值与相反数的定义列式，再进行有理数的加法运算； （2）根据题意列式，再利用有理数的减法运算进行计算． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查倒数、相反数、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 7．（2023秋•方城县校级期末）已知：有理数所表示的点与表示的点距离4个单位，，互为相反数，且都不为零，，互为倒数． 求：的值． 【分析】直接利用相反数以及互为倒数的性质得出，，进而分类讨论得出答案． 【解答】解：有理数所表示的点与表示的点距离4个单位， 或3， ，互为相反数，且都不为零，，互为倒数， ，， 当时， ， 当时， 综上所述：原式或． 【点评】此题主要考查了倒数与相反数，正确把握相关定义是解题关键． 题型二：有理数的乘法（共9小题） 8．（2024•山西模拟）计算的结果是　　 A．6 B．1 C． D． 【分析】先确定符号，然后把绝对值相乘． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查了理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题关键． 9．（2023秋•舞阳县期末）已知，，且，则的值等于　　 A．9或 B．9或 C．1或 D．或 【分析】先由绝对值的性质求得、的值，然后由，分类计算即可． 【解答】解：，， ，． ， ，或，． 当，时，； 当，时，． 故选：． 【点评】本题主要考查的是绝对值的性质、有理数的乘法、有理数的加法，分类讨论是解题的关键． 10．（2023秋•青山湖区校级期末）绝对值小于2010的所有整数的积是 　0　． 【分析】根据绝对值的定义可得，这些整数为0，，，，，则积为0． 【解答】解：绝对值小于2010的所有整数，这些整数为0，，，，， 则积为0． 故答案为0． 【点评】本题考查了有理数的乘法以及绝对值的概念．0乘以任何数都得0． 11．（2023秋•泉港区期末）计算：　3　． 【分析】根据两个数相乘法则：同号相乘得正，并把绝对值相乘进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则． 12．（2023秋•大化县月考）找规律填空：，，，，　1234567898764321　． 【分析】根据已知的三个算是可得规律：积的位数是奇数，积的位数每个因数的位数，每个因数的位数是几，那么积的中间的数字就是几，然后它的两边的数字都按自然数递减1，据此解答． 【解答】解：， ， ， ， ． ； 故答案为：1234567898764321． 【点评】本题考查数式规律，解答“式”的规律的问题，关键是找到前后算式的运算规律，然后利用这个规律回到问题中，再解答未知的问题． 13．（2024•大同开学）字母作为代数符号的一种工具，其本质就是“一般化”的表达和推理．请你根据下面不同的数量关系，解决问题．与均为非0自然数） （1）如果，当最小时，是 　23　． （2）如果，则与的最小公倍数是 　　． （3）如果，则　　　　． （4）下面是用黑色和白色正方形拼成的图形： ①如果中间是6个黑色正方形，则四周共需要 　　个白色正方形． ②如果中间是个黑色正方形，则四周共需要 　　个白色正方形． 【分析】（1）由均为非0自然数，且，得最小为4，再计算即可． （2）由，得、为连续自然数，故与的最小公倍数是． （3）由，得，故，再计算即可． （4）观察找到规律即可． 【解答】解：（1）均为非0自然数，且， 最小为4， ， 故答案为：23． （2）， 、为连续自然数， 与的最小公倍数是． 故答案为：． （3）， ， ， ． 故答案为：． （4）观察： 黑有1个时，白个数为， 黑有2个时，白个数为， 黑有3个时，白个数为， 黑有4个时，白个数为， ①黑有6个时，白个数为， 故答案为：18． ②黑有个时，白个数为， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘法，运用规律是解题关键． 14．（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】分别根据运算“”的运算方法列式，然后进行计算即可得解． 【解答】解：（1）； （2）． 【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键． 15．（2023秋•中原区期末）学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题． 计算：，下面是两位同学的解法： 小方：原式； 小杨：原式． （1）两位同学的解法中，谁的解法较好？ （2）请你写出另一种更好的解法． 【分析】（1）根据计算，小杨利用了乘法分配律计算更简便； （2）把写成，然后利用乘法分配律进行计算更加简便． 【解答】解：（1）小杨的解法较好； （2） ． 【点评】本题考查了有理数的乘法，主要训练了利用运算定律简便运算，读懂题目信息是解题的关键． 16．（2023秋•淮北期末）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： ① ②． 【分析】（1）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值； （2）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值． 【解答】解：（1）设为，为， 原式； （2）设为，为， 原式． 【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键． 题型三：有理数的除法（共17小题） 17．（2024•张家口二模）计算的结果是　　 A．8 B． C．2 D． 【分析】按照从左到右的顺序计算即可． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题主要考查有理数的乘除法混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 18．（2023秋•沙市区期末）计算的结果为　　 A． B．1 C．9 D． 【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式 ． 故选：． 【点评】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 19．（2024春•顺河区校级期末）某同学在计算时，误将“”看成“”而算得结果是，则的正确结果是　　 A．3 B．2 C． D． 【分析】根据题意先计算出的值，再将结果代入得出本题答案． 【解答】解：计算时，误将“”看成“”而算得结果是， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查有理数的除法、有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20．（2024•瑞安市校级模拟）计算的结果是　　 A．3 B． C． D． 【分析】根据有理数的除法法则：“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”即可知答案． 【解答】解：原式， 故选：． 【点评】本题考查了有理数的除法，关键是依据法则计算． 21．（2024•城西区校级开学）计算时，除法变为乘法正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先将带分数化为假分数，然后再依据除法法则进行变形即可． 【解答】解：原式． 故选：． 【点评】本题主要考查的是有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 22．（2023秋•衢江区期末）下列运算，结果正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断． 【解答】解：、，故计算错误； 、，故计算错误； 、，故计算正确； 、，故计算错误； 故选：． 【点评】本题考查有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键． 23．（2024春•闵行区期中）　　． 【分析】先根据有理数的除法法则：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数把除法变乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 24．（2023秋•枣阳市期末）计算：　　． 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的除法．熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 25．（2023秋•济南期末）计算：． 【分析】根据有理数除法法则把有理数除法转化成乘法，然后根据有理数乘法法则计算便可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数乘法，有理数除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 26．（2023秋•大武口区校级月考）阅读下面解题过程并解答问题： 计算：． 解：原式第一步， 第二步， 第三步． （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第 　二　步，错误原因是 　　； 第二处是第 　　步，错误原因是 　　； （2）请写出正确的解题过程． 【分析】（1）根据有理数的乘除运算法则即可进行判断； （2）根据有理数的乘除运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）第一处是第二步，没有按同级运算从左至右运算； 第二处是第三步，错误原因是符号弄错； 故答案为：二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错； （2）原式 ． 【点评】此题考查了有理数的乘除运算，解题的关键是熟练运用有理数的乘除运算法则． 27．（2023秋•富县期末）数学探究课上，老师布置的任务如下： 任务一：自学阅读材料．我们定义：如果两个有理数的差等于这两个有理数的商，那么这两个有理数就叫做“差商等数对”．即：如果，那么与就叫做“差商等数对”，记为．例如：，，则称数对，，是“差商等数对”． 任务二：根据自学阅读材料，尝试解决下列问题： （1）下列数对中，是“差商等数对”的是 　②　；（填序号） ①； ②； （2）若是“差商等数对”，求出的值； （3）若是“差商等数对”，求的值． 【分析】（1）根据“差商等数对”的定义分别判断即可； （2）根据“差商等数对”的定义得出，即可求出的值； （3）根据“差商等数对”的定义得出，即可求出的值． 【解答】解：（1）①，， ， 不是“差商等数对”； ②，， ， 是“差商等数对”； 故答案为：②； （2）因为是“差商等数对”， 所以， 解得； （3）因为是“差商等数对”， 所以， 解得． 【点评】本题考查了有理数的除法、减法，理解“差商等数对”的定义是解题的关键． 28．（2024春•闵行区期中）计算：． 【分析】把带分数化成假分数，把除法转化为乘法，约分即可得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，掌握除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数是解题的关键． 29．（2023秋•顺义区期末）计算：． 【分析】首先确定符号，除法转化为乘法计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查有理数的除法，有理数的乘法等知识，解题的关键是掌握有理数的乘除法则． 30．（2023秋•大兴区期末）计算：． 【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，再利用有理数乘法法则计算可求解． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查有理数乘除法则的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 31．（2023秋•昌邑区校级期末）． 【分析】根据有理数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据乘法分配律，可得计算结果． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的除法，先把除法变成乘法，再根据乘法分配律相乘，把所得的积相加，注意运算符号． 32．（2022秋•石楼县期末）请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是 故原式等于 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【分析】首先看懂例题的做法，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可． 【解答】解：原式的倒数是： ， 故原式． 【点评】此题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 33．（2023秋•成都期末）【初探】 从这九个数字中任选两个不同数字，分别记为，，由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相加的和除以11，所得的商记为．如：，，可以组成12，21，它们的和为33，因为，所以． （1）　9　； （2）一定是整数吗？请说明理由； 【拓广】 从 这九个数字中任选三个不同数字，记为，，，由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位数相加的和除以22，所得的商记为，，． （3）若，，，且，求的值． 【分析】（1）根据已知条件中的新定义，直接列出算式，求出的值即可； （2）根据已知条件中的新定义，列出算式，进行化简即可； （3）根据定义，列出代数式，进行化简，求出，，的值，再根据题意，列出方程，进行代换即可． 【解答】解：（1） ， 故答案为：9； （2）一定是整数，理由如下： 由题意得： ， ，都是整数， 也是整数， 一定是整数； （3）由题意得： ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查新定义的应用，解题关键是弄清题意，根据题意．列出算式． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•陕西模拟）计算的结果是　　 A． B． C． D．6 【分析】直接利用有理数乘法法则即可求解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查有理数的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 2．（2024•金安区校级开学）下列各组的两个数互为倒数的是　　 A．和 B．和7 C．和 D．和0.5 【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可判断． 【解答】解：、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义． 3．（2024•周至县一模）计算：　　 A．2 B． C．32 D． 【分析】根据有理数除法法则，确定商的符号和绝对值，即可作出选择． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查有理数除法运算，掌握有理数除法法则是解题的关键． 4．（2023秋•利川市期末）计算：的结果是　　 A． B． C．3 D．9 【分析】先把除法运算统一成乘法运算，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 5．（2023秋•东莞市期末）已知数，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】通过识图得到，且，然后结合有理数的加减法，乘法运算法则进行分析判断． 【解答】解：由题意可得：，且，故选项不符合题意； ，故选项不符合题意， ，故选项符合题意； ，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查有理数的加减法和乘法运算，准确识图，掌握有理数的加减法及乘法运算法则是解题关键． 6．（2023秋•信州区期末）下列说法正确的有　　个． ①相反数是它本身的数是0； ②零除以任何一个数都为零； ③绝对值是它本身的数是正数； ④倒数等于本身的数有； ⑤几个有理数相乘时负因数的个数为奇数个时积为负． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据有理数的乘除法法则、绝对值的性质、倒数的定义、相反数的意义逐项进行解题即可． 【解答】解：①相反数是它本身的数是0，该说法正确； ②零除以任何一个数不为0的数都为零，故该说法错误； ③绝对值是它本身的数除了正数还有0，故该说法错误； ④倒数等于本身的数有，故该说法正确； ⑤几个非0有理数相乘时负因数的个数为奇数个时积为负，故该说法错误． 则正确的只有2个． 故选：． 【点评】本题考查有理数的乘除法、绝对值的性质、倒数、相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 7．（2023春•雁峰区校级期末）已知，是的倒数，则的值为　　 A．或 B． C． D．或 【分析】利用倒数的定义，绝对值的定义计算并判断． 【解答】解：，是的倒数， ，， ， ． 的值为或． 故选：． 【点评】本题考查了倒数和绝对值，解题的关键是掌握倒数的定义和绝对值的定义． 8．（2022秋•广州期末）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是和0；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据有理数的除法，绝对值的性质，倒数性质，有理数的加法法则依次判断即可． 【解答】解：没有倒数， ①错误． ， ，， ②错误． ，且， ，． ， ． ③正确． ， ， ④正确， ， ，，． 正确． ⑤正确． 故选：． 【点评】本题考查有理数除法，绝对值，倒数，有理数的加法，正确掌握相关法则是求解本题的关键． 9．（2022秋•井研县期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的的值为多少即可． 【解答】解：根据分析，可得 则所有符合条件的的值为：128、21、20、3． 故选：． 【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律． 10．（2023春•浦东新区期末）若两数之积为负数，则这两个数一定是　　 A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定 【分析】根据有理数的乘法法则，举反例，排除错误选项，从而得出正确结果． 【解答】解：例如，，所以正确， 故选：． 【点评】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定结果符号． 二．填空题（共6小题） 11．（2023秋•太原期末）计算的结果是 　　． 【分析】根据有理数的乘法法则进行解题即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键． 12．（2024•安州区开学）若一个数的绝对值与这个数的商为，那么这个数为 　负数　． 【分析】设这个数为，由绝对值的性质及除法的运算法则可知的绝对值与互为相反数，且不等于0，进而可求解． 【解答】解：设这个数为，由题意得， 与互为相反数且， ， ， 这个数是负数． 故答案为：． 【点评】本题主要考查有理数的除法，正数与负数，绝对值，理解绝对值的意义是解题的关键． 13．（2023秋•德清县期末）若，，都是有理数，且，，则的值是 　3或　． 【分析】由变形可得：，，，从而原式可化为：；再由，可知：在、、中必有一负两正，分情况讨论就可求得原式的值． 【解答】解：， ，，， 原式， ，， 在、、中必为两正一负， 当为负时，原式， 当为负时，原式， 当为负时，原式， 故答案为：3或． 【点评】本题考查了相反数的意义，绝对值的意义，有理数的除法法则，分类讨论是解题的关键． 14．（2023秋•青龙县期末）计算：　81　． 【分析】按照从左至右的顺序进行计算即可． 【解答】解：， 故答案为：81 【点评】本题考查的是有理数的乘除混合运算，掌握乘除混合运算的运算顺序是解本题的关键． 15．（2023秋•澄海区期末）若与为倒数，则的值为 　　． 【分析】利用整体代入法求代数式的值即可． 【解答】解：与为倒数， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是倒数的含义，求代数式的值，掌握整体代入法求代数式的值是解本题的关键． 16．（2023秋•泗县期末）已知非零自然数，，，都不超过4，若其中有两个相同，并且．则　11　． 【分析】由四个数相乘积为900，判断出，，，其中有两个相邻数必是2和3，再由其中有两个相同，依次排除各种情况，确定第三个数为2和3，再依次判断即可． 【解答】解：四个数相乘积为900， 一个因数尾数必为5或0， ，，，都不超过4， ，，，其中有两个相邻数必是2和3， 其中有两个相同， 当另两个数相同时只能为1或4， 四个数为2，3，1，1或2，3，4，4，不能满足， 另两个数不同，且其中一个数为2或3， 当其中一个数为2时，最后一个数可以是1或4， 构成四个数为2，3，2，4；2，3，4，2；2，3，2，1；2，3，1，2， 其中只有2，3，2，4满足， 当其中一个数为3时，最后一个数可以是1或4， 构成四个数为2，3，3，4；2，3，4，3；2，3，3，1；2，3，1，3， 均不满足， ，，，四个数为2，3，2，4， ． 故答案为：11． 【点评】本题考查了有理数加法和乘法，合理的运算和分析是解题关键． 三．解答题（共8小题） 17．（2023秋•平昌县校级月考）计算：． 【分析】首先根据有理数的除法法则，求出的值是多少；然后用除以所得的商，求出算式的值是多少即可． 【解答】解： ． 【点评】此题主要考查了有理数的除法，要熟练掌握，解答此题的关键是要熟练掌握有理数的除法法则． 18．（2023秋•东莞市校级月考）计算：． 【分析】把除法运算统一成乘法运算，然后按照有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 19．（2023秋•博罗县校级月考）计算： ①； ②． 【分析】①利用有理数的乘法法则原式即可； ②将有理数的除法转化成乘法后，利用有理数的乘法法则原式即可． 【解答】解：①原式 ； ②原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数的乘、除法，正确利用有理数的乘除法则运算是解题的关键． 20．（2023秋•金堂县校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）根据有理数乘法法则计算即可； （2）根据有理数乘法法则计算即可； （3）根据有理数除法法则计算即可； （4）根据有理数除法法则计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 ． 【点评】本题考查有理数乘法和有理数除法，熟练掌握有理数乘法和有理数除法法则是解题的关键． 21．（2023秋•南城县期中）如图为5张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． （1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上数的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ （2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上数相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 【分析】（1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且绝对值最大的数，所以选和； （2）2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母越大越好，分子越小越好，所以就要选1和，且1为分母． 【解答】解：（1）抽取的2张卡片上数的乘积要最大，则要抽符号相同且绝对值最大的数， 抽取和乘积最大，最大值为． （2）抽取的2张卡片上数相除的商要最小，则要抽符号不同，且分母绝对值越小越好，分子绝对值越在越好， 抽取和1，最小值为． 【点评】本题考查有理数乘除法．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（2022秋•官渡区校级期中）已知，互为倒数，，互为相反数，． 根据已知条件请回答： （1）　1　，　　，　　，　　． （2）求：的值． 【分析】（1）根据倒数，相反数，绝对值的意义可得结论； （2）将（1）所得式子代入可得结论． 【解答】解：（1），互为倒数， ， ，互为相反数， ，， ， ， 故答案为：1，0，，； （2）当时，原式， 当时，原式． 【点评】本题运用了相反数和倒数、绝对值的概念，以及整体代入的思想． 23．（2022秋•江津区期中）我们知道，每个自然数都有因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标”．例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10．所以10的“完美指标”是：，我们规定．若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”．例如，因为6的“完美指标”是，7没有正偶数因数，7的“完美指标”是，且，所以6比7更“完美”． 根据上述材料，求出18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数． 【分析】先求出各数的正因数，再根据题目中求“完美指标“的方法计算各数的”完美指标”，即可得出答案． 【解答】18的正因数有1，2，3，6，9，18， 正奇因数有1，3，9，正偶因数有2，6，18， 18的“完美指标”是； 19的正因数有1，19， 正奇因数有1，19，无正偶因数， 19的“完美指标”是； 20的正因数有1，2，4，5，10，20， 正奇因数有1，5，正偶因数有2，4，10，20， 20的“完美指标”是； 21的正因数有1，3，7，21， 正奇因数有1，3，7，21，无正偶因数， 21的“完美指标”是； 因为， 所以18是18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，理解题目中给出的计算方法进行计算是解决本题的关键． 24．（2023秋•太和县期中）【阅读材料】 当有理数不等于0时， 把2个相同的有理数的除法运算记作； 把3个相同的有理数的除法运算记作； 把4个相同的有理数的除法运算记作； 把5个相同的有理数的除法运算记作； 特别地，规定． 【解决问题】 （1）若，，则　4　；计算的结果是 　　． （2）计算：． （3）对于任何正整数，判断是否成立，并说明理由． 【分析】（1）根据运算的定义和法则即可得到答案； （2）根据运算法则分别计算即可得到答案； （3）根据运算法则转化即可求作出判断． 【解答】解：（1），， ， ， 故答案为：4，27； （2）原式， ， ， ； （3）不一定成立． 理由如下： 由材料可得，，， 当为奇数时，，； 当为偶数时，，； 故对于任何正整数，不一定成立． 【点评】本题考查了有理数的除法新运算，读懂题意，理解新运算是解题的关键． 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