专题01 一元二次方程（考题猜想，15种常考题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

专题01 一元二次方程（考题猜想， 15种题常考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 直接开平方 · 配方法 · 因式分解法 · 公式法 · 用适当的方法解方程 · 含绝对值的一元一次方程 · 换元法 · 判断一元二次方程根的情况 · 确定字母的取值或范围 · 根与系数关系的综合应用 · 与几何图形的综合应用 · 储蓄问题 · 行程问题 · 工程问题 · 进制问题 1． 直接开平方（共3小题） 1.（23-24九年级上·吉林长春·期中）方程的解是（    ） A． B．， C． D．， 2.（23-24九年级上·广东韶关·期中）一元二次方程的根为 . 3．（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：． 2． 配方法（共3小题） 4.（20-21九年级上·四川成都·期中）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 5.（22-23九年级上·湖南永州·期中）用配方法解方程时，则方程需变形为 ． 6．（23-24九年级上·福建福州·期中）解方程： (1) (2) 3． 因式分解法（共3小题） 7.（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）若实数x满足，则的值为（　　） A．8 B． C．8或 D．或2 8.（23-24九年级上·湖北武汉·期中）一元二次方程的根为 ． 9．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中）解下列方程 (1) (2) 4． 公式法（共3小题） 10．（23-24九年级上·福建厦门·期中）是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 11.（21-22九年级上·陕西西安·期中）已知代数式x2-3与代数式的值互为相反数，那么x的值为 ． 12．（23-24九年级上·广东东莞·期中）解方程． (1)； (2)． 5． 用适当的方法解方程（共3小题） 13．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）按指定的方法解方程： (1)（公式法） (2)（因式分解法） 14．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）选择合适的方法解方程： (1)； (2)． 15.（22-23九年级上·山东济宁·期中） （1）解方程：； （2）解方程：． 6． 含绝对值的一元二次方程（共2小题） 16.（22-23九年级上·湖南永州·期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： （1）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）； （2）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）． 综上所述：原方程的解是，． 任务：请参照上述方法解方程：． 17．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 七．换元法（共3小题） 18.（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 19.（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为 ． 20．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体， 设…①， 那么原方程可化为，解得，， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴， 故原方程的解为，，， 以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； 请利用以上知识解方程： 八．判断一元二次方程根的情况（共3小题） 21．（22-23九年级上·重庆綦江·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 22.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程根的情况是 实数根（填“有”或“没有”）． 23.（23-24九年级上·广东河源·期中）证明：无论k取何值，关于x的方程恒有实数根 9． 确定字母的取值或范围（共3小题） 24.（22-23九年级上·福建莆田·期中）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 25.（21-22九年级上·天津滨海新·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则c的取值范围为 ． 26.（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．求实数m的取值范围． 10． 根与系数关系的综合应用（共3小题） 27.（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知实数，满足 ，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 28.（22-23九年级上·四川内江·期中）如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ． 29.（23-24九年级上·山西临汾·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)是否存在的值，使得两根互为相反数．若存在，求出此时的值，若不存在，请说明理由． 11． 与几何图形的综合应用（共4小题） 30.（23-24九年级上·云南昆明·期中）若一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程，则此三角形的周长是(    ) A．11 B．19 C．20 D．11或19 31.（20-21九年级上·四川凉山·期中）已知等腰三角形（不是等边三角形）的三边长均满足方程，则这个等腰三角形的周长为 ， 32．（23-24九年级上·山西长治·期中）已知等腰的两边长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)当时，求的周长． (2)若为等边三角形，求k的值． 33．（23-24九年级上·山东济宁·期中）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． (1)已知是方程的根，求证：是等腰三角形； (2)如果是直角三角形，其中，请你判断方程的根的情况，并说明理由． 12． 储蓄问题（共2小题） 34.（21-22九年级上·广西河池·期中）王洪存银行5000元，定期两年后取出共6050元，如果每年的年利率不变，则年利率为（    ） A．5% B．20% C．15% D．10% 35.（22-23九年级上·广东佛山·期中）某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x，则列方程为 ． 13． 行程问题（共3小题） 36.（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 37．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒． 38.（22-23九年级上·江西南昌·期中）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 14． 工程问题（共1小题） 39.（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 十五．进制问题（共1小题） 40（22-23九年级上·河北保定·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．    （1）八进制数3746换算成十进制数是 ； （2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，则n的值为 ． $$专题01 一元二次方程（考题猜想， 15种题常考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 直接开平方 · 配方法 · 因式分解法 · 公式法 · 用适当的方法解方程 · 含绝对值的一元一次方程 · 换元法 · 判断一元二次方程根的情况 · 确定字母的取值或范围 · 根与系数关系的综合应用 · 与几何图形的综合应用 · 储蓄问题 · 行程问题 · 工程问题 · 进制问题 1． 直接开平方（共3小题） 1.（23-24九年级上·吉林长春·期中）方程的解是（    ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键 运用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 所以，． 故选B． 2.（23-24九年级上·广东韶关·期中）一元二次方程的根为 . 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程；利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：由得：， 开方得：，， 故答案为：，． 3．（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴或， 解得，． 2． 配方法（共3小题） 4.（20-21九年级上·四川成都·期中）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法．根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 5.（22-23九年级上·湖南永州·期中）用配方法解方程时，则方程需变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，即可得出答案．解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为： 6．（23-24九年级上·福建福州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法． （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：， 解得： 3． 因式分解法（共3小题） 7.（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）若实数x满足，则的值为（　　） A．8 B． C．8或 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，把看成一个整体，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 因式分解得，， ∴，， ∴，（满足此式实数不存在，舍去）， 故选：A． 8.（23-24九年级上·湖北武汉·期中）一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及提公因式法因式分解解一元二次方程，由题中所给的一元二次方程的结构特征，提公因式因式分解求解即可得到答案，熟练掌握提公因式法因式分解解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即，解得，， 故答案为：，． 9．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴或 ∴，； （2） 或 ∴，． 4． 公式法（共3小题） 10．（23-24九年级上·福建厦门·期中）是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，解决本题的关键是掌握公式． 【详解】解：解一元二次方程的公式为， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程为：， 故选：． 11.（21-22九年级上·陕西西安·期中）已知代数式x2-3与代数式的值互为相反数，那么x的值为 ． 【答案】 【分析】根据相反数的性质列出关于x的方程，再利用公式法求解可得． 【详解】解：根据题意知x2-3+(-x)=0， 整理，得：x2-x-3=0， ∵，，， ∴， ∴x=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 12．（23-24九年级上·广东东莞·期中）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握求根公式解一元二次方程的解方法是解题的关键． （1）运用求根公式解一元二次方程即可求解； （2）运用求根公式解一元二次方程即可求解； 【详解】（1）解： ∴， ， ∴， ∴方程的解为：； （2）解：， ∴， ， ∴， ∴方程的解为：． 5． 用适当的方法解方程（共3小题） 13．（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）按指定的方法解方程： (1)（公式法） (2)（因式分解法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解：，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）解： ， 或， ∴，． 14．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）选择合适的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解可得； （2）利用直接开平方法求解可得． 【详解】（1）， ， 或， 解得：，； （2）， ， 或， 解得：，． 15.（22-23九年级上·山东济宁·期中）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开方法求解方程即可； （2）利用公式法求解法方程即可． 【详解】解：（1）由原方程，得 ， ∴， 解得，； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴，． 6． 含绝对值的一元二次方程（共2小题） 16.（22-23九年级上·湖南永州·期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： （1）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）； （2）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）． 综上所述：原方程的解是，． 任务：请参照上述方法解方程：． 【答案】， 【分析】分两种情况讨论∶ 当时，当时，即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论 （1）当时，原方程可化为 解得：，（舍去）； （2）当时，原方程可化为 解得：，（舍去）； ∴综上所述，原方程的根是，． 【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论． 17．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：当时，原方程可化为：， 解得：（与矛盾，舍去），； 当时，原方程可化为， 解得：（与矛盾，舍去），； 原方程的解是， 七．换元法（共3小题） 18.（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程．根据关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），可知或，进一步求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，）， ∴在方程中，或， 解得， 故选：C． 19.（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，将看成一个整体计算即可． 【详解】解：设， 原方程为：， 解得， ， ． 故答案为：． 20．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体， 设…①， 那么原方程可化为，解得，， 当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴， 故原方程的解为，，， 以上解题方法叫做换元法，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； 请利用以上知识解方程： 【答案】， 【分析】运用换元法解一元二次方程即可求解，本题主要考查解一元二次方程的特殊解法，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设， ∴原方程可化为，解得，，， 当时，， ∵， ∴原方程无解； 当时，， ∴，解得  ； 故原方程的解为：，． 八．判断一元二次方程根的情况（共3小题） 21．（22-23九年级上·重庆綦江·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关方法是解题关键．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解： ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 22.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）一元二次方程根的情况是 实数根（填“有”或“没有”）． 【答案】没有 【分析】此题考查了一元二次方程的根，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况即可，熟练掌握方程的判别式，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程无实数根． 【详解】解：， ∴方程没有实数根， 故答案为：没有 23.（23-24九年级上·广东河源·期中）证明：无论k取何值，关于x的方程恒有实数根 【答案】见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系． 分类讨论：当，即，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当，即，计算判别式得到，利用得到，则根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，然后可判断不论取何值，方程总有实数根； 【详解】证明：当，即， 方程变形为， 解得； 当，即 ， 由于，则， 所以方程有两个不相等的实数根，所以不论取何值，方程总有实数根 9． 确定字母的取值或范围（共3小题） 24.（22-23九年级上·福建莆田·期中）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程（）的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根可知，求出即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等实数根， ， 解得：． 故选：． 25.（21-22九年级上·天津滨海新·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解一元一次不等式，列出判别式进行准确求解是解题的关键．根据一元二次方程有两个实数根，得到，建立关于c的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 故答案为：． 26.（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．求实数m的取值范围． 【答案】且． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义． 【详解】解：关于x的方程有两个不相等的实数根， ， ． 又二次项系数不为0， ， 即实数m的取值范围是且． 10． 根与系数关系的综合应用（共3小题） 27.（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知实数，满足 ，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．根据题意得到：，所以、是关于的方程的两个根．根据根与系数的关系求得，然后求其倒数即可． 【详解】解：根据题意知，． 在的两边同时除以得到：， 、是关于的方程的两个根， ． 故选：D 28.（22-23九年级上·四川内江·期中）如果是两个不相等的实数，，，那么代数式 ． 【答案】2032 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键． 由题意得m，n是的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：，，，变形，为，代入求解即可． 【详解】是两个不相等的实数，且满足， 是方程的两根， ，，， ． 故答案为：2032． 29.（23-24九年级上·山西临汾·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)是否存在的值，使得两根互为相反数．若存在，求出此时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．以及根与系数的关系． （1）根据一元二次方程的根的情况的判断方法，可得：，解不等式即可； （2）假设存在，由相反数的意义，即方程的两根的和是0，依据一元二次方程的根与系数的关系即可得到两根的和是0，可得的值；把的值代入判别式，判断是否大于0可得结论． 【详解】（1）， ． 该方程有两个不相等的实数根， ， 且． （2）存在，理由如下： 设此方程的两根分别为，， 若存在的值，使得两根互为相反数， 则：，解得， 且， 符合题意， 存在的值，使得两根互为相反数，此时． 11． 与几何图形的综合应用（共4小题） 30.（23-24九年级上·云南昆明·期中）若一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程，则此三角形的周长是(    ) A．11 B．19 C．20 D．11或19 【答案】B 【分析】根据题意由等腰三角形的底和腰是方程的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当是等腰三角形的腰时与当是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程 ∴当是等腰三角形的腰时，，不能组成三角形，舍去； 当是等腰三角形的腰时，，则这个三角形的周长为． 故选：B． 31.（20-21九年级上·四川凉山·期中）已知等腰三角形（不是等边三角形）的三边长均满足方程，则这个等腰三角形的周长为 ， 【答案】7 【分析】根据题意由等腰三角形的底和腰是方程的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当1是等腰三角形的腰时与当3是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可． 【详解】解：， 解得：或， ∵等腰三角形的底和腰是方程的两根， ∴当1是等腰三角形的腰时，，不能组成三角形，舍去； 当3是等腰三角形的腰时，，则这个三角形的周长为． 故答案为：7. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三边关系以及解一元二次方程．解题的关键是注意分类讨论思想的应用 32．（23-24九年级上·山西长治·期中）已知等腰的两边长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)当时，求的周长． (2)若为等边三角形，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入方程，求出方程的两个根，根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论求解； （2）根据题意，得到方程有两个相等的实数根，进而得到，求解即可． 【详解】（1）解：当时，一元二次方程为， 解得或． ∴是等腰三角形， ∴三边长为4，4，2或2，2，4（舍去）， ∴的周长． （2）∵为等边三角形， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根的判别式．熟练掌握解一元二次方程的方法，以及根的判别式与根的个数的关系，是解题的关键． 33．（23-24九年级上·山东济宁·期中）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． (1)已知是方程的根，求证：是等腰三角形； (2)如果是直角三角形，其中，请你判断方程的根的情况，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)方程有两个相等的实数根，理由见解析 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）代入，找出；（2）牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”． （1）将代入原方程，可得出，进而可证出是等腰三角形； （2）利用勾股定理，可得出，结合△，可得出△，进而可得出原方程有两个相等的实数根． 【详解】（1）证明：∵是一元二次方程的根， ∴． ∴． ∴是等腰三角形； （2）解：方程有两个相等的实数根，理由如下： ∵是直角三角形，其中， ∴． ∴， ∴方程有两个相等的实数根 12． 储蓄问题（共2小题） 34.（21-22九年级上·广西河池·期中）王洪存银行5000元，定期两年后取出共6050元，如果每年的年利率不变，则年利率为（    ） A．5% B．20% C．15% D．10% 【答案】D 【分析】设年利率为，根据“两年后的定期本息本金（年利率）2”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设年利率为， 由题意得：， 解得（不符题意，舍去）， 即年利率为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确建立方程是解题关键． 35.（22-23九年级上·广东佛山·期中）某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x，则列方程为 ． 【答案】 【分析】本题为复利问题，一般形式为，如果设年利率为x，那么根据题意可得出方程． 【详解】解：设年利率为x， 则根据公式可得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式，其中a是变化前的原始量，b是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率 13． 行程问题（共3小题） 36.（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 37．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符． 【详解】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 38.（22-23九年级上·江西南昌·期中）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14． 工程问题（共1小题） 39.（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人 (2)从B检测队中抽调了2人到A检测队 【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人， 依题意得：，分解得： 答：A检测队有6人，B检测队有7人； （2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人， 依题意得：， 解得：，解得：，， 由于从B对抽调部分人到A检测队，则故， 答：从B检测队中抽调了2人到A检测队． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程 十五．进制问题（共1小题） 40（22-23九年级上·河北保定·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．    （1）八进制数3746换算成十进制数是 ； （2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，则n的值为 ． 【答案】 2022 9 【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得结果相加即可得解； （2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1） ． 故八进制数字3746换算成十进制是2022． 故答案为：2022； （2）依题意有：， 解得，（舍去）． 故的值是9． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法． $$