重难点07 指数、对数的运算-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

重难点07 指数、对数的运算 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·青海海东·期中）已知都是正数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东佛山·期中）下列计算不正确的是（　　） A． B． C． D．时， 6．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ） A．已知，，则 B．的值为1 C．若，则的值为 D．若且，则 8．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列运算中正确的是（    ） A．当时， B． C．若，则 D． 三、填空题 11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）计算： . 12．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，则 ． 13．（23-24高一上·青海海东·期中） ． 14．（23-24高一上·河南新乡·期中）已知函数，则 ． 15．（23-24高一上·广东茂名·期中）计算： . 16．（23-24高一上·北京·期中）计算：的值是 ．化简得 17．（23-24高一上·北京·期中）求值：－＋ ＝ ． 18．（23-24高一上·江苏常州·期中） . 19．（22-23高一下·湖南邵阳·期中）设，，则 20．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知均为正数，且，则的大小关系为 . 21．（23-24高一上·广东东莞·期中） . 22．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则用a、b表示 . 四、解答题 23．（23-24高一上·江苏南通·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 24．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 25．（23-24高一上·四川乐山·期中）解答以下两个小题： (1)求的值； (2)若，求的值． 26．（23-24高一上·北京·期中）计算： (1)； (2). 27．（23-24高一上·北京·期中）计算下列各式 (1)； (2) 28．（23-24高一上·江苏盐城·期中）计算求值： (1)； (2)求值：. 29．（23-24高一上·广西·期中）（1）计算：. （2）设，，试用，表示. 30．（23-24高一上·上海·期中）（1）已知，，用a、b表示. （2）设，为方程的两个根，求的值. 31．（23-24高一上·辽宁大连·期中）化简： (1)； (2). (3)计算； (4)若，，用a，b，表示. 试卷第4页，共4页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点07 指数、对数的运算 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，根据指数和对数的运算性质可得和是方程的根，又由和均大于可得，即可求解的值. 【详解】令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 所以和是方程的根， 由解得， 又因为，均大于，且函数单调递减，所以，， 所以， 故选：B 2．（23-24高一上·青海海东·期中）已知都是正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由对数的运算法则化简，再通过指对互化即可得到答案. 【详解】，则，即． 故先：B. 3．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将指数式两边同时取常用对数，然后利用对数的运算法则计算即可. 【详解】由得， 所以， 解得， 故选：A. 4．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解. 【详解】， 故选:B. 5．（23-24高一上·广东佛山·期中）下列计算不正确的是（　　） A． B． C． D．时， 【答案】B 【分析】根据对数运算法则、换底公式和幂的运算法则判断． 【详解】，A正确； ，B错； ，C正确； 时，，D正确． 故选：B． 6．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用对数的运算公式和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】由，，可得，， 联立方程组，解得 则. 故选：C. 二、多选题 7．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ） A．已知，，则 B．的值为1 C．若，则的值为 D．若且，则 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合指数与对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，且，则 则，故A正确； ，故B正确； 由可得，则， 故C正确； 因为，则，则， 所以，所以，故D错误； 故选：ABC 8．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由指数式与对数式的互化可得出，利用换底公式结合对数运算性质可判断A；由基本不等式可判断B，C，D； 【详解】因为，所以， 即，故，故A正确； 因为，， 所以成立，故C正确； ， 故，故B错误； 成立，故D正确. 故选：ACD. 9．（23-24高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，由对数的运算可得，由基本不等式即可判断A，由A中的结论即可判断BCD. 【详解】，则，，且， 故（即时取等号）， 而，故，A正确； 而有，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：ABD 10．（23-24高一上·江苏徐州·期中）下列运算中正确的是（    ） A．当时， B． C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】根据对数以及指数幂的运算性质即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由于，所以，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD 三、填空题 11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）计算： . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】; 故答案为： 12．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据函数解析式先求出，然后可求得结果. 【详解】∵ ， ∴． 故答案为：1． 13．（23-24高一上·青海海东·期中） ． 【答案】5 【分析】根据指数幂的运算性质可求相应的值. 【详解】． 故答案为：. 14．（23-24高一上·河南新乡·期中）已知函数，则 ． 【答案】8 【分析】先计算出，进而得到. 【详解】因为， 所以， 所以． 故答案为：8 15．（23-24高一上·广东茂名·期中）计算： . 【答案】1 【分析】利用指数对数的运算性质计算即可. 【详解】解： . 故答案为：. 16．（23-24高一上·北京·期中）计算：的值是 ．化简得 【答案】 / / 【分析】利用指数幂和根式运算化简. 【详解】; . 故答案为： 17．（23-24高一上·北京·期中）求值：－＋ ＝ ． 【答案】 【分析】根据根式、分数指数幂运算、零指数幂运算得出结果. 【详解】－＋ ＝ 故答案为： 18．（23-24高一上·江苏常州·期中） . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解即可 【详解】 . 故答案为：3 19．（22-23高一下·湖南邵阳·期中）设，，则 【答案】1 【分析】根据题意，求得，，得，得解. 【详解】由题意可得，，， ， . 故答案为：1. 20．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知均为正数，且，则的大小关系为 . 【答案】 【分析】设，然后分别求出，然后将对数式和指数式利用公式变形，判定大小关系. 【详解】设，因为均为正数，所以， 则，所以， 同理，， 所以只需要比较的大小即可. ,,因为，所以， ，，因为，所以， 又，所以， 故，所以， 故答案为：. 21．（23-24高一上·广东东莞·期中） . 【答案】6 【分析】根据指数幂及对数运算法则进行计算即可. 【详解】 ， 故答案为：6. 22．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则用a、b表示 . 【答案】 【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解． 【详解】， 故答案为：． 四、解答题 23．（23-24高一上·江苏南通·期中）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可; （2）进行对数的运算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式 24．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）9；（2）1 【分析】（1）根据对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解； （2）由求出，然后代入中化简计算即可. 【详解】（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ ． 25．（23-24高一上·四川乐山·期中）解答以下两个小题： (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式与指数幂的转化，及指数幂的运算化简即可； （2）运用完全平方公式计算即可. 【详解】（1） ． （2）由，得，即， 则有，得，即， 所以． 26．（23-24高一上·北京·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用对数的运算性质化简计算即得； （2）利用分数指数幂的运算性质化简计算即得. 【详解】（1）； （2）. 27．（23-24高一上·北京·期中）计算下列各式 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数幂运算法则计算即可； （2）利用对数运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）. 28．（23-24高一上·江苏盐城·期中）计算求值： (1)； (2)求值：. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据指数幂的运算法则以及根式的化简，即可求得答案； （2）根据对数的运算法则，化简求值，即得答案. 【详解】（1） ； （2） . 29．（23-24高一上·广西·期中）（1）计算：. （2）设，，试用，表示. 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）根据对数运算性质化简求值即可； （2）根据换底公式及对数运算性质化简求解即可. 【详解】（1） . （2）. 30．（23-24高一上·上海·期中）（1）已知，，用a、b表示. （2）设，为方程的两个根，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据对数的换底公式和对数的运算性质即可用，表示出； （2）根据韦达定理得出，然后根据立方差和平方差公式化简分式，并代值求解． 【详解】（1）已知，， 则，故 （2）设，为方程的两个根，则，易知， . 31．（23-24高一上·辽宁大连·期中）化简： (1)； (2). (3)计算； (4)若，，用a，b，表示. 【答案】(1) (2) (3)7 (4) 【分析】（1）（2）根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果； （3）（4）根据题意，由对数的运算，即可得到结果； 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式； （4）因为，所以， 所以 . 试卷第2页，共15页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$