重难点09 函数的零点问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

重难点09 函数的零点问题 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·四川·期中）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东湛江·期中）设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东东莞·期中）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，若方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·河北保定·期中）已知是定义在上的减函数，且，，，，，则的零点可能为（    ） A． B． C．2 D．4 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L·E·J·Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（    ） A．等式对恒成立； B．若，则一定有； C．若，方程有两个不等实数根； D．函数在R上有三个零点． 11．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知定义在上的函数满足当时，，当时，满足为常数，则下列叙述中正确的为（    ） A．当时， B．当时，的值域为 C．当时，在上恒成立 D．当时，函数的图象与直线在上的交点个数为 12．（23-24高一上·广东潮州·期中）若定义在R上的奇函数在区间上单调递增，且，下列选项正确的是（   ） A．方程有三个不同的实根 B．在R上单调递增 C．不等式的解集为 D．不等式的解集是 13．（23-24高一上·河南安阳·期中）已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数有3个零点 D．当时， 14．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数则（    ） A． B． C．有唯一零点 D．若当时，，则的最大值是 15．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知函数和在上的图象如图所示，给出下列四个命题，其中正确的命题有（    ）    A．方程有且仅有6个根 B．方程有且仅有3个根 C．方程有且仅有4个根 D．方程有且仅有4个根 16．（23-24高一上·福建·期中）设，用符号表示不大于的最大整数，如，．若函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域是 C．若，则 D．方程有2个不同的实数根 17．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数的最小值是 C．函数的图象关于直线对称 D．函数与有三个交点 18．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知定义在上的函数满足当时，，当时，满足，（为常数），则下列叙述中正确的为（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，函数的图象与直线，在上的交点个数为 19．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．对于，， C．函数可能有个不同的零点 D．若满足不等式成立的整数恰有两个，则整数的取值有个 20．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．在上有675个零点 21．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，，用表示m，n中的最大值，，记函数，则下列选项中正确的是（    ） A．方程有3个解 B．方程最多有4个解 C．的解集为 D．方程在上的根为 三、填空题 22．（23-24高一上·上海·期中）已知抛物线，a，b，c均为整数，记，若均为奇数，则有 个整数解. 23．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 24．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为 ；若与有3个交点，则实数的取值范围是 . 25．（23-24高一上·湖南永州·期中）设函数的定义域为，，当时，.若存在，使得有解，则实数的取值范围为 . 26．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于x的方程在内有解，则实数m的取值范围是 ． 27．（23-24高一上·山东德州·期中）已知函数，则 ；函数，函数有6个零点，则实数的取值范围是 . 28．（23-24高一上·四川·期中）已知函数的零点在区间内，则 ． 四、解答题 29．（23-24高一上·北京·期中）已知:函数 . (1)判断函数的奇偶性并加以证明 (2)利用单调性的定义证明：函数在上单调递减; (3)直接写出方程（）的根的个数． 30．（23-24高一上·江苏泰州·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”. (1)判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论） (2)已知函数，试判断为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足的的值，若不是，请说明理由； (3)若为其定义域上的“弱奇函数”.求实数取值范围. 31．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)设函数区间上有三个不同零点，，，且，求的取值范围； (3)当时，若在上存在2023个不同的实数，，使得，求实数的取值范围. 32．（23-24高一上·四川·期中）已知二次函数的单调递增区间为，且有一个零点为． (1)证明：是偶函数． (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围． 33．（23-24高一上·山西·期中）已知函数. (1)求的定义域； (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围. 34．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数，. (1)当时，求的单调区间； (2)如果关于的方程有三个不相等的非零实数解，，，求的取值范围. 35．（23-24高一上·广东·期中）已知函数，其中a为常数. (1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围； (2)已知，若函数在上有且仅有一个零点，求a的取值范围. 试卷第8页，共8页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点09 函数的零点问题 一、单选题 1．（23-24高一上·北京·期中）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据零点的定义求解. 【详解】函数的定义域为， 令，即，解得， 所以函数的零点个数是1个， 故选:B. 2．（23-24高一上·四川·期中）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】分别讨论和时，的零点个数，再根据题意分析即可得出答案. 【详解】 当时，令，解得．当时，令，得3，因为函数与的图象在上有唯一公共点，即在上有唯一零点，故的零点个数为2. 故选:C 3．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数与函数的单调性可得函数的单调性，即可结合零点的存在性定理进行判断. 【详解】由函数定义域为， 且函数在上单调递增，函数在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又，， 故函数的零点所在的区间是. 故选：B. 4．（23-24高一上·广东湛江·期中）设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，由题意可得或，的图象与直线共有三个不同的交点，从而可求出实数t的取值范围. 【详解】由得或，作出函数的图象， 易知当时，不符合题意； 当时，，结合函数的图象知，要使方程有三个不同的解，需满足方程有两个解，方程有且只有一个解， 由图象知，所以． 故选：C． 5．（23-24高一上·广东东莞·期中）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：在内为增函数，根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为在内均为增函数，则在内为增函数， 可知在内至多有一个零点， 又因为，结合选项可知的唯一零点在内. 故选：C. 6．（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将问题转化为函数图象交点个数问题；再结合函数的图象即可解答. 【详解】方程有三个不同的实数根，即函数与函数的图象有三个不同交点. 作函数的图象如下图所示， 由图可得，. 所以实数的取值范围是：. 故选：B. 7．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数，若方程有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两类讨论：时有两个解，有一个解；时有一个解，有两个解；即可求解. 【详解】依题意， ①若与有一个解， 与有两个解， 则当时，因为恒过定点， 也过点，即是其中的一个交点； 即当只有一个解，整理得 解得或，即，与只有一个解； 此时与需要有两个解才能满足要求， 当时，即有两个解， 解得或（舍去），只有一个解不满足题意； 当时，即有两个解， 整理得，因为， 此方程无解，不满足题意； ②若与有两个解， 与有一个解， 则当时有两个解， 解得或，此时； ⑴当时，即有一个解， 整理得，解得或（舍去）， 只有一个解满足题意，此时； ⑵当时，即有一个解， 整理得，因为，所以， 即，转化为与图像的有一个交点即可， 如图所示： 因为在上单调递增， 所以，即； 综合⑴⑵可知，当时，与只有一个解， 又与有两个解时， 所以当时，有且仅有三个不同的实数解. 故选：B. 8．（23-24高一上·河北保定·期中）已知是定义在上的减函数，且，，，，，则的零点可能为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据函数单调性结合得到答案. 【详解】是定义在上的减函数，且， 所以的零点必在区间内，所以的零点可能为2. 故选：C 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L·E·J·Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题，若方程在函数定义域内有解，则函数为“不动点”函数，据此可判断选项正误. 【详解】A选项，，方程无解，则不是“不动点”函数，A错误； B选项，，方程判别式，方程无解， 则不是“不动点”函数，B错误； C选项，，方程无解，则不是“不动点”函数，C错误； D选项，，方程有两解，则是“不动点”函数，D正确. 故选：D 二、多选题 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（    ） A．等式对恒成立； B．若，则一定有； C．若，方程有两个不等实数根； D．函数在R上有三个零点． 【答案】AB 【分析】对于A，通过判断函数的奇偶性进行判断，对于B，通过判断函数的单调性分析判断，对于C，由的奇偶性和单调性，结合函数的值域分析判断，对于D，由的奇偶性和单调性分析判断. 【详解】对于A，因为， 所以是奇函数，故对恒成立，所以A正确； 对于B，当时，，因为在上递减， 所以在上递增， 因为是奇函数，所以在上也是增函数， 而，的图象连续，所以在上为单调递增函数， 所以，则一定有成立，所以B正确； 对于C，因为，所以为偶函数， 当时，，因为在为单调递增函数， 所以在上单调递减， 当时，， 因为，所以，所以，则， 因为，为偶函数，所以， 所以当时有两个不相等的实数根，当时不可能有两个不等的实数根，所以C错误； 对于D，因为，所以为奇函数， 当时，， 因为为奇函数，所以当时，， 因为，所以函数在R上有一个零点，所以D错误； 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的综合问题，考查函数与方程，解题的关键是对函数奇偶性和单调性的正确判断，然后利用奇偶性和单调性的性质求解，考查计算能力，属于较难题. 11．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知定义在上的函数满足当时，，当时，满足为常数，则下列叙述中正确的为（    ） A．当时， B．当时，的值域为 C．当时，在上恒成立 D．当时，函数的图象与直线在上的交点个数为 【答案】ABD 【分析】代入即可求解A，根据分段函数的性质，作出函数图象，结合平移即可求解B，根据函数图象，结合临界情况，举反例可判断C，利用数形结合可判断D. 【详解】当 时， ，A正确； 的图象为：    由图象可知，时，的值域为 当 时， ，的图象是由的图象向右平移2个单位得到，所以 的值域为 ，B正确； 当 时， ，画出 和 的图象如下：    类指数函数 的图象刚好经过 的图象中每个"山顶"， 若 在 上恒成立， 即类指数函数 的图象恒在 图象的上方， 这个不一定恒成立，在每个"山项"的左边， 的图象既可以在"山坡"上方， 也可以穿过"山坡"在下方，临界情况是相切， 如取 ，当 时， ，C错；    当 时， 的图象如下：    直线 刚好经过第 n 个"山峰”的“山顶"， 它与前面 个"山峰"都有两个交点，与后面的“山峰"没有交点，共 个交点，D正确; 故选：ABD 【点睛】函数求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 12．（23-24高一上·广东潮州·期中）若定义在R上的奇函数在区间上单调递增，且，下列选项正确的是（   ） A．方程有三个不同的实根 B．在R上单调递增 C．不等式的解集为 D．不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】A选项，根据函数奇偶性得到，且，只有三个根；B选项，举出反例；C选项，分，与三种情况，结合函数单调性求出答案；D选项，分类讨论，求出解集. 【详解】A选项，因为为R上的奇函数，故， 奇函数在区间上单调递增，故在区间上单调递增， 又，所以， 故方程有三个不同的实根，A正确； B选项，当时，， 当时，，故在R上不单调递增，B错误； C选项，，当时，， 在区间上单调递增，故， 当时，，满足要求， 当时，， 在区间上单调递增，故， 综上，不等式的解集为，C正确； D选项，，显然， 当时，，，此时，满足要求， 当时，，，此时，不合要求， 当时，，，此时，满足要求， 当时，，，此时，不合要求， 当时，，，此时，满足要求， 综上，不等式的解集是. 故选：ACD 13．（23-24高一上·河南安阳·期中）已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．函数有3个零点 D．当时， 【答案】AB 【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断A的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出和的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】因为当时，，则， 因为， 所以， 则，所以不成立，故A错误； 又函数为偶函数， 所以 ， 故的周期为4，由函数的周期为4，则，， 所以，故选项B错误； 令可得， 作出函数和的图像如下图所示， 由图可知，两个函数图像有3个交点，故选项C正确； 当时，，则， 故选项D正确， 故选：AB. 14．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数则（    ） A． B． C．有唯一零点 D．若当时，，则的最大值是 【答案】ACD 【分析】代入可知A对，由图可知B错，C对，D项，分别求得和，时对应的自变量x的值，结合的图象可确定a、b的取值范围，由此可得结果. 【详解】对于A，，则，故A对； 对于B，由图知，，故B错 对于C，由图知，有唯一零点，故C对 对于D，令，解得；令，解得， 由图象可知：，，所以，故D对. 故选：ACD    15．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知函数和在上的图象如图所示，给出下列四个命题，其中正确的命题有（    ）    A．方程有且仅有6个根 B．方程有且仅有3个根 C．方程有且仅有4个根 D．方程有且仅有4个根 【答案】AD 【分析】结合函数图象，分析函数与根的情况即可. 【详解】对于A，由题图知方程有三个根，，，， 由题图知方程有两个不同的根，有两个不同的根，有两个不同的根， 则方程有且仅有6个根，故A正确； 对于B，由题图知方程有两个根，，， 由题图只有1个根，方程有三个不同的根， 则方程有且仅有4个根，故B错误； 对于C，由图知只有1个根，方程有三个不同的根，方程只有1个根， 则方程有且仅有5个根，故C错误； 对于D，由图知方程有两个不同的根，方程有两个不同的根， 则方程有且仅有4个根，故D正确， 故选：AD. 16．（23-24高一上·福建·期中）设，用符号表示不大于的最大整数，如，．若函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域是 C．若，则 D．方程有2个不同的实数根 【答案】ACD 【分析】A：根据定义直接计算即可；B：作出的图象，结合图象进行判断；C：根据直线与的图象相交进行分析判断；D：根据图象的交点情况进行判断. 【详解】A：，故正确； B：当，当， 当，当， 当，当， 当，， 作出的图象如下图所示：可知的值域为，故错误；    C：作与的图象相交，如下图：    由图象可知：任意两个相邻交点之间的水平距离为， 所以若，则成立，故C正确； D：在同一坐标系中作出的图象，如下图所示：    显然有两个交点，所以方程有2个不同的实数根，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题考查函数与方程的综合应用，在高斯函数的背景下，着重考查分段函数的图象与性质，采用数形结合思想能高效解答本题，难度较大.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质. 17．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数的最小值是 C．函数的图象关于直线对称 D．函数与有三个交点 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义域判定，可判定A正确；分类讨论，结合函数的单调性，求得最小值，可判定B正确，根据，可判定C不正确；根据函数的图象与性质，可判定D正确. 【详解】对于A中，由函数，可得，解得， 又由，所以是偶函数，所以A正确； 对于B中，因为函数是偶函数，图象关于轴对称，所以可只考虑， 由时，可得； 当时，可得，则， 此时在区间上为减函数； 当时，可得，则， 此时在区间上为增函数， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为，所以B正确； 对于C中，由， 所以函数的图象不关于对称，所以C不正确； 对于D中，如图所示，因为函数是偶函数，结合B项知： 函数在为减函数，在上为增函数，在为减函数，在为减函数， 且，当或时，， 所以函数与有三个交点，所以D正确. 故选：ABD. 18．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知定义在上的函数满足当时，，当时，满足，（为常数），则下列叙述中正确的为（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，函数的图象与直线，在上的交点个数为 【答案】ACD 【分析】A选项，当时，；B选项，时，函数的周期为2，从而得到；C选项，时，；D选项，画出函数图象，得到时，函数图象与有且只有1个交点，当时，函数与交点个数为，从而得到总的交点个数. 【详解】A选项，，时，满足， 则，A正确； B选项，时，，故函数的周期为2， 故，B错误； C选项，时，， ，C正确； D选项，时，，图象是变矮平移得到的，如图所示， 当时，， 因此时，函数图象与有且只有1个交点， 当时，由于，导致后面的图象一定比前面的矮， 即，， 所以时，函数与交点个数为， 故总个数为，故D正确. 故选：ACD 19．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．对于，， C．函数可能有个不同的零点 D．若满足不等式成立的整数恰有两个，则整数的取值有个 【答案】ACD 【分析】化简的解析式，然后根据最值、零点、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， A选项，当时，， ， 所以A选项正确. B选项，当时，， ，所以B选项错误. C选项，令，得， 画出的图象如下图所示， 由解得，由解得， 由解得. 当时，由可得或或， 由图可知有个解；有个解；有个解. 则有个不同的零点，所以C选项正确. D选项，， 当时，由，得， 即①， 当时，，， ②， 当时，，， ③， 下面分类讨论的取值： 当时，由图可知，不等式组①至少有个整数解，不符合题意. 当时，不等式组①的整数解是， 此时，， 不等式组②无解，不等式组③无解， 所以时，符合题意. 当时，不等式组①的整数解是. 不等式组②的整数解是；不等式组③无解， 所以时，不符合题意. 当时，不等式组①的整数解是， 不等式组②的整数解是，不等式组③无整数解， 所以时，符合题意. 当时，不等式组①的整数解是， 不等式组②的整数解是，不等式组③无整数解， 所以时，不符合题意. 当时，不等式组①的整数解是， 不等式组②的整数解是，不等式组③无整数解， 所以时，不符合题意. 当时，不等式组①无解， 不等式组②的整数解是，不等式组③的整数解是， 所以时，不符合题意. 当时，不等式组①无解， ， 不等式组②的整数解是， 不等式组③至少有个整数解， 所以时，不符合题意. 综上所述，的取值可以为，共个，所以D选项正确. 故选：ACD 20．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．在上有675个零点 【答案】ABD 【分析】根据解析式可直接求得的值，判断A；根据时的性质，利用变量代换，推出此时函数的周期，结合解析式，即可求值，判断B，C；利用函数周期以及，推出，即可推出，即可判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，即， 则，即得， 则，即时，6为的周期； ，B正确； 对于C，由B的分析可知， ， 故，C错误； 对于D，当时，,，此时函数无零点； 由于，则， 故，则， 由于，故在上有675个零点，D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据时的性质，利用变量代换，推出此时函数的周期，从而判断D选项时，结合周期和，推出，即可求出在上的零点个数. 21．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，，用表示m，n中的最大值，，记函数，则下列选项中正确的是（    ） A．方程有3个解 B．方程最多有4个解 C．的解集为 D．方程在上的根为 【答案】ABC 【分析】根据定义求得的表达式，作出的图象，利用图象可判断ABD，结合的图象分类讨论解不等式判断C． 【详解】由得或，即此时，时，，作出的图象，如图， 由图象可知，有两个解，有一个解，即有3个解，A正确； 例如时，由得或，显然与都有2个解，因此有4个解，又与都最多有2个解，因此B正确； 作出的图象和直线，如下图， 由得， 由，解得或， 结合的图象与直线知C正确； 时，，由得的解是（舍去）， 时，，由得（舍去）， 时，由得，无解， 时，由得，化简或，或，只有符合题意，其它均舍去，因此在上的解是和，D错． 故选：ABC． 三、填空题 22．（23-24高一上·上海·期中）已知抛物线，a，b，c均为整数，记，若均为奇数，则有 个整数解. 【答案】0 【分析】根据给定条件，可得为偶数、为奇数，再结合方程根的意义分析求解. 【详解】由，均为奇数，得为偶数，， 设为的一个整数解，则，而为整数， 当为偶数时，为偶数，c为奇数，则为奇数，与矛盾； 当为奇数时，设，， 则为奇数，与矛盾， 因此无整数解，即有0个整数解. 故答案为：0 23．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意问题转化为方程有4个不相等的实数根，作出函数与函数的图象，数形结合可得解. 【详解】原方程等价于，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，如图所示： 可得当时，两图象有4个不同的公共点，即方程有4个不相等的实数根， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 24．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为 ；若与有3个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求出函数的解析式即可，与图象交点有3个，画出图象并进行观察，求得实数的取值范围． 【详解】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则； ②当时，，因为是奇函数，所以. 所以. 综上：. （2）图象如下图所示： 由图象可知，要使方程与有三个交点， 只需，即. 故答案为： ；. 25．（23-24高一上·湖南永州·期中）设函数的定义域为，，当时，.若存在，使得有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据，可知，可得函数解析式并画出函数图象，由图象可得实数的取值范围. 【详解】根据，可知， 当时，， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 此时恒成立. 画出局部函数图象如图所示： 当时，，解得：或， 要存在，使得有解，只需， 故答案为：. 26．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于x的方程在内有解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】变换，根据函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】，，故，函数在上单调递增， 则，故. 故答案为： 27．（23-24高一上·山东德州·期中）已知函数，则 ；函数，函数有6个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 或 【分析】根据分段函数，代入数值，即可求值；首先根据函数的解析式，以及函数性质，画出函数的图象，并求得时，或，利用数形结合，根据零点个数，即可求解. 【详解】，， 令， 则，得或， 当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，且当时，图象始终在的下方， 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的图象，    与的图象有4个交点，即有4个实数根， 所以只需有2个实数根据，即和的图象有2个交点， 观察可知，当或时，符合题意， 解得：或 故答案为：；或 28．（23-24高一上·四川·期中）已知函数的零点在区间内，则 ． 【答案】 【分析】先求出在上的单调性，然后利用零点存在定理从而求解. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，，， 所以的零点在区间内，故. 故答案为：. 四、解答题 29．（23-24高一上·北京·期中）已知:函数 . (1)判断函数的奇偶性并加以证明 (2)利用单调性的定义证明：函数在上单调递减; (3)直接写出方程（）的根的个数． 【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）定义法判断并证明函数的奇偶性； （2）定义法证明函数的单调性； （3）结合函数的单调性和奇偶性，判断方程根的个数 【详解】（1）函数为奇函数，证明如下： 函数，定义域为， ，所以函数为奇函数. （2）由题意：，任取 ，且 ， ， 由 ，则 ，， 所以 ，即 ， 故 在 上单调递减； （3）由（2）知 在 上单调递减，同理可证 在 上单调递增， 又函数为奇函数，图象如图所示，    其中，， 当或时，方程有两个根； 当时，方程有一个根； 当时，方程没有根. 30．（23-24高一上·江苏泰州·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”. (1)判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论） (2)已知函数，试判断为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足的的值，若不是，请说明理由； (3)若为其定义域上的“弱奇函数”.求实数取值范围. 【答案】(1)既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数” (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）（2）根据所给定义判断即可； （3）首先由在上恒成立，求出的取值范围，依题意存在实数使得，分、、三种情况讨论，分别结合方程有解求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）对于，则， 又函数在定义域上单调递增， 所以不存在使得，即不是“弱偶函数”， 若存在使得，即， 即，又，当且仅当，即时取等号， 所以方程无解，故不存在使得， 即不是“弱奇函数”， 综上可得既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数”. （2）假设为其定义域上的“弱奇函数”，则， 若，则，则，舍去； 若，则，则，舍去； 若，则，则，舍去； 从而无解，所以不是其定义域上的“弱奇函数”. （3）由在上恒成立， 转化为在上恒成立，即. 因为为其定义域上的“弱奇函数”， 所以存在实数使得， 当时，则，所以，即， 所以，， 即在有解可保证是“弱奇函数"，所以，又因为，所以； 当时，，此时，不成立； 当时，则，所以，则， 即，即在有解可保证是“弱奇函数”， 所以，由可知； 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论. 31．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)设函数区间上有三个不同零点，，，且，求的取值范围； (3)当时，若在上存在2023个不同的实数，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)1和2 (2) (3) 【分析】（1）取，考虑和两种情况，解得答案. （2）参变分离后得到，画出函数图像得到，，得到答案. （3）确定函数的单调性，化简原式为，再计算范围即可. 【详解】（1）当时，令， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得或（舍去）； 所以函数的零点是1和2. （2）令， 且，可得， 记， 作出的图象，如图所示： 由的图象得，易知，，是方程的两根， 即方程的两根，可得， 所以. （3）， 当时，在上单调递减，则， 可得 ，所以，得，即. 32．（23-24高一上·四川·期中）已知二次函数的单调递增区间为，且有一个零点为． (1)证明：是偶函数． (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，利用二次函数的性质，求得，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可得证； （2）由（1）得到，根据在上有两个零点，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）证明：由二次函数的单调递增区间为， 可得，解得． 又因为有一个零点为，则，解得或（舍去）， 所以， 因为，所以是偶函数． （2）解：由（1）可知， 因为在上有两个零点，则满足，解得， 所以实数的取值范围为． 33．（23-24高一上·山西·期中）已知函数. (1)求的定义域； (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的定义求解一元二次不等式即可； （2）根据指数与对数的关系化简方程为，利用一元二次方程根的分布计算即可. 【详解】（1）令，即， 解得， 即的定义域为； （2）由，得，即， 方程有两个不相等的实数根， 即方程在上有两个不相等的实数根， 则, 解得，即a的取值范围为. 34．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数，. (1)当时，求的单调区间； (2)如果关于的方程有三个不相等的非零实数解，，，求的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）直接由分段函数定义、二次函数的性质即可求解. （2）首先分类讨论求出满足题意的参数的取值范围，然后再根据求根公式、韦达定理将表示成的函数，从而即可得解. 【详解】（1）当时，， 即当时，，当时，， 据二次函数的性质可知，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）， 当时，当时，方程的判别式， 可知方程无解，所以此时不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，方程有个不相等的实数根，且在上递增， 所以时，有个根，且时，有个根， 所以只需满足，解得，综上：取值范围是. 不妨设，则， 所以 ， 因为，则，可得， 所以. 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，直接结合二次函数性质分区间讨论即可，第二问的关键是首先要求出的范围，以及将所求表示成的函数，在计算过程中，灵活的变形技巧是必不可少的，这一点平时练习多加注意. 35．（23-24高一上·广东·期中）已知函数，其中a为常数. (1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围； (2)已知，若函数在上有且仅有一个零点，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复合函数单调性的判断方法确定出的单调性，由此列出不等式求解出结果； （2）先化简函数得到，然后根据的范围进行分类讨论，结合函数的单调性以及零点的存在性定理求解出的取值范围. 【详解】（1）令，因为为定义域内的单调递减函数， 若满足在区间上单调递减，则在上单调递增即可， 当时，在上单调递减，不符合题意； 当时，为开口向下的二次函数，所以不可能在上单调递增； 当时，只需满足，解得， 综上所述，实数a的取值范围为； （2）因为在上有且仅有一个零点， 所以在上有且仅有一个零点， 记， 当时，，且均在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以在上有唯一零点，符合条件； 当时，， 的对称轴为，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 若满足题意只需，所以，解得； 当时， ， 的对称轴为，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 若满足题意只需，所以，解得； 综上所述，的取值范围是. 试卷第40页，共40页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$