重难点08 指对型复合函数-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019必修第一册）

重难点08 指对型复合函数 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽滁州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C．且 D． 2．（23-24高一上·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东江门·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数的值域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东茂名·期中）若函数且的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·天津南开·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数的图象过点，若函数区间上单调递减，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．函数在上单调递减 D．函数的值域为 10．（23-24高一上·河北保定·期中）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（21-22高一上·广西钦州·期中）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 13．（23-24高一上·广东茂名·期中）关于函数，下列命题中正确的是（    ） A．函数图象关于轴对称 B．函数的递增区间为 C．函数在上有最小值，且最小值为2. D．函数的值域是 14．（23-24高一上·广东·期中）已知函数在区间上是单调函数，则可能为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·四川成都·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 16．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．的值域为 C．不等式的解集为 D．若在上单调递减，则实数的取值范围为 17．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数的最小值是 C．函数的图象关于直线对称 D．函数与有三个交点 18．（23-24高一上·安徽·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则 B．若的最小值为，则 C．若在上为增函数，则的值可以为4 D．若，则，，都有 三、填空题 19．（23-24高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为 ． 20．（23-24高一上·广东汕头·期中）函数的单调增区间为 . 21．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数的定义域是，则函数 的定义域是 ． 22．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是 ． 23．（23-24高一上·陕西·期中）已知在上是增函数，则的取值范围是 ． 24．（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为 . 25．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的值域是 . 26．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知是偶函数，的最小值为 . 四、解答题 27．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期中）已知函数，求其单调区间及值域. 28．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断证明函数的奇偶性； (3)解不等式：. 29．（23-24高一上·广西·期中）已知函数. (1)试判断的单调性，并用定义证明； (2)解不等式. 30．（23-24高一上·河南安阳·期中）已知函数的图象关于原点对称． (1)求实数的值； (2)设函数（且）在上的最小值为1，求的值． 31．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 32．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求实数a的取值范围； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围． 33．（23-24高三上·安徽·期中）已知，且是偶函数． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的最大整数值． 试卷第4页，共5页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点08 指对型复合函数 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽滁州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据偶次根式下非负及分母不为零列方程计算即可. 【详解】由题意可知的定义域需要满足解得且. 故选：C. 2．（23-24高一上·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用定义域和值域的关系，结合复合函数定义域的知识分析即可. 【详解】解：函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为 故选：C 3．（23-24高一上·广东江门·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数为，设，根据为增函数，结合复合函数的单调性的判断方法，可得求函数的单调递增区间，即可得答案. 【详解】，设,则为增函数， 求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间， 函数的对称轴为，则函数在上是增函数， 则的单调递增区间是， 故选：D. 4．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数的值域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再利用抽象函数的定义域求解 【详解】由值域为，得， 故，即的定义域为， 令得，故的定义域为， 故选：C． 5．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则， 随的增大而增大，要使在上单调递增， 只需在上单调递增，则有，所以． 故选：A. 6．（23-24高一上·广东茂名·期中）若函数且的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出，再结合指数函数、二次函数单调性求出递增区间. 【详解】在函数且中，令，得， 因此函数的图象恒过定点，依题意，2，函数定义域为R， 令，函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在R上递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 7．（23-24高一上·天津南开·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 而，所以， 所以，故值域为. 故选：D 8．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数的图象过点，若函数区间上单调递减，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点在函数图象上及复合函数的单调性，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】因为函数的图象过点， 所以，解得， 所以. 所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减且大于零恒成立， 则，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：A. 9．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．函数在上单调递减 D．函数的值域为 【答案】D 【分析】结合函数的性质可得答案. 【详解】对于A，函数的定义域为，故A正确；     对于B，函数为偶函数，证明：设，定义域为关于原点对称， 且，则为偶函数，故B正确； 对于C，因为为偶函数，且在上单调递减， 函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象，如下图， 所以函数在上单调递减，故C正确；     对于D，因为为偶函数，且的值域为， 函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象，如下图， 则函数的值域为，故D错误. 故选：D. 10．（23-24高一上·河北保定·期中）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】函数在区间上是增函数， 为增函数， 在上单调递增， 且, 解得. 故选：B. 11．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，设，，计算得到答案. 【详解】， 设，则， 故函数的值域为. 故选：C 二、多选题 12．（21-22高一上·广西钦州·期中）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D. 【详解】令，则， 对于选项A：的定义域与的定义域相同，均为R，故A正确； 对于选项B：因为，的值域为， 所以函数的值域为，故B正确； 对于选项C、D：因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减， 所以C不正确，D正确. 故选：ABD. 13．（23-24高一上·广东茂名·期中）关于函数，下列命题中正确的是（    ） A．函数图象关于轴对称 B．函数的递增区间为 C．函数在上有最小值，且最小值为2. D．函数的值域是 【答案】AD 【分析】的定义域为，代入化简可判断奇偶性，从而判断A；令，由对勾函数的性质分析单调性，结合复合函数的单调性，可求出的单调区间，可判断B；结合单调性可求出的最值以及值域，从而判断CD. 【详解】由题知，的定义域为，且， 所以为偶函数，所以函数图象关于轴对称，故正确. 令， 当时，，当且仅当即时取最小值， 所以当时，为增函数，当时，为减函数； 当时，，当且仅当即时取最小值， 所以当时，为减函数，当时，为增函数； 函数为增函数，由复合函数的单调性可知，的递增区间为（不能用联结），故B错误，. 由函数的单调性可知，函数在上有最小值，且最小值为，故C错误. 函数的值域是，故D正确. 故选：AD. 14．（23-24高一上·广东·期中）已知函数在区间上是单调函数，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用复合函数的单调性计算即可. 【详解】因为函数在上单调递增，上单调递减， 函数在R上单调递增， 根据复合函数的单调性可得：的单调递增区间为，单调递减区间为． 显然选项A、C对应集合是的真子集，选项D对应集合是的真子集， 故A、C、D正确，B错误. 故选：ACD 15．（23-24高一上·四川成都·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【答案】AC 【分析】由奇函数的定义可判定A项，利用指数函数的性质可判定B项，进而可求值域判定C项，可结合对数函数的性质解不等式判定D项. 【详解】因为函数是奇函数，易知， 则有， 解之得，故A正确； 则，易知当且有单调递增， 故此时单调递减， 又由奇函数的性质可知时也是单调递减， 故在和上单调递减，故B错误； 由上可知时，，即此时， 由奇函数的性质可知时，，则函数的值域为， 故C正确； 由上可知，故D错误. 故选：AC 16．（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．的值域为 C．不等式的解集为 D．若在上单调递减，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】探讨指数位置的函数性质，再利用指数型复合函数，结合选项AB条件分析判断AB；解指数不等式判断C；利用指数型复合函数单调性判断D. 【详解】函数在上单调递增，在上的值域为，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，，A正确，B错误； 不等式，解得，C正确； 依题意，函数，显然在上单调递减， 而函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 因此，即，解得，即实数的取值范围为，D正确. 故选：ACD 17．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数的最小值是 C．函数的图象关于直线对称 D．函数与有三个交点 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义域判定，可判定A正确；分类讨论，结合函数的单调性，求得最小值，可判定B正确，根据，可判定C不正确；根据函数的图象与性质，可判定D正确. 【详解】对于A中，由函数，可得，解得， 又由，所以是偶函数，所以A正确； 对于B中，因为函数是偶函数，图象关于轴对称，所以可只考虑， 由时，可得； 当时，可得，则， 此时在区间上为减函数； 当时，可得，则， 此时在区间上为增函数， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为，所以B正确； 对于C中，由， 所以函数的图象不关于对称，所以C不正确； 对于D中，如图所示，因为函数是偶函数，结合B项知： 函数在为减函数，在上为增函数，在为减函数，在为减函数， 且，当或时，， 所以函数与有三个交点，所以D正确. 故选：ABD. 18．（23-24高一上·安徽·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则 B．若的最小值为，则 C．若在上为增函数，则的值可以为4 D．若，则，，都有 【答案】AD 【分析】对于A，直接转换为二次不等式恒成立问题即可；对于B，等价于的最小值为；对于C，由复合函数单调性得出在上也为增函数，但要注意当时，；对于D，画出函数，根据其图象特征即可判断. 【详解】对于选项A，若的定义域为，则在上恒成立， 所以.解得，故A正确； 对于选项B，若的最小值为， 即的最小值为， 则有，解得或，故B错误； 对于选项C，根据复合函数单调性同增异减可知在上也为增函数， 即，解得，故C错误. 对于选项D，当时，为上凸的图象如图， 在上任意取两点，都有， 若，则，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点睛：A选项关键是明确二次不等式恒成立的充要条件，BC选项的关键是复合函数的值域、单调性，但是C选项还要注意有意义，D选项的关键是画图，数形结合. 三、填空题 19．（23-24高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由对数的性质列不等式求定义域即可. 【详解】由解析式知，解得， 所以的定义域为． 故答案为：. 20．（23-24高一上·广东汕头·期中）函数的单调增区间为 . 【答案】或二选一 【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得. 【详解】函数的定义域为R， 函数在上单调递增，在单调递减， 而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递减，在单调递增， 所以函数的单调递增区间是（或二选一）. 故答案为：或二选一 21．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数的定义域是，则函数 的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复合函数、抽象函数定义域列出不等式组求解即得. 【详解】在函数 中，，解得且， 所以函数 的定义域是. 故答案为： 22．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得在R上恒成立，且，即在R上成立，且，然后结合基本不等式可求得结果. 【详解】解：根据题意，不等式在R上恒成立，且， 即在R上成立，且． 因为，当且仅当时，即时等号成立， 所以，解得， 所以k的取值范围是． 故答案为：． 23．（23-24高一上·陕西·期中）已知在上是增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数、指数函数、对数函数的单调性计算即可. 【详解】依题意及指数函数，对数函数的单调性可得． 故答案为： 24．（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为，利用函数单调性求出，然后列不等式求解即可. 【详解】解：对任意，总存在，使成立, 对成立 当时，， 在上是增函数， 当时，， ， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 25．（23-24高一上·广东茂名·期中）函数的值域是 . 【答案】 【分析】换元，令，可得，结合二次函数性质求值域. 【详解】令，则， 因为，则， 且的对称轴为， 可知， 所以的值域是. 故答案为：. 26．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知是偶函数，的最小值为 . 【答案】 【分析】先利用偶函数性质求得，然后化简函数，利用复合函数值域求法结合基本不等式求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，则， 即， 所以， 由的任意性可得，故， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，即， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 27．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期中）已知函数，求其单调区间及值域. 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为，值域为. 【分析】令，则，利用复合函数单调性的原则：同增异减，即可求出函数的单调区间，再求出的值域，利用的单调性即可求出函数的值域. 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 又时，的对称轴为， 所以，当时，有最大值，得到， 所以，即值域为. 28．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断证明函数的奇偶性； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)为奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数的定义域求解即可； （2）根据结合定义域关于原点对称判断即可； （3）根据与为奇函数，结合单调性求解即可. 【详解】（1）由题意，，解得，故函数的定义域为 （2）满足， 且定义域关于原点对称，故为奇函数. （3）因为，且为奇函数， 故即，即. 又为增函数，为减函数，故为增函数. 故即，解得. 29．（23-24高一上·广西·期中）已知函数. (1)试判断的单调性，并用定义证明； (2)解不等式. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可； （2）利用函数单调性把不等式转化为，然后利用对数函数单调性求解即可. 【详解】（1）在上单调递增. 证明：，其定义域为. 任取，且， 则 ， 因为，所以，， 则，，，， 所以，即在上单调递增. （2）由，得， 因为在上单调递增，所以， 即，解得，所以原不等式的解集是. 30．（23-24高一上·河南安阳·期中）已知函数的图象关于原点对称． (1)求实数的值； (2)设函数（且）在上的最小值为1，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的定义结合指数函数的性质即可求解； （2）利用换元，根据对数函数的性质分析可得：当时恒成立，进而可得且，并结合二次函数的性质以及对数函数的单调性分析求解. 【详解】（1）因为函数的图象关于原点对称，则， 即，整理得， 又因为，，则，所以，解得． （2）由（1）可知，. 因为与在单调递增， 可知函数在定义域内单调递增， 令，易知在内单调递增， 且，，即，则． 可得， 由题意可知：当时恒成立， 当时，则，符合题意，所以； 当时，则当时恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以且； 综上所述：且. 当，则开口向上，对称轴， 可知当时，取到最大值， 且在定义域内单调递减， 则，可得，解得（舍去）； 当时，则开口向上，对称轴， 可知当时，取到最小值， 且在定义域内单调递增， 则，可得，解得或（舍去）； 综上所述：的值为. 【点睛】关键点睛：1.对于对数函数问题，要首先保证对数的真数大于0，从而可以得出参数的范围，进而分析求解； 2.当对数的底数不确定时，应分和两种情况讨论. 31．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】（1）令，利用复合函数的单调性分析求解； （2）令，结合指数函数单调性可知的最小值为，然后分和两种情况，结合二次函数最值分析求解. 【详解】（1）当时， 令，则在上单调递增，在单调递减， 且在R上为减函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）令，则， 因为的最大值为3，且在R上为减函数， 所以的最小值为， 当时，无最大值，不合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数a的值为1. 32．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求实数a的取值范围； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，对恒成立，讨论的范围，列出条件解出即可； （2）讨论的范围，根据复合函数的单调性的性质结合定义域列出条件，解出即可. 【详解】（1）若的定义域为， 即对恒成立． 当时，不符合题意； 当时，， 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）当时，，符合题意； 当时， 解得，所以； 当时，解得． 综上，实数a的取值范围是． 33．（23-24高三上·安徽·期中）已知，且是偶函数． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的最大整数值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）函数为偶函数，利用求的值； （2）设，依题意有，求函数最小值，可得实数的最大整数值． 【详解】（1）函数定义域为R，由函数为偶函数，有， 即，则有， 即 ，得，所以. （2）由（1）可知，， 则， 设， 依题意有， 由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立， 令，则，有， 由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， ，则有，得， 所以实数的最大整数值为5. 试卷第22页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$