高二数学上学期期中模拟卷（空间向量与立体几何、直线与圆的方程、椭圆）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）

2024～2024学年上学期期中考试模拟卷 高二（数学）试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、椭圆 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 2．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·安徽安庆·期中）已知实数满足方程，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为 D．的最大值为 7．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在正三棱柱中，，点D是棱BC的中点，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的焦距为，为椭圆的右焦点，过点在轴上方作两条斜率分别为1和的射线，与分别交于，两点，且的面积为，则（    ） A．或2 B．2或3 C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·江苏扬州·期中）下列给出的命题正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B．两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 10．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 11．（22-23高二上·辽宁·阶段练习）已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆的另一个交点为，则（    ） A． B．当时，的面积为 C． D．的周长的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·天津·期中）经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 13．（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，四边形和均为正方形，且，平面平面分别为的中点，为线段上的动点，则异面直线与所成角的余弦值最大时， .    14．（21-22高三下·湖南长沙·阶段练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为 ；S的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高二上·云南昆明·期中）已知两直线和的交点为． (1)直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)圆过点且与相切于点，求圆的一般方程． 16．（15分）（23-24高二上·上海·期中）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且． (1)求二面角的大小； (2)直线到平面的距离； 17．（15分）（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆C：焦距为6，且椭圆C上任意一点（异于长轴端点）与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值． (1)求曲线C的方程； (2)过右焦点作直线l交曲线C于M、N两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值． 18．（17分）（23-24高二上·云南昭通·期中）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点    (1)求证：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. (3)若，线段上是否存在一点，使平面?若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 19．（17分）（22-23高二下·江西·期中）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知点，，过的直线交曲线于A，两点，交曲线于，交曲线于，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 试卷第4页，共5页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2024学年上学期期中考试模拟卷 高二（数学）试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、椭圆 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】C 【分析】依题意可得，求出的值，再检验即可. 【详解】直线：与直线：平行， 则，解得或， 当时，此时直线：与直线：平行， 当时，此时直线：与直线：平行， 故或 故选：C 2．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两直线的交点坐标，再由与直线垂直可设所求直线为，将交点坐标代入可求得结果. 【详解】由，得， 设与直线垂直的直线的方程为，则 ，得， 所以所求直线方程为. 故选：A 3．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 4．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共面的条件求出，再利用投影向量及模的定义计算即得. 【详解】因为共面，则存在实数，使得，即， 于是， 所以在上的投影向量的模为. 故选：B 5．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 6．（23-24高二上·安徽安庆·期中）已知实数满足方程，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】C 【分析】对于ABD，结合点到直线的距离公式，即可求解，对于C，结合两点之间的距离公式，即可求解． 【详解】实数，满足方程， ， 对于ABD，令，， 则两条直线都与圆有公共点， ，，解得，， 故的最大值为，的最大值为，故ABD正确， 对于C，原点到圆心的距离为， 则圆上的点到原点的距离为， ， ， 故的最大值为，故C错误． 故选：C 7．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图，在正三棱柱中，，点D是棱BC的中点，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取AC的中点O，取的中点E， O以为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的向量求法可得答案. 【详解】取AC的中点O，取的中点E，连接OE，则，所以平面ABC， 连接OB，因为是等边三角形，所以，因为OB，平面ABC， 所以OB，AC，OE两两垂直，所以O以为坐标原点，OB所在直线为x轴， OC所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所 示．又，所以，，， ，所以，所以，， 所以， 所以点到直线的距离. 故选：A．    8．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆的焦距为，为椭圆的右焦点，过点在轴上方作两条斜率分别为1和的射线，与分别交于，两点，且的面积为，则（    ） A．或2 B．2或3 C．2 D． 【答案】C 【分析】已知焦距和过A的两个相互垂直的射线，通过AB的反向延长得到D点，则，根据面积得到线段的关系，通过方程的联立，代入线段关系即可求解. 【详解】由焦距为2知，， 设直线与的另外一个交点为，，， 则，关于轴对称，即， 由的面积为，得，即， 将直线代入的方程整理，得， 显然判别式大于0，，， 因为，所以，即， 所以，解得或（舍去），所以． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·江苏扬州·期中）下列给出的命题正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B．两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】BC 【分析】利用空间向量研究线面、面面关系可判定A、B，利用基底的概念可判定C，利用空间中四点共面的推论可判定D. 【详解】易知，则直线l与平面平行或在面内，故A错误； 易知，则，故B正确； 若不能作为基底， 则存在，使得， 整理得， 又是空间的一组基底，则，显然方程无解，假设不成立，故C正确； 由空间四点共面的推论可知：若，且时， 四点共面，所以D错误. 故选：BC 10．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 【答案】ABD 【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】圆心到直线的距离为，    所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 11．（22-23高二上·辽宁·阶段练习）已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆的另一个交点为，则（    ） A． B．当时，的面积为 C． D．的周长的最大值为 【答案】AC 【分析】对A：由方程求，进而求；对B：根据方程结合题意运算求解；对C：设直线，利用两点间距离公式结合韦达定理运算求解；对D：根据椭圆定义分析求解. 【详解】由椭圆方程，得，所以，所以，故A项正确； 当时，点到的距离为2，所以的面积为，故B项错误； 因为点在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，点， ∵，则直线， 联立方程，得到 ∴， ∵在椭圆上，则，即 ∴ 同理， 于是 ， 故C项正确； 设椭圆的右焦点为， 当直线经过椭圆的右焦点时，的周长为， 如果不经过右焦点，则连接，， 可知的周长小于， 所以的周长的最大值为，故D项错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·天津·期中）经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 【答案】0或 【分析】首先利用弦长公式求圆心到直线的距离，再设直线的方程，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由条件可知，圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 设直线，即， 所以圆心到直线的距离， 解得：或. 故答案为：0或. 13．（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，四边形和均为正方形，且，平面平面分别为的中点，为线段上的动点，则异面直线与所成角的余弦值最大时， .    【答案】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出异面直线与所成角的余弦值最大时点位置，进而求出大小. 【详解】   由题可以为原点，建立空间直角坐标系如图所示： 则，设， 则， 设异面直线与所成角为， 则， 令， 则， 当时，， 当时，， 令，则， 因为， 当时，有最小值， 此时有最大值， 由得，， 则异面直线与所成角的余弦值最大时， 即，， 所以. 故答案为： 14．（21-22高三下·湖南长沙·阶段练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为 ；S的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意得，求出，再求出离心率；根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，又点到直线的距离的5倍，分析求解即可. 【详解】根据椭圆定义得：， 所以， 因为的最大值为6，，所以，即， 解得，所以离心率为； 右焦点关于直线l的对称点， 设切点为A，由椭圆的光学性质可得：三点共线， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆， 圆心到直线的距离为， 则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离为， 所以表示点到直线的距离的5倍， 则，即. 故答案为：①#；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高二上·云南昆明·期中）已知两直线和的交点为． (1)直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； (2)圆过点且与相切于点，求圆的一般方程． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）联立求出，根据平行关系，设出直线为，代入点，得到，求出答案； （2）设圆的标准方程，将与代入，得到方程组，并根据相切关系得到关于斜率的方程，联立求出，求出答案. 【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为， 联立方程组，解得． 直线和的交点． 又直线过点，则，解得， 即直线的方程为． （2）设所求圆的标准方程为， 的斜率为，故直线的斜率为1， 由题意可得 解得 故所求圆的方程为． 化为一般式：． 16．（15分）（23-24高二上·上海·期中）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，是延长线上一点，且． (1)求二面角的大小； (2)直线到平面的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先取的中点，连接，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解二面角大小即可. （2）利用空间向量法求解直线到平面的距离即可. （3）设，再利用求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为垂直于底面，，所以垂直于底面， 又因为为等边三角形，为中点，所以. 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： ，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，即. 又因为平面的法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 因为二面角的平面角为为锐角， 所以，即. （2）因为，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，， 所以平面， 即直线到平面的距离等于点到平面的距离. ，设直线到平面的距离为， 则. 17．（15分）（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆C：焦距为6，且椭圆C上任意一点（异于长轴端点）与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值． (1)求曲线C的方程； (2)过右焦点作直线l交曲线C于M、N两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆C上任意一点，利用该点与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值，列式求得，结合c的值，即可求得的值，即得答案. （2）设直线l方程为，联立椭圆方程可得根与系数关系式，进而求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得其最大值. 【详解】（1）由题意知椭圆C：焦距为6，即， 设椭圆C上任意一点（异于长轴端点），则， 长轴的两顶点坐标为，由题意得， 即，则， 即，结合，解得， 故曲线C的方程为； （2）由题意知直线的斜率不为0，，设直线l方程为， 设，联立， 得，由于直线l过椭圆焦点，必有， 则，， 故 ， 当且仅当，即时取等号， 故S的最大值为. 18．（17分）（23-24高二上·云南昭通·期中）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，是的中点    (1)求证：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. (3)若，线段上是否存在一点，使平面?若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)存在， 【分析】（1）连结交于点，可知.然后根据线面平行的判定定理，即可得出平面； （2）建立空间直角坐标系，再根据线面角的向量方法求解可得的长度； （3）令，再根据与平行列式求解，进而根据空间向量模长求解即可. 【详解】（1）    连结交于点. 因为四边形是正方形， 所以是的中点， 又是的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）   因为平面，平面，所以． 因为四边形为正方形，所以． 又，平面，平面， 所以平面． 以点为坐标原点，过点作的平行线为轴，分别以、为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，， 设平面的法向量为，，，， 则，令，则，， 则， 设与平面所成角为， ， 解得或， 所以的长度或. （3）存在，理由如下： 因为，结合（2），，， 所以，，， 令， 则， 所以，所以， 设平面法向量为， 则，令，则，， 所以， 因为平面，所以， 所以有，解得，所以， 因为， 所以. 19．（17分）（22-23高二下·江西·期中）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知点，，过的直线交曲线于A，两点，交曲线于，交曲线于，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）设动圆的半径为，分析可得，利用椭圆的定义可求得轨迹的方程； （2）根据条件可得直线AM和BM的方程，与椭圆C方程联立，利用韦达定理法结合斜率公式计算即得. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 因为，则，可知圆内含于圆， 设动圆的半径为， 若动圆与圆内切，且与圆外切，    则，可得， 所以动圆的圆心的轨迹是以、为焦点的椭圆， 设其方程为，其中，， 则，， 所以轨迹的方程为. （2）设 ，    则有 ， 则直线AM的方程为： ，直线AB的方程为，则 ， 联立方程 ， 解得： ， 又点 在椭圆C上， ， 代入上式化简得：  ， ； 同理可得： ， 所以 ， 即 ，为定值. 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 试卷第20页，共21页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$