专题2.5.2 圆与圆的位置关系4种常见考法归类（78题）-2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册) 专题2.5.2 圆与圆的位置关系4种常见考法归类（78题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 圆与圆位置关系的判断及应用 （一）判断圆与圆的位置关系 （二）由圆的位置关系求参数 （三）由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型二 与圆相交有关的问题 （一）求两圆的交点坐标 （二）圆系方程的应用 （三）求两圆公共弦方程 （四）求两圆公共弦长 题型三 两圆的公切线问题 （一）圆的公切线条数 （1）求公切线条数 （2）由公切线条数求参数 （二）圆的公切线方程 （三）圆的公切线长 题型四 圆与圆的最值问题 知识点1 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 （1）几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. （2）代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 3．几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判断方法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判断方法一样，能判断出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判断两圆的位置关系． 题型一 圆与圆位置关系的判断及应用 （1） 判断圆与圆的位置关系 解题策略：圆与圆位置关系的判定 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： ①化成圆的标准方程，写出圆心和半径； ②计算两圆的圆心距d； ③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 1．（2024·福建宁德·高二统考期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 2．（2024·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C: 的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 3.（2024·江苏扬州·高二统考开学考试）圆与圆的位置关系为（    ）． A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 4.（2024·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 5．（2024·全国·高三专题练习）已知圆的圆心在直线上，点与都在圆上，圆，则与的位置关系是___________. 6.（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内含 D．内切 7．【多选】（2024·江苏南通·高二统考期末）已知圆，则（    ） A．点在圆C内 B．直线与圆C相切 C．圆与圆C相切 D．圆与圆C相切 8．（2024·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）平面直角坐标系中，，，动点满足，则使为等腰三角形的点个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 9．【多选】（2024·湖南娄底·统考模拟预测）已知圆M：，圆N：，直线l：，则下列说法正确的是（    ） A．圆N的圆心为 B．圆M与圆N相交 C．当圆M与直线l相切时，则 D．当时，圆M与直线l相交所得的弦长为 10．（2024·全国·高二专题练习）已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 （2） 由圆的位置关系求参数 解题策略：求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式,求出参数的值或取值范围,注意相切和相离均包括两种情况。应用几何法判断两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系． 11.（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·浙江丽水·高二统考期末）若圆与圆外切，则实数（    ） A．－1 B．1 C．1或4 D．4 13.（2024·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______ 14．（2024·高二课时练习）若两圆和圆相交，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 15．（2024·高二课时练习）当为何值时，两圆和. (1)外切； (2)相交； (3)外离. 16.（23-24高二下·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 17．（2022秋·高二课时练习）若圆与圆有公共点，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 18．（2024·安徽·高二校联考期末）已知圆，，，若以线段为直径的圆与圆有公共点，则的值可能为______.（写出一个即可） 19.（23-24高二上·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______ 21．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相外切，则k的取值范围为__________． 22．（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 （三）由圆与圆的位置关系确定圆的方程 23.（2024·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为__________. 24.（2024·河南焦作·统考模拟预测）已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为_________． 25.（2024·江西宜春·高二统考阶段练习）已知圆 (1)若直线过定点，且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程． 知识点2 圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 联立作差得到：即为两圆共线方程 2、求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 题型二 与圆相交有关的问题 （一）求两圆的交点坐标 解题策略：判断两圆相交并求交点坐标时，必须求方程组的解，这样用方程组解的个数判断两圆位置关系可起到一举两得的效果． 26．（2024·高二课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 27.（2022·高二课时练习）圆与圆的交点坐标为___________. 28．（2024·高二课时练习）求圆与圆的交点的坐标． 29.（2024·全国·高三专题练习）经过点以及圆与交点的圆的方程为______． 30.（2024·高二课时练习）已知圆和圆，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程． 31．（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是______. 32．（2024·辽宁丹东·高二统考期末）已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C．24 D． （二）圆系方程的应用 解题策略：圆系方程 (1)过两已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 当λ＝－1时，变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线． (2)过直线与圆交点的圆系方程 设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程． 33．（2022秋·高二单元测试）求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程. 34.（2024高三·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 35.（23-24高二·全国·课堂例题）求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程． （三）求两圆公共弦方程 解题策略：求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程 36．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）圆与圆的公共弦所在直线方程为___________. 37．（2022秋·高二课时练习）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（    ） A． B． C． D． 38.（2024·天津和平·耀华中学校考二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为______． 39．（2024·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______. 40．（2022秋·高二课时练习）已知过圆外一点做圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 41.（23-24高二上·广东东莞·期中）圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 （4） 求两圆公共弦长 解题策略：公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 42.（2024·天津滨海新·统考三模）已知圆：与圆：，若两圆相交于，两点，则______ 43．（2024·高二课时练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦长； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 44．（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知圆C的圆心为，且与直线相切． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆的公共弦的长． 45．（2021秋·高二课时练习）若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为________；线段AB的长为________． 46.（2024·湖南张家界·高二统考期末）已知两圆，． (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 47．（2021秋·高二课时练习）圆与圆的公共弦长的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 48．（2024·河南·统考二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 49．（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（    ） A． B． C．或1 D． 50.（2024·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知圆与圆有两个公共点、，且，则实数（    ） A． B． C． D． 知识点3 圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 题型三 两圆的公切线问题 解题策略:1.处理两圆相切问题的两个步骤： (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问题． 2.两圆相切时常用的性质 (1)设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则两圆相切} (2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)． （一）圆的公切线条数 解题策略：判断两圆公切线的条数的基本思路先判断两圆的位置关系,再由位置关系确定公切线的条数:(1)两圆内切时,有1条公切线;(2)两圆外切时,有3条公切线;(3)两圆相交时，有2条公切线;(4)两圆内含时，无公切线;(5)两圆外离时，有4条公切线. （1）求公切线条数 51．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 52.（2024·全国·高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 53．【多选】（2024·高一单元测试）已知圆与圆，下列说法正确的是（    ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若分别是圆上的动点，则 54.（2024·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 55．（2024·黑龙江大庆·统考三模）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 （2）由公切线条数求参数 56．（2024·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆和有且仅有一条公切线，则______；此公切线的方程为______ 57．（2022秋·高二课时练习）已知两圆，，当圆与圆有且仅有两条公切线时，则的取值范围________. 58.（2024·河北保定·高二统考期末）若圆与圆恰有两条公共的切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 59.（2024·全国·高三专题练习）若圆与圆有且仅有3条公切线，则=（    ） A．14 B．28 C．9 D． 60.（2024·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．－6 61．（2024·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 62.（2024·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （二）圆的公切线方程 解题策略:在求两圆的公切线时，首先要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解;其次，应注意公切线的几何性质,得出最佳解法. 63．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________. 64．（2024·江西南昌·校联考模拟预测）已知圆与圆，写出圆C和圆E的一条公切线的方程______. 65．（2024·湖南岳阳·统考三模）写出与圆和都相切的一条直线方程____________． 66．【多选】（2022秋·高二单元测试）已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 67.（2024·山东聊城·高二统考期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 68.（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． （三）圆的公切线长 69．【多选】（2024·山东青岛·高二统考开学考试）已知圆，圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．圆与圆公切线的长度为 C．圆与圆公共弦所在直线的方程为 D．圆与圆公共部分的面积为 70．【多选】（2022秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）圆与圆相交于，两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线长为 D．线段的中垂线方程为 71．【多选】（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知与相交于A，B两点，则下列结论正确的是（    ）． A．直线AB的方程为 B．过A，B两点，且过点的圆的方程为 C．与的公切线的长度为 D．以线段AB为直径的圆的方程为 72．（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 73.（2022·高二课时练习）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长． 74.（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，：，及点和. (1)求圆和圆公切线段的长度； (2)在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由. 题型四 圆与圆的最值问题 75．【多选】（2024·高一单元测试）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆公共弦所在直线的方程为 76．【多选】（2024·湖南·校联考二模）已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆外离 B．的最大值为9 C．的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为 77．【多选】（2022秋·山东威海·高二校考阶段练习）已知点，且点P在圆上，C为圆心，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为： C．当最大时，的面积为 D．的面积的最大值为 78．（2024·江西赣州·统考模拟预测）已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（    ） A．1 B． C． D．2 $$2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册) 专题2.5.2 圆与圆的位置关系4种常见考法归类（78题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 圆与圆位置关系的判断及应用 （一）判断圆与圆的位置关系 （二）由圆的位置关系求参数 （三）由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型二 与圆相交有关的问题 （一）求两圆的交点坐标 （二）圆系方程的应用 （三）求两圆公共弦方程 （四）求两圆公共弦长 题型三 两圆的公切线问题 （一）圆的公切线条数 （1）求公切线条数 （2）由公切线条数求参数 （二）圆的公切线方程 （三）圆的公切线长 题型四 圆与圆的最值问题 知识点1 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 （1）几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. （2）代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 3．几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判断方法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判断方法一样，能判断出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判断两圆的位置关系． 题型一 圆与圆位置关系的判断及应用 （1） 判断圆与圆的位置关系 解题策略：圆与圆位置关系的判定 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： ①化成圆的标准方程，写出圆心和半径； ②计算两圆的圆心距d； ③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 1．（2024·福建宁德·高二统考期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心和半径，并计算两圆的圆心距即可判断作答. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 于是， 所以两圆相交. 故选：B 2．（2024·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C: 的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】利用两圆外切的定义判断即可. 【详解】圆是以为圆心，半径的圆， 圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆， 则，=3，所以两圆外切， 故选：. 3.（2024·江苏扬州·高二统考开学考试）圆与圆的位置关系为（    ）． A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】B 【详解】由题意可得， 故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则， 易知，故两圆内切. 故选：B 4.（2024·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【详解】两圆化为标准形式，可得与圆， 可知半径，，于是， 而，故两圆相交， 故选：. 5．（2024·全国·高三专题练习）已知圆的圆心在直线上，点与都在圆上，圆，则与的位置关系是___________. 【答案】相交 【分析】利用待定系数法求得圆的标准方程，求出圆心距，与两圆的半径和、差比较即可得出结论. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，且该圆经过与两点， 列方程组，解得， 即圆的标准方程为，圆心，半径， 又圆，圆心，半径， ∴，又，，而， ∴与的位置关系是相交. 故答案为：相交. 6.（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内含 D．内切 【解题思路】 首先由圆心到直线距离是列式求出的值，进而可得圆心的坐标以及圆的半径，比较两圆圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系即可求解. 【解答过程】圆即圆的圆心半径分别为， 圆的圆心半径分别为， 因为，解得或（舍去）， 从而，所以， 因为， 所以圆M与圆的位置关系是内含. 故选：C. 7．【多选】（2024·江苏南通·高二统考期末）已知圆，则（    ） A．点在圆C内 B．直线与圆C相切 C．圆与圆C相切 D．圆与圆C相切 【答案】BCD 【分析】根据点和圆的位置关系判断A选项，根据圆心与直线距离判断B选项，根据圆心间距离和半径和差比较判断圆圆位置关系判断C,D选项. 【详解】点代入圆可得,点在圆C外，A选项错误； 圆,圆,直线,圆心到直线距离,B选项正确； 圆,圆心,,圆与圆C相外切,C选项正确; 圆,圆心,,圆与圆C相内切,D选项正确. 故选:BCD. 8．（2024·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）平面直角坐标系中，，，动点满足，则使为等腰三角形的点个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，根据可得动点的轨迹方程为圆，再结合为等腰三角形分析即可求解. 【详解】设，由， 得， 整理得，记为圆 又，为等腰三角形， 则有或. 因为圆与圆相交，故满足点有2个； 因为圆与圆相交，故满足点有2个， 故使为等腰三角形的点共有4个. 故选：D. 9．【多选】（2024·湖南娄底·统考模拟预测）已知圆M：，圆N：，直线l：，则下列说法正确的是（    ） A．圆N的圆心为 B．圆M与圆N相交 C．当圆M与直线l相切时，则 D．当时，圆M与直线l相交所得的弦长为 【答案】BD 【分析】写出圆的标准方程确定圆心坐标和半径，判断与两圆半径的关系判断A、B；再由点线距离及相交弦长公式判断C、D. 【详解】由题设，，则且半径， ，则且半径，A错； 所以，即两圆相交，B对； 到直线l的距离，若圆M与直线l相切，则， 所以或，C错； 当时，即圆M与直线l相交，相交弦长为，D对. 故选：BD 10．（2024·全国·高二专题练习）已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】设，轨迹可得点P的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数. 【详解】设点，则， 且，由，得 ， 即， 故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆， 则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为， 有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个. 故选：B. （2） 由圆的位置关系求参数 解题策略：求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式,求出参数的值或取值范围,注意相切和相离均包括两种情况。应用几何法判断两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系． 11.（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【解答过程】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 12．（2024·浙江丽水·高二统考期末）若圆与圆外切，则实数（    ） A．－1 B．1 C．1或4 D．4 【答案】D 【分析】由两圆的位置关系计算即可. 【详解】由条件化简得，即两圆圆心为， 设其半径分别为，，所以有. 故选：D 13.（2024·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______ 【答案】2 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 两圆的圆心距， 两圆内切，，可得， 所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2． 故答案为：2． 14．（2024·高二课时练习）若两圆和圆相交，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】圆与圆相交，则圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，解不等式． 【详解】圆与圆相交， 两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和， 即，所以. 解得或. 故选：B 15．（2024·高二课时练习）当为何值时，两圆和. (1)外切； (2)相交； (3)外离. 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】（1）化两圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出两圆的圆心距，由列式，即可求解. （2）由列不等式组，即可求出的范围. （3）由列不等式，即可求出的范围. 【详解】（1）设圆，半径为，得， 圆心，. ，半径为，得，圆心，. 圆心距， 因为两圆外切，则，所以， 解得或. （2）因为两圆相交，则， 即，所以，解得或. （3）因为两圆外离，则，即 ， 所以，解得或. 16.（23-24高二下·浙江·开学考试）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用圆和圆的位置关系求解参数即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由题意得圆与圆只有一个交点， 可得两圆内切或外切，易得圆心距，半径差与和分别为或， 当两圆内切时，解得或， 当两圆外切时，无解，结合选项 故选：D 17．（2022秋·高二课时练习）若圆与圆有公共点，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆之间的位置关系，由圆心距和半径之间的关系即可求解. 【详解】由得， 两圆圆心之间的距离为＝. ∵两圆有公共点，∴， ∴， 即，∴， 故选：C. 18．（2024·安徽·高二校联考期末）已知圆，，，若以线段为直径的圆与圆有公共点，则的值可能为______.（写出一个即可） 【答案】1（2,3均可）答案不唯一 【分析】根据题意，由已知利用圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】由题意得，圆与圆有公共点， ∴，∴，且， 解得；故，2，3均可. 故答案为：1（2,3均可） 19.（23-24高二上·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两圆的位置关系列不等式求解即可. 【解答过程】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 因为恰有两个公共点,所以两圆相交，所以， 解得或，即的取值范围是. 故选：A. 20．（2024·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______ 【答案】2 【分析】计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差，结合基本不等式求解最小值即可． 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 两圆的圆心距， 两圆内切，，可得， 所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2． 故答案为：2． 21．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相外切，则k的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据题意，由圆C的圆心到直线的距离不大于两半径之和求解. 【详解】解：因为直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相外切， 所以圆C的圆心到直线的距离不大于两半径之和， 即，化简得， 解得， 故答案为： 22．（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共交点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【详解】由，得点P在圆上，故点P在圆上，又点P在圆C上，所以，两圆有交点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为1， 所以，又，所以， 解得，所以a的最小值为4. 故选：C. （三）由圆与圆的位置关系确定圆的方程 23.（2024·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为__________. 【答案】 【详解】如图所示： 过点和的直线方程为，以点和点为端点的线段的垂直平分线为. 由得，则圆的半径， 所以圆的方程为. 故答案为： 24.（2024·河南焦作·统考模拟预测）已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为_________． 【答案】 【详解】解：依题意可知圆心的横坐标为，半径为， 故圆的标准方程为. 故答案为：. 25.（2024·江西宜春·高二统考阶段练习）已知圆 (1)若直线过定点，且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）圆 化为标准方程为， 所以圆C的圆心为，半径为 ①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意． ②若直线的斜率存在，设直线的方程为即 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2， 所以，即， 解得，所以直线方程为 综上，所求直线的方程为或 （2）依题意，设 又已知圆C的圆心为，半径为2， 由两圆外切，可知， 所以， 解得或所以或， 所以所求圆D的方程为或 知识点2 圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 联立作差得到：即为两圆共线方程 2、求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 题型二 与圆相交有关的问题 （一）求两圆的交点坐标 解题策略：判断两圆相交并求交点坐标时，必须求方程组的解，这样用方程组解的个数判断两圆位置关系可起到一举两得的效果． 26．（2024·高二课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案. 【详解】由,可得，即， 代入，解得或， 故得或, 所以两圆的交点坐标为和, 故选:C 27.（2022·高二课时练习）圆与圆的交点坐标为___________. 【答案】 【详解】联立两个圆的方程：，方程带入，先得到 ，在联立，得到，解得或，对应的值为或，于是得到两圆交点：. 故答案为：. 28．（2024·高二课时练习）求圆与圆的交点的坐标． 【答案】、 【分析】联立两圆方程可得，将其代入其中一个圆的方程中求出点坐标. 【详解】由题设，，相减可得， 所以，解得或， 当时，；当时，； 所以交点坐标为、. 29.（2024·全国·高三专题练习）经过点以及圆与交点的圆的方程为______． 【答案】 【详解】联立，整理得， 代入，得，解得或， 则圆与交点坐标为， 设经过点以及的圆的方程为, 则，解得， 故经过点以及圆与交点的圆的方程为， 故答案为： 30.（2024·高二课时练习）已知圆和圆，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程． 【答案】 【详解】设两圆交点为A、B，则以AB为直径的圆就是所求的圆． 联立，可得直线AB的方程为． 又圆M的圆心，圆N的圆心 所以两圆圆心连线的方程为． 解方程组，可得圆心坐标为． 圆心到直线AB的距离为，圆M的半径为， 弦AB的长为，则所求圆的半径为， 所以所求圆的方程为． 31．（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是______. 【答案】 【分析】由两圆的方程得两圆心坐标，两圆心所在直线的方程即为所求直线方程， 【详解】圆方程为，圆方程为， 则圆心分别为，，两圆相交于两点，则线段AB的垂直平分线即为直线， ，则直线的方程为，即， 故答案为： 32．（2024·辽宁丹东·高二统考期末）已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C．24 D． 【答案】A 【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由和可知，则四边形的面积，计算即可. 【详解】圆，圆心坐标为，半径， 圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径， 圆与圆都过点，则，如图所示， 又，∴，由对称性可知，， ，，则四边形的面积. 故选：A （二）圆系方程的应用 解题策略：圆系方程 (1)过两已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 当λ＝－1时，变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线． (2)过直线与圆交点的圆系方程 设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程． 33．（2022秋·高二单元测试）求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】 【分析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线的方程，从而求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 则， 即，所以圆心坐标为， 把圆心坐标代入得，解得， 所以所求圆的方程为． 34.（2024高三·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可. 【解答过程】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 35.（23-24高二·全国·课堂例题）求经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程． 【解题思路】法一：联立直线与圆的方程求交点，根据三点在圆上，应用待定系数法求圆的方程；法二：设所求圆的方程为，由点在圆上求得，即可得方程. 【解答过程】法一：解方程组，得或， ∴直线与圆交于点． 设所求圆的方程为()， 将A，B，P的坐标代入，得，解得，满足， 故所求圆的方程为． 法二：设所求圆的方程为， 又在圆上， 则，解得， 故所求圆的方程为，即．    （三）求两圆公共弦方程 解题策略：求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程 36．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）圆与圆的公共弦所在直线方程为___________. 【答案】 【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则，则两圆相交， 故将两圆方程相减可得：，即， 即圆与圆的公共弦所在直线方程为， 故答案为： 37．（2022秋·高二课时练习）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆方程相减即可得公共弦的方程. 【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0. 故选：D. 38.（2024·天津和平·耀华中学校考二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为______． 【答案】 【详解】联立，两式相减得. 故答案为： 39．（2024·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______. 【答案】 【分析】求出，得到圆，两圆相减得到相交弦方程. 【详解】圆：的圆心坐标为， 因为圆过圆的圆心，所以， 所以，所以：， 两圆的方程相减可得相交弦方程为. 故答案为：. 40．（2022秋·高二课时练习）已知过圆外一点做圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的特征可知所在的直线为圆和以的中点为圆心,以为直径的圆的公共弦所在的直线方程， 【详解】根据题意得所在的直线为圆和以的中点为圆心,以为直径的圆的公共弦所在的直线方程， 因为，所以圆， 两圆相减得所在的直线方程为. 故选：A. 41.（23-24高二上·广东东莞·期中）圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】将两个圆的方程相减，可得两圆的公共弦的方程，求得弦所在直线与坐标轴的截距，即可求得答案. 【解答过程】由题意得圆的圆心为，半径为1， 圆的圆心为，半径为2， 则两圆圆心距为，而，即圆与圆相交， 故将和相减得， 即圆与圆的公共弦所在直线方程为， 令，则；令，则， 故与两坐标轴所围城的三角形面积为， 故选：C. （4） 求两圆公共弦长 解题策略：公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 42.（2024·天津滨海新·统考三模）已知圆：与圆：，若两圆相交于，两点，则______ 【答案】 【详解】圆的方程为，即①， 又圆：②， ②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为 圆的圆心到直线的距离， 所以． 故答案为: . 43．（2024·高二课时练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦长； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程. 【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得， 所以圆的圆心到直线的距离为， 则，解得， 所以公共弦长为. （2）解法一： 设过两圆的交点的圆为， 则； 由圆心在直线上，则，解得， 所求圆的方程为，即. 解法二： 由（1）得，代入圆， 化简可得，解得； 当时，；当时，； 设所求圆的圆心坐标为， 则，解得； 所以； 所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 44．（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知圆C的圆心为，且与直线相切． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆的公共弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求得圆的半径，即可求得答案； （2）将两圆方程相减，求出两圆的公共弦方程，根据弦长、弦心距以及圆的半径之间的关系即可求得答案. 【详解】（1）由题意得圆C的半径为， 故圆C的方程为； （2）圆和的圆心距为， 而，即两圆相交， 将和相减得， 圆的圆心到的距离为， 故两圆的公共弦长为. 45．（2021秋·高二课时练习）若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为________；线段AB的长为________． 【答案】 x＝±1 4 【分析】连接OO1，记AB与OO1的交点为C，利用勾股定理和等面积法，求出，进而求出，根据，求出，进而联立求出直线的方程. 【详解】连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝， ∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4． 由|OO1|＝5，得，所以，联立可得 ，解得 直线AB的方程为x＝±1． 故答案为：①；②4. 46.（2024·湖南张家界·高二统考期末）已知两圆，． (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 【答案】(1) (2)两圆的公共弦所在直线的方程为，两圆的公共弦的长为 【详解】（1）因为圆的标准方程为， 所以两圆的圆心分别为，，半径分别为，. 当两圆外切时，圆心距为半径之和，则，结合， 解得； （2）当时，圆的一般方程为 两圆一般方程相减得：， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 圆圆心到的距离为 故两圆的公共弦的长为． 47．（2021秋·高二课时练习）圆与圆的公共弦长的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】将两圆转化成标准方程，根据标准方程得出两圆圆心均在直线上，再利用几何关系即可求出结果. 【详解】由，得，圆心，半径； 由，得，圆心，半径， 所以两圆圆心均在直线上，半径分别为1和， 如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆的直径，即最大值为2. 故选：D. 48．（2024·河南·统考二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两圆方程相减得到直线的方程为，然后再根据公共弦的长为即可求解. 【详解】将两圆方程相减可得直线的方程为， 即， 因为圆的圆心为，半径为，且公共弦的长为， 则到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为， 故选：D. 49．（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（    ） A． B． C．或1 D． 【答案】D 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆圆心与半径表达式可得答案. 【详解】与两式相减得，即公共弦所在直线方程. 圆方程可化为，可得圆心，半径.则圆心到的距离为， 半弦长为，则有，解得或（舍），此时 故选：. 50.（2024·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知圆与圆有两个公共点、，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于圆，有，可得， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为，且， 因为两圆有两个公共点、，则， 即， 将两圆方程作差可得， 因为，则直线过圆心，所以，，解得， 满足. 因此，. 故选：C. 知识点3 圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 题型三 两圆的公切线问题 解题策略:1.处理两圆相切问题的两个步骤： (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问题． 2.两圆相切时常用的性质 (1)设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则两圆相切} (2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)． （一）圆的公切线条数 解题策略：判断两圆公切线的条数的基本思路先判断两圆的位置关系,再由位置关系确定公切线的条数:(1)两圆内切时,有1条公切线;(2)两圆外切时,有3条公切线;(3)两圆相交时，有2条公切线;(4)两圆内含时，无公切线;(5)两圆外离时，有4条公切线. （1）求公切线条数 51．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判断圆与圆的位置关系，从而可确定两圆的公切线条数. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为5； 圆的圆心坐标为，半径为3， 所以两圆的圆心距为， 因为，所以两圆相交， 所以两圆的公切线有2条. 故选：B. 52.（2024·全国·高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】根据题意，圆：，即， 其圆心为，半径； 圆：，即， 其圆心为，半径， 两圆的圆心距，所以两圆相外切， 其公切线条数有3条． 故选：C． 53．【多选】（2024·高一单元测试）已知圆与圆，下列说法正确的是（    ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若分别是圆上的动点，则 【答案】BD 【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可. 【详解】由已知得圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ， 故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误； 做差可得与相交弦的方程为 到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误； 若分别是圆上的动点，则，故D正确. 故选：BD 54.（2024·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【详解】圆：的圆心为，半径为a， 所以圆心到直线的距离为，解得或． 因为，所以. 所以圆：的圆心为，半径为． 圆：的标准方程为， 圆心坐标为，半径， 圆心距，所以两圆相内切． 所以两圆的公切线只有1条. 故选：B． 55．（2024·黑龙江大庆·统考三模）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】由已知可推得，直线是圆与圆的公切线.根据两圆的圆心、半径，推得两圆的位置关系，即可得出答案. 【详解】由已知可得，圆心，半径. 由点到直线的距离是2，所以直线是以为圆心，为半径的圆的切线， 又直线是圆的切线， 所以，直线是圆与圆的公切线. 因为， 所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条， 即满足条件的直线有4条. 故选：D. （2）由公切线条数求参数 56．（2024·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆和有且仅有一条公切线，则______；此公切线的方程为______ 【答案】 1 【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求，联立圆的方程求出切点，根据圆的切线性质得出斜率即可求解. 【详解】如图，    由题意得与相内切，又， 所以， 所以，解得， 所以，． 联立，解得 所以切点的坐标为， 故所求公切线的方程为，即． 故答案为：1； 57．（2022秋·高二课时练习）已知两圆，，当圆与圆有且仅有两条公切线时，则的取值范围________. 【答案】 【分析】根据两圆相交即可利用圆心距与半径的关系求解. 【详解】若圆C1与圆C2有且仅有两条公切线时，则两圆相交， 圆心C1，半径R＝2，圆C2，半径r， 则， 若两圆相交，则满足，即, 得， 故答案为： 58.（2024·河北保定·高二统考期末）若圆与圆恰有两条公共的切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 所以，半径， 由，所以，半径为， 因为圆与圆恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交， 于是有，而， 所以m的取值范围为， 故选：A 59.（2024·全国·高三专题练习）若圆与圆有且仅有3条公切线，则=（    ） A．14 B．28 C．9 D． 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为圆与圆有且仅有3条公切线， 所以两圆外切， 则， 即，解得. 故选：A. 60.（2024·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．－6 【答案】A 【详解】由已知可得，圆的方程可化为，圆心为，半径； 圆的方程可化为，圆心为，半径. 因为圆与圆恰有三条公切线，所以两圆外切. 所以有，即，所以. 又，当且仅当时，等号成立， 所以. 故选：A. 61．（2024·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定两圆圆心和半径，根据公切线得到两圆外切，得到，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】，即，圆心，； ，即，圆心，半径； 两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故， 即， . 当且仅当，即，时等号成立. 故选：A 62.（2024·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆：与：恰好有4条公切线，所以圆与外离，所以，解得或，即实数的取值范围是. 故选：D. （二）圆的公切线方程 解题策略:在求两圆的公切线时，首先要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解;其次，应注意公切线的几何性质,得出最佳解法. 63．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________. 【答案】（答案不唯一，或均可以） 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，圆心距为，所以两圆外切， 如图，有三条切线，易得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即，则到的距离，解得（舍去）或，所以； 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上取点，设其关于的对称点为，则， 解得，则， 所以直线，即， 综上，切线方程为或或. 故答案为：（答案不唯一，或均可以） 64．（2024·江西南昌·校联考模拟预测）已知圆与圆，写出圆C和圆E的一条公切线的方程______. 【答案】或或. 【分析】设切线方程为，根据圆心到直线的距离均为1求解方程. 【详解】设圆的公切线为，，或 代入求解得：或 所以切线为：或或 故答案为：或或. 65．（2024·湖南岳阳·统考三模）写出与圆和都相切的一条直线方程____________． 【答案】或中任何一个答案均可 【分析】先判断两圆的位置关系，可知公切线斜率存在，方程可设为，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则， 所以两圆外离， 由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在， 设公切线方程为，即， 则有， 解得或或或 所以公切线方程为或. 故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可） 66．【多选】（2022秋·高二单元测试）已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】在同一坐标系内画出两圆图象，由两圆相离可知共有4条切线，再利用对称性设出直线方程，由点到直线距离公式即可求得切线方程. 【详解】根据题意可知，两圆心关于原点对称， 在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：    显然，圆心距，即两圆外离，共有4条切线； 又两圆心到轴的距离都等于其半径，所以轴是其中一条公切线，即A正确； 利用对称性可知，其中一条切线过原点，设其方程为， 又到切线的距离为1，即，解得或； 当时，切线即为轴，当时，切线方程为，即，B正确； 由对称性可知，切线与直线平行， 易知，所以直线的方程为， 可设的方程分别为， 由两平行线间距离公式可得，解得， 即切线的方程分别为，； 整理可得两切线方程为和，故C正确，D错误； 故选：ABC 67.（2024·山东聊城·高二统考期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为， 因为圆与圆相内切，所以，即，故. 由，可得， 即与的公切线方程为. 故选：D 68.（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 易知，设上一点，利用点关于直线对称的问题求出方程，结合圆与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】， 所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分， 又与的图形关于直线对称， 设上一点，该点关于直线对称的对称点为， 则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为， 所以，解得，即， 代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图， 易知与的公切线，所以，结合图，设， 所以点到直线的距离为，解得， 所以与的公切线为. 故选：B （三）圆的公切线长 69．【多选】（2024·山东青岛·高二统考开学考试）已知圆，圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．圆与圆公切线的长度为 C．圆与圆公共弦所在直线的方程为 D．圆与圆公共部分的面积为 【答案】BCD 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，B，两圆方程作差即可得到公共弦方程，从而判断C，求出两圆圆心到公共弦的距离，从而取出公共部分的面积，从而判断D. 【详解】解：因为圆，圆， 所以圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以，故圆与圆相交，即A错误； 因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为，故B正确 将两圆方程作差得， 所以两圆公共弦所在直线的方程为，故C正确； 因为的圆心为，半径， 所以到直线的距离为， 所以公共弦长为， 又圆心到直线的距离为， 所以圆与圆公共部分的面积为，故D正确. 故选：BCD 70．【多选】（2022秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）圆与圆相交于，两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线长为 D．线段的中垂线方程为 【答案】ACD 【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D正确， 故选：ACD 71．【多选】（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知与相交于A，B两点，则下列结论正确的是（    ）． A．直线AB的方程为 B．过A，B两点，且过点的圆的方程为 C．与的公切线的长度为 D．以线段AB为直径的圆的方程为 【答案】AD 【分析】由圆与圆的位置关系，直线方程，圆的方程对选项逐一判断， 【详解】由解得或， 即，， 对于A，直线AB的方程为，故A正确， 对于B，设过A，B两点，且过点的圆的方程， 得，解得， 圆的方程为，故B错误， 对于C，的圆心为，半径为，的圆心为，半径为2， 两圆半径相等，则与的公切线的长度为，故C错误， 对于D，中点为，，则以线段AB为直径的圆的方程为， 故选：AD 72．（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【答案】(1)两圆相交，，； (2). 【分析】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长； （2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解. 【详解】（1）圆A：，圆：， 两圆心距， ∵， ∴两圆相交， 将两圆方程左、右两边分别对应相减得：， 此即为过两圆交点的直线方程. 设两交点分别为、，则垂直平分线段， ∵A到的距离， ∴. （2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形. ∴， ∴. 73.（2022·高二课时练习）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长． 【答案】或，8 【详解】，，，． 设内公切线与连心线交于点，则在轴上且． 设，可得，． 设内公切线所在直线方程为，即． 由，得． 所以内公切线所在直线方程为或． 内公切线的长为． 74.（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，：，及点和. (1)求圆和圆公切线段的长度； (2)在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由. 【解题思路】（1）将圆化为标准方程，得到圆心和半径，根据同侧异侧两种情况计算公切线段长度得到答案. （2）存在满足条件，根据题意化解得到，根据两圆的位置关系得到答案. 【解答过程】（1）圆：，即， ， 圆：，即， ，， 圆心距为，故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同， 当两圆在公切线同侧时：. 当两圆在公切线异侧时：. 综上所述，公切线段长为或. （2）假设存在满足条件，即， 化简得到：，圆心为，半径. ，故两圆相交，有两个交点. 故点P的个数为2. 题型四 圆与圆的最值问题 75．【多选】（2024·高一单元测试）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆公共弦所在直线的方程为 【答案】AC 【分析】根据圆心距结合两圆半径可判断两圆的位置关系，故可判断D的正误，求出的最值后可判断AB的正误，利用公式可求连心线的斜率，故可判断C的正误. 【详解】根据题意，圆：，其圆心，半径， 圆：，即，其圆心，半径， 则圆心距，两圆外离，不存在公共弦，故D不正确； 的最小值为，最大值为， 故A正确，B不正确； 对于C，圆心，圆心， 则两个圆心所在直线斜率，故C正确， 故选：AC. 76．【多选】（2024·湖南·校联考二模）已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆外离 B．的最大值为9 C．的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为 【答案】ABC 【分析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，再逐项分析. 【详解】圆的圆心坐标，半径， 圆，即的圆心坐标，半径， 所以圆心距， 因为，所以两圆外离．故A正确； 因为在圆上，在圆上，所以，故B、C正确； 因为圆心到直线的距离，所以不是两圆公切线，故D错误； 故选：ABC． 77．【多选】（2022秋·山东威海·高二校考阶段练习）已知点，且点P在圆上，C为圆心，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为： C．当最大时，的面积为 D．的面积的最大值为 【答案】BD 【分析】由求得最大值判断A，求出以AC为直径的圆的方程与圆C的方程相减得公共弦所在直线方程，判断B，由圆心在直线上，确定当时，直线距离最大为圆半径，从而求得的面积的最大值判断D，当最大时，是圆的切线，不可能，这样可判断C． 【详解】由已知圆心为，半径为， ，，即在圆外，在圆内， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时等号成立，所以最大值是，A错； 中点为，圆方程为， 此方程与圆方程相减得并化简得，即为两圆公共弦所在直线方程，B正确； 直线的方程为，即，圆心在直线上，到直线的距离的最大值等于圆半径， ，所以的面积的最大值为，D正确； 当的面积为时，，而最大时，是圆的切线，此时，不可能有，因此C错误． 故选：BD． 78．（2024·江西赣州·统考模拟预测）已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合等腰三角形性质确定顶角最大的条件，再借助直角三角形求解作答. 【详解】依题意，在中，，如图， 显然，是锐角，，又函数在上递增， 因此当且仅当公共弦最大时，最大，此时弦为圆的直径， 在中，，所以. 故选：D $$