5.3 实际问题与一元一次方程（二） 课件-2024-2025学年人教版七年级数学上册

5.3 实际问题与一元一次方程（二） （工程问题+ 积分问题+行程问题） 列方程解应用题的基本思路为： 审、设、列、解、检验、答． （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 工程问题 工程问题是典型的a=bc型数量关系， 可以知二求一，三个基本量及其关系为： 工作总量＝工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 注意： 工作总量往往在题目条件中并不会直接给出， 我们可以设工作总量为单位1。 例题一 某医疗器械厂计划在规定时间内完成一批防护服的生产任务，如果每天生产防护服300套，那么就比原计划生产任务少生产100套；如果每天生产350套，那么可提前一天完成任务，并且还超过原计划生产任务50套，求这批防护服原计划生产任务是多少？ 【详解】解：设这批防护服原计划生产任为x套， 依题意得： 解得：x＝3100， 答：这批防护服原计划生产任为3100套． 变式一 将一段长为1.2千米河道的整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用时60天．已知甲队每天整治24米，乙队每天整治16米，求甲、乙两队分别整治河道多少米？ 【详解】 解：设甲整治河道为x米，则乙整治河道为（1200－x）米， 由题意得， 解得，x＝720， 1200－x＝480（米）， 答：甲、乙两队分别整治河道720米、480米． 变式二 某项工程，甲队单独干需10小时完成，乙队单独干则需20小时完成，丙队单独干则需30小时完成．开始时三队合作，一段时间后甲队有事离开，剩余工程由乙、丙两队合作完成，此项工程从开始到工作完成共用6小时，问甲队实际做了多少小时？ 【详解】解：设甲队实际做了x小时,根据题意，得  解得 x=5 答：甲队实际做5小时． 变式三 某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲 组每天修理桌凳16套，乙组每天修理桌凳比甲多8套，甲组单独修完这些桌凳比乙组单独修完多用20天，问该中学库存多少套桌凳？ 解：设该中学库存x套桌凳，甲需要天，乙需要天， 由题意得：-=20 解方程得：x=960． 经检验x=960是所列方程的解， 答：该中学库存960套桌凳； 比赛积分问题 比赛积分问题的关键是要了解比赛的积分规则，规则不同，积分方式不同，常见的数量关系有： 每队的胜场数＋负场数+平场数＝这个队比赛场次; 得分总数+失分总数＝总积分; 注意： 失分常用负数表示，有些时候平场不计分，另外如果设场数或者题数为x，那么x最后的取值必须为正整数 例题一 很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数． 【分析】设该队获胜x场，则平（11−x）场，利用总得分＝3×获胜场次数＋1×平的场次数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该队获胜x场，则平（11−x）场， 依题意得：3x＋（11−x）＝25，解得：x＝7， ∴11−x＝11−7＝4， 答：该队获胜7场． 变式一 某年全国男子篮球联赛某赛区有圣奥（山西）、香港、悦达（南京军区）、济源（河南）、三沟（辽宁）、广西、丰绅（黑龙江）等球队参加，积分情况如下： (1)观察上面表格，请直接写出篮球联赛胜一场积多少分，负一场积多少分； (2)若设负场数为m，请用含m的式子表示某一个队的总积分； (3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的4倍吗？说明理由． （1）解：由三沟队的积分为12分，负了12场，则负一场的积分为：12÷12＝1（分）， 再由悦达队积分为23分，负了1场，胜了11场，则其胜场的总积分为：23−1−22（分），则胜一场的积分为：22÷11＝2（分）； 答：胜一场积2分，负一场积1分． (2)解：若设负场数为m，则胜场数为（12−m），负场积分为m，胜场积分为2（12−m），因此总积分为：m＋2（12−m）＝24−m． (3)解：设这个队胜了x场，则负了（12−x）场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分的4倍，则得方程为： 2x＝4（12−x）， 解得：x＝8， 12−x＝4， ∴这个队的胜场总积分能等于负场总积分的4倍，此时，胜场数为8，负场数为4． 球队名称 悦达 香港 济源 圣奥 丰绅 广西 三沟 比赛场次 12 12 12 12 12 12 12 胜场 11 9 8 6 5 3 0 负场 1 3 4 6 7 9 12 积分 23 21 20 18 17 15 12 变式二 聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）：        聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决： (1)从表中可以看出，负一场积 　   　分，胜一场积　   　分； (2)某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由． 校篮球赛成绩公告 比赛场次 22 22 22 校篮球赛成绩公告 胜场 12 14 0 校篮球赛成绩公告 负场 10 8 22 校篮球赛成绩公告 积分 34 36 22 解 ：由题意可得， 负一场积分为：22÷22=1（分）， 胜一场的积分为：（34-10*1）÷12=2（分） 故答案为：1，2； (2) 设胜场x场，负场（22-x)场， 由题知， 解得．x=22/3 ∴不可能胜场总积分能等于负场总积分． 变式三 篮球赛单循环赛一般按积分确定名次．胜一场得2分，负一场得1分．某次篮球联赛中，太阳队目前的战绩是7胜5负，后面还要比赛13场．若太阳队的最终得分为40分，求太阳队一共胜了几场？ 行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 例题一 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2个小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/时，则船在静水中的速度是_____千米/时． 【分析】设船在静水中的速度是x，则顺流时的速度为（x+3）km/h，逆流时的速度为（x-3）km/h，根据往返的路程相等，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设船在静水中的速度是x，则顺流时的速度为（x+3）km/h，逆流时的速度为（x-3）km/h， 由题意得，2（x+3）=2.5（x-3）， 解得：x=27， 即船在静水中的速度是27千米/时． 故答案为27． 变式一 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为__． 【分析】设良马x天能够追上驽马，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，即可得出关于x的一元一次方程. 【详解】解：设良马x天能够追上驽马． 根据题意得：240x=150×（12+x）=150x+12×150. 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，列出关于x的一元一次方程． 变式二 青藏铁路是中国新世纪四大工程之一，是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，青藏铁路格尔木至拉萨段全钱总里程约为1140km，其中有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段和非冻土地段的行驶速度分别是100km/h和120km/h，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5h，那么冻土地段约有多少千米？（结果精确到个位）        变式三 一个通信员需要在规定时间内把信件送到某地．若通信员每小时走15 km，则早到24分钟；若通信员每小时走12 km，则迟到15分钟．规定时间是多少小时？他去该地的路程有多远？ 总结 ： 列方程解应用题的基本思路为： 审、设、列、解、检验、答． 配套问题 （1）设求知数x （2）根据未知数列式； （3）求出配套数量的最小公倍数； （4）使用最小公倍数除以各配套数，再相乘列等式； （5）求解未知数； （6）汇总：解——设——列式——求最小公倍数——列等式——求得未知数并答 工程问题 工程问题是典型的a=bc型数量关系， 可以知二求一，三个基本量及其关系为： 工作总量＝工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 注意： 工作总量往往在题目条件中并不会直接给出， 我们可以设工作总量为单位1。 比赛积分问题 比赛积分问题的关键是要了解比赛的积分规则，规则不同，积分方式不同，常见的数量关系有： 每队的胜场数＋负场数+平场数＝这个队比赛场次; 得分总数+失分总数＝总积分; 注意： 失分常用负数表示，有些时候平场不计分，另外如果设场数或者题数为x，那么x最后的取值必须为正整数 行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 课后作业一： 中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度． 【分析】设高铁的速度，再表示出普通列车的速度，然后根据高铁行驶的路程+40=普通列车行驶的路程列出方程，再求出解即可． 【详解】解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为(x-200)km/h， 由题意得：x+40=3.5(x-200)， 解得：x=296. 答：高铁的平均速度为296 km/h． 课后作业一： 某商人一次卖出两件商品．一件赚了15%，一件赔了15%，卖价都是1955元，在这次买卖过程中，商人赔了还是赚了?赔了或者赚了多少钱？ 解：设赚了15%的商品的成本为x元，则x（1＋15%）＝1955，解得x＝1700（元）， 赔了15%的商品的成本为y元，则y（1－15%）＝1955，解得y＝2300（元）， 所以两件商品的总成本为1700元＋2300元＝4000元， 而4000元－2×1955元＝90元， 所以在这次买卖过程中，商人赔了90元． 课后作业二： 一项工程，甲工程队单独做20天完成，每天需费用160元；乙工程队单独做30天完成，每天需费用100元． （1）若由甲、乙两个工程队共同做6天后，剩余工程由乙工程队单独完成，求还需做几天； （2）由于场地限制，两队不能同时施工．若先安排甲工程队单独施工完成一部分工程，再由乙工程队单独施工完成剩余工程，预计共付工程总费用3120元，问甲、乙两个工程队各做了几天？ 课后作业三： 如表是某次篮球联赛积分榜： 【解析】（1）设胜一场积x分， ∵前进队胜10场， ∴前进队胜场的得分为：10x分， 又∵前进队的总积分为24分， ∴前进队负4场的总积分为：（24－10x）分， ∴负一场的积分为：（24－10x）分， ∵光明队胜9场，负5场，积23分， ∴9x＋5（24－10x）＝23， 解得：x＝2， ∴（24－10x）（24－10×2）＝1（分）， 答：由积分榜可得：负一场积1分，胜一场积2分． 故答案为：1；2． （1）由积分榜可得：负一场积　　分，胜一场积　　分； （2）某队本次比赛后胜场总积分能等于负场总积分吗？请用一元一次方程知识给予验证．