第10讲 二次函数与一元二次方程 （2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第10讲 二次函数与一元二次方程 （2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点2．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 题型强化 题型一．抛物线与x轴的交点 1．（2023秋•荔城区校级期末）已知抛物线与轴的交点为和，点，，，是抛物线上不同于，的两个点，记△的面积为，△的面积为，则下列结论正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（2024•商丘模拟）若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为　　． 3．（2024•鄄城县一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点和点的坐标； （3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标． 题型二．图象法求一元二次方程的近似根 4．（2023秋•沭阳县期末）下表示用计算器探索函数时所得的数值： 0 0.25 0.5 0.75 1 1.31 3 则方程的一个解的取值范围为　　 A． B． C． D． 5．（2024•硚口区模拟）抛物线，，是常数，经过点，其中．下列结论：①；②关于的一元二次方程一定有一个根在到0之间；③当时，随的增大而增大；④分式的值小于2．其中正确的结论是 　　（填写序号）． 6．（2023秋•林州市期中）已知：由函数的图象知道，当时，，当时，，所以方程有一个根在和0之间． （1）参考上面的方法，求方程的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程有一个根在0和1之间，求的取值范围． 分层练习 一、单选题 1．抛物线y=x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为(　　) A．(1，0) B．(0，1) C．(0，0) D．(0，2) 2．将二次函数的图象向上平移，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，则平移的距离为（    ） A．1个单位长度 B．2个单位长度 C．3个单位长度 D．4个单位长度 3．下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值如下图，那么方程的一个根可能是（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A．0.03 B．1.19 C．1.22 D．1.31 4．二次函数图象如图，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（    ）    A．②③④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 5．直线与抛物线的交点个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．互相重合的两个 6．下列关于抛物线的说法正确的是（　　） A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点 7．二次函数的图象与x轴交于，则关于x的方程的解为（    ） A．1，3 B．1， C．，3 D．1， 8．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴负半轴交于点，连接．将向左上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 9．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(－3，－6)，有以下结论：①当a＞0时，b2＞4ac；②当a＞0时，ax2+bx+c≥-6；③若点(－2，m) ，(-5,n) 在抛物线上，则m＜n；④若关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=-4的一根为－5，则另一根为－1．其中正确的是( ) A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 10．已知抛物线的解析式为（m为常数），有下列说法：①当时，点在抛物线上；②对于任意的实数m，都是方程的一个根；③若，当时，y随x的增大而增大；④已知点，，则当时，抛物线与线段AB有一个交点．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．二次函数的图象与y轴的交点坐标是 ． 12．抛物线y=x2+3x-10与x轴的交点坐标为 ． 13．已知二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，则k的取值范围是 ． 14．二次函数的图象如图所示，直接写出不等式的解集为 ． 15．设二次函数（a，b，c是常数，且），如表，列出了x与y的部分对应值： x … ﹣2 0 2 4 … y … ﹣1.5 2.5 m ﹣1.5 … 则方程的解是 ． 16．如图是二次函数与一次函数的图象相交于点、，试确定能使成立的取值范围为 ． 17．已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 18．如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴是直线，则下列结论：①；②；③是关于x的一元二次方程的一个根；④若实数，则，其中结论正确的序号是 ．    三、解答题 19．已知二次函数． (1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式，并写出顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是____________． 20．已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标； (3)求的面积． 21．点在抛物线上，点在点的左侧． (1)求的值；并在如图中画出函数的图像； (2)点是抛物线上点之间的曲线段上的动点（包括端点），求的最大值与最小值的差； (3)将抛物线进行平移（点随之移动），使平移后的抛物线与轴的交点分别为，直接写出点移动的最短距离． 22．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴有两个公共点，k取满足条件的最小整数． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围． 23．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点为“美丽点”．例如点，，，…，都是“美丽点”． (1)直接写出抛物线上的“美丽点”为 ． (2)若二次函数的图象上无“美丽点”，则的取值范围为 ． (3)已知二次函数的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 24．已知关于x的方程ax2+（3a+1）x+3＝0． (1)求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根； (2)若抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标； (3)在（2）的条件下，直线y＝﹣x+5与y轴交于点C，与直线OH交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围． 25．如图1，抛物线：的对称轴为直线，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； (3)如图2．将抛物线平移，得到抛物线，其顶点坐标为，点为直线上一点，过点的直线、与抛物线只有一个公共点，求证：直线过定点． 26．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程． 以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各题． （1）函数的自变量的取值范围是 ，并补全下表： … －3 －2 0 2 3 5 … … 2 … （2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出该函数的一条性质． （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出关于的不等式的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 二次函数与一元二次方程 （2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点2．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 题型强化 题型一．抛物线与x轴的交点 1．（2023秋•荔城区校级期末）已知抛物线与轴的交点为和，点，，，是抛物线上不同于，的两个点，记△的面积为，△的面积为，则下列结论正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【分析】不妨假设，利用图象法一一判断即可． 【解答】解：不妨假设． ．如图1中，，满足， ， ，故错误． ．当，，满足， 则，故错误． ．， ，在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大， ，故正确． ．如图2中，，满足，但是，故④错误． 故结论正确的是：． 同理，时，结论正确的是：． 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 2．（2024•商丘模拟）若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为　0或2或　． 【分析】当时，函数为一次函数与轴有一个交点，当时，△时，抛物线与轴只有一个交点． 【解答】解：当时，函数为，其图象与轴只有一个交点． 当时，△，即． 解得：． 当，或时，函数的图象与轴只有一个交点． 故答案为：0或2或． 【点评】本题主要考查的是抛物线与轴的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键． 3．（2024•鄄城县一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点和点的坐标； （3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标． 【分析】（1）根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）代入求出值，由此可得出点的坐标，根据抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可求出顶点的坐标； （3）设点的坐标为，，，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再代入值求出值，取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）将、代入， ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）当时，， 点的坐标为； 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为． （3）设点的坐标为，，， ，， ， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）利用二次函数性质求出顶点的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合求出点的纵坐标． 题型二．图象法求一元二次方程的近似根 4．（2023秋•沭阳县期末）下表示用计算器探索函数时所得的数值： 0 0.25 0.5 0.75 1 1.31 3 则方程的一个解的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时随的增大而增大，本题易解． 【解答】解：二次函数中， 抛物线开口方向向上， 对称轴， 时随的增大而增大， 当时，，当时，， 方程的一个正根：， 故选：． 【点评】解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 5．（2024•硚口区模拟）抛物线，，是常数，经过点，其中．下列结论：①；②关于的一元二次方程一定有一个根在到0之间；③当时，随的增大而增大；④分式的值小于2．其中正确的结论是 　①②④　（填写序号）． 【分析】将点坐标代入抛物线解析式可得根据即可判断①；根据根与系数的关系判断②；抛物线对称轴，可以确定对称轴位置，即可判断③；将时，，即，裂项变形即可判断④． 【解答】解：①将点坐标代入抛物线解析式得：， ， ，故结论①正确； ②令，则，两根之和，，两根之积，， 、均小于0， 当时，，，抛物线开口向下， 抛物线有1个根在到0之间，即有1个根在到0之间，②正确； ③，， ， ， ， ，结论③错误； ④当时，，即， ， ， ， ， ，④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键． 6．（2023秋•林州市期中）已知：由函数的图象知道，当时，，当时，，所以方程有一个根在和0之间． （1）参考上面的方法，求方程的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程有一个根在0和1之间，求的取值范围． 【分析】（1）计算和时，的值，确定其所在范围是； （2）根据题意得到，解得即可． 【解答】解：（1）利用函数的图象可知， 当时，，当时，， 所以方程的另一个根在2和3之间； （2）函数的图象的对称轴为直线， 由题意，得， 解得． 【点评】本题主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用． 分层练习 一、单选题 1．抛物线y=x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为(　　) A．(1，0) B．(0，1) C．(0，0) D．(0，2) 【答案】B 【分析】令x=0求得y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标． 【详解】令x=0，y=0-0+1=1 ∴与y轴交点坐标为(0，1) 故选：B 【点睛】本题考查根据抛物线解析式求解与坐标轴交点坐标，注意抛物线中，与y轴交点的坐标为(0，c)． 2．将二次函数的图象向上平移，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，则平移的距离为（    ） A．1个单位长度 B．2个单位长度 C．3个单位长度 D．4个单位长度 【答案】C 【分析】设将二次函数y=2x2+4x−1的图象向上平移m个单位长度，得平移后的抛物线解析式为：y=2x2+4x−1+m，然后根据平移后的函数图象与x轴只有一个公共点，可得b2-4ac=0，解方程即可求得结果． 【详解】解：设将二次函数y=2x2+4x−1的图象向上平移m个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为：y=2x2+4x−1+m， 若平移后的函数图象与x轴只有一个公共点， 则b2-4ac=0， 即：42-4×2（-1+m）=0， 解得：m=3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换和抛物线与x轴交点问题，熟练掌握二次函数图像平移规律：“上加下减，左加右减”，以及b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；是解题关键． 3．下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值如下图，那么方程的一个根可能是（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A．0.03 B．1.19 C．1.22 D．1.31 【答案】B 【分析】观察表格，得到函数值0在与之间，因此可判断根的取值范围，即可解答． 【详解】解：函数值0在与之间， 的一个根在1.1与1.2之间，四个选项只有1.19符合． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据二次函数确定一元二次方程的根，熟知两者之间的关系是解题的关键． 4．二次函数图象如图，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（    ）    A．②③④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：由图可得，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为， ∴，， ∴，即， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确； 由图可得，当时，， 把代入解析式得，， ∴，故③正确； 把代入解析式得，， 由图象可得，当时，， ∴，故④错误； 由图象可得，抛物线与x轴有两个交点， ∴当时，，有两个不相等的实数根， ∴，故⑤正确； 故选：C． 5．直线与抛物线的交点个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．互相重合的两个 【答案】C 【详解】试题分析：根据直线与二次函数交点的求法得出一元二次方程的解，即可得出交点个数，由题意，可得，即，判别式>0，故有两个交点，本题选C. 考点：二次函数的交点问题 6．下列关于抛物线的说法正确的是（　　） A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据时，函数开口向上，时，函数开口向下，二次函数的对称轴为直线，以及二次函数与一元二次方程的关系，逐个判断即可． 【详解】解：A、∵，∴抛物线开口向上，A不正确，不符合题意； B、当时，，∴抛物线不经过点，故B不正确，不符合题意； C、抛物线的对称轴是直线，故C不正确，不符合题意； D、∵，∴抛物线与x轴有两个交点，故D正确，符合题意； 故选：D． 7．二次函数的图象与x轴交于，则关于x的方程的解为（    ） A．1，3 B．1， C．，3 D．1， 【答案】D 【分析】把方程变形为，根据一元二次方程的两根即为二次函数与x轴交点的横坐标即可． 【详解】解：∵， ∴， 又二次函数的图象与x轴交于， ∴方程的两根为， 即方程的解为， 故选：D 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程的两根即为二次函数与x轴交点的横坐标是解答本题的关键． 8．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴负半轴交于点，连接．将向左上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，先求出、两点的坐标和对称轴，先确定三角形向左平移了个单位长度，求得的坐标，再确定三角形向上平移个单位，求得点的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：当时，，解得，， 当时，， ，， 对称轴为直线， 经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上， 三角形向左平移个单位，即的横坐标为， 当时，， ，三角形向上平移个单位， 此时， ， 设直线的表达式为， 代入，， 可得 解得：， 故直线的表达式为， 故选：B． 9．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(－3，－6)，有以下结论：①当a＞0时，b2＞4ac；②当a＞0时，ax2+bx+c≥-6；③若点(－2，m) ，(-5,n) 在抛物线上，则m＜n；④若关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=-4的一根为－5，则另一根为－1．其中正确的是( ) A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】①利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断； ②利用抛物线的顶点坐标可对②进行判断； ③由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，则根据二次函数的增减性可对③进行判断； ④根据抛物线的对称性：得到抛物线y＝ax2+bx+c上的对称点（﹣1，﹣4），则可对④进行判断． 【详解】①如图1，当a＞0，顶点为（﹣3，﹣6）时，与x轴有两个交点，所以△＞0，即b2＞4ac；故①正确； ②如图1，当a＞0时，则y≥﹣6，∴ax2+bx+c≥﹣6；故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，∴点（﹣2，m）与（﹣4，m）是对称点，当a＞0时，x＜﹣3时，y随x的增大而减小，当a＜0时，x＜﹣3时，y随x的增大而增大，而点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，所以m与n的大小不能确定；故③错误； ④如图2，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的一根为﹣5，由对称性可得：另一根为﹣1．所以④正确． 其中正确的是：①②④． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式的关系． 10．已知抛物线的解析式为（m为常数），有下列说法：①当时，点在抛物线上；②对于任意的实数m，都是方程的一个根；③若，当时，y随x的增大而增大；④已知点，，则当时，抛物线与线段AB有一个交点．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将，代入解析式可判定①，将代入解析式可得，可判断②，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而判断③，由的取值范围可判断抛物线对称轴的位置，从而判断④． 【详解】解：当时，， 将代入得得， 不在抛物线上，故①错误． ， 当时，， 都是方程的根，故②正确． ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，， 当时，随增大而增大，故③错误． 点，关于直线对称， 当时，， 抛物线对称轴在直线与点之间， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 抛物线与线段有2个交点，故④错误． ∴正确的有1个， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 二、填空题 11．二次函数的图象与y轴的交点坐标是 ． 【答案】（0，4） 【分析】根据题目中的函数解析式，令 ，求出相应的y的值，即可解答本题． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0， 4）， 故答案为：（0， 4）． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道抛物线与y轴的交点，横坐标为0． 12．抛物线y=x2+3x-10与x轴的交点坐标为 ． 【答案】（2，0）和（-5，0）． 【分析】抛物线与x轴交点的纵坐标为0，代入解析式即可求出横坐标． 【详解】解当y=0时，x2+3x-10=0， ∴x=2或x=-5， ∴与x轴的交点坐标是（2，0）、（-5，0）． 故填空答案：（2，0）和（-5，0）． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与解析式的关系，利用解析式中自变量与函数值分别为0即可求出与坐标轴交点的坐标． 13．已知二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次函数与轴的交点，根据，且解出的范围即可求出答案．解题的关键是正确列出进行计算． 【详解】解：由题意可知：且， 解得：且， 故答案为：且． 14．二次函数的图象如图所示，直接写出不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数图像找到x轴上方图像x取值范围即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图像可得， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据二次函数图像解一元二次不等式，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次不等式的关系． 15．设二次函数（a，b，c是常数，且），如表，列出了x与y的部分对应值： x … ﹣2 0 2 4 … y … ﹣1.5 2.5 m ﹣1.5 … 则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】利用中对应值可判断点 与点 为二次函数图象上的对称点，从而得到抛物线的对称轴为直线 ，然后利用抛物线的对称性得到 ，所以方程 的解为 ． 【详解】解：由表中对应值得二次函数图象经过点和， ∴点与点为二次函数图象上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点 与 关于直线对称， 即 时， ， ∴ ， ∴方程的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a,b,c是常数， ）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 16．如图是二次函数与一次函数的图象相交于点、，试确定能使成立的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据图象找到直线在抛物线上方的的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：当时，直线在抛物线的上方； ∴使不等式成立的取值范围为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查利用函数的思想解决不等式的解集问题．解题的关键是确定两个图象的位置关系，谁在上方，谁的函数值就大． 17．已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】分析：先移项，整理为一元二次方程，让根的判别式大于0求值即可． 详解：由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，5）， ∴=5，即b2-4ac=-20a， ∵ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根， ∴方程ax2+bx+c-k=0的判别式△＞0，即b2-4a（c-k）=b2-4ac+4ak=-20a+4ak=-4a（5-k）＞0 ∵抛物线开口向下 ∴a＜0 ∴5-k＞0 ∴k＜5． 故答案为k＜5． 点睛：本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及数形结合法；二次函数中当b2-4ac＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点． 18．如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴是直线，则下列结论：①；②；③是关于x的一元二次方程的一个根；④若实数，则，其中结论正确的序号是 ．    【答案】①③/③① 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的根与二次函数的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，一元二次方程的根与二次函数的关系是解题的关键． 由题意知，当时，，可判断①的正误；当时，，即，，，可知是关于x的一元二次方程的一个根，可判断③的正误；将代入可得，可判断②的正误；当时，随的增大而增大，当时，，即，整理得，，可判断④的正误． 【详解】解：由题意知，当时，，①正确，故符合要求； 当时，，即， ∵， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴是关于x的一元二次方程的一个根，③正确，故符合要求； 将代入得，，整理得，， ∴，②错误，故不符合要求； ∵当时，随的增大而增大， ∴当时，， 整理得，，④错误，故不符合要求； 故答案为：①③． 三、解答题 19．已知二次函数． (1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式，并写出顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是____________． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式； （2）利用描点法画出二次函数图象； （3）利用二次函数的图象求解． 【详解】（1）解：， ∴抛物线顶点坐标为； （2）解：列表： x 0 1 2 3 5 y 5 2 1 2 5 根据描点法画二次函数图象如下： ； （3）解：由图象可知：当时，． 故答案是：． 20．已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)点，点 (3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与图形面积综合． （1）将点和点代入即可求出解析式； （2）令，解出的x的值即可得到点A、B的坐标； （3）根据点坐标求得，代入面积公式计算即可． 【详解】（1）解：把点和点代入得 解得， 所以抛物线的解析式为：． （2）把代入， 得， 解得， ∵点A在点B的左边， ∴点，点． （3）解：连接， 由题意得， 21．点在抛物线上，点在点的左侧． (1)求的值；并在如图中画出函数的图像； (2)点是抛物线上点之间的曲线段上的动点（包括端点），求的最大值与最小值的差； (3)将抛物线进行平移（点随之移动），使平移后的抛物线与轴的交点分别为，直接写出点移动的最短距离． 【答案】(1)；；作图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，将点的坐标代入表达式即可得到的值；并在如图中画出函数的图像即可； （2）由（1）中所求得到，结合二次函数图像与性质求出的最大值与最小值，作差即可得到答案； （3）根据题意，得到平移过程，从而求出点移动的最短距离． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ，解得或；，解得； 点在点的左侧， ，； 画出函数的图像，如图所示： （2）解：点是抛物线上点之间的曲线段上的动点（包括端点）， ， 的对称轴是，开口向下， 当时，有最大值为1；当时，有最小值为； 的最大值与最小值的差为； （3）解：平移后的抛物线与轴的交点分别为， 平移后的函数表达式为， 由平移到，只需要向上平移3个单位长度即可， 点移动的最短距离为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求抛物线上点的坐标、作抛物线图像、二次函数最值、二次函数平移等知识，读懂题意，数形结合，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 22．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴有两个公共点，k取满足条件的最小整数． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与不等式之间的关系： （1）根据题意可得关于x的方程有两个不相等的实数根，利用判别式求出，再由k取满足条件的最小整数，得到，则二次函数解析式为； （2）根据（1）所求得到，进而得到，则或，解两个不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴有两个公共点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵k取满足条件的最小整数， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组得，，解不等式组得，， ∴或， ∴时，x的取值范围为或． 23．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点为“美丽点”．例如点，，，…，都是“美丽点”． (1)直接写出抛物线上的“美丽点”为 ． (2)若二次函数的图象上无“美丽点”，则的取值范围为 ． (3)已知二次函数的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将和分别代入求解即可； （2）将和分别代入，再根据二次函数的图象上无“美丽点”，可得，计算即可； （3）将代入可得，再由的图象上只有三个“美丽点”，可得对应的一元二次方程必有一个两个相等的实数根，可求得、，进而可求得取值范围． 【详解】（1）解：当时，有， ， 或， 当时，有， ， 或， “美丽点”为， 故答案为：； （2）解：当时，有， 的图象上无“美丽点”， ， ， ， 当时，有， 的图象上无“美丽点”， ， ， ， 的取值范围为：， 故答案为：； （3）解：一个“美丽点”是， ， ， 的图象上只有三个“美丽点”， 对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根， 当时，有， ， 化简得：， ，此方程无解， 当时，有， ， 化简得：， ， ， ， 原二次函数为， ， ， 当时，二次函数有最大值为， 当时，， 关于抛物线的对称轴直线的对称点为， 当时，函数的最小值为，最大值为， 的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题以及函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，能正确理解题意是解决本题的关键． 24．已知关于x的方程ax2+（3a+1）x+3＝0． (1)求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根； (2)若抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标； (3)在（2）的条件下，直线y＝﹣x+5与y轴交于点C，与直线OH交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围． 【答案】(1)证明过程见详解． (2)a＝1，(﹣2，﹣1) (3)h＝或﹣≤h<2 【分析】（1）分别讨论当a＝0和a≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断； （2）令y＝0，则 ax2+（3a+1）x+3＝0，求出两根，再根据抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求出a的值，即可求顶点坐标； （3）分两种情况讨论，通过特殊位置可求h的范围，由平移的抛物线与直线CD（含端点C）只有一个公共点，联立方程组可求h的值，即可求解． 【详解】（1）解：当a＝0时，原方程化为x+3＝0，此时方程有实数根 x＝﹣3． 当a≠0时，原方程为一元二次方程． ∵∆＝（3a+1）2﹣12a＝9a2﹣6a+1＝（3a﹣1）2≥0． ∴此时方程有两个实数根． 综上，不论a为任何实数时，方程 ax2+（3a+1）x+3＝0总有实数根． （2）∵令y＝0，则 ax2+（3a+1）x+3＝0． 解得 x1＝﹣3，x2＝﹣． ∵抛物线y＝ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数， ∴a＝1． ∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1． ∴顶点H坐标为（﹣2，﹣1）； （3）∵点O（0，0），点H（﹣2，﹣1） ∴直线OH的解析式为：y＝x， ∵现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上． ∴设平移后的抛物线顶点坐标为（h，h）， ∴解析式为：y＝（x﹣h）2+h， ∵直线y＝﹣x+5与y轴交于点C， ∴点C坐标为（0，5） 当抛物线经过点C时， ∴5＝（0﹣h）2+h， ∴h1＝﹣，h2＝2， ∴当﹣≤h<2时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点； 当平移的抛物线与直线CD（含端点C）只有一个公共点， 联立方程组可得， ∴x2+（1﹣2h）x+h2+h﹣5＝0， ∴∆＝（1﹣2h）2﹣4（h2+h﹣5）＝0， ∴h＝， ∴抛物线y＝（x﹣）2+与射线CD的唯一交点为（3，2），符合题意； 综上所述：平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，顶点横坐标h＝或﹣≤h<2． 【点睛】此题考查了根的判别式、二次函数与x轴的交点问题、二次函数与不等式的关系；解题的关键是第（3）题要根据CD是射线，分情况讨论． 25．如图1，抛物线：的对称轴为直线，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； (3)如图2．将抛物线平移，得到抛物线，其顶点坐标为，点为直线上一点，过点的直线、与抛物线只有一个公共点，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)见解析 【分析】（1）由的对称轴为直线，可得，根据经过点，得到，联立，即可求解； （2）在中，令，求得点，点，则，令，则，得到点，，，由是抛物线对称轴上一点，可设点的坐标为，从而得到，，根据，可得，即，求出即可求解； （3）由题意得：，设过点的直线的解析式为，与抛物线解析式联立，利用过点的直线、与抛物线只有一个公共点，得到与的关系式，则直线的解析式为，直线的解析式为，分别与抛物线联立，设点的横坐标为，则是方程的根，利用根与系数的关系得到，，则、是方程的两根，即，整理得：，于是得到点、是抛物线与直线的交点，由此即可得证． 【详解】（1）解：的对称轴为直线， ， 将点代入中得： ， 联立， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）令，则， 解得：，， 点，点， ， 令，则， 点， ， ， 是抛物线对称轴上一点， 设点的坐标为， 则，， ， 在中，， 即， 解得：或， 点的坐标为或； （3）证明：将抛物线平移，得到抛物线，其顶点坐标为， 抛物线的解析式为：， 点为直线上一点， 设点， 设过点的直线的解析式为， ， ， 过点P 的直线的解析式为， ， ， 即， 过点的直线、与抛物线只有一个公共点， ， ， ，， 则直线的解析式为， 则直线的解析式为， 联立得： ， 设点的横坐标为，则是方程的根， 过点的直线与抛物线只有一个公共点， 方程有两个相等的实根， ， ； ， 设点的横坐标为，则是方程的根， 过点的直线与抛物线只有一个公共点， 方程有两个相等的实根， ， ， ，， 、是方程的两根， ， ， 即：点、的坐标满足方程组， 点、是抛物线与直线的交点， ， 直线过定点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点，直角三角形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 26．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程． 以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各题． （1）函数的自变量的取值范围是 ，并补全下表： … －3 －2 0 2 3 5 … … 2 … （2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出该函数的一条性质． （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出关于的不等式的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）；补全的表格见解析；（2）函数图像见解析；图像性质：函数图像不对称；（3）-2.2≤x≤1.2或1.3≤x≤2.4． 【分析】（1）根据分母不能为0，即可求出x的取值范围；把对应的x值分别代入函数中，求出相应的y值填入表格即可； （2）根据（1）中表格中的数据，描点连线即可，观察作出的图像，即可得到其性质； （3）求不等式的解集，就是求在之下时x的范围，观察图像即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴函数的自变量的取值范围是； 当x=-1，0，3，4时，对应的y值分别为：，0，，， 则补全下表： （2）图像如下： 函数的性质：该函数图像不对称； （3）由图像可知，当时，即在之下， ∴的解集为：-2.2≤x≤1.2或1.3≤x≤2.4． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，二次函数与不等式，描点作图，正确作出图形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$