第10讲 等腰三角形（3个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第10讲 等腰三角形（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点2．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点3．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 题型强化 题型一．等腰三角形的性质 1．（2024春•景德镇期中）如图，已知△是等腰三角形，，，点是边上的一个动点（不与点、重合），与的平分线交于点，则的大小不可能是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•青羊区校级期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是 　　． 3．（2024春•东平县期末）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求长． 题型二．等腰三角形的判定 4．（2023秋•潮安区期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数是　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 5．（2024春•新郑市期末）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为　　． 6．（2023秋•临潼区期末）已知：如图，是外角的平分线，且．求证：是等腰三角形． 题型三．等腰三角形的判定与性质 7．（2023秋•藁城区期末）如图，在中，，，若、三等分，则图中等腰三角形有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．（2023秋•江陵县期末）如图，在中，和分别是和的平分线，过点，且，若，，则的长为 　　． 9．（2023秋•东阳市期末）在中，是高，，是角平分线，交于点，，． （1）求的大小； （2）求证：． 分层练习 一、单选题 1．至少有两边相等的三角形是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 2．已知等腰三角形的一个内角等于100°，则它的顶角是（    ） A．80° B．100° C．80°或100° D．不能确定 3．若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为（　　） A．80°，20° B．50°，50° C．80°，20°或50°，50° D．30°，70°或10°，90° 4．如图，两个全等的等腰直角三角形按如图所示叠放在一起，点A，D分别在EF，BC边上，AB∥DE，BC∥EF．若AB＝4，重叠（阴影）部分面积为4，则AE等于（　　） A．2 B． C． D． 5．下列语句中，正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与知直线平行 B．有一条斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．三角形的外角大于它的任何一个内角 D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 6．在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（    ）    A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确 7．如图，与中，，增加下列条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，甲、乙两船同时从港口O出发，并以相同的速度航行，其中甲沿北偏东方向行走，乙沿南偏东方向行走，行驶中乙始终在甲的（    ） A．北偏东方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．南偏西方向上 9．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，和的边交于点，添加一个条件，不能证明和全等的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且，则的度数为 ．    12．若等腰三角形的顶角为150°，则它一腰上的高与另一腰的夹角的度数为 ． 13．已知等腰三角形的周长为15，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边是 ． 14．如图，已知，以为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，如此下去，则线段的长度为 ．    15．如图，在中，，平分，交于D，，则是 三角形． 16．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为，则底角的度数为 ． 17．已知等腰三角形的两边长为，且满足，则三角形的周长为 ． 18．如图，是等腰三角形，腰的垂直平分线交腰于点，垂足为点，若，，则的周长是 ． 三、解答题 19．已知等腰三角形周长为 25，腰是底的2倍，求三边的长． 20．某中学八年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A，B间的距离，但同学们给出了以下建议： (1)甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A，B的点O，连接，，并分别延长至点C，延长至点D，使，，最后测出的长即为A，B间的距离，请你说说该方案可行的理由； (2)由于在处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照甲同学的方案直接测量出A，B间的距离，但同学们测得，，，，，请求出该建筑物两端A，B之间的距离． 21．如图，已知是延长线上的点．    (1)过点在射线右侧作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：平分． 22．已知等腰三角形的周长为，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为的两个三角形，求等腰三角形的腰长． 23．（1）如图①，为等腰直角三角形，，， D是上一点．若于点E，连接，，交点F，求证：， （2）如图②，为等腰直角三角形，，，D是上一点，若，求证：． （3）如图③，将上一题中的“”改为“”，第（2）题中的结论还成立吗？并说明理由． 24．如图，平面直角坐标系中，，点在第一象限内，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且，点坐标为，且满足，请解答下列问题： (1)求点B和点C的坐标； (2)若连接交y轴于点D，且，，求点A的坐标； (3)在（2）的条件下，，在坐标轴上是否存在点E，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点E的个数，并直接写出其中3个点E的坐标；若不存在，请说明理由． 25．综合与实践： 初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，． (1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线； (2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由． 26．如图1，在中，，在边上取点D，连接，在边延长线上取点E，使得． (1)若，则 ； (2)如图2，当，时，求四边形的面积（用含a的代数式表示）； (3)设， ① （用含α，β的代数式表示）； ②求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 等腰三角形（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 知识点2．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 知识点3．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 题型强化 题型一．等腰三角形的性质 1．（2024春•景德镇期中）如图，已知△是等腰三角形，，，点是边上的一个动点（不与点、重合），与的平分线交于点，则的大小不可能是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再设，根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【解答】解：，，， ， 设， 与的平分线交于点， ，， ， 点是边上的一个动点（不与点、重合）， ， ，即． 的大小不可能是． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 2．（2023秋•青羊区校级期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是 　　． 【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到的度数． 【解答】解：在中，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（2024春•东平县期末）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求长． 【分析】（1）根据已知可得是的垂直平分线，从而利用线段垂直平分线的性质可得，进而利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，最后利用等腰三角形的性质即可解答； （2）根据已知可得，再利用线段的和差关系，以及等量代换可得，进行计算即可解答． 【解答】解：（1），， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 的度数为； （2）的周长为，， ， ， ， ， ， ， 的长为4． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 题型二．等腰三角形的判定 4．（2023秋•潮安区期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数是　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】本题是开放性试题，由题意知、是定点，是动点，所以要分情况讨论：以、为腰、以、为腰或以、为腰．则满足条件的点可求． 【解答】解：如图， 由题意可知：以、为腰的三角形有3个，轴正半轴上的点不能成立，因为此时三点共线，不能构成三角形； 以、为腰的三角形有2个； 以、为腰的三角形有2个． 则点的个数是7． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键． 5．（2024春•新郑市期末）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，那么的度数为　或或　． 【分析】求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【解答】 解：，平分， ， ①当在时，， ， ； ②当在点时，， 则； ③当在时，， 则； 故答案为：或或． 【点评】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想． 6．（2023秋•临潼区期末）已知：如图，是外角的平分线，且．求证：是等腰三角形． 【分析】由，根据平行线的性质，可求得，，又由是外角的平分线，即可得，继而证得结论． 【解答】证明：， ，， 是外角的平分线， ， ， ，即是等腰三角形． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义．注意等角对等边定理的应用是解此题的关键． 题型三．等腰三角形的判定与性质 7．（2023秋•藁城区期末）如图，在中，，，若、三等分，则图中等腰三角形有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据，，易求，且知道是等腰三角形，再结合、三等分，又易求，进而可求，再结合三角形内角和定理可求，从而可判断、、、、是等腰三角形． 【解答】解：，， ，是等腰三角形， ，、三等分， ， ， ， ，， 、、、、是等腰三角形， 一共有6个等腰三角形． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是求出每个角的度数，根据等角对等边即可判断． 8．（2023秋•江陵县期末）如图，在中，和分别是和的平分线，过点，且，若，，则的长为 　7　． 【分析】根据角平分线与平行两个条件，可证出等腰三角下即可解答． 【解答】解：和分别是和的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：7． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线与平行两个条件，可以证明等腰三角形是解题的关键． 9．（2023秋•东阳市期末）在中，是高，，是角平分线，交于点，，． （1）求的大小； （2）求证：． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）解：，， ， ，分别是和平分线， ，， ； （2）证明：， ， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．至少有两边相等的三角形是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的定义即可得出结论． 【详解】解：至少有两边相等的三角形是等腰三角形． 故选：B． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的判断，掌握等腰三角形的定义是解决此题的关键． 2．已知等腰三角形的一个内角等于100°，则它的顶角是（    ） A．80° B．100° C．80°或100° D．不能确定 【答案】B 【分析】由于不明确100°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分100°的角是顶角和底角两种情况讨论，再由角度判定结果． 【详解】当100°的角为等腰三角形的顶角时，其顶角为100°， 当100°的角为等腰三角形的底角时，其顶角为（不符题意，舍去）， 故它的底角的度数是100°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想． 3．若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为（　　） A．80°，20° B．50°，50° C．80°，20°或50°，50° D．30°，70°或10°，90° 【答案】C 【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：①80°角是顶角时，底角=（180°-80°）=50°， 所以，其余两个角是50°、50°； ②80°角是底角时，顶角=180°-80°×2=20°， 所以，其余两个角是80°、20°； 综上所述，其余两个角是50°、50°或80°、20°． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论． 4．如图，两个全等的等腰直角三角形按如图所示叠放在一起，点A，D分别在EF，BC边上，AB∥DE，BC∥EF．若AB＝4，重叠（阴影）部分面积为4，则AE等于（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】∵两个全等的等腰直角三角形按如图所示叠放在一起，AB∥DE，BC∥EF， ∴△AEG是等腰直角三角形， ∴AE＝EG， ∴GD＝4﹣AE， ∵GD•AE＝4， ∴AE＝2， 故选A． 【点睛】此题考查等腰直角三角形，关键是根据等腰直角三角形的性质解答． 5．下列语句中，正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与知直线平行 B．有一条斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．三角形的外角大于它的任何一个内角 D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】B 【分析】根据过直线外一点画已知直线的平行线可判断A，由三角形全等的判定方法可判断B，由三角形的外角的性质可判断C，由等腰三角形的性质可判断D，从而可得答案. 【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与知直线平行，故A不符合题意； 有一条斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，表述正确，故B符合题意； 三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角，故C不符合题意； 等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，画平行线，掌握以上基础知识是解本题的关键. 6．在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（    ）    A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确 【答案】C 【分析】根据角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质可判断甲，根据尺规作直线的垂线的画法可判断乙，进而可得答案. 【详解】解：根据图②的做法可知：是的平分线，即， 由图①可得：， ∴；故甲作图痕迹正确；    根据图③的作图痕迹可知：，故乙的作图痕迹正确； 故选：C. 【点睛】本题考查了尺规作角的平分线和已知直线的垂线以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关作图方法以及等腰三角形的性质是解题的关键. 7．如图，与中，，增加下列条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可求解． 【详解】解：，而为公共边， ∴当，根据“”不能判定，故A符合题意； 当时，根据“”可判断，故B不符合题意； 当时，则，根据“”可判断，故C不符合题意； 当时，则，所以，根据“”可判断，故D不符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的全等判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键． 8．如图，甲、乙两船同时从港口O出发，并以相同的速度航行，其中甲沿北偏东方向行走，乙沿南偏东方向行走，行驶中乙始终在甲的（    ） A．北偏东方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．南偏西方向上 【答案】B 【分析】本题考查了方位角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键，先作图，依题意，得出，结合等边对等角得，再进行角的运算，即可作答． 【详解】解：如图：连接， ∵，其中甲沿北偏东方向行走，乙沿南偏东方向行走， ∴， ∴， ∵甲、乙两船同时从港口O出发，并以相同的速度航行， ∴， 在中，， 即， ∴行驶中乙始终在甲的南偏西方向上， 故选：． 9．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角板的特征可得∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°，利用三角形的外角的性质及对顶角的性质可求解∠AGE的度数，再利用三角形外角的性质可求解∠1的度数． 【详解】解：由题意得△ABC，△DEF为直角三角形，∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°， ∴∠AGE=∠BGF=45°， ∵∠1=∠E+∠AGE， ∴∠1=30°+45°=75°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，等腰直角三角形，求解∠AGE的度数是解题的关键． 10．如图，和的边交于点，添加一个条件，不能证明和全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据等腰三角形性质可知，再根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 当添加，则， 又∵，， ∴，故选项A不符合题意； 当添加， 又∵，， ∴，故选项B不符合题意； 当添加， 又∵，， ∴，故选项C不符合题意； 当添加， 又∵，， ∴由不能证明和全等，故选项D符合题意； 故选：D． 二、填空题 11．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且，则的度数为 ．    【答案】120 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是等腰三角形的两个底角相等得到，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：， ， ． 故答案为：120． 12．若等腰三角形的顶角为150°，则它一腰上的高与另一腰的夹角的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】根据等边对等角求出底角的度数，再进行求解即可． 【详解】解：如图：，    ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边对等角，根据题意正确的画图，是解题的关键． 13．已知等腰三角形的周长为15，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边是 ． 【答案】3 【分析】分别从腰长为3与底边长为3，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：若腰长为3，则底边长为：15−3−3＝9， ∵3＋3＜9， ∴不能组成三角形，舍去； 若底边长为3，则腰长为： ＝6； ∴该等腰三角形的底边长为：3； 故答案为：3． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意分别从腰长为3与底边长为3去分析求解是关键． 14．如图，已知，以为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，如此下去，则线段的长度为 ．    【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案． 【详解】∵△OBA1为等腰直角三角形，OB＝1， ∴BA1＝OB＝1，OA1＝OB＝； ∵△OA1A2为等腰直角三角形， ∴A1A2＝OA1＝，OA2＝OA1＝2； ∵△OA2A3为等腰直角三角形， ∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝OA2＝2； ∵△OA3A4为等腰直角三角形， ∴A3A4＝OA3＝2，OA4＝OA3＝4． ∵△OA4A5为等腰直角三角形， ∴A4A5＝OA4＝4，OA5＝OA4＝4， ∵△OA5A6为等腰直角三角形， ∴A5A6＝OA5＝4，OA6＝OA5＝8． ∴OAn的长度为（）n． ∴= 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键． 15．如图，在中，，平分，交于D，，则是 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的性质可得，再根据等腰三角形两底角相等得，最后根据外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又，且， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 16．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为，则底角的度数为 ． 【答案】/58度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．分两种情况：当等腰三角形是锐角三角形时，当等腰三角形是钝角三角形时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形是锐角三角形时，如图： 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意； 当等腰三角形是钝角三角形时，如图： 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 综上所述：底角的度数为， 故答案为：． 17．已知等腰三角形的两边长为，且满足，则三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的应用，等腰三角形的定义，三角形的三边性质，由得到，，即可得，，分两种情况：是腰长和是底边长，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 当是腰长时，三角形的三边分别为， ∵， ∴不能组成三角形； 当是底边长时，三角形的三边分别为， 能组成三角形，周长， ∴三角形的周长为， 故答案为：． 18．如图，是等腰三角形，腰的垂直平分线交腰于点，垂足为点，若，，则的周长是 ． 【答案】14 【分析】根据垂直平分线的性质得出，再由等腰三角形的定义得出cm，结合图形求解即可． 【详解】解：∵腰的垂直平分线交腰于点， ∴， ∵，， ∴cm， ∴的周长为：cm， 故答案为：14． 【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的定义，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键． 三、解答题 19．已知等腰三角形周长为 25，腰是底的2倍，求三边的长． 【答案】三边分别为5、10、10 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是根据周长为 25列出方程，进行计算即可． 【详解】解：设的底边为x，则腰长为，依题意得： 解得：，， 答： 三边分别为5、10、10． 20．某中学八年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A，B间的距离，但同学们给出了以下建议： (1)甲同学的方案如下：先在平地上取一个可直接到达A，B的点O，连接，，并分别延长至点C，延长至点D，使，，最后测出的长即为A，B间的距离，请你说说该方案可行的理由； (2)由于在处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照甲同学的方案直接测量出A，B间的距离，但同学们测得，，，，，请求出该建筑物两端A，B之间的距离． 【答案】(1)甲同学的方案可行；理由见解析 (2)该建筑物两端A，B之间的距离为． 【分析】本题考查了全等三角形的应用，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质． （1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）延长交于D，根据平角的定义得到，根据三角形的内角和定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：甲同学的方案可行； 在和中， ， ∴， ∴； 故甲同学的方案可行； （2）解：如图②，延长交于D， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， 故该建筑物两端A，B之间的距离为． 21．如图，已知是延长线上的点．    (1)过点在射线右侧作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图所示，作，从而利用同位角相等可得两直线平行； （2）由平行线的性质先证明，再证明，结合等量代换可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的直线；    （2）， ， ， ∴， ， 平分． 【点睛】本题考查的是作已知直线的平行线，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键． 22．已知等腰三角形的周长为，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为的两个三角形，求等腰三角形的腰长． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、等腰三角形的性质以及三角形中线的性质，设腰长为，底边长为．根据一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是，可得两种情况，①；②，分别与组成方程组，求解即可． 【详解】解：设腰长为，底边长为． ①若腰比底边长，根据题意得，解得； ②若底边比腰长，根据题意得，解得． 故这个三角形的腰长是或． 23．（1）如图①，为等腰直角三角形，，， D是上一点．若于点E，连接，，交点F，求证：， （2）如图②，为等腰直角三角形，，，D是上一点，若，求证：． （3）如图③，将上一题中的“”改为“”，第（2）题中的结论还成立吗？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）成立，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）先证明，，从而可得结论； （2）如图，过作，证明，再利用全等三角形的性质与三角形的内角和定理可得结论； （3）过点A作，交的延长线于点F，证明，再利用全等三角形的性质与角的和差关系可得结论． 【详解】解∶（1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴在直角中，； （2）如图，过作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）结论仍然成立．理由： 过点A作，交的延长线于点F，则， ∵， ∴． ∴为等腰直角三角形，． 在和中， ， ∴． ∴， ∴，即． 24．如图，平面直角坐标系中，，点在第一象限内，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且，点坐标为，且满足，请解答下列问题： (1)求点B和点C的坐标； (2)若连接交y轴于点D，且，，求点A的坐标； (3)在（2）的条件下，，在坐标轴上是否存在点E，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点E的个数，并直接写出其中3个点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点E共有6个，；；；；；． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、两个非负数的和为零、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （１）由两个非负数的和为零可求出的值，从而得出，的坐标； （２）根据等面积法分别表示出的面积，从而可求出答案； （３）根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】（1）解： ，点坐标为 ，点坐标为 （2）， 点的坐标 （3）在坐标轴上存在6个点，使是以为腰的等腰三角形 轴正半轴上使得，， 点关于轴的对称点 轴正半轴上使得， 轴负半轴上使得， 点关于轴的对称点 故坐标轴上存在6个点，；；；；；． 25．综合与实践： 初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，． (1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线； (2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）实践小组的判断对，理由见解答． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质； （1）证明，得，即可解决问题； （2）根据等腰三角形的三线合一可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， 是的平分线； （2）解：实践小组的判断对，理由如下： 是等腰三角形，， 由（1）知：平分， ， 是铅锤线， 是水平的． 门框是水平的． 实践小组的判断对． 26．如图1，在中，，在边上取点D，连接，在边延长线上取点E，使得． (1)若，则 ； (2)如图2，当，时，求四边形的面积（用含a的代数式表示）； (3)设， ① （用含α，β的代数式表示）； ②求证：． 【答案】(1)3 (2) (3)①；②见解析 【分析】（1）设，则，，根据，列式计算即可求解； （2）作于点，利用面积相等求得，根据已知求得，再根据利用三角形面积公式即可求解； （3）①利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； ②作交的延长线于点，求得，证明，推出，求得，据此求解即可证明． 【详解】（1）解：设，则， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∴， 又，且， ∴， ∵，且， ∴，即， ∵ ； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②作交的延长线于点，连接， ∵， ∴和都是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$