第10讲 正多边形与圆（1个知识点+3种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第10讲 正多边形与圆（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型强化 题型一．正多边形和圆 1．（2023秋•海门市期中）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心的坐标是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•涟水县期中）如图，多边形为内接正五边形，与相切于点，则　　． 3．（2023秋•兴化市期中）如图，正六边形内接于，半径为4． （1）求点到的距离； （2）求正六边形的面积． 题型二、求正多边形的中心角 4．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（　　） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 6．（九年级上·江苏苏州·期末）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE． （1）求∠AED的度数； （2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 题型三、正多边形和圆的综合 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 8．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    9．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________． 分层练习 一、单选题 1．内角为的正多边形是（    ） A． B． C． D． 2．半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于（    ） A．4 B．5 C． D．6 3．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝120°，则∠BOD的度数是(   ) A．60° B．80° C．120° D．240° 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 5．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（） A． B． C． D． 6．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H为的八等分点，与的交点为I．若的半径为，则的长等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，与正八边形的边，分别相交于点、，则弧所对的圆周角的大小为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为(     ) A．6mm B．12mm C．6mm D．4mm 10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　） A．125 B．100 C．75 D．30 二、填空题 11．已知正六边形的半径为，则此正六边形的面积为 ． 12．一个半径为的圆内接正三角形的面积等于 ． 13．如图，正六边形内接于．若该正六边形的边长为5，则的面积等于 14．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S= ．（结果保留根号） 15．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点．如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为 ． 16．早在多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为，则这个圆的内接正十二边形的面积为 ． 17．如图，⊙O的内接五边形ABCDE的对角线AC与BD相交于点G，若∠E=92°，∠BAC=41°，则∠DGC= °． 18．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则 ． 三、解答题 19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是∠ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F． （1）求证：△AED≌△CFD； （2）若AB＝10，BC＝8，∠ABC＝60°，求BD的长度． 20．尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 21．如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 22．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．      (1)如图1，A为上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出的内接正方形； (2)我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．如图2，在中，E为的中点，作的中点F． 23．如图，正六边形内接于． (1)若P是上的动点，连接，，求的度数； (2)已知的面积为，求的面积． 24．李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 25．如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的切线； (2)在图1中画出一个圆内接正方形； (3)在图2中的圆上画出线段的中点； (4)在图3中作一个的圆周角． 26．【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 正多边形与圆（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型强化 题型一．正多边形和圆 1．（2023秋•海门市期中）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】作、的垂直平分线交于点，即为内切圆圆心，连接，，根据正六边形的性质及等边三角形的性质得出，再由勾股定理确定即可得出结果． 【解答】解：如图所示，作、的垂直平分线交于点，即为内切圆圆心，连接，， 正六边形的边长是4， ，为等边三角形，， ， 点的坐标为： 故选：． 【点评】本题主要考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及坐标与图形，理解题意，作出图形辅助线是解题关键． 2．（2023秋•涟水县期中）如图，多边形为内接正五边形，与相切于点，则　　． 【分析】连接，多边形是正五边形可求出的度数，再根据三角形内角和即可求出的度数，利用切线的性质求出即可． 【解答】解：连接，， 多边形是正多边形， ， ． 直线与相切于点， ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、弦切角定理；作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键． 3．（2023秋•兴化市期中）如图，正六边形内接于，半径为4． （1）求点到的距离； （2）求正六边形的面积． 【分析】（1）连接、，作于，根据余弦的定义计算即可； （2）根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算． 【解答】解：（1）连接、，作于， 半径， 六边形是正六边形， ， ， 圆心到的距离； （2）正六边形的面积． 【点评】本题考查的是正多边形与圆、锐角三角函数的应用，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键． 题型二、求正多边形的中心角 4．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（　　） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 【答案】A 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得 解得，， 故选：A 【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 【答案】18 【知识点】等边对等角、求正多边形的中心角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． 6．（九年级上·江苏苏州·期末）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE． （1）求∠AED的度数； （2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 【答案】（1）∠AED=120°；（2）12. 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、已知圆内接四边形求角度、求正多边形的中心角 【分析】（1）如图，连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°； （2）如图，连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得； 【详解】解：（1）如图，连接BD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠BAD=60°， ∵AB=AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=60°， ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴∠AED+∠ABD=180°， ∴∠AED=120°； （2）连接OA， ∵∠ABD=60°， ∴∠AOD=2∠ABD=120°， ∵∠DOE=90°， ∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°， ∴． 题型三、正多边形和圆的综合 7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，即可． 【详解】解：如图，连接，，，过点作于点，则， 点是正六边形的中心， ， ， 是正三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形的周长是， 故选：C 8．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    【答案】10 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 9．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________． 【答案】(1)见解析 (2)18 【知识点】证明某直线是圆的切线、正多边形和圆的综合、根据等边对等角证明 【分析】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提． （1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可； （2）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 即， 又是半径， 是的切线； （2）解：， 以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ， 以为边的圆内接正六边形的周长为． 故答案为：18． 分层练习 一、单选题 1．内角为的正多边形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解正多边形的每一个外角，再利用外角和除以这个外角的大小可得正多边形的边数，从而可得答案． 【详解】解：∵内角为的正多边形的每一个外角为： ∴正多边形的边数为： 故选B 【点睛】本题考查的是正多边形的内角与相邻的外角互补，求解正多边形的边数，掌握“利用正多边形的外角和为”是解本题的关键． 2．半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于（    ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】根据圆内接正多边形的特点求正六边形的面积即可； 【详解】如图： 求半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积， ∴该面积为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆的内接正多边形的性质，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 3．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝120°，则∠BOD的度数是(   ) A．60° B．80° C．120° D．240° 【答案】C 【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD＝180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案． 【详解】解：圆上取一点A，连接AB，AD， ∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD＝120°， ∴∠BAD＝60°， ∴∠BOD＝120°， 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理计算即可． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC＝∠EBC＝55°， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝55°， ∴∠DAC＝70°， 由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC＝70°， 故选D． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 5．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可． 【详解】因为圆内接正三角形的面积为， 所以圆的半径为， 所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°＝×＝1， 故选B． 【点睛】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距． 6．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H为的八等分点，与的交点为I．若的半径为，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接、，作于，于，在上截取一点，使得，连接．首先证明，推出，在中，，求出即可解决问题； 【详解】解：如图，连接、，作于，于，在上截取一点，使得，连接． 点，，，，，，，为的八等分点， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形，设， ， ， ， ， ， 在中，， ，（负根舍去） ． 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形与圆、解直角三角形、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 7．如图，与正八边形的边，分别相交于点、，则弧所对的圆周角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得正八边形OABCDEFG的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 【详解】解：∵八边形是正六边形， ∴，即， ∴. 故选C． 【点睛】本题考查圆周角定理与正六边形的性质．此题比较简单，注意掌握正六边形内角的求法与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用． 8．如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形内角和公式、正多边形的中心角，根据多边形的内角和可以求得的度数，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ，， ， 故选：D． 9．如图，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为(     ) A．6mm B．12mm C．6mm D．4mm 【答案】C 【详解】设正多边形的中心是O，其一边是AB， ∴∠AOB=∠BOC=60°， ∴OA=OB=AB=OC=BC， ∴四边形ABCO是菱形， ∵AB=6mm,∠AOB=60°， ∴cos∠BAC=， ∴AM=6×= (mm)， ∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC， ∴AM=MC=AC， ∴AC=2AM= (mm). 故选C. 10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　） A．125 B．100 C．75 D．30 【答案】C 【分析】由三视图可知，几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，利用体积等于底面积乘以高进行计算即可． 【详解】解：由图可知：几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱， 如图：设正六边形的中心为，， 则：， ∴，， ∴， ∴底面面积为：， ∴该几何体的体积为：； 故选C． 【点睛】本题考查由几何体的三视图，求几何体的体积．解题的关键是根据三视图，还原几何体． 二、填空题 11．已知正六边形的半径为，则此正六边形的面积为 ． 【答案】 【分析】正六边形的面积由6个全等的边长为的等边三角形面积组成，计算一个等边三角形的面积，乘以6即可． 【详解】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形． ∴OA＝AB＝， ∵，， ∴， ∴， ∴S△OAB＝AB•OC＝＝， 则正六边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的面积，等边三角形的性质，熟练把多边形的面积转化为三角形面积的倍数计算是解题的关键． 12．一个半径为的圆内接正三角形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外接圆与外心，正三角形的性质等知识点，掌握正三角形与外接圆的性质是解题的关键． 先根据题意画出图形，再根据正三角形与圆的性质得出的度数，从而得出，再通过含角的直角三角形的性质及勾股定理求得与的长，然后求得的面积即可． 【详解】解：如图，∵O为正三角形的中心，于点D，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴, ∴. 故答案为：. 13．如图，正六边形内接于．若该正六边形的边长为5，则的面积等于 【答案】 【分析】连接，，易证是等边三角形，由等边三角形的性质可得的半径，即可求得的面积； 【详解】解：连接，， ∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径为5， ∴的面积为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键． 14．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S= ．（结果保留根号） 【答案】 【详解】分析：根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值． 详解：依照题意画出图象，如图所示． ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴△ABO为等边三角形， ∵⊙O的半径为1， ∴OM=1， ∴BM=AM=， ∴AB=， ∴S=6S△ABO=6×××1=2． 故答案为2. 点睛：本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键． 15．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点．如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为 ． 【答案】70°或110°． 【分析】分点C在优弧上和劣弧上两种情况，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质求出∠ACB的度数即可. 【详解】如图1，当点C在优弧ACB上时， ∵∠ACB和∠AOB分别是所对的圆周角和圆心角， ∴∠ACB＝∠AOB＝70°． 如图2，当点C在劣弧AB上时，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD， ∵∠ADB和∠AOB分别是所对的圆周角和圆心角， ∴∠ADB＝∠AOB＝70°， ∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADB+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝110°． 综上所述：∠ACB的度数为70°或110°． 故答案为70°或110°． 【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形的对角互补；熟练掌握相关定理及性质是解题关键. 16．早在多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为，则这个圆的内接正十二边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，含角的直角三角形的性质，过点作的垂线，交于点，可求得，进而可求得答案． 【详解】如图所示，过点作的垂线，交于点． 根据题意可知，，则 ． ． 这个圆的内接正十二边形的面积． 故答案为：． 17．如图，⊙O的内接五边形ABCDE的对角线AC与BD相交于点G，若∠E=92°，∠BAC=41°，则∠DGC= °． 【答案】51° 【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出∠DCA，又∠DCA=∠ABG，在△AGB中求出∠AGB，∠DGC=∠AGB. 【详解】根据圆内接四边形对角互补，∠DCA=180°－∠E=88°，又∠ABG=∠DCA =88°，在△AGB中∠AGB=180°－∠ABG－∠BAC=51°，∠DGC=∠AGB=51°. 【点睛】本题的解题关键是根据圆内接四边形对角互补求角度. 18．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则 ． 【答案】 【分析】设点S为BC的中点，连接，DP，DS, DS与PC交于点W，作PE. ⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，从而可证△DCS≌△DPS，也推∠DPS=∠DCB=90°,然后求出PC，再根据勾股定理求出PB, 利用三角形的面积，求得PE，利用勾股定理求得PF,利用相似求得BN的长， 即可解答出. 【详解】解:如图，设点S为BC的中点，连接DP，DS，DS与PC交于点W, 作PE_⊥BC于点E, PF⊥AB于点F, ∴DP=CD=a， PS=CS=0.5a，即DS是PC的中垂线， ∴△DCS≌△DPS, ∴∠DPS=∠DCB=90°, DS= = = a， 由三角形的面积公式可得PC=a， ∵BC为直径， ∴∠CPB=90°, , , , , ，即 BN= a NC= a = 故答案为. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，中垂线的性质，勾股定理，相似三角形的判定,解答本题的关键是作好辅助线. 三、解答题 19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是∠ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F． （1）求证：△AED≌△CFD； （2）若AB＝10，BC＝8，∠ABC＝60°，求BD的长度． 【答案】（1）见解析；（2）6. 【分析】（1）由角平分线性质定理可得DE＝DF，由圆内接四边形性质可得∠A＋∠BCD＝180°，然后代换可得∠A＝∠DCF，又∠DEA＝∠F＝90°， 所以△AED≌△CFD；（2）由三角形全等可得AE＝CF，BE＝BF，设AE＝CF＝x，可得x＝1；在Rt△BFD，根据30°所对的直角边是斜边的一半，则BD＝2DF，利用勾股定理解得BD＝6. 【详解】（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝180°， 又∵∠DCF＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCF ∵BD是∠ABC的角平分线，又∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∠DEA＝∠F＝90°， ∴△AED≌△CFD. （2）∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，BE＝BF， 设AE＝CF＝x，则BE＝10－x，BF＝8＋x， 即10－x＝8＋x，解得x＝1， 在Rt△BFD，∠DBC＝30°，设DF＝y，则BD＝2y， ∵BF2＋DF2＝BD2， ∴y2＋92＝（2y）2，y＝3， BD＝6. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，由条件灵活转移线段关系是解题关键. 20．尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 21．如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1),理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，根据切线的定义可得，即可得出结论． （2）根据正方形的性质可得，，，则．根据点F是的中点，可得．最后根据平行线的性质可得． 【详解】（1）解：． 理由：如图，连接， ∵正方形内接于， ∴． ∵与相切于点D， ∴，即． ∴， ∴． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形，平行线的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接正多边形的中心角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及平行线的判定和性质． 22．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．      (1)如图1，A为上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出的内接正方形； (2)我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．如图2，在中，E为的中点，作的中点F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接并延长交于点C，作的中垂线交圆于点B，D，四边形即为所求； （2）连接交于点O，连接交于点G，连接并延长交于点F，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图1，连接并延长交于点C，作的中垂线交圆于点B，D，四边形即为所求；   ； （2）解：如图2，连接交于点O，连接交于点G，连接并延长交于点F，点F即为所求．   ． 【点睛】本题是三角形的重心，作图-应用与设计作图，平行四边形的性质，正多边形与圆，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行四边形的性质及三角形垂心的性质． 23．如图，正六边形内接于． (1)若P是上的动点，连接，，求的度数； (2)已知的面积为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系． （）在取一点，连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值； （）证明是等边三角形，利用三角函数求出，，再根据的面积为求出圆的半径，即可求出面积． 【详解】（1）如图所示，在取一点，连接 ， ∵六边形是正六边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴； ∴，， ∴， ∴， 即的半径为． 面积为： 24．李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 【答案】(1) (2)， (3)随着n的增大，越来越接近于1，见解析 【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可； （2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进行求解即可； （3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大，越来越接近于1，再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：假设正方形边长1， ∴此时正方形的内切圆半径为， ∴； 设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：，随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键． 25．如图，由小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的切线； (2)在图1中画出一个圆内接正方形； (3)在图2中的圆上画出线段的中点； (4)在图3中作一个的圆周角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）先连接，根据切线的性质作图即可； （2）先过圆心作出直径，然后作出的垂直平分线交于、两点，最后顺次连接、、、，即可得到圆内接正方形； （3）取格点，作直线交于点，由等腰直角三角形的性质结合正方形的性质可得符合题意； （4）先作半径的垂直平分线交于，连接，，则为等边三角形，可得，根据圆周角定理即可求解． 【详解】（1）如图所示： （2）如图，正方形即为所求， （3）如图，点即为所求， （4）如图，即为所求 【点睛】本题考查基本几何作图，涉及到圆周角定理、垂径定理的推论，圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握网格中的基本作图方法和相关知识是解答的关键． 26．【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析；（3），证明见解析；（4）； 【分析】（1）①利用垂直平分线定义即可作出正方形；②利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到结论； （2）根据题意过点C作交于E，利用圆周角定理得到，再判定，证明出和是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形三边关系即可； （3）根据题意过点B，作，在上截取，连接，再证明，再利用含的直角三角形三边关系即可得到本题答案； （4）根据题意以为边，作正方形，连接，设，则，，再分别在和和中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】 解：（1）①如图所示，作直径的垂直平分线交于点A，C，则四边形是正方形；    ②如图所示，    ， 故答案为：． （2），证明如下： 如图，过点C作交于E，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（ASA）， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 如图所示，过点C作交于F，    同理可得是等腰直角三角形，， ∴，； （3）， 如图，过点B，作，在上截取，连接，    ∵，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （4）如图，以为边，作正方形，连接，， 根据（1）可得P在上，则，    ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， 在 中，， ∴， 解得 （负值舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 【点睛】本题考查角平分线定义及画法，圆周角定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，含的直角三角形三边关系．掌握圆周角定理是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$