第10讲 勾股定理的逆定理（2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第10讲 勾股定理的逆定理（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点2．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 题型强化 题型一．勾股定理的逆定理 1．（2024春•启东市校级月考）的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是　　 A． B． C． D．，， 2．（2023秋•姑苏区校级月考）如图，在正方形网格中，点，，，，是格点，则的度数为 　　． 3．（2023秋•天宁区校级期中）如图，已知在中，，，，，，求的面积． 题型二．勾股数 4．（2023秋•沭阳县期末）下列各组数中，是勾股数的一组为　　 A． B．1，，2 C．4，5，6 D．6，8，10 5．（2023秋•盱眙县校级月考）观察下列各组勾股数，并寻找规律： ①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24， 请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：　　． 6．（2022秋•灌南县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 请你观察下列三组勾股数：，4，；，12，；，24，分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． （1）如果勾用，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　，则据此规律第四组勾股数是 　　． （2）若，，，其中且是整数．求证：以，，为边的是直角三角形． 题型三、判断三边能否构成直角三角形 7．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（    ） A．3cm．4cm．5cm B．1cm．1 cm．cm C．1cm．2 cm．cm D．cm．2cm．cm 8．（22-23八年级上·江苏南京·开学考试）若的三边、、满足条件：，则这个三角形最长边上的高为 ． 9．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）和中，，，连接． (1)如图1，求证：①．② (2)如图2，连接，若，求的度数． (3)如图3，取的中点M，N，连接，判断的形状，并说明理由． 题型四、利用勾股定理的逆定理求解 10．（19-20八年级上·江苏南京·期中）在如图的方格中， ABC的顶点 A、 B、 C都是方格线的交点，则三角形 ABC的外角ACD的度数等于（    ） A．130 B．140 C．135 D．145 11．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，和的垂直平分线和分别交于点D、E，若，，，则的面积等于 ． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 分层练习 一、单选题 1．若一个三角形的三边长分别为3，4，4.5，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．在中，、、的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 3．下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 4．在下列各组数中 能组成直角三角形的有（     ）   ①9、80、81  ② 10、24、25  ③ 15、20、25  ④ 8、15、17 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 5．下列条件中，能判断一个三角形是直角三角形的是（    ） A．三边长为，， B．三条边，，满足关系 C．三条边的比是 D．三个角的比是 6．满足下列条件的三角形中，不能判断直角三角形的是（    ） A．三个内角之比为 B．三边长的平方之比为 C．三边长之比为 D．三个内角的比为 7．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（    ） A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2 8．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 9．已知三组数据:①;②;③.以每组数据分别作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的为(     ) A．① B．①② C．①③ D．②③ 10．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若三角形的三边长分别等于， ，2，则此三角形的面积为 12．已知三边满足下列算式：，则的形状为 ． 13．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积 ． 14．如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 ． 15．已知，点是上的一个动点，则线段长的最小值是 ． 16．如图，已知图中小正方形在格点上，则△ABC的面积为 . 17．如图，O是正内一点，，，．将线段绕B逆时针旋转得到线段，那么 ． 18．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．    三、解答题 19．学校教学楼边有一块草坪如图所示，学校现在为了扩大学生课间的活动区域，需要给草坪铺上地砖，后勤师傅经过市场调研得知铺砖的费用为300元平方米．张老师得知此事后，决定带领学生协助后勤师傅完成此项工作，经过测量得知：米，米，米，米，且．请同学们与张老师一起计算一下此次学校总计花费多少元． 20．学校计划种植一块草坪，形状为如图所示的四边形，其中，，，，．若每种植1平方米草坪成本为元，求学校种植该草坪的成本为多少．    21．如图，在一条东西走向公路的一侧有一小区，公路旁原有两个汽车充电站，其中．由于某种原因，由到的路现在已经不通，该小区为方便居民充电，决定在公路旁新建一个汽车充电站（在同一直线上），并新建一条路，测得． (1)是不是从小区到公路最近的路？通过计算加以说明； (2)求新路比原路短多少千米． 22．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1． (1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为3的等腰三角形； (2)请你在图2中画一个以格点为顶点，有一条直角边长为的直角三角形．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） 23．如图,△ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12. (1)证明:△BCD是直角三角形. (2)求△ABC的面积. 24．一块田地的形状如图所示，已知，求该田地的面积． 25．某校根据《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，注重“劳动+教育”深度融合，让学生在劳动教育中感受劳动之美，提升综合素养．如图是某班的劳动实践基地，经测量．    (1)求出空地的面积 (2)若该班在此劳动实践基地上种植水稻，得到水稻，问每平方米可以收割多少千克水稻？ 26．阅读下列材料，然后回答问题． 已知平面内两点，则这两点间的距离可用下列公式计算： ． 例如：已知、，则这两点间的距离为， 特别地，如果两点所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． (1)已知、，求A、B两点间的距离； (2)已知A、B两点在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为，求A、B两点间的距离； (3)已知的顶点坐标分别为、、，你能判定的形状吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 勾股定理的逆定理（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点2．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 题型强化 题型一．勾股定理的逆定理 1．（2024春•启东市校级月考）的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是　　 A． B． C． D．，， 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：、， ， ， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 、设，则，， ， ，解得， ， 此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； 、， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键． 2．（2023秋•姑苏区校级月考）如图，在正方形网格中，点，，，，是格点，则的度数为 　　． 【分析】如图，作，连接，根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，可得，可得的度数． 【解答】解：如图，作，连接， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，求得是等腰直角三角形是解题的关键． 3．（2023秋•天宁区校级期中）如图，已知在中，，，，，，求的面积． 【分析】根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，，根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：，，， ， ，， ， 是直角三角形，， 的面积． 【点评】此题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，三角形面积，熟记勾股定理逆定理是解题的关键． 题型二．勾股数 4．（2023秋•沭阳县期末）下列各组数中，是勾股数的一组为　　 A． B．1，，2 C．4，5，6 D．6，8，10 【分析】根据勾股数的概念判断即可． 【解答】解：、不是正整数， ，2，不是一组勾股数，不符合题意； 、不是正整数， ，，2不是一组勾股数，不符合题意； 、，， ， ，5，6不是一组勾股数，不符合题意； 、，， ， 正整数6，8，10是一组勾股数，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数． 5．（2023秋•盱眙县校级月考）观察下列各组勾股数，并寻找规律： ①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24， 请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：　16，63，65　． 【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第组数，则这组数中的第一个数是，第二个是：，第三个数是：．根据这个规律即可解答． 【解答】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是；第二个是：；第三个数是：． 所以第⑦组勾股数：16，63，65． 故答案为：16，63，65． 【点评】考查了勾股数，规律型：数字的变化类，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键． 6．（2022秋•灌南县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 请你观察下列三组勾股数：，4，；，12，；，24，分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． （1）如果勾用，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　，则据此规律第四组勾股数是 　　． （2）若，，，其中且是整数．求证：以，，为边的是直角三角形． 【分析】（1）如果勾用，且为奇数）表示时，则股，弦；当时，即可求出第四组勾股数； （2）根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形进行解答即可． 【解答】解：（1）如果勾用，且为奇数）表示时，则股，弦； 当时，，； 第四组勾股数是，40，； 故答案为：，，，40，； （2）证明：，，，其中且是整数， ， ， 以，，为边的是直角三角形． 【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 题型三、判断三边能否构成直角三角形 7．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（    ） A．3cm．4cm．5cm B．1cm．1 cm．cm C．1cm．2 cm．cm D．cm．2cm．cm 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查直角三角形三边关系、勾股定理及其逆定理等知识，直角三角形三边的数量关系：斜边的平方等于两直角边的平方和，据此性质逐项依次判断即可解题． 【详解】解：A．，是直角三角形，不符合题意； B．，是直角三角形，不符合题意； C．，是直角三角形，不符合题意； D．，是直角三角形，不符合题意， 故选：D． 8．（22-23八年级上·江苏南京·开学考试）若的三边、、满足条件：，则这个三角形最长边上的高为 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长． 首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴是直角三角形， ∴这个三角形最长边上的高为：． 故答案为：． 9．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）和中，，，连接． (1)如图1，求证：①．② (2)如图2，连接，若，求的度数． (3)如图3，取的中点M，N，连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2) (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，根据图形灵活运用相关知识的性质是解题的关键． （1）①根据证明即可；②由全等三角形的性质得到，进而证明，据此可证明结论； （2）通过全等三角形的性质证得，再根据勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质即可求解； （3）根据全等三角形的性质可证得，，由此不难判断的形状． 【详解】（1）证明：①， ，即， ， ； ②设相交于点F，相交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，’ ； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ， 点M，N是的中点， ，，又， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 题型四、利用勾股定理的逆定理求解 10．（19-20八年级上·江苏南京·期中）在如图的方格中， ABC的顶点 A、 B、 C都是方格线的交点，则三角形 ABC的外角ACD的度数等于（    ） A．130 B．140 C．135 D．145 【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、三角形内角和定理的应用、勾股定理与网格问题 【分析】由勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解，设每个小方格的长为1 由勾股定理可得，， ∵，即， ∴为等腰直角三角形 ∴， ∴ 故选C 【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，得到为等腰直角三角形． 11．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，和的垂直平分线和分别交于点D、E，若，，，则的面积等于 ． 【答案】18 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，掌握线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接、，如图， 是线段的垂直平分线， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ∴， ∴， ， 故答案为：18． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)AC的长为5 (2)四边形的面积为36 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】(1)利用勾股定理直接计算求解即可． (2) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴， 故得长为5． （2）∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为： =． 分层练习 一、单选题 1．若一个三角形的三边长分别为3，4，4.5，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理和三边关系解答即可． 【详解】， 不能构成直角三角形，是锐角三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边、的平方和与最大边的平方之间的关系，若，三角形为锐角三角形；若，三角形为直角三角形；若，三角形为钝角三角形，进而作出判断． 2．在中，、、的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵22＋32≠42，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵22＋52≠52，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵52＋82≠102，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵72＋242＝252，∴以a、b、c为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 3．下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】利用勾股定理逆定理结合三角形三边关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，更不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、，能构成直角三角形，故C符合题意； D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理判断三角形是否是直角三角形，是解题的关键． 4．在下列各组数中 能组成直角三角形的有（     ）   ①9、80、81  ② 10、24、25  ③ 15、20、25  ④ 8、15、17 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【详解】①. ∵92+802≠812，∴不能构成直角三角形；②. ∵102+242≠252，∴不能构成直角三角形；③. ∵152+202=252，∴能构成直角三角形；④. ∵82+152=172，∴能构成直角三角形. 故选B. 5．下列条件中，能判断一个三角形是直角三角形的是（    ） A．三边长为，， B．三条边，，满足关系 C．三条边的比是 D．三个角的比是 【答案】A 【分析】A. 三边长为，，，把三边排序，，，两小数的平方和与大数平方进行比较即可， B. 把等式右边展开合并是看是否是即可， C. 三条边的比是，设比例系数为1，特值验证法，22+32和是否等于25即可， D. 三个角的比是，设每分数为xº，3x+4x+5x=180，求出x，求出3x,4x,5x 是否为90即可． 【详解】A. 三边长为，，，把三边排序，，，两小数的平方和与大数平方进行比较，大小相等就是直角三角形， B. 三条边，，满足关系把等式右边展开合并是否有中间项），不是直角三角形， C. 三条边的比是，设比例系数为1，特值验证法，22+32=4+9=13≠25，不等直角三角形， D. 三个角的比是，设每分数为xº，3x+4x+5x=180，x=15，5xº=5×15º=75º最大的角是75º，是锐角三角形 故选择：A． 【点睛】本题考查的是直角三角形问题，掌握证明直角三角形的方法，勾股定理法，由一角90º，全等法，会灵活选择方法证直角三角形是解题关键． 6．满足下列条件的三角形中，不能判断直角三角形的是（    ） A．三个内角之比为 B．三边长的平方之比为 C．三边长之比为 D．三个内角的比为 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、三内角之比为，最大内角是，不能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、三边长的平方之比为，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、设三边长分别为，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、三内角之比为，最大内角是，能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 7．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（    ） A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2 【答案】D 【分析】首先连接BD，再利用勾股定理计算出BD的长，再根据勾股定理逆定理计算出∠D=90°，然后计算出直角三角形ABD和直角三角形BDC的面积，即可算出答案． 【详解】解：如图，连接BD， ∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm， ∴BD==5（cm）， ∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132， ∴BD2+CD2=CB2， ∴∠BDC=90°， ∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2）， S△ABD=×3×4=6（cm2）， ∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解决此题的关键是算出BD的长，证明△BDC是直角三角形． 8．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、12+22≠32，故不是直角三角形，故此选项符合题意； B、12+（）2=（）2，故是直角三角形，故此选项不符合题意； C、32+42=52，故是直角三角形，故此选项不符合题意； D、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，正确验证两小边的平方和等于最长边的平方是解题的关键． 9．已知三组数据:①;②;③.以每组数据分别作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的为(     ) A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形． 【详解】①∵22+32=4+9=13，42=16，即22+32≠42， ∴①构不成直角三角形； ②∵32+42=9+16=25，52=25，即32+42=52， ∴②构成直角三角形； ③∵（）2+22=3+4=7，（）2=7，即（）2+22=（）2， ∴③构成直角三角形； 则构成直角三角形的有：②③． 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的简便方法是：两个较小的数的平方和等于最大数的平方即为直角三角形． 10．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．取格点F，连接，，证明是等腰直角三角形，则，证明，则，则. 【详解】解；如图，取格点F，连接，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 二、填空题 11．若三角形的三边长分别等于， ，2，则此三角形的面积为 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形．再利用直角三角形的面积公式计算出面积即可． 【详解】解：， 三角形是直角三角形， 两直角边分别为 2 ，， 根据直角三角形的面积公式得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积， 关键是正确判断出三角形是直角三角形 ． 12．已知三边满足下列算式：，则的形状为 ． 【答案】直角三角形 【分析】把原式变形为，可得，再根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形 【点睛】本题主要查了勾股定理的逆定理，因式分解，准确得到是解题的关键． 13．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积 ． 【答案】234 【分析】连接AC，根据勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，利用△ACD和△ABC的面积求和即可． 【详解】解：连接AC， ∵∠B=90°， ， ∵242+72=252， ∴∠D=90°， 四边形ABCD的面积=． 故答案为：234． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理．关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 14．如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ， ，， ， 是直角三角形，， 阴影， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是求出的长． 15．已知，点是上的一个动点，则线段长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短得到当时，线段最短，勾股定理逆定理求出是直角三角形，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∵垂线段最短， ∴当时，线段最短， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16．如图，已知图中小正方形在格点上，则△ABC的面积为 . 【答案】5 【分析】根据图示，用边长是4的正方形的面积减去两条直角边的长度分别是2、1，4、2，4、3的直角三角形的面积，即可求出△ABC的面积． 【详解】解：△ABC的面积等于边长是4的正方形的面积与两条直角边的长度分别是2、1，4、2，4、3的直角三角形的面积的差， 4×4-2×1÷2-4×2÷2-4×3÷2 =16-1-4-6 =5. ∴△ABC的面积为5． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及正方形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出边长是4的正方形的面积和两条直角边的长度分别是2、1，4、2，4、3的直角三角形的面积各是多少． 17．如图，O是正内一点，，，．将线段绕B逆时针旋转得到线段，那么 ． 【答案】/150度 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质可证是直角三角形，即可 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，证明是解本题的关键. 18．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．    【答案】135 【详解】试题分析：如图，连接EE′， ∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3， ∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1． ∴EE′=2，∠BE′E=45°． ∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9．∴E′E2+E′C2=EC2． ∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°．∴∠BE′C=135°． 三、解答题 19．学校教学楼边有一块草坪如图所示，学校现在为了扩大学生课间的活动区域，需要给草坪铺上地砖，后勤师傅经过市场调研得知铺砖的费用为300元平方米．张老师得知此事后，决定带领学生协助后勤师傅完成此项工作，经过测量得知：米，米，米，米，且．请同学们与张老师一起计算一下此次学校总计花费多少元． 【答案】总花费10800元 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， ∴， 为直角三角形， 这块草坪的面积（平方米）， （元， 答：此次学校总计花费10800元． 20．学校计划种植一块草坪，形状为如图所示的四边形，其中，，，，．若每种植1平方米草坪成本为元，求学校种植该草坪的成本为多少．    【答案】学校种植该草坪的成本为元 【分析】连接，则为直角三角形，为斜边，解直角求，根据，，判定为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该草坪的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴直角中，由勾股定理得， 即， ∴， 又∵，， ∴中，， ∴是直角三角形， 即， ∴， ∴（元）， 答：学校种植该草坪的成本为元．    【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键． 21．如图，在一条东西走向公路的一侧有一小区，公路旁原有两个汽车充电站，其中．由于某种原因，由到的路现在已经不通，该小区为方便居民充电，决定在公路旁新建一个汽车充电站（在同一直线上），并新建一条路，测得． (1)是不是从小区到公路最近的路？通过计算加以说明； (2)求新路比原路短多少千米． 【答案】(1)是最近的路，理由见详解 (2)新路比原路短 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，点到直线垂线最短等知识的运用，掌握勾股定理及其逆定理的运算是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，结合点到直线垂线段最短即可求解； （2）由（1）可得是直角三角形，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是最近的路，理由如下， ∵，则， ∴， ∴是直角三角形，即， 根据点到直线垂线段最短可得，是小区到公路最近的路； （2）解：设，则， 由（1）可得，，即， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴新路比原路短了． 22．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1． (1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为3的等腰三角形； (2)请你在图2中画一个以格点为顶点，有一条直角边长为的直角三角形．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形性质，勾股定理等知识． （1）利用数形结合思想构造底为2，高为3的等腰三角形； （2）利用数形结合思想构造直角边为，的直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，即为所求． ． 23．如图,△ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12. (1)证明:△BCD是直角三角形. (2)求△ABC的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC的面积为75. 【分析】（1）由勾股定理逆定理可以证明△BCD是直角三角形；（2）要求△BCD的面积，已知BD的长度，即要求AC的长度，已知CD的长度，即要求AD的长度，设AD＝x，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）证明：∵ CD＝9，BD＝12， ∴ CD2＋BD2＝92＋122＝225， ∵ BC＝15，∴ BC2＝225， ∴ CD2＋BD2＝BC2， ∴ △BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°； （2）设AD＝x，则AC＝x＋9， ∵ AB＝AC，∴ AB＝x+9， ∵ ∠BDC＝90°，∴ ∠ADB＝90°， ∴ AB2＝AD2＋BD2， ∴ ， 解得：x=， ∴AC=+9=， ∴S△ABC=AC×BD=××12=75， ∴ △ABC的面积为75． 【点睛】本题主要考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用． 24．一块田地的形状如图所示，已知，求该田地的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用等知识．连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，得到， 利用割补法即可求出该田地的面积． 【详解】解：连接， 在中，根据勾股定理，可得， ∵， ∴ ∴是直角三角形， ∴， ∴该田地的面积＝的面积-的面积 = 答：该田地的面积是． 25．某校根据《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，注重“劳动+教育”深度融合，让学生在劳动教育中感受劳动之美，提升综合素养．如图是某班的劳动实践基地，经测量．    (1)求出空地的面积 (2)若该班在此劳动实践基地上种植水稻，得到水稻，问每平方米可以收割多少千克水稻？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理， （1）连接，利用勾股定理可得，再求得，再根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，再分别求得和的面积，即可求解； （2）利用水稻的重量除以总面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，即， 在中，， ，即， 是直角三角形，且， ．    （2）解：由题意可得，， 答：每平方米可以收割水稻． 26．阅读下列材料，然后回答问题． 已知平面内两点，则这两点间的距离可用下列公式计算： ． 例如：已知、，则这两点间的距离为， 特别地，如果两点所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． (1)已知、，求A、B两点间的距离； (2)已知A、B两点在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为，求A、B两点间的距离； (3)已知的顶点坐标分别为、、，你能判定的形状吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)7 (3)直角三角形，理由见解析 【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算； （2）由于横坐标相同，所以、两点间的距离等于纵坐标差的绝对值； （3）先根据两点间的距离公式计算出、、，然后根据勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】（1）解：、， ； （2）、在平行于轴的同一条直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为， ； （3）是直角三角形． 理由：， ， ， ，， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$