6.4.2 超几何分布 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

6.4.2 超几何分布 北师大版（2019）选择性必修一 学习目标 1.理解超几何分布的概念 2.会用超几何分布解决一些简单的实际问题． 学习重点 学习难点 掌握独立重复试验的概念及意义理解在 k次独立重复试验中事件发生k次的概率公式. 理解 n次独立重复试验的模型,并能用于解一些简单的实际问题 新课导入 以下四个试验, 他们的共同点是什么？ (1)拋一枚质地均匀的硬币 5 次. (2)某位同学玩射击游戏, 总共射击 10 次, 每次射中的概率为 0.7 . (3) 小明同学罚球的命中率为 0.7 , 总共罚球 4 次. (4)口袋有 5 个白球, 4 个黑球,有放回得抽 4 次. 新课学习 已知在 10 件产品中有 4 件次品, 现从这 10 件产品中任取 3 件, 用X表示取得次品的件数, 试写出X的分布列. 因此,随机变量X的分布列如表 : 超几何分布 若一个随机变量X的分布列由上式确定, 则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布. 超几何分布公式的推导 超几何分布的分布列及其期望与方差 二项分布与超几何分布的区别与联系 思考交流 结论 （1）服从.N=45，M=20，n=7 （2）服从.N=52，M=13，n=10 例题来了 例1 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛: (1) 求所选 3 人都是男生的概率; (2) 求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率; (3) 求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率; (4) 设所选 3 人中女生的人数为 , 求X的分布列及EX . 解： 解： 求超几何分布均值的步骤 （1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值． （2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率． （3）利用均值公式求解． 课堂巩固 B C A B C 0.103 总结一下 超几何分布 感谢观看 pantone gray and yellow color matching thesis defense template color matching thesis 首先，从这10件产品中任取3件，共有 种取法，每一种取法都是等可能的. 已知在10件产品中有4件次品，故X的可能取值为0，1，2，3.当 时， 表示"任取的 3 件产品中不含次品"，即从4件次品中取出0件，品中取出3件， 共有 种取法，故事件 的概率为 当 时， 表示“任取的3件产品中恰有 1 件次品”，即从4件次品中取出 1 件，再从6件正品中取出2件，共有 种取法，故事件 的概率为 同理， 可得 事实上，当 时，表示“任取的3件产品中恰有k件次品”， 即从4件次品中取出k件，再从 6 件正品中取出 件，共有 种取法，故事件 的概率为 一般地，设有N件产品，其中有 件次品. 从中任取 件产品， 用 X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 其中 ， ，n，M， 公式中的k可以取的最小值为 ，而不一定是 0 .例如，有100件产品，其中有20件次品，从中任取 85件产品，此时，至少要取到5件次品，而不是0件. 若事件 表示“从含M件次品的N件产品中任取n件，其中有k件次品”这一随机事件．事件“从N件产品中任取n件”共有 个样本点，其中恰有k件次品，则必有 件非次品，因此事件 中含有 个样本点，由于任一样本点是等可能出现的，所以由古典概型的概率计算 若离散型随机变量服从参数N，M，n的超几何分布，则随机变量X的分布列为 ，其中 ，且 . 当 时， X 0 1 k t p 当 时， X a a+1 t p 其中 ， 则 ， 我们用如下例子来说明二项分布与超几何分布的区别与联系．袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球，若采取有放回抽样方式，从中每次摸1个球，共摸3次．记X为摸出的白球个数，把每次摸球看成一次试验，3次摸球看成3重伯努利试验，每次摸出白球的概率均为 ，所以3次试验中摸出白球的个数X服从二项分布，即 ．若采用不放回抽样方式，从中依次摸出3个球，记Y为摸出的白球的个数，由于是不放回摸球，每次摸出白球的概率未必相同， 因此3次摸球不能视为3重伯努利试验，此时摸出白球的个数Y服从参数为N=5，M=2，n=3的超几何分布．因此，二项分布模型与超几何分布模型最主要的区别在于抽取是否有放回 当参数N→+∞时，超几何分布可近似看作二项分布，在实际应用中，如果N的值比较大，即便采取不放回抽样方式，也可以近似地用二项分布模型来处理． 下列随机变量X是否服从超几何分布? 如果服从超几何分布，其参数N，M，n分别是多少? （1）一个班共有45名学生，其中女生 20人，现从中任选7人，用X表示选出的女生人数； （2）从一副扑克牌(去掉大、小王，共 52张) 中取出10张牌，用X表示取出的黑桃的张数. 依题意知从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，共有 种选法，且每一种选法都是等可能的. （1）所选3人都是男生的概率为 . （2）所选3人中恰有1名女生的概率为 . （3）所选3人中至少有1名女生的概率为 . （4）依题意知X服从参数为6，2，3的超几何分布， 其分布列为 如表： 根据均值的定义，可知 一般地， 当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为 . 例2 某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表．表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为eq \f(2,5). 　　专业 性别 中文 英语 数学 体育 男 n 1 m 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同)． （1）求m，n的值； （2）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； （3）设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、均值． （1）设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”， 由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名， 则P(A)＝eq \f(1＋m,10)＝eq \f(2,5)，解得m＝3. 因为m＋n＋6＝10，所以n＝1. (2)设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”， 则P(B)＝eq \f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3)＋1,C\o\al(3,10))＝eq \f(1,12). （3）方法一　由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0,1,2,3. P(ξ＝0)＝eq \f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,120)， P(ξ＝1)＝eq \f(C\o\al(1,7)C\o\al(2,3),C\o\al(3,10))＝eq \f(21,120)＝eq \f(7,40)， P(ξ＝2)＝eq \f(C\o\al(2,7)C\o\al(1,3),C\o\al(3,10))＝eq \f(63,120)＝eq \f(21,40)， P(ξ＝3)＝eq \f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq \f(35,120)＝eq \f(7,24). 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P eq \f(1,120) eq \f(7,40) eq \f(21,40) eq \f(7,24) 均值Eξ＝0×eq \f(1,120)＋1×eq \f(7,40)＋2×eq \f(21,40)＋3×eq \f(7,24)＝eq \f(21,10). 方法二　由题意知随机变量ξ服从参数n＝3，M＝7，N＝10的超几何分布， 故Eξ＝eq \f(3×7,10)＝eq \f(21,10). 1.某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件的概率等于 的是( ) A.至少有1个深度贫困村 B.有1个或2个深度贫困村 C.有2个或3个深度贫困村 D.恰有2个深度贫困村 解析：用X表示这3个村中深度贫困村数，X服从超几何分布，则 .所以 ， ， ， .因为 ，所以有1个或2个深度贫困村.故选B. 2.有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则 ( ) A. B. C. D.1 解析：由题意知X的所有可能取值为0，1，2，X服从超几何分布，则 ， ， ，所以 . 3.某校团委举办“鉴史知来”读书活动，经过选拔，共10人的作品被选为优秀作品，其中高一年级5人，高二年级5人，现采取抽签方式决定作品播出顺序，则高二年级5名同学的作品在前7顺位全部被播放完的概率为( ) A. B. C. D. 解析：由题意知，若X表示抽到高二年级同学的作品数，则 ， ， ， ， . 4.某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用 表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于 的是( ) A. B. C. D. 解析：由题意可得， ， ， ， ， ， .故选B. 5.在一个口袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从口袋中任取4个球，设取的4个球中白球的个数为X，则下列结论正确的是( ) A. B.随机变量X服从二项分布 C.随机变量X服从超几何分布 D. 解析：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确； 由题知，X的可能取值为0，1，2，3，4， 则 ， ， ， ， ， ，故A，D错误. 故选C. 6.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是___________. 解析：由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是： 7.在某次学校的春游活动中，高二（2）班设计了这样一个游戏：一个纸箱里放了5个红球和5个白球，这些球除颜色外其余完全相同，若一次性从中摸出5个球，摸到4个或4个以上红球即中奖，则中奖的概率是__________（精确到0.001）. 解析：设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布,其中 , , ,于是中奖的概率为 . $$