第一章空间向量与立体几何单元测试（新结构试卷）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何单元测试（新结构试卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，，平面的法向量为，若，则（    ） A． B．3 C．4 D．5 2．已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．7 D．1 3．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则在方向上的投影为（    ） A． B． C． D． 5．下列命题中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 6．已知，，则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 7．如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（多选）如图，在长方体中，，，，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，以下结论正确的是（   ）    A．点的坐标为 B．点关于点B对称的点为 C．点A关于直线对称的点为 D．点C关于平面对称的点为. 11．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量，共面 三、填空题 12．如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 . 13．若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 14．二面角中，，且，若，，则此二面角的大小为 ． 四、解答题 15．如图，在三棱锥中，已知平面平面BCD，，，，，. （1）求证：平面ABC； （2）若点E是线段CD的中点，求C到平面ABE的距离. 16．如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且.    (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 17．如图，在四棱锥中，底面 ,,，    (1)证明：平面平面 ； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18．如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，. (1)求的值； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 19．如图，在长方体中，，点在棱上移动.    (1)当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值； (2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C C C A B ABD ACD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据线面平行的向量表示可得答案. 【详解】因为，， 所以，即，解得. 故选：A. 2．C 【分析】利用面面垂直的空间向量的坐标运算可得答案. 【详解】因为，又，所以， 所以，解得， 故选：. 3．A 【分析】设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，． 【详解】 设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 4．C 【分析】运用投影的概念，结合数量积和求模公式求解即可. 【详解】在方向上的投影为. 故选：C. 5．C 【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误； 对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为， ，有，则或，B选项错误； 对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线l与平面所成的角为，C选项正确； 对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线， 若，则，解得，D选项错误. 故选：C. 6．C 【分析】由坐标运算求出，，，进而求出，再求得在方向上的投影，然后即可求出点B到直线AC的距离. 【详解】因为，， 所以，， ， ， 所以在方向上的投影为，， 所以点B到直线AC的距离为. 故选：C. 7．A 【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可. 【详解】在平行六面体中, 四边形是平行四边形,侧面是正方形, 又是的交点, 所以是的中点, 因为,,, 所以， 所以 ， 所以 又， 所以 ， 可得,， 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故选：A. 8．B 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】由，解得 当共线时，由，即解得， 所以当夹角为钝角时， 故选：B 9．ABD 【分析】根据空间向量基底的概念可得解. 【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确； 设，即方程无解， 所以，，不共面，B选项正确； 设，即，解得： ， 即，所以，，共面，C选项错误； 设，显然三个向量不共面，D选项正确； 故选：ABD. 10．ACD 【分析】根据空间直角坐标系直接写出点、、A、C的坐标；然后根据对称即可求解判断B、C、D. 【详解】因为在长方体中，，，， 所以点的坐标为，故A正确. 设点关于点B对称的点为 则 解得： 则点关于点B对称的点为,故B错误. 由立体几何的特征知：点A关于直线对称的点为故C正确. 由立体几何的特征知：点C关于平面对称的点为，故D正确. 故选：ACD. 11．ABD 【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C错误，得出向量共面判断D. 【详解】因为，所以， 可得，则向量与向量的夹角为，故A正确； 因为， 所以，即B正确； 根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以C错误； 由向量，，，可知， 向量与向量，共面， 所以D正确. 故选：ABD 12．1 【分析】结合是的重心，根据向量的线性运算，代入即可得出． 【详解】D为AB中点，连接OD，CD，有， 是的重心，则G在CD上，且， 即，则有， 所以， 可得，则有. 故答案为：1 13． 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 14． 【分析】利用二面角定义先确定其平面角为，利用空间向量的数量积公式及模长计算夹角即可. 【详解】   如图所示，根据题意知：，， ，， 易知二面角的平面角即， 所以， 即， 由空间向量夹角的范围知，所以， 即此二面角的大小为. 故答案为： 15．（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明； （2）由可求得C到平面ABE的距离． 【详解】（1）∵，∴， 又平面平面BCD，平面平面BCD，平面， ∴平面ABC； （2）取中点，连接， 中由余弦定理得， ， 是等腰直角三角形．， 是中点，则，， 又平面平面BCD，平面平面BCD，平面， ∴平面，平面，∴， 又是中点，∴，，∴， ， 是等腰三角形，， ， 设到平面的距离为， 由得，解得． ∴到平面的距离为． 【点睛】本题考查证明线面垂直，求点到平面的距离．证明线面垂直，掌握面面垂直的性质定理是关键，求点到平面的距离采取的方法是等体积法． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据的面积相等，得到再由平面证得结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为，所以， 由，即， 又因为，可得为边上的高，所以 因为平面且平面所以 又因为且平面，所以平面. （2）解：因为平面且， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故与平面所成角的正弦值为.    17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的定理证明结果即可； （2）建立如图所示坐标系，分别求出平面和平面的法向量，代入公式计算即可； 【详解】（1）证明：记， 因为，所以， 所以， 即， 又底面平面， 所以， 因为，且平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面．    （2）取中点，连接，则，所以平面， 所以三条直线两两垂直， 分别以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以 设平面的法向量为， 则，可取， 同理设平面的一个法向量为， 则，可取 所以，， 所以，平面与平面的夹角的余弦值为． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理，即可求解； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角. 【详解】（1）中，，，， 根据余弦定理，. （2）如图，以点为原点，为轴和轴，过点作为轴，建立空间直角坐标系， ，，，， ,， 设异面直线与所成角为， 则 所以异面直线与所成角的余弦值为. 19．(1) (2)当时，直线与平面所成角的正弦值最小，最小值为 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面所成的夹角的余弦值； （2）设，可求得平面的一个法向量，直线的方向向量，利用向量法可得，可求正弦值的最小值. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，    当点在棱的中点时，则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成的夹角的余弦值为； （2）设， 则， 则，    设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 令， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$