2.2.2 直线的方程（第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.2.2　直线的方程　 第1课时　直线的点斜式方程与斜截式方程 第二章　平面解析几何 人教B版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.了解直线l的方程的概念. 2.掌握直线的点斜式方程和斜截式方程的求法. 3.重点提升数学运算和直观想象素养. 自主预习 新知导学 一、直线的点斜式方程 1.若斜率为k的直线l上有一点P(x0,y0),则直线l上除点P外的任意一点的坐标应满足什么条件? 提示:设l上除点P外的任意一点的坐标为(x,y)(x≠x0),则k= , 即y-y0=k(x-x0). 2.(1)直线l的方程 一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上,则称F(x,y)=0为直线l的方程,而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.此时,“直线l”也可说成“直线F(x,y)=0”,并且记作l:F(x,y)=0. (2)直线的点斜式方程 方程 y-y0=k(x-x0)由直线上一点P(x0,y0)和直线的斜率k确定,通常称为直线的点斜式方程. 3.(1)过点(1,1),斜率k=1的直线的方程为　　　　　.  (2)过点(-3,2),斜率k=0的直线的方程为　　　　　.  答案:(1)y=x　(2)y=2 二、直线的斜截式方程 1.若直线l经过点(0,b),且斜率为k,试写出直线l的方程. 提示:由题意知,y-b=k(x-0),即y=kx+b. 2.(1)直线l的截距 一般地,当直线l既不是x轴也不是y轴时:若l与x轴的交点为(a,0),则称l在x轴上的截距为a;若l与y轴的交点为(0,b),则称l在y轴上的截距为b.一条直线在 y轴上的截距简称为截距. (2)直线的斜截式方程 方程 y=kx+b由直线的斜率和截距确定,通常称为直线的斜截式方程. 3.直线的截距一定是非负数吗? 提示:不一定.截距是直线与y轴的交点的纵坐标,故可以是正数、负数或零. 4.直线的斜截式方程有何局限性? 提示:它不能表示与x轴垂直的直线. 5.(1)倾斜角为60°,截距为1的直线方程为　 .  (2)斜率为-1,且经过点(3,3)的直线在x轴、y轴上的截距分别为　　　　　.  答案:(1)y= x+1　(2)6,6 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)由直线上的一点和直线的斜率可以确定直线的方程.(　　) (2)第一象限的角平分线对应的方程是y=x.(　　) (3)点斜式方程可以表示任意直线.(　　) √ × × 合作探究 释疑解惑 探究一 直线的点斜式方程 【例1】 写出下列直线的点斜式方程. (1)经过点(1,3),斜率为4的直线; (2)经过点(2,5),倾斜角为45°的直线; (3)直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线. 分析:先确定直线的斜率k及直线上一点的坐标,再写出直线的点斜式方程. 解:(1)由点斜式方程可知,直线的点斜式方程为y-3=4(x-1). (2)因为直线的倾斜角为45°,所以斜率k=tan 45°=1, 所以直线的点斜式方程为y-5=x-2. (3)由题意可知,直线y=x+1旋转后得到的直线的倾斜角为135°,故斜率k=tan 135°=-1,故直线的点斜式方程为y-4=-(x-3). 探究一 探究二 探究三 易错辨析 注意只有在斜率存在的情况下才可以用点斜式方程表示直线. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练1】 求斜率为 ,且与x轴的交点的横坐标为-7的直线的方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二 直线的斜截式方程 【例2】 已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m. (1)求直线l的方程. (2)当m为何值时,直线l经过点(1,1)? 解:(1)由直线的斜截式方程,可得直线l的方程为y=2x+m. (2)将点(1,1)的坐标代入方程y=2x+m,得1=2×1+m,解得m=-1. 故当m=-1时,直线l经过点(1,1). 探究一 探究二 探究三 易错辨析 (1)将本例中“在y轴上的截距为m”改为“在x轴上的截距为m”,求直线l的方程; (2)在本例条件下,求直线l在x轴上的截距. 解:(1)由题意可知,直线l过点(m,0),故直线l的点斜式方程为y-0=2(x-m),化简得y=2x-2m. (2)因为直线l的方程为y=2x+m,令y=0,得x=- ,所以直线l在x轴上的截距为 - . 探究一 探究二 探究三 易错辨析 已知直线的斜率和直线与y轴的交点的坐标,用斜截式写出直线的方程比用点斜式写出直线的方程更方便. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三 直线方程的选择 【例3】 已知直线l过点P(3,4),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程. 解:由题意知,直线l的斜率存在,且不为0,设斜率为k,则直线l的点斜式方程为y-4=k(x-3). 探究一 探究二 探究三 易错辨析 在求直线的方程时,应根据已知条件选择适当的直线方程.注意点斜式方程和斜截式方程的局限性. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练3】 已知直线l过点(0,2),(2,6),求直线l的方程. 解:由已知,得直线l的斜率 =2,故直线l的方程为y=2x+2. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 易错辨析 因混淆“截距”与“距离”而致误 【典例】 已知斜率为- 的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为6,求直线l的方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:误把直线在两坐标轴上的截距当成距离. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 明确直线在x轴、y轴上的截距的含义,注意截距可以是正数、负数或零. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 【变式训练】 一条直线的斜率为 ,且与两条坐标轴所围成的三角形的周长是12,求这条直线的方程. 探究一 探究二 探究三 易错辨析 随堂练习 1.已知直线l的斜率k=-3,且经过点(2,-1),则直线l的方程为(　　) C.y=-3x+5 D.y=3x-7 解析:由题意可知,l的方程为y-(-1)=-3(x-2),即y=-3x+5. 答案:C 答案:B 3.(多选题)已知直线l:y+2=-x+1,则(　　) A.直线l经过点(1,-2) B.直线l经过点(3,-1) C.直线l的倾斜角为45° D.直线l在x轴上的截距为-1 答案:AD 4.已知直线l的斜率为- ,在x轴上的截距为-1,则直线l在y轴上的截距为　　　　　.  5.经过(5,-3),(-7,-3)两点的直线的方程是　　　　　.  答案:y=-3 6.已知直线l的斜率和直线l0:y= x+2的斜率相等,直线l在y轴上的截距与直线l0在x轴上的截距相等,求直线l的方程. 解:由题意可知,直线过点(-7,0),斜率为,故直线的点斜式方程为 y-0=(x+7),化简得y=x+. 解:(1)由题意得,所求直线的斜截式方程为y=2x+5. (2)因为倾斜角为150°,所以斜率k=tan 150°=-. 所以直线的斜截式方程为y=-x-2. 令x=0,得y=4-3k,令y=0得,x=3-. 由4-3k=3-,即3k2-k-4=0,解得k=或k=-1. 故直线l的方程为y=x或y=-x+7. k= 错解:设直线l的方程为y=-x+b,当x=0时,y=b;当y=0时,x=b, 则b·b=6, 即b2=16, 解得b=4. 故直线l的方程为y=-x+4. 正解:设直线l的方程为y=-x+b, 令x=0,得y=b; 令y=0,得x=b. 由题意,得|b|·=6, 所以b2=16, 所以b=±4. 故直线l的方程为y=-x+4或y=-x-4. 解:设所求直线的方程为y=x+b. 令x=0,得y=b;令y=0,得x=-b. 由题意,得|b|+=12, 即|b|+=12,解得b=±3. 故所求直线的方程为y=x+3或y=x-3. A.y=-x+ B.y=x- 2.直线-y+3=-(x-1)的斜率为(　　) A.- B. C.2 D.-2 解析:直线方程可化简为y=x+,故它的斜率为. 解析:由已知,得直线l的方程为y=-(x+1),令x=0,得y=-. 答案:- 解:由题意可知,直线l0的斜率为,令y=0,可得直线l0在x轴上的截距为-4, 故直线l的斜率为,在y轴上的截距为-4. 故直线l的方程为y=x-4. $$