解三角形及其应用专项练习-2025届高三数学一轮复习

解三角形及其应用 1.(2024·海南校考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=8,b=6,A=60°,则sin B=(　　).　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.(2024·四川模拟)在△ABC中,已知A=,C=,AC=2,则AB边的长为(　　). A.2 B.2 C. D. 3.(2024·浙江检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a2+c2-ac,则B=(　　). A. B. C. D. 4.(2024·湖南模拟)在△ABC中,BC=3,sin B+sin C=sin A,且△ABC的面积为sin A,则A=(　　). A. B. C. D. 5.(2024·黑龙江统考)爱立信球形体育馆位于瑞典斯德哥尔摩,其外形像一个大高尔夫球.某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径,在体育馆外围测得AB=40 m,CD=80 m,∠ACB=45°,∠ABC=∠ACD=60°(其中A,B,C,D四点共面),据此可估计该体育馆的直径AD为(　　).(参考数据:≈1.732,≈2.646) A.98 m B.102 m C.106 m D.122 m 6.(2024·上海期中)在钝角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,则最长边c的取值范围是(　　). A.(,3) B.(2,) C.(,2) D.(,3) 7.(2024·山东统考)某数学兴趣小组欲测量校内旗杆顶部M和教学楼顶部N之间的距离,已知旗杆AM高15 m,教学楼BN高21 m,在与A,B同一水平面的C处测得的旗杆顶部M的仰角为30°,教学楼顶部N的仰角为60°,∠ACB=120°,则M,N之间的距离为(　　). A. m B. m C. m D. m 8.(2024·浙江模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=,a=4,且该三角形有两解,则b的取值范围是(　　). A.(2,+∞) B.(2,4) C.(0,4) D.(3,4) 9.(2024·福建期中)(多选题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法不正确的是(　　). A.若A>B,则sin A>sin B B.若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC是锐角三角形 C.若sin A-sin B=cos B-cos A,则△ABC为等腰三角形 D.若a=3,b=2,A=60°,则符合条件的△ABC有两个 10.(2024·上海模拟)在△ABC中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=　　　　.  11.(2024·陕西模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b2+c2+bc.已知a=,S为△ABC的面积,则S+3cos Bcos C的最大值是　　　　.  12.(2024·山西统考)以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(称为拿破仑三角形)的顶点.在△ABC中,已知A=90°,AC=2,BC=4,现以AB,BC,CA为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为D,E,F,则DE的长为(　　). A.4 B.2 C.3 D.2 13.(2024·江苏期中)(多选题)下列结论正确的是(　　). A.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则△ABC是等腰三角形 B.在△ABC中,A>B是sin A>sin B的充要条件 C.将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=cos 2x的图象 D.在△ABC中,若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为或 14.(2024·湖北联考)(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=,a2+b2-c2=2absin C,=,则下列结论正确的是(　　). A.C= B.△ABC外接圆的半径为1 C.c= D.△ABC的面积为 15.(原创)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,2sin B+bcos A-ab=0,△ABC的面积为,则b+c=(　　). A.4 B.5 C.6 D.7 16.(原创)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足+=,则的最小值为　　　　.  17.(原创)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,写出同时满足条件“①acos A=bcos B;②△ABC不是等腰三角形”的∠A,∠B,则∠A=　　　　,∠B=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 解三角形及其应用 1.(2024·海南校考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=8,b=6,A=60°,则sin B=(　　).　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由正弦定理得=,则=,故sin B===. 2.(2024·四川模拟)在△ABC中,已知A=,C=,AC=2,则AB边的长为(　　). A.2 B.2 C. D. 【答案】B 【解析】由A=,C=,可得B=π-A-C=π--=,由正弦定理可得=,则AB===2. 3.(2024·浙江检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a2+c2-ac,则B=(　　). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】依题意得b2=a2+c2-ac,即a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cos B==,又0<B<π,所以B=. 4.(2024·湖南模拟)在△ABC中,BC=3,sin B+sin C=sin A,且△ABC的面积为sin A,则A=(　　). A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,因为sin B+sin C=sin A,所以由正弦定理可得b+c=a=,又S△ABC=bcsin A=sin A,解得bc=1, 所以由余弦定理可得cos A====-.因为A∈(0,π),所以A=. 5.(2024·黑龙江统考)爱立信球形体育馆位于瑞典斯德哥尔摩,其外形像一个大高尔夫球.某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径,在体育馆外围测得AB=40 m,CD=80 m,∠ACB=45°,∠ABC=∠ACD=60°(其中A,B,C,D四点共面),据此可估计该体育馆的直径AD为(　　).(参考数据:≈1.732,≈2.646) A.98 m B.102 m C.106 m D.122 m 【答案】C 【解析】如图,连 接AC,AD,在△ABC中,由正弦定理得=, 即=,解得AC=120. 在△ACD中,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos∠ACD,即AD2=1202+802-2×120×80×=11200,所以AD==40≈106(m). 6.(2024·上海期中)在钝角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,则最长边c的取值范围是(　　). A.(,3) B.(2,) C.(,2) D.(,3) 【答案】D 【解析】因为△ABC是钝角三角形,a=1,b=2,且c是最长边,所以由余弦定理可得cos C=<0,即c2>a2+b2=5,又c>0,所以c>.因为c<a+b=3,所以c的取值范围是(,3). 7.(2024·山东统考)某数学兴趣小组欲测量校内旗杆顶部M和教学楼顶部N之间的距离,已知旗杆AM高15 m,教学楼BN高21 m,在与A,B同一水平面的C处测得的旗杆顶部M的仰角为30°,教学楼顶部N的仰角为60°,∠ACB=120°,则M,N之间的距离为(　　). A. m B. m C. m D. m 【答案】D 【解析】 如图,过点M作MD⊥BN于点D,则MD=AB. 在Rt△ACM中,AM=15,∠ACM=30°,∴AC=AM=15.在Rt△BCN中,BN=21,∠BCN=60°,∴BC==7.易知BD=AM=15,DN=BN-BD=6. 在△ABC中,∠ACB=120°, 由余弦定理得AB= = =, ∴DM=AB=. 在Rt△DMN中,∠MDN=90°,得MN===(m). 8.(2024·浙江模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=,a=4,且该三角形有两解,则b的取值范围是(　　). A.(2,+∞) B.(2,4) C.(0,4) D.(3,4) 【答案】B 【解析】由正弦定理得=,所以b===.因为该三角形有两解,所以=B<A<,A≠,故sin A∈,1,即b∈(2,4). 【方法解读】解三角形之“三角形解的个数”问题 在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下: A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系 式 a=bsin A bsin A <a<b a≥b a>b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 9.(2024·福建期中)(多选题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法不正确的是(　　). A.若A>B,则sin A>sin B B.若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC是锐角三角形 C.若sin A-sin B=cos B-cos A,则△ABC为等腰三角形 D.若a=3,b=2,A=60°,则符合条件的△ABC有两个 【答案】BCD 【解析】对于选项A,由正弦定理得==2R,即a=2Rsin A,b=2Rsin B,因为A>B,所以a>b,所以2Rsin A>2Rsin B,得到sin A>sin B,所以选项A正确; 对于选项B,sin2A+sin2B>sin2C,则由正弦定理得a2+b2>c2,即a2+b2-c2>0,又因为cos C=,所以cos C>0,即C为锐角,但无法判断A,B的范围,所以选项B错误; 对于选项C,由sin A-sin B=cos B-cos A,得sin A+cos A=sin B+cos B,则有sinA+=sinB+,即A=B或A+B=,所以选项C错误; 对于选项D,因为a=3,b=2,A=60°,所以bsin A=2×=<a,又b<a,所以符合条件的△ABC只有1个,所以选项D错误.故选BCD. 10.(2024·上海模拟)在△ABC中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=　　　　.  【答案】 【解析】因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),变形得a2+b2-c2=ab,所以cos C==,又0<C<π,所以C=. 11.(2024·陕西模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b2+c2+bc.已知a=,S为△ABC的面积,则S+3cos Bcos C的最大值是　　　　.  【答案】3 【解析】因为a2=b2+c2+bc,所以cos A==-,因为0<A<π,所以A=.设△ABC外接圆的半径为R,则2R===2,所以b=2Rsin B=2sin B,c=2sin C,所以S+3cos Bcos C=bcsin A+3cos Bcos C=bc+3cos Bcos C=3sin Bsin C+3cos Bcos C=3cos(B-C),所以当B-C=0,即B=C时,S+3cos Bcos C取得最大值,最大值为3. 12.(2024·山西统考)以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(称为拿破仑三角形)的顶点.在△ABC中,已知A=90°,AC=2,BC=4,现以AB,BC,CA为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为D,E,F,则DE的长为(　　). A.4 B.2 C.3 D.2 【答案】B 【解析】 如图,在Rt△ABC中,AB==6,由题意可知BE=×=×=4,BD=×=×=2,且∠EBC=∠CBA=∠ABD=30°,所以∠EBD=90°,所以DE==2. 13.(2024·江苏期中)(多选题)下列结论正确的是(　　). A.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则△ABC是等腰三角形 B.在△ABC中,A>B是sin A>sin B的充要条件 C.将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=cos 2x的图象 D.在△ABC中,若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为或 【答案】BCD 【解析】A选项中,因为sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,所以A错误; B选项中,由A>B,得a>b,则由正弦定理得sin A>sin B,反之亦成立,所以B正确; C选项中,将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin 2x+=sin2x+=cos 2x的图象,所以C正确; D选项中,由正弦定理得=,即=,得sin C=,则C=60°或C=120°,所以A=90°或A=30°,所以△ABC的面积为S=××1×sin 90°=或S=××1×sin 30°=,所以D正确. 14.(2024·湖北联考)(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=,a2+b2-c2=2absin C,=,则下列结论正确的是(　　). A.C= B.△ABC外接圆的半径为1 C.c= D.△ABC的面积为 【答案】ABC 【解析】因为a2+b2-c2=2absin C,所以由余弦定理得cos C==sin C,故tan C=1.因为C为△ABC的内角,所以C=,故A正确. 由=,得=,则=,整理得2sin Bcos A=sin B.因为B为△ABC的内角,所以sin B≠0,故cos A=.因为A为△ABC的内角,所以A=.由正弦定理得2R=,则△ABC外接圆的半径为R=×=×=1,故B正确. 由正弦定理得c===,故C正确. 因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=,所以△ABC的面积S△ABC=acsin B=×××=,故D错误.故选ABC. 15.(原创)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,2sin B+bcos A-ab=0,△ABC的面积为,则b+c=(　　). A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A 【解析】因为a=2,2sin B+bcos A=b,所以asin B+bcos A=b,由正弦定理可得sin A·sin B+sin Bcos A=sin B,即2sinA+=,得sinA+=.因为<A+<,所以A+=,得A=,所以S△ABC=bcsin A=bc=,得bc=4. 由余弦定理知a2=4=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12,所以b+c=4. 16.(原创)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足+=,则的最小值为　　　　.  【答案】1 【解析】由+=,得+=,化简得==,解得tan A=,故A=. 由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时等号成立,所以的最小值为1. 17.(原创)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,写出同时满足条件“①acos A=bcos B;②△ABC不是等腰三角形”的∠A,∠B,则∠A=　　　　,∠B=　　　　.  【答案】,(答案不唯一) 【解析】因为acos A=bcos B,所以由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,则sin 2A=sin 2B,则在△ABC中,2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.因为△ABC不是等腰三角形,所以A+B=且A≠B,故A=,B=符合题意(答案不唯一). 学科网（北京）股份有限公司 $$