第2章 有理数的运算能力提升测试卷-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版2024新教材）

第2章 有理数的运算能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．有理数、、、0、中，负数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（行程问题）快车以60千米/时的速度从甲站向乙站开出，1.5小时后，慢车以40千米/时的速度从乙站向甲站开出，两车相遇时，相遇点离两站的中点70千米，则甲、乙两站相距（   ）千米． A．140 B．170 C．240 D．340 3．中国船舶自主品牌在国际上发挥引领作用，年初已高质量完成多艘船舶的交船任务，其中包括满足最新环保排放标准的原油船“凯盟”轮，该船总重11.5万吨．将数据115000用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 4．为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 5．下列计算结果互为相反数的是（    ） A．与. B．与 C．与 D．与 6．已知，则代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 7．若，且，则的值是（    ） A．3 B．7 C．或5 D．3或7 8．已知，则（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 9．日常生活中我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”．而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．二进制数只使用数字0、1，如二进制数1101记为，通过式子可以转换为十进制数13．仿照上面的转换方法，将二进制数转换为十进制数是（    ） A．15 B．29 C．30 D．33 10．下列说法：①若满足，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若三个有理数，，满足，则．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 11．我们规定：一个整数能表示成是整数，且的形式，则称这个数为“完美数”，例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”，下列各数中，“完美数”是（ ） A． B． C．85 D． 12．若规定“!”是一种数学运算符号，且，，，，…，则的值为（    ） A．9900 B．99! C． D．2 二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若，则a、、、从小到大的关系是 ． 14．绝对值不小于1且小于3的所有整数的积是 ． 15．已知．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 16．在数轴上表示和的点之间的距离是 ． 17．下面这道有趣的式子，按照一般的计算方法，需要通分，才能算出结果；但这样做，公分母很大，计算很麻烦．只要你仔细分析一下，每个分数的分子与分母的特点，就可以找到一条不通分而巧妙求得结果的捷径．请你试一试： ． 18．下列图形由边长为1的正方形拼成，设每个图形的面积分别为， 则 ． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（12分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（6分）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 21．（6分）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)的值． 22．（8分）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费． (1)若某人乘坐了千米，则他应支付车费______元（用含有x的代数式表示）； (2)一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）． 第1批 第2批 第3批 第4批 ①送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置； ②若王师傅的车平均每千米耗油升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？ ③在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？ 23．（8分）一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了，却下滑了；第二次往上爬了，又下滑了；第三次往上爬了，又下滑了；第四次往上爬了，又下滑了；第五次往上爬了，没有下滑；第六次蜗牛又爬了，没有下滑．请回答： (1)第二次爬之前，蜗牛离井口还有 m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有 m． (2)最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 24．（10分）2023年第十七届中国红河·建水孔子文化节暨第五届上海一云南建水国际陶瓷柴烧艺术节隆重开幕，本次活动秉承“欢聚一堂庆佳节，燃情建水暖客心，文明与古城同在，礼仪与风景共存”的理念，吸引了众多游客欢聚红河．第一天的游客人数约为万人，后6天每天的游客人数变化如下表（“”表示比前一天多的人数，“”表示比前一天少的人数）： 日期 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 人数变化（万人） (1)在这七天里，第二天的游客人数是_____________万人； (2)这七天游客人数最多与游客人数最少相差多少？ (3)求这七天的游客总人数． 25．（10分）某自行车厂一周计划生产自行车1400辆，平均每天200辆．但由于各种原因，实际每天生产量与原计划每天生产量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记作正数，减产记作负数，单位：辆）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减量 (1)根据记录可知，该厂星期六生产自行车___________辆； (2)该自行车厂本周实际生产自行车_________________辆； (3)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车______________辆 (4)该厂实行计件工资制，每天结算，每生产出1辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超出部分每辆另奖30元，不足部分每辆扣15元，那么该厂这一周工人的工资总额是多少元？ 26．（10分）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)______； (4)计算：； (5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 有理数的运算能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．有理数、、、0、中，负数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了负数的概念，含乘方的有理数化简与化简绝对值，负数就是小于0的数，带负号的数不一定负数．熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相关性质化简各项，再利用负数的概念进行判断即可． 【详解】解：，是负数； 是负数； ，不是负数； 0不是负数； ，是负数； 综上：有3个负数， 故选：B． 2．（行程问题）快车以60千米/时的速度从甲站向乙站开出，1.5小时后，慢车以40千米/时的速度从乙站向甲站开出，两车相遇时，相遇点离两站的中点70千米，则甲、乙两站相距（   ）千米． A．140 B．170 C．240 D．340 【答案】D 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，根据两车在距离中点70千米处相遇，说明快车比慢车多行了140千米，由于快车先行1.5小时，同时行驶的过程中，快车比慢车实际多行了千米，由此可以求得两车同行的时间，从而解决问题． 【详解】解：根据题意可得： 同时行驶时快车比慢车多行驶的路程为：（千米） 两车同行时间为：（小时）； 所以两地的总距离为：（千米）； 答：甲、乙两站相距340千米， 故选：D． 3．中国船舶自主品牌在国际上发挥引领作用，年初已高质量完成多艘船舶的交船任务，其中包括满足最新环保排放标准的原油船“凯盟”轮，该船总重11.5万吨．将数据115000用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故选：C． 4．为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数乘法运算律，根据题意可以看出括号内之和为分数，与之积为只有乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． 【详解】解：， ， ， 故选：． 5．下列计算结果互为相反数的是（    ） A．与. B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了相反数、绝对值、有理数的乘方运算，先化简各数，然后根据相反数的定义判断即可，正确化简求值是解题的关键． 【详解】.，，符合题意； .，，不符合题意； .， ，不符合题意； .，，不符合题意； 故选：． 6．已知，则代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法及绝对值，解题的关键是分类讨论：①，；②，；③，；④，，然后根据范围去掉绝对值可得出可能的值． 【详解】解：∵， ∴可分以下四种情况： ①，， ； ②，， ； ③，， ； ④，， ； 综上所述，代数式的值不可能为． 故选：B． 7．若，且，则的值是（    ） A．3 B．7 C．或5 D．3或7 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的性质、有理数的大小比较及有理数的加减法运算法则，熟练掌握绝对值的性质求得a、b的值是解题的关键．根据绝对值的性质求得，，再由，求得当时，或，再分别代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，， 综上，的值是3或7． 故选：D． 8．已知，则（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】根据题目中的式子，可以发现它们的变化规律，从而可以写出，进而求得 ，本题得以解决． 【详解】解： ， 由此规律可得出：， ， 故选：B 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 9．日常生活中我们使用的数是十进制数，数的进位方法是“逢十进一”．而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一”．二进制数只使用数字0、1，如二进制数1101记为，通过式子可以转换为十进制数13．仿照上面的转换方法，将二进制数转换为十进制数是（    ） A．15 B．29 C．30 D．33 【答案】B 【分析】根据题意，列出算式进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方计算，解题的关键是根掌握题目所给将二进制数转化为十进制数的方法． 10．下列说法：①若满足，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若三个有理数，，满足，则．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据绝对值的非负性，有理数乘方以及相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵， ∴， ∴，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④当时，满足，但不满足，故④错误； ⑤当三个都是正数时，则，不符合题意； 当有两个正数，一个负数时，不妨设为正，则， ∴； 当有两个负数，一个正数时，不妨设为负，则，不符合题意； 当三个都是负数时，则，不符合题意； ∴当三个有理数，，满足，则，故⑤正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值，有理数的乘方计算，相反数的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 11．我们规定：一个整数能表示成是整数，且的形式，则称这个数为“完美数”，例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”，下列各数中，“完美数”是（ ） A． B． C．85 D． 【答案】C 【分析】根据“完美数”的定义分别进行判断即可． 【详解】解：根据“完美数”的定义， ，而，故选项A不符合题意； ，而，故选项C符合题意； 而48和28不能表示为两个整数的平方和，选项B和D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数运算中的有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题的关键． 12．若规定“!”是一种数学运算符号，且，，，，…，则的值为（    ） A．9900 B．99! C． D．2 【答案】A 【分析】根据运算的定义，可以把和写成连乘积的形式，然后约分即可求解． 【详解】解：根据题意，可得 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除法运算，正确理解新定义运算是解题关键． 二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若，则a、、、从小到大的关系是 ． 【答案】 【分析】由，可得，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴、、从小到大的关系是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，乘方的含义，相反数的含义，掌握比较大小的方法是解本题的关键． 14．绝对值不小于1且小于3的所有整数的积是 ． 【答案】0 【分析】找出绝对值不小于1且小于3的所有整数，因为里面有一个0的存在，再根据有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：绝对值不小于1且小于3的整数有：、0、1、2， ． 故答案为：0． 【点睛】本题考查的有理数的乘法，解题的关键是牢记0乘以任何数都得0． 15．已知．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：3的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了数字的循环规律，分别按照定义求出若干组数的值，从而发现循环规律，是解题的关键．根据差倒数的定义分别求出…，发现每3个数为一个循环组依次循环，用除以3，根据商和余数的情况可以确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ......， ∴每3个数为一个循环组依次循环3， ∵， ∴是第个循环组的第3个数，与相同， ∴， 故答案为：． 16．在数轴上表示和的点之间的距离是 ． 【答案】3 【分析】 本题考查了数轴上两个点之间距离的求法，掌握两点间的距离公式是解题的关键．直接根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】 解：数轴上表示和的点之间的距离是． 故答案为：3． 17．下面这道有趣的式子，按照一般的计算方法，需要通分，才能算出结果；但这样做，公分母很大，计算很麻烦．只要你仔细分析一下，每个分数的分子与分母的特点，就可以找到一条不通分而巧妙求得结果的捷径．请你试一试： ． 【答案】//1.9 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，认清各数的特点是解题关键．根据分数的拆分原理及拆分的方法，把一个分数拆分为两个单位分数的差，在计算过程中可以抵消，据此解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 18．下列图形由边长为1的正方形拼成，设每个图形的面积分别为， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数的混合运算．先根据图形得出，进而得出，进行计算即可． 【详解】解：根据图形可知： ， ， ， …… ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（12分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)52 (3)19 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （3）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律求解即可； （4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 20．（6分）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一； (2)． 【分析】（1）根据题意，第一种解法是错误，除法运算没有这样的运算律，不能自己杜撰乱用致错． （2）选择适当且正确的方法解答即可． 本题考查了除法的运算，乘法分配律，熟练掌握运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得第一种解法是错误的， 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ， 故原式． 21．（6分）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，准确理解新定义是解题的关键． （1）利用题中的新定义列出计算式计算即可； （2）利用题中的新定义列出计算式计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ， ． 22．（8分）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费7元，超过3千米的部分按每千米2元收费． (1)若某人乘坐了千米，则他应支付车费______元（用含有x的代数式表示）； (2)一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）． 第1批 第2批 第3批 第4批 ①送完第4批客人后，王师傅在公司的______边（填“东”或“西”），距离公司______千米的位置； ②若王师傅的车平均每千米耗油升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？ ③在整个过程中，王师傅共收到车费多少元？ 【答案】(1) (2)①西，6；②送完第4批客人后，王师傅用了1.6升油；③王师傅共收到车费38元 【分析】本题主要考查了列代数式、正数和负数、数轴等知识点，明确题意、列出相应的代数式、求出相应的式子的值是解答本题的关键． （1）根据题意用含x的代数式表示出某人应支付的车费即可； （2）①将表格中的数据相加，再根据正负数的意义即可解答；②先计算出在整个过程的总路程，然后乘以单价即可解答；③根据表格中的数据和题意，可以计算出送完第4批客人后，王师傅共收到的车费． 【详解】（1）解：由题意可得：他应支付车费：元． 故答案为：． （2）解：①，即送完第4批客人后，王师傅在公司的西边，距离公司6千米． 故答案为：西，6； ② = =（升）． 答：送完第4批客人后，王师傅用了升油； ③在整个过程中，王师傅共收到车费：（元）． 故王师傅共收到车费38元． 23．（8分）一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了，却下滑了；第二次往上爬了，又下滑了；第三次往上爬了，又下滑了；第四次往上爬了，又下滑了；第五次往上爬了，没有下滑；第六次蜗牛又爬了，没有下滑．请回答： (1)第二次爬之前，蜗牛离井口还有 m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有 m． (2)最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 【答案】(1)2.73，1.78 (2)蜗牛没有爬到井口，离井口有0.1米 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，理解题意列出算式是解题的关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据题意列出算式计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：2.73，1.78； （2）解：， ， 蜗牛没有爬到井口，离井口有0.1米． 24．（10分）2023年第十七届中国红河·建水孔子文化节暨第五届上海一云南建水国际陶瓷柴烧艺术节隆重开幕，本次活动秉承“欢聚一堂庆佳节，燃情建水暖客心，文明与古城同在，礼仪与风景共存”的理念，吸引了众多游客欢聚红河．第一天的游客人数约为万人，后6天每天的游客人数变化如下表（“”表示比前一天多的人数，“”表示比前一天少的人数）： 日期 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 人数变化（万人） (1)在这七天里，第二天的游客人数是_____________万人； (2)这七天游客人数最多与游客人数最少相差多少？ (3)求这七天的游客总人数． 【答案】(1) (2)4万人 (3)万人 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算的实际应用： （1）用第一天的人数加上第二天在第一天基础上变化的人数即可得到答案； （2）分别求出剩下的五天的游客人数，再用客人数最多的人数减去游客人数最少的人数即可得到答案； （3）根据（2）所求把这七天的人数求和即可得到答案． 【详解】（1）解：万人， ∴在这七天里，第二天的游客人数是万人， 故答案为：； （2）解：第三天的游客人数是万人， 第四天的游客人数是万人， 第五天的游客人数是万人， 第六天的游客人数是万人， 第七天的游客人数是万人， ∴人数最多的是第四天，最少的是第六天， ∵万人， ∴这七天游客人数最多与游客人数最少相差4万人； （3）解：万人， ∴这七天的游客总人数为万人． 25．（10分）某自行车厂一周计划生产自行车1400辆，平均每天200辆．但由于各种原因，实际每天生产量与原计划每天生产量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记作正数，减产记作负数，单位：辆）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减量 (1)根据记录可知，该厂星期六生产自行车___________辆； (2)该自行车厂本周实际生产自行车_________________辆； (3)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车______________辆 (4)该厂实行计件工资制，每天结算，每生产出1辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超出部分每辆另奖30元，不足部分每辆扣15元，那么该厂这一周工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1) (2)1399 (3)23 (4)元 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）用平均每天的产量加上星期六的数据即可得到答案； （2）根据题意可得星期四产量最多，星期五产量最少，相减即可得到答案； （3）先计算出该厂每天与计划出入的和，再加上一周的自行车计划产量； （4）根据（3）所求先计算出生产自行车的费用，再分别计算出奖励和扣款即可得到答案． 【详解】（1）解：辆， ∴该厂星期六生产自行车辆； （2）解：辆， ∴该自行车厂本周实际生产自行车1399辆； （3）解：辆， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车23辆； （4）解：元， ∴该厂这一周工人的工资总额是84285元． 26．（10分）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)______； (4)计算：； (5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可； （3）设，则，，计算求解即可； （4）同理（3）计算求解即可； （5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：设，则， ∴， 故答案为：； （4）解：令，则， ∴， ∴； （5）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$