23.4 中位线 （课件）2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

华东师大版第23章 图形的相似 九年级（上） 数 学 23.4 中位线 第1课时 三角形的中位线 1.理解中位线的概念和性质；（重点） 2.能够利用中位线解决相关问题； (重点、难点) 3.经历三角形中位线的性质定理及重心的推导过程.（难点） 学习目标 相似三角形的判定方法 温故知新 平行法：平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两 边的延长线）相交所构成的三角形和原三角形 相似； 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似； 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 相似； 判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。 温故知新 性质1：相似三角形的对应边成比例，对应角相等； 相似三角形的性质 性质2：相似三角形对应边上的高的比、对应边上的 中线之比、对应角的角平分线之比都等于相 似比。 性质3：相似三角形的周长之比等于相似比； 性质4：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。 温故知新 三角形的中线 A B C D 中线 BD=DC S△ABD=S△ADC 情境激疑 探索: 如图，在△ABC中，DE//BC. B A C D E 反之 B A C D E . △ADE∽△ABC （1）你能得到哪些结论？ （2）若D是AB的中点，你能又能推出哪些结论？ 如果D、E分别是AB、AC的中点，那么能否可以推出DE//BC，DE与BC之间又存在怎样的数量关系呢？ 探究发现 探索: 将“连结三角形顶点和对边中点”改为“连结三角形两边中点” （1）连结三角形两边中点得到的是一条什么线？ （2）这条线段的两个端点是三角形边的什么？ A B C D B A C E F 中位线 中线 探究发现 结论 三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 提示 （1）三角形的中位线是条线段，它的两个端点是边的中点。 （2）若E、F分别为AB、AC的中点，则EF为△ABC的中位线； 反之EF为△ABC的中位线，那么E、F分别为AB、AC的中点。 B A C E F 探究发现 探索: 请同学们在作业本上任意画一个△ABC。 （1）画出△ABC的所有中位线； C A B D E F （2）画出△ABC的所有中线； （3）三角形的中线和中位线有何联系和区别？ 探究发现 思考 如图，已知D、E分别是AB、AC的中点，即DE是△ABC的中位线。 C A B D E （1）DE和BC有什么样的位置关系？ （2）DE和BC有什么样的数量关系？ 测量 猜想 DE//BC 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 如何验证你的猜想呢？ 探究发现 验证 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 如图，在△ABC中，点E、F分别是AB与AC的中点。 证明：DE//BC， C A B D E . E、F分别是AB与AC的中点 且 ∴ 思路 △ADE∽△ABC DE//BC 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 结论 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 提示 （1）三角形的中位线定理简称“一线两用”； （2）三角形的中位线定理常用于解决平行问题或线段的倍数 问题； （3）出现了三角形的中点，常常作三角形的中位线这条辅助 线解决问题。 几何语言 C A B D E ∵DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC， 数 学 活 动 室 1.如图1，在△ABC中，DE是中位线。 C A B D E 图 1 2.如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，E为 AB的中点，连结DE，AC=15，BC=27，则DE= . （1）若∠ADE=60°，则∠B= 度，为什么？ （2）若BC=8cm，则DE= cm，为什么？ 图 2 A B C D E F 60 4 6 探究发现 探索: E F 中位线 中线 如果将图1、图2合并，即三角形的一条中位线与第三边的中线相交，此时它们之间有什么关系呢？ A B C D 图1 B A C 图2 E F B A C D 学以致用 例 1 已知：如图，在△ABC中，AE=BE，BD=CD，AF=CF． （1）四边形AEDF是什么形状的四边形？并加以证明。 （2）AD与EF有什么关系？ A E F B D C 结论 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 思考 （1）△DEF与△ABC有何关系？你能得到哪些结论？ A E F B D C （2）研究了三角形的中线与中位线的关系？那么三角形两条 中线之间又有什么关系呢？ （3）在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相 交于G．请你思考AG与DG有什么关系？ A E D G B C 学以致用 求证： 例 2 在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G． A E D G B C A F D G' B C 拓展 （1）取AC的中点F，假设BF和AD相交于点G' ，你有何发现？ （2）△ABC中，D、E、F分别是边BC、AB、AC的中点，AD、 CE、BF相交于G．你得到什么结论？ A E D G B C F 【结论】三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的三分之一。 重心 数 学 活 动 室 1.如图1，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，AB=2, 求DF. F A C B E D 图 1 2.如图2，D、E、F分别是△ABC三边的中点，△BDG的面积为1， 求△ABC的面积。 A 图 2 E F G C B D 我的收获是…… 这节课我学到了什么？ 我还有……的疑惑 畅谈收获 小 结 选 做 题 1.已知：如图1，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点。 求证：△DEF∽△ABC 2.如图2，在四边形ABCD中，M是对角线AC的中点，E、F分别是AD、BC的 中点。 F B E A C D 图1 （1）请补充一个条件： ，使得∠MEF=∠MFE； （2）根据题意结合你补充的条件，证明∠MEF=∠MFE； A B C D E F M 图2 3.已知：如图3，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，CD⊥AD.点E是BC 的中点。求证：（1）DE//AB；（2）2DE=AB-AC. （1）求OF:DC的值； （2）若AC=10，求EF的长。 D A C B E 图3 4.已知：如图4，AD、BE是△ABC的两条中线，AD与BE相交于点O，过点O 作OF//BC且交AC于点F. A B C D E F O 图4 选 做 题 $$