专题10 动角问题压轴题的五种考法全梳理-2024-2025学年七年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题10 动角问题压轴题的五种考法全梳理 目录 【考法一、求角度】 1 【考法二、求角的运动时间】 3 【考法三、角度之间数量关系】 5 【考法四、角度定值问题】 7 【考法五、角度中的新定义问题】 9 【课后练习】 11 【考法一、求角度】 例．已知一副三角板按如图1的方式拼接在一起，边与直线重合，其中． (1)求图1中的的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕着点按顺时针方向旋转一个角度，其中． ①当三角板的一边平分时，求旋转角的度数； ②是否存在？若存在，求此时的度数；若不存在，请说明理由． 变式1．如图，，射线在内部，且，射线分别在内部． (1)若，说明：平分； (2)若，平分，求的度数； (3)将沿射线折叠，得到，若，设的度数为x°，用含x的代数式表示的度数． 变式2．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 变式3．如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 【考法二、求角的运动时间】 例．如图两个形状、大小完全相同的含有，的三角板如图1放置，，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． (1)将图1中的三角板保持不动，三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过秒后，平分，求此时的值； (2)将图1三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周的同时，三角板也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间边与首次重合； (3)如图③，将图1三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，(当转到与重合时，两三角板都停止转动)，在旋转过程中，、、三条射线中，得到三个角，，，当这三个角中有一个角是另外一个角的2倍时，直接写出旋转的时间的值． 变式1．将一副三角板按图1摆放，把它抽象成几何图形，便得到图2，已知，．保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针转动（即三角板的每一条边都绕点C以相同速度顺时针转动），如图3所示，设转动时间为t秒（）． (1)当 时，平分，此时 度； (2)在三角板转动的过程中，请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在三角板转动的过程中，分别作和的平分线和，请求出当t为何值时，． 变式2．如图，把一副三角尺拼在一起，其中三角形是等腰直角三角形，，并且B，C，E三点在同一直线上．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线，分别从，位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针匀速旋转，平分，平分，设旋转的时间为秒． ①当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ②当为何值时，？ 变式3．如图，射线、在内部，且满足，其中．射线、同时分别从射线、出发，射线以每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，所在区域为“转换区”：当从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，出“转换区”后都分别以各自原来的速度旋转，设旋转的时间为秒． (1)分别求出的度数． (2)当射线与射线重合时，求的值及此时的度数． (3)当射线与射线重合时停止旋转，求满足时的值． 【考法三、角度之间数量关系】 例．已知线段，，线段在线段上运动，E、F分别是、的中点． (1)若，则______cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，、分别平分和，若，，则______．由此，你猜想、和有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 变式1．定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 变式2．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 变式3．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上 (1)当 秒时，平分； (2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与数量关系为 ； ②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请直接写出在旋转过程中与的关系． 【考法四、角度定值问题】 例．如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，．    (1)若，请说明射线是的角平分线； (2)射线在直线上方，平分，， ①当时，求的度数 ②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由． 变式1．如图，两条直线，相交于点，且，射线从开始绕点逆时针方向旋转，速度为每秒，射线同时从开始绕点顺时针方向旋转，速度为每秒，运动时间为秒（，本题出现的角均不大于平角）． (1)当时，的度数为________度，的度数为________度． (2)为何值时，． (3)当射线在的内部时，探究是不是一个定值？若是，请求出这个定值． 变式2．如图，已知，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角和，并且，平分，平分．若设． (1)当射线在内时． ①若，求x的值； ②若是内的一条射线，且，判断是图中哪个角的平分线，并说明理由； (2)改变的大小，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 变式3．如图，已知，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角和，并且，平分，平分．若设． (1)当射线在内时．①若，求x的值； ②若是内的一条射线，且，判断是图中哪个角的平分线，并说明理由； (2)改变的大小，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【考法五、角度中的新定义问题】 例．【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线的m等个性线，记作．（其中m为正整数） 【实际应用】已知：为直线上一点，过点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含）直角顶点D放在处，另两条边分别为，当是时， ．（填“是”或“不是”）． (2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是?请先猜想结果，再说明理由． (3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则 ． 变式1．如图，直线与直线相交于点O，． 已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图1，从旋转开始至边与射线重合时，共需多少秒？ (2)旋转至如图2所示位置时，试说明与有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 若在旋转过程中，绕点O以每秒的速度绕点O沿逆时针方向旋转，当停止旋转时，也停止旋转，旋转过程中，当边所在直线恰好平分锐角时，求出旋转时间． 变式2．若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 变式3．如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于小于的角），例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)如图1．O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______________． (2)如图2，O为直线上一点，，将绕着点O以每秒的速度逆时针旋转得，同时射线从射线的位置出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t何值时，与互为“伙伴角”． (3)如图3，，射线从的位置出发绕点O顺时针以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，射线平分，射线平分，射线平分．问：是否存在t的值使得与互为“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【课后练习】 1．已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 2．对于四条具有公共顶点的射线，如果其中两条射线构成的角α位于另两条射线构成的角β内，且α等于β的一半，那么我们把角α称为角β的内半角，这四条射线称为成内半角射线组． (1)如图1，已知，，是的内半角，则 度． (2)下列各图中，已知，，，那么其中射线、、、为成内半角射线组的是 ． (3)如图2，已知，现将射线、同时绕顶点O以5度/秒的速度顺时针旋转，对应得到射线、．问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否为成内半角射线组？如果能，请直接写出旋转的时间；如果不能，请说明理由． 3．综合应用： 三角尺是我们学习数学常见的工具，同时也因它的应用广泛性，常常作为命题的素材． 【数学来源于生活】 动手实践：将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放． (1)在_________的摆放方式中与互余；在_________的摆放方式中与互补 (2)在哪种摆放方式中与相等？请说明理由． (3)【抽象数学问题】如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若，则_________；若，则_________． (4)如图2所示，若两个同样的三角板，将锐角的顶点A叠放在一起，则与有何数量关系，请说明理由． 4．已知在的内部，，是补角的． （本题出现的角均指不大于平角的角）    (1)如图1，求的值； (2)在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小； (3)如图2，若，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点逆时针旋转．设射线，运动的时间为秒（），当时，请直接写出的值______． 5．如图1，如图点为线段上一点，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边在线段上，． (1)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则______；猜想与的数量关系为______； (2)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向按每秒的速度旋转一周，三角板不动，请问几秒后所在的直线平分？ (3)将图1中的三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转两周，同时三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转（随三角板停止而停止），请直接写出几秒后所在的直线平分？ 6．已知，过顶点O作射线，若，则称射线为的“好线”，因此的“好线”有两条，如图1，射线，都是的“好线”． (1)已知射线是的“好线”，且，求的度数． (2)如图2，O是直线上的一点，，分别是和的平分线，已知，请通过计算说明射线是的一条“好线”． (3)如图3，已知，，射线和分别从和同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，的速度为每秒，的速度为每秒，当射线旋转到，立即绕点O按逆时针方向旋转，直至射线与重合时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线能否成为的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间． 7．将一副直角三角板按如图1摆放（，），点D，C，A都在直线上，保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转．三角板的旋转时间为t秒，旋转一周回到原位则停止．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)当与重合时，求t的值； (2)如图2，平分，为的三等分线，且． ①当时，求的值； ②在三角板旋转一周的过程中，若，直接写出t的值为______． 8．已知，且． (1)填空： ， ，与的关系是 ； (2)如图，的边与的边重合，将绕点O逆时针旋转，问旋转多少度时，？ (3)当旋转的度数n满足时，问旋转过程中，与是否一直存在某种特殊关系？若是，请求出这种关系；若不是，请说明理由． 9．直线相交于点，，射线平分．（本题中所有角的度数均不超过） (1)若， ①将绕点旋转至图①的位置，，______． ②将绕点旋转至图②的位置，与有怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图③，若，将绕点顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过程中与的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 动角问题压轴题的五种考法全梳理 目录 【考法一、求角度】 1 【考法二、求角的运动时间】 12 【考法三、角度之间数量关系】 20 【考法四、角度定值问题】 28 【考法五、角度中的新定义问题】 37 【课后练习】 51 【考法一、求角度】 例．已知一副三角板按如图1的方式拼接在一起，边与直线重合，其中． (1)求图1中的的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕着点按顺时针方向旋转一个角度，其中． ①当三角板的一边平分时，求旋转角的度数； ②是否存在？若存在，求此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)①或；②的值为或． 【分析】本题考查了几何图形中的角度的计算、一元一次方程的几何应用，运用数形结合和分类讨论思想求解是关键． （1）根据平角的定义，即可求解； （2）①分当平分时，当平分，再结合角平分线的含义与角的和差运算可得答案；②分当在的左侧时，当在的右侧时两种情况，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）①如图，∵， 当平分时， ∴， ∴， 当平分， ∴， ∴， ②存在，理由如下： ∵， ∴， 当在的左侧时，， ∵， ∴， ∴； 当在的右侧时， ， ∵， ∴， ∴， ∴存在，此时的值为或． 变式1．如图，，射线在内部，且，射线分别在内部． (1)若，说明：平分； (2)若，平分，求的度数； (3)将沿射线折叠，得到，若，设的度数为x°，用含x的代数式表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)的度数为度或度． 【分析】本题考查角平分线，几何图形中角的计算． （1）计算求得，，即可证明平分； （2）设，计算求得，，根据平分，列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：设，则，， ∴，， ∵平分， ∴， 解得，即； （3）解：当在内部时，如图， 由折叠的性质知， ∴， ∵， ∴， ∴度； 当在内部时，如图， 由折叠的性质知， ∴， ∵，∴， ∴度； 综上，的度数为度或度． 变式2．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或． 变式3．如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)能，或； (3)能或． 【分析】本题考查了角的和差定义、角平分线的定义，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题意可知，，由平分，平分；推出，，由图形可知，，即； （2）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可； （3）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或； （3）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或． 【考法二、求角的运动时间】 例．如图两个形状、大小完全相同的含有，的三角板如图1放置，，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． (1)将图1中的三角板保持不动，三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过秒后，平分，求此时的值； (2)将图1三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周的同时，三角板也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间边与首次重合； (3)如图③，将图1三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，(当转到与重合时，两三角板都停止转动)，在旋转过程中，、、三条射线中，得到三个角，，，当这三个角中有一个角是另外一个角的2倍时，直接写出旋转的时间的值． 【答案】(1)秒 (2)秒 (3)t的值为或或或或或 【分析】本题考查一元一次方程的应用与角平分线，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）由得，又平分，根据题意列方程求解即可． （2）设经过m秒，与首次重合，，根据题意可列方程求解． （3）分情况讨论，将N点分在三角板内外两种情况，列出各角度的关系式，列方程求解既可． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， 根据题意得：， 解得， 的值为秒； （2）当边与首次重合时，， ， 解得， 经过秒边与首次重合； （3）转到与所需时间为秒；与经过秒重合； 当时，，，， ①若，则， 解得舍去； ②若，则， 解得； ③若，则， 解得； ④若，则， 解得； ⑤若，则， 解得； ⑥若，则， 解得舍去； 当时，，，， ①若，则， 解得； ②若，则， 解得； ③若，则， 解得舍去； ④若，则， 解得； ⑤若，则， 解得舍去； ⑥若，则， 解得； 综上所述，当这三个角中有一个角是另外一个角的倍时旋转的时间t的值为或或或或或． 变式1．将一副三角板按图1摆放，把它抽象成几何图形，便得到图2，已知，．保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针转动（即三角板的每一条边都绕点C以相同速度顺时针转动），如图3所示，设转动时间为t秒（）． (1)当 时，平分，此时 度； (2)在三角板转动的过程中，请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在三角板转动的过程中，分别作和的平分线和，请求出当t为何值时，． 【答案】(1)3秒，15 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查角度计算，角平分线性质． （1）根据题意利用角平分线求出，再根据角度列式计算即可； （2）根据题意设设运动时间为秒，分别求出和，继而求出本题答案； （3）数形结合，分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵将三角板绕点C以每秒的速度顺时针转动， ∴（秒）， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3秒，15； （2）解：，理由如下： ∵三角板绕点C以每秒的速度顺时针转动， ∴设运动时间为秒， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵三角板绕点C以每秒的速度顺时针转动， ∴设运动时间为秒，即， ①当时， ∴， ∴， ∵和的平分线和， ∴，， ∵，∴，解得：； ②当时，∴， ∵和的平分线和， ∴，， ∵， ∴，解得：； 综上所述，的值为或． 变式2．如图，把一副三角尺拼在一起，其中三角形是等腰直角三角形，，并且B，C，E三点在同一直线上．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若射线，分别从，位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针匀速旋转，平分，平分，设旋转的时间为秒． ①当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ②当为何值时，？ 【答案】(1)； (2)①是，；②6秒或30秒． 【分析】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用； （1）根据三角形是等腰直角三角形，，得出，进而即可求解； （2）①当时，，．根据角平分线的定义可得，，进而求得，根据即可求解； ②当时，由①可得，，．分别求得，根据建立方程，当时，同理可得，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵三角形是等腰直角三角形，， ．． （2）①的度数是等于一个定值为，理由如下． ，旋转速度相同， 设， 当时，则，． 平分，． 平分，． ． ． ②当时，由①可得， ，． ． 当时，则， 解得． 秒．    当时， ，旋转速度相同， 设， ，，． 平分， ． 平分， ． ． ． 当时，则， 解得． ． 综上，秒或30秒时，．    变式3．如图，射线、在内部，且满足，其中．射线、同时分别从射线、出发，射线以每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，所在区域为“转换区”：当从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，出“转换区”后都分别以各自原来的速度旋转，设旋转的时间为秒． (1)分别求出的度数． (2)当射线与射线重合时，求的值及此时的度数． (3)当射线与射线重合时停止旋转，求满足时的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或或或． 【分析】本题考查了角度的和差，涉及一元一次方程的应用，在解题过程中根据角度的变化进行合适的分段讨论是解题的关键． （1）由，即可得解； （2）分别求出射线与射线重合，射线与射线重合所需时间，射线在“转换区”所需时间，相加即可； （3）根据射线运动位于不同的角内分段讨论即可． 【详解】（1）解：，，， ，； （2），射线以每秒的速度顺时针旋转， 射线与射线重合所需时间为（秒） ，射线以每秒的速度逆时针旋转， 射线与射线重合所需时间为（秒） 当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的每秒的速度旋转，此时射线与重合还需时间（秒），射线旋转了， 当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的每秒的速度旋转， 重合还需时间为， 时间（秒），； （3） 射线与射线重合所需时间为（秒）， 射线与射线重合所需时间为（秒）， 射线与射线重合时所需时间为（秒）， ，根据运动分五种情况，当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得． 当满足时，或或或． 【考法三、角度之间数量关系】 例．已知线段，，线段在线段上运动，E、F分别是、的中点． (1)若，则______cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，、分别平分和，若，，则______．由此，你猜想、和有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 【答案】(1)11 (2)的长度不变， (3)， 【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．由E，F分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题； （2）根据（1）的原理计算即可得到结论； （3）欲求，需求．已知，需求．由，分别平分和，得，，进而解决此题．同法同理可得、和的数量关系． 【详解】（1）解：∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴． 又∵线段，， ∴． ∴． ∴． （2）不变，理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴． ∴， 又∵，， ∴EF＝． （3）∵，分别平分和， ∴，． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． 由（1）得：． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和与差，角的平分线，角的和与差，类比的思想，熟练掌握线段的中点，角的平分线的定义是解题的关键． 变式1．定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴，∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴，∴； 当在内部时，如图， 由（）可得，设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 变式2．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 变式3．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上 (1)当 秒时，平分； (2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与数量关系为 ； ②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请直接写出在旋转过程中与的关系． 【答案】(1) (2)①，② (3) 【分析】（1）根据，平分，可得，结合运动特点可得：，解方程即可求解； （2）①分别表示出，，即有，问题得解； ②分别表示出，，即有，问题得解； （3）分类讨论，第一种情况：、同时在直线的异侧，根据运动的特点：，，根据，，可得，即有；第二种情况：、同时在直线的右侧，同理可求出，问题得解． 【详解】（1）解：∵， ∴当平分时，， ∴ ∴（秒）． 故答案为：． （2）解：①，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 分类讨论， 第一种情况：、同时在直线的异侧，如图， 根据运动的特点：，， ∴，， ∴， ∴； 第二种情况：、同时在直线的右侧，如图， 根据运动的特点：，， ∴，， ∴， ∴； 综上可知：． 【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． 【考法四、角度定值问题】 例．如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，．    (1)若，请说明射线是的角平分线； (2)射线在直线上方，平分，， ①当时，求的度数 ②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)①或；②存在；时，为定值 【分析】（1）先求出，根据，求出，求出，得出，即可证明结论； （2）①分两种情况：当在左侧时，当在左侧时，分别画出图形，求出结果即可； ②根据，，得出一定在内部，得出，，表示出，得出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线． （2）解：设度，则度， ， ①当在左侧时，如图所示：    则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在左侧时，如图所示：   ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上分析可知，或； ②存在； ∵，， ∴一定在内部，如图所示：    ∵，， 又∵平分， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴当，即时，为定值． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的倍数关系，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 变式1．如图，两条直线，相交于点，且，射线从开始绕点逆时针方向旋转，速度为每秒，射线同时从开始绕点顺时针方向旋转，速度为每秒，运动时间为秒（，本题出现的角均不大于平角）． (1)当时，的度数为________度，的度数为________度． (2)为何值时，． (3)当射线在的内部时，探究是不是一个定值？若是，请求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）求出时，的度数，利用，进行求解即可； （2）分别用含的式子，表示出和，分在内部和的内部，两种情况讨论，利用，列式求解即可； （3）分别用含的式子表示出，计算即可得解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ 由题意得：， ∴， 当在内部时： ∵， ∴，解得：（不符合题意，舍掉）； 当在内部时：， ∵， ∴，解得：； ∴当时，； （3）解：∵， 当射线在的内部时，， ∴， ∴， ∴射线在内部， ∴， 则： ； ∴是一个定值：3． 【点睛】本题考查角度的计算．根据题意正确的表示出各角的度数，是解题的关键． 变式2．如图，已知，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角和，并且，平分，平分．若设． (1)当射线在内时． ①若，求x的值； ②若是内的一条射线，且，判断是图中哪个角的平分线，并说明理由； (2)改变的大小，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①②是的角平分线，理由见解析(2)会发生变化，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，正确识图，理清角度之间的和差关系，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）①先求出的度数，角平分线，求出的度数，利用即可得出结果；②根据角度之间的和差关系，用含的式子表示出的度数，即可得出结论； （2）分在的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②是的角平分线，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）发生变化，理由如下： ①当在的内部时： 由（1）可知，，， ∴， ∵平分，∴， ∴ ∴； ②当在的外部时， ， 综上：当在的内部时：， 当在的外部时， 故：的值发生变化． 变式3．如图，已知，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角和，并且，平分，平分．若设． (1)当射线在内时． ①若，求x的值； ②若是内的一条射线，且，判断是图中哪个角的平分线，并说明理由； (2)改变的大小，探究的大小是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①②是的角平分线，理由见解析(2)会发生变化，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，正确识图，理清角度之间的和差关系，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）①先求出的度数，角平分线，求出的度数，利用即可得出结果；②根据角度之间的和差关系，用含的式子表示出的度数，即可得出结论； （2）分在的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②是的角平分线，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）发生变化，理由如下： ①当在的内部时： 由（1）可知，，， ∴， ∵平分，∴， ∴ ∴； ②当在的外部时， ， 综上：当在的内部时：， 当在的外部时， 故：的值发生变化． 【考法五、角度中的新定义问题】 例．【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线的m等个性线，记作．（其中m为正整数） 【实际应用】已知：为直线上一点，过点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含）直角顶点D放在处，另两条边分别为，当是时， ．（填“是”或“不是”）． (2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是?请先猜想结果，再说明理由． (3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则 ． 【答案】(1)是；(2)是，理由见解析；(3) 【分析】本题考查了新定义，角的和差运算，互余、互补关系，关键是理解新定义的含义． （1）利用互补关系与互余关系即可判断； （2）由题意得，结合平角及已知得，进而得，即可得猜想结果； （3）由题意得，，则可得，由此得，即，根据m是正整数可得的度数，从而求得m的值． 【详解】（1）解：∵是，∴； ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 即也即是； 故答案为：是； （2）（2）解：是； 理由：∵是， ∴依题意， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是， ∵与重合的， ∴是． （3）（3）解：； ∵是，是， ∴，， ∵， ∴， 另一方面，， 即（因为原来，逆时针旋转）， ∴， ∵，且为正整数， ∴， ∴． 故答案为：4． 变式1．如图，直线与直线相交于点O，． 已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图1，从旋转开始至边与射线重合时，共需多少秒？ (2)旋转至如图2所示位置时，试说明与有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 若在旋转过程中，绕点O以每秒的速度绕点O沿逆时针方向旋转，当停止旋转时，也停止旋转，旋转过程中，当边所在直线恰好平分锐角时，求出旋转时间． 【答案】(1)15 (2)与的数量关系是：(相等)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的角度计算问题，一元一次方程方程的应用等知识，能正确找到符合条件的情况并正确作图是解题的关键． （1）先推导找出旋转的角度为，再除以旋转速度得解； （2）利用得到，从而得解； （3）设时间为t秒，分平分和的反向延长线平分两种情况讨论分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从旋转开始至边与射线重合时，共旋转了， ∴所需时间是：(秒)， 答：旋转开始至边与射线重合时，共需15秒． （2）与的数量关系是：(相等)，理由如下： ∵， ∴，即； （3）设时间为t秒， ∵将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． ∴当时，，当时，． 又∵绕点O以每秒的速度绕点O沿逆时针方向旋转， ∴， ①如图，当平分时，，， ∵平分，， ∴， ∴， 又∵，， ， ∴， 解得：； ②如图，当的反向延长线平分时，，， ∵的反向延长线平分，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴解得：； 综上所述：或． 变式2．若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 【答案】(1) (2)或 (3)①4或16；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的应用： （1）根据题意得到，再由，进行求解即可； （2）分当在下方时，当在内部时，当在外部时，三种情况讨论求解即可； （3）分当时，当时，两种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可；②分当时，当时，种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可。 【详解】（1）解：∵是的“绝配角”， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当在下方时， ∵是的“绝配角”， ∴ ， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当在内部时， 同（1）可得， ∵与互补， ∴， ∴； 当在外部时， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵与互补， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：①当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； 故答案为：4或16； ②当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，， 故答案为：。 变式3．如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于小于的角），例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)如图1．O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______________． (2)如图2，O为直线上一点，，将绕着点O以每秒的速度逆时针旋转得，同时射线从射线的位置出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t何值时，与互为“伙伴角”． (3)如图3，，射线从的位置出发绕点O顺时针以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，射线平分，射线平分，射线平分．问：是否存在t的值使得与互为“伙伴角”？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)15或35；(3)或 【分析】（1）按照“伙伴角”的定义写出式子，解方程即可求解； （2）通过时间t把与表示出来，根据与互为“伙伴角”，列出方程，解出时间t； （3）根据在的内部和外部以及和的大小分类讨论，分别画出对应的图形，由旋转得出经过t秒旋转角的大小，角的和差，利用角平分线的定义分别表示出和及“伙伴角”的定义求出结果即可． 【详解】（1） 解： ∵两个角差的绝对值为， 则此两个角互为“伙伴角”， 而， ∴设其伙伴角为， ， 则， 由图知， ∴的伙伴角是． （2） ∵绕O点， 每秒逆时针旋转得， 则t秒旋转了， 而从开始逆时针绕O旋转且每秒4°， 则t秒旋转了， ∴此时 ， ， 又与重合时旋转同时停止， ∴， （秒）， 又与互为伙伴角， ∴， ∴， ∴， 秒或15秒． 答：t为35或15时，与互为伙伴角． （3）①若在∠AOB的内部且在左侧时，即，如下图所示 ∵从出发绕O顺时针每秒旋转，则t秒旋转了， ∴， ∵平分， ∴ 此时 解得： ∵射线平分， ∴ ∴ ∵射线平分 ∴ ∴ 根据题意可得 即 解得：或（不符合实际，舍去） ∴此时 ，符合前提条件， ∴符合题意； ②若在的内部且在右侧时，即，如下图所示 ∵从出发绕O顺时针每秒旋转，则t秒旋转了， ∴， ∵平分， ∴ 此时 解得： ∵射线平分， ∴ ∴ ∵射线平分 ∴ ∴ 根据题意可得 即 解得：或（不符合实际，舍去） ∴此时， ，不符合前提条件 ∴不符合题意，舍去； ③若在的外部但运动的角度不超过时，如下图所示 ∵从出发绕O顺时针每秒旋转，则t秒旋转了， ∴， ∵平分， ∴ 此时 解得： ∵射线平分， ∴ ∴ ∵射线平分 ∴ ∴ 根据题意可得 即 解得：（不符合前提条件，舍去）或（不符合实际，舍去） ∴此时不存在t值满足题意； ④若运动的角度超过且在右侧时，即如下图所示 此时， 解得：， ∵从出发绕O顺时针每秒旋转，则t秒旋转了， ∴， ∵平分， ∴ ∵射线平分， ∴ ∴ ∵射线平分， ∴ ∴ 根据题意可得 即 解得：（不符合，舍去）或（不符合，舍去） ∴此时不存在t值满足题意； ⑤若运动的角度超过且在左侧时，即，如下图所示 此时 解得： ∵从出发绕O顺时针每秒旋转，则t秒旋转了， ∴， ∵平分， ∴ ∵射线平分， ∴ ∴ ∵射线平分 ∴ ∴ 根据题意可得 即 解得：或（不符合，舍去） ∴此时 ，符合前提条件 ∴符合题意； 综上：当或时，与互为“伙伴角”． 【点睛】本题考查了角的计算、旋转的性质、一元一次方程的运用及角平分线性质的运用，解题的关键是利用“伙伴角”列出一元一次方程求解． 【课后练习】 1．已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1) (2)3或 (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分． （1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可； （2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，在的右侧，因此，分在左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可； （3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分与在一条直线上、与在一条直线上、与在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案． 【详解】（1）解：平分， ， 故答案为：； （2） 由题意知，当转到时，两条射线均停止运动 此时（秒） 则停止转动时， 即从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧 因此，分以下2种情况： ①当在左侧时， 则由得，解得 ②当在右侧时， 则由得，解得 综上，t的值为3或7.5； （3）射线从开始转动至结束时，转动时间为（秒） 由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置 ①当时，如图1所示 此时， 则为定值 ②当时，如图2所示 此时， 则不为定值 ③当时，如图3所示 此时， 则为定值 ④当时，如图4所示 此时， 则不为定值 综上，当或时，为定值． 2．对于四条具有公共顶点的射线，如果其中两条射线构成的角α位于另两条射线构成的角β内，且α等于β的一半，那么我们把角α称为角β的内半角，这四条射线称为成内半角射线组． (1)如图1，已知，，是的内半角，则 度． (2)下列各图中，已知，，，那么其中射线、、、为成内半角射线组的是 ． (3)如图2，已知，现将射线、同时绕顶点O以5度/秒的速度顺时针旋转，对应得到射线、．问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否为成内半角射线组？如果能，请直接写出旋转的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)55 (2)D (3)在旋转一周的过程中，射线、、、能为成内半角射线组，旋转时间为2秒或18秒或54秒或70秒 【分析】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，角度的和差运算，一元一次方程的应用．由旋转正确表达对应的角是本题解题关键． （1）根据“内半角”的定义，可求出，再根据求解即可； （2）根据“内半角”的定义，逐项判断即可； （3）分四种情况讨论，结合“内半角”的定义列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内半角， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：A：∵， ∴， ∴射线、、、不能称为成内半角射线组； B：∵， ∴， ∴射线、、、不能称为成内半角射线组； C：∵， ∴， ∴射线、、、不能称为成内半角射线组； D：∵， ∴， ∴射线、、、能称为成内半角射线组． 故选D； （3）解：分类讨论：①当射线在内时，如图， ∴，． 如果射线、、、能为成内半角射线组，则， ∴， 解得：； ②当射线在外时，有以下两种情况： ⅰ如图， ∴，． 如果射线、、、能为成内半角射线组，则， ∴， 解得：； ⅱ如图， ∴，． 如果射线、、、能为成内半角射线组，则， ∴， 解得：； ③当射线在内时，如图， ∴，． 如果射线、、、能为成内半角射线组，则， ∴， 解得：． 综上可知在旋转一周的过程中，射线、、、能为成内半角射线组，旋转时间为2秒或18秒或54秒或70秒． 3．综合应用： 三角尺是我们学习数学常见的工具，同时也因它的应用广泛性，常常作为命题的素材． 【数学来源于生活】 动手实践：将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放． (1)在_________的摆放方式中与互余；在_________的摆放方式中与互补 (2)在哪种摆放方式中与相等？请说明理由． (3)【抽象数学问题】如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若，则_________；若，则_________． (4)如图2所示，若两个同样的三角板，将锐角的顶点A叠放在一起，则与有何数量关系，请说明理由． 【答案】(1)甲，丁 (2)在乙、丙摆放方式中两角相等 (3)155，50 (4) 【分析】本题考查的是余角和补角，角的有关计算的应用，如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，能灵活运用角的和差进行计算是解此题的关键． （1）根据互余和互补的定义即可得出答案； （2）根据同角的余角相等即可得出答案； （3）先求出，再代入求出即可；先求出，再代入求出即可； （4）根据求出即可； 【详解】（1）解：甲图中，，丁图中，， 故答案为：甲，丁； （2）解：在乙、丙摆放方式中两角相等，理由如下： 在乙中： ∵， 在丙中： ∵， ， ∴； （3）解：∵， ， ， ， 故答案为：155，50； （4）解： 理由如下： ， 4．已知在的内部，，是补角的． （本题出现的角均指不大于平角的角）    (1)如图1，求的值； (2)在（1）的条件下，平分，射线满足，求的大小； (3)如图2，若，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转，当射线与重合后，再以每秒的速度绕点逆时针旋转．设射线，运动的时间为秒（），当时，请直接写出的值______． 【答案】(1)的值为； (2)的大小为或，过程见解析； (3)或 【分析】（1）根据角度的比例关系和补角的性质列式，即可进行求解； （2）根据角平分线的定义及（1）问结果，可求的大小，分射线在内部；射线在外部，两种情况进行讨论，（3）根据题意列出和关于时间的关系式，再应用绝对值的化简规则进行求解． 【详解】（1） ； 又是补角的， ，即， ，， 故的值为； （2）平分，， ，， 当射线在内部时，   ，， ， ， 当射线在外部时，   ，， ， ， 故的大小为或； （3）当顺时针旋转时， ， ， 代入， ，即， 去绝对值符号：或， （舍）或， 当逆时针旋转时， ， ， 代入， ，即， 去绝对值符号：或， （舍）或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了角度的比例关系，补角的计算，绝对值的化简，几何图形中角度的运算，解题的关键是：（1）根据比例关系和补角的定义列式，（2）分情况讨论射线可能存在的位置，（3）正确列出角关于运动时间的关系式，熟练应用绝对值的化简进行求解． 5．如图1，如图点为线段上一点，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边在线段上，． (1)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则______；猜想与的数量关系为______； (2)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向按每秒的速度旋转一周，三角板不动，请问几秒后所在的直线平分？ (3)将图1中的三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转两周，同时三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转（随三角板停止而停止），请直接写出几秒后所在的直线平分？ 【答案】(1)， (2)秒或秒后，所在的直线平分 (3)秒或秒或秒后，所在直线平分 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、角平分线的定义、一元一次方程的应用，理解题意，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据互余关系先求出，再由角的和差求出结果； （2）当旋转或时，所在的直线平分，由此求解即可； （3）设运动时间为秒，分三种情况：当三角板绕着点沿逆时针方向旋转到，平分时；当三角板绕着点沿逆时针方向旋转到，平分时；当三角板绕着点沿逆时针方向旋转到，平分时；分别列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：当旋转或时，所在的直线平分， 三角板绕点沿顺时针方向按每秒的速度旋转， 旋转时间为：（秒），（秒）， 秒或秒后，所在的直线平分； （3）解：三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转两周， 三角板在秒后停止运动， 三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转， 三角板最多旋转， 设运动时间为秒， 当三角板绕着点沿逆时针方向旋转到，平分时， 有， 解得：； 当三角板绕着点沿逆时针方向旋转到，平分时， 有， 解得：； 当三角板绕着点沿逆时针方向旋转到，平分时， 有， 解得：， 综上所述，秒或秒或秒后，所在直线平分． 6．已知，过顶点O作射线，若，则称射线为的“好线”，因此的“好线”有两条，如图1，射线，都是的“好线”． (1)已知射线是的“好线”，且，求的度数． (2)如图2，O是直线上的一点，，分别是和的平分线，已知，请通过计算说明射线是的一条“好线”． (3)如图3，已知，，射线和分别从和同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，的速度为每秒，的速度为每秒，当射线旋转到，立即绕点O按逆时针方向旋转，直至射线与重合时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线能否成为的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间． 【答案】(1)或；(2)见解析；(3)秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了角的和差倍分运算以及一元一次方程的应用，根据题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据“好线”的定义，可得，再分在内部时，在外部时，两种情况分别求值即可； （2）根据，分别是和的平分线，可得，，进而即可得到结论； （3）设运动时间为t ，则 ，，分3种情况：射线顺时针旋转，当在上方时；射线顺时针旋转，当在下方时；射线逆时针旋转时，当在下方时，分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵射线是的“好线”，且， ∴， ∴当在内部时， ， 当在外部时，， ∴或； （2）∵，分别是和的平分线 ∴ (∠MOP+∠NOP)=，， ∴， ∴∠BOP=∠AOP ∴是的一条“好线” ； （3）解：设运动时间为t ， ∵， ∴， 射线顺时针旋转，当在上方时，即 ， ， ∴ 解得：； 射线顺时针旋转，当在下方时，即， ， ， ∴， 解得：； 射线逆时针旋转时，当在下方时，即， ，， ∴， 解得：， 综上所述：运动时间为秒或秒或秒． 7．将一副直角三角板按如图1摆放（，），点D，C，A都在直线上，保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转．三角板的旋转时间为t秒，旋转一周回到原位则停止．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)当与重合时，求t的值； (2)如图2，平分，为的三等分线，且． ①当时，求的值； ②在三角板旋转一周的过程中，若，直接写出t的值为______． 【答案】(1) (2)①；②8或17或26或29 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角三等分线的定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用： （1）先求出旋转前，则当与重合时，旋转的角度为150度，即可得到； （2）①先求出，进而得到，则；②分当时， 当时， 当时，分别求出 ，进而求出，再根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴旋转前， ∴当与重合时，旋转的角度为150度， ∴； （2）解：①由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∴； ②当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，或或或， 故答案为：8或17或26或29． 8．已知，且． (1)填空： ， ，与的关系是 ； (2)如图，的边与的边重合，将绕点O逆时针旋转，问旋转多少度时，？ (3)当旋转的度数n满足时，问旋转过程中，与是否一直存在某种特殊关系？若是，请求出这种关系；若不是，请说明理由． 【答案】(1)100，80，互补 (2)或 (3)与互补，说明见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，非负数的性质： （1）先根据非负数的性质得到，进而可得，则与的关系是互补； （2）分当时，当时两种情况画出图形讨论求解即可； （3）分当时，当时，当时， 当时，四种情况求出的结果即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的关系是互补； 故答案为：100，80，互补； （2）解：①当时，如图， 由题意得， ， ∴，， ∵， ∴， 解得：； ②当时，如图，，    ∴，， ∵， ∴， 解得：； ∴当旋转或时，； （3）解：与互补：分以下四种情况说明： ①当时，如图，， ∴， ∴， ∴；    ②当时，如图，， ∴， ∴， ∴；    ③当时，如图，，    ∴， ∴ ， ∴； ④当时，如图，    ∴． 综上，旋转过程中，与始终互补． 9．直线相交于点，，射线平分．（本题中所有角的度数均不超过） (1)若， ①将绕点旋转至图①的位置，，______． ②将绕点旋转至图②的位置，与有怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图③，若，将绕点顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过程中与的数量关系． 【答案】(1)①75；②，理由见解析 (2)或；或 【分析】（1）①根据，可得，再由，可得，然后根据角平分线的定义可得，即可求解；②根据，可得，从而得到，根据角平分线的定义可得，，从而得到，即可求解； （2）根据题意分四种情况讨论，然后利用角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 故答案为： ②，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵射线平分， ∴， 当均在的左侧时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当均在的右侧时，如图， ， ， ∴； 当在的左侧，在的右侧时，如图， ∵ ∴， ， ∴； 当在的上方，在的右侧时，如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ， ∴． 综上所述，或；或． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，角的和与差．根据题意得到角与角之间的数量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$