第3章 代数式知识归纳与题型突破（单元复习 13类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（苏科版2024）

第3章 代数式知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【要点提示】 1.单个数字与字母也是代数式; 2.代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号; 3.代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解. 二、代数式的书写规则 1.代数式中出现的乘号通常用“”表示或者省略不写; 数与字母相乘时，数应写在字母前面; 数与数相乘时，仍用“”号; 2.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘; 3.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写; 4.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面; 如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面. 三、列代数式 1. 列代数式概念：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式. 2正确列出代数式，要掌握以下几点： （1） 列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系; （2） 要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等; （3） 要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 四、代数式的值 1.已知字母的值，直接代入求代数式的值； 2.已知式子的值，整体代入求代数式的值. 五、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【要点提示】 （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 【要点提示】 （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【要点提示】单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 六、多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 【要点提示】“几个”是指两个或两个以上． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【要点提示】 （1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 【要点提示】 （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 七、整式 单项式与多项式统称为整式． 【要点提示】 （1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式． 八、同类项 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【要点提示】 1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 九、合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 【要点提示】 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有． (2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 十、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【要点提示】 (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 十一、添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 【要点提示】 (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 十二、整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【要点提示】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 03 题型归纳 题型一　代数式的概念 例题：（23-24七年级上·广西桂林·阶段练习）下列式子：①；②；③；④⑤；⑥；⑦0．其中是代数式个数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 巩固训练 1．（23-24七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）在式子，，，，，中，代数式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·河南新乡·期中）下列各式： ，其中代数式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2023七年级上·全国·专题练习）在，0，，，，，中，是代数式的有（    ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 题型二　代数式的书写方法 例题：（23-24九年级下·重庆·开学考试）下列式子，符合代数式书写格式的是（    ） A． B． C． D．人 巩固训练 1．（23-24六年级上·山东淄博·期末）下列代数式书写正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期中）下列代数式书写正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三　列代数式 例题：（23-24七年级上·上海·单元测试）设甲数是，乙数是，用代数式表示：甲、乙两数平方的和为 ，甲、乙两数和的立方为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽·单元测试）某排队窗口开始办理业务时有人排队，以后每分钟来个新顾客，窗口每分钟可以办理个顾客，业务员办理分钟后，还有 人在排队． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）用代数式表示： （1）与的差的平方： ； （2）（2024新疆）若每个篮球30元，则购买个篮球需要 元． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）用含x的代数式填空： ①若甲开车以x千米/时的速度行驶了3小时，则行驶路程为 千米． ②若甲开车从A地以x千米/时的速度前往300千米外的B地，则所需的时间为 小时． ③若小船在静水中航行的速度为x千米/时，水流的速度为6千米/时，则小船顺流航行的速度为 千米/时，逆流航行的速度为 千米/时． 题型四　单项式、多项式、整式的判断 例题：（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内： ． 单项式：{            …}； 多项式：{            …} 整式：{            …}． 巩固训练 1.（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）在式子， ，0.5 ，，，中，单项式的个数是（    ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 2．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列式子，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）下列式子中：，，，，，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）； 多项式：（                       ）； 整式：（                         ）． 题型五　已知字母的值，求代数式的值 例题：（23-24七年级上·江苏徐州·期末）在代数式中，当，时，它的值是10，那么当，时，代数式的值是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南洛阳·开学考试）已知 当 时， 那么当 时，的值为多少？ 2．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）已知，互为倒数，是最大的负整数，且，互为相反数． (1)则______，______； (2)求代数式的值． 3．（23-24七年级上·江西赣州·期末）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是多少？ (2)已知，求的值； (3)当时，多项式的值为2，则当时，该多项式的值是多少？ 题型六　同类项的判断 例题：（23-24七年级上·海南儋州·期末）下列各式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（22-23七年级上·河北唐山·单元测试）下列各选项中的两个单项式，不是同类项的是 (　 　) A．与 B．与 C．与 D．与 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）不是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（23-24七年级上·山东青岛·期末）下列各组中的两项不是同类项的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型七　单项式的系数、次数 例题：（23-24七年级下·青海西宁·开学考试）单项式的系数是 ，次数是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）的系数是 ，次数是 ． 2．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）单项式的系数是 ，次数是 ． 3．（23-24七年级上·四川内江·期末）单项式的系数是 ，次数是 ； 题型八　多项式的项、项数或次数 例题：（23-24七年级上·上海·单元测试）多项式是 次 项式，其中最高次项的系数是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）多项式是 次 项式，常数项是 ． 2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）多项式的次数最高项的系数是 ，常数项是 ． 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）多项式的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是 ，次数最高项的系数是 ． 题型九　写出满足某些特征的单项式、多项式 例题：（23-24七年级下·广东东莞·期中）写出一个含有字母、的五次单项式： ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式 ． 2．（23-24七年级下·河南洛阳·开学考试）请你写出一个关于x的二次三项式，使得它的二次项系数为 则这个二次三项式 是 ． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）一个关于字母的二次三项式，它的常数项是，请写出一个满足条件的多项式 ． 题型十　整式的加减混合运算 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）化简： (1)； (2)． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）化简下列式子： (1) ； (2)． 2．（23-24六年级上·山东青岛·期末）化简： (1) (2) 3．（23-24七年级上·江西吉安·期中）计算： (1)； (2) 题型十一　整式加减运算中先化简再求值 例题：（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）先化简，再求值： ，其中，． 巩固训练 1．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，. 2．（23-24七年级下·河南濮阳·开学考试）先化简，再求值：，其中，． 3．（23-24七年级上·安徽·单元测试）先化简、再求值：，其中、 4．（23-24七年级下·重庆·开学考试）化简求值 ： ，其中． (1)求a，b的值 (2)化简并求出的值． 题型十二　整式的加减运算中错解复原问题 例题：（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）小明化简的过程如下，请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程： 解： ① ② ③ (1)他化简过程中出错的是第________步（填序号）； (2)请写出正确的解答过程 巩固训练 1．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期中）下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步        第二步                            第三步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第一步的依据是________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________； 任务二：请直接写出该整式化简后的正确结果________． 2．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下面是小林同学化简的一道题，其解答过程如下： 化简：， 解：原式  第一步   第二步   第三步 (1)小林同学开始出现错误是在第______步，错误的原因是__________． (2)请给出正确的解答过程． 3．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）下面是马小虎同学做的一道题： 化简：． 解：原式………………第一步 …………………第二步 ………………………………………………………第三步 (1)上面的解题过程中最早出现错误的步骤是第 步； (2)请写出正确的解题过程． 题型十三　程序流程图与代数式求值 例题：（23-24七年级上·陕西西安·期末）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为1的是（　　） A．， B．， C．， D．， 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）按下面的程序计算： 如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 ． 2．（22-23七年级上·河南平顶山·期中）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是多少？（写出计算过程） 3．（23-24七年级上·河南信阳·期末）按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后观察有什么规律，想一想：为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格： 输入 0 … 输出答案 9 1 (2)发现的规律是：输入数据x，则输出的答案是_____． (3)请验证你发现的规律． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 代数式知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【要点提示】 1.单个数字与字母也是代数式; 2.代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号; 3.代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解. 二、代数式的书写规则 1.代数式中出现的乘号通常用“”表示或者省略不写; 数与字母相乘时，数应写在字母前面; 数与数相乘时，仍用“”号; 2.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘; 3.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写; 4.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面; 如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面. 三、列代数式 1. 列代数式概念：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式. 2正确列出代数式，要掌握以下几点： （1） 列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系; （2） 要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等; （3） 要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等. 四、代数式的值 1.已知字母的值，直接代入求代数式的值； 2.已知式子的值，整体代入求代数式的值. 五、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【要点提示】 （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 【要点提示】 （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【要点提示】单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 六、多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 【要点提示】“几个”是指两个或两个以上． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【要点提示】 （1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 【要点提示】 （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 七、整式 单项式与多项式统称为整式． 【要点提示】 （1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式． 八、同类项 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【要点提示】 1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 九、合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 【要点提示】 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有． (2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 十、去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【要点提示】 (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 十一、添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 【要点提示】 (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 十二、整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【要点提示】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 03 题型归纳 题型一　代数式的概念 例题：（23-24七年级上·广西桂林·阶段练习）下列式子：①；②；③；④⑤；⑥；⑦0．其中是代数式个数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查了代数式，用加、减、乘、除、乘方、开方等运算连接起来的式子叫做代数式，单个的数字或字母也是代数式，根据代数式的定义进行判断即可． 【详解】解：①；②；③；④⑤；⑥；⑦0，代数式为①；②；④，⑦0，共4个， 故选：C 巩固训练 1．（23-24七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）在式子，，，，，中，代数式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据代数式的定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，单个数字和字母也是代数式，进行判断即可． 【详解】解：在式子，，，，，中，代数式有，，，，共4个； 故选D． 2．（23-24七年级上·河南新乡·期中）下列各式： ，其中代数式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了代数式，掌握代数式的概念是解题关键．根据代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式，逐项判定即可． 【详解】解：题中的代数式有：， 故选：C． 3．（2023七年级上·全国·专题练习）在，0，，，，，中，是代数式的有（    ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据代数式的定义对各小题进行分析即可求出答案． 【详解】解：，是等式，是不等式， 则代数式的有0，，，，故代数式共有4个， 故选：A． 【点睛】此题考查了代数式的概念，熟练掌握代数式的概念是解答此题的关键． 题型二　代数式的书写方法 例题：（23-24九年级下·重庆·开学考试）下列式子，符合代数式书写格式的是（    ） A． B． C． D．人 【答案】A 【分析】代数式的书写要求：①在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，当系数为1或时，1省略不写；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要化为假分数；④多项式后边有单位时，多项式要加括号；由此判断即可．本题考查了代数式，熟知代数式的书写要求是解题的关键． 【详解】解：A、符合代数式书写格式，故此选项符合题意； B、的系数应该为假分数，故此选项不符合题意； C、数字7应该在字母的前面，乘号省略，故此选项不符合题意； D、应该加上括号，故此选项不符合题意； 故选：A． 巩固训练 1．（23-24六年级上·山东淄博·期末）下列代数式书写正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写规范，熟记书写规则是解题的关键． 根据代数式的书写规则判断求解． 【详解】解：A：正确的书写格式是，故A不符合题意； B：正确的书写格式是，故B不符合题意； C：正确的书写格式是，故C不符合题意； D：符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式是解题的关键． 【详解】解；根据代数式的书写规则可知，只有书写规范，符合题意， 故选：B． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期中）下列代数式书写正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、正确的书写格式是，错误； B、正确的书写格式是，正确； C、正确的书写格式是，错误； D、正确的书写格式是，错误； 故选：B． 题型三　列代数式 例题：（23-24七年级上·上海·单元测试）设甲数是，乙数是，用代数式表示：甲、乙两数平方的和为 ，甲、乙两数和的立方为 ． 【答案】 / / 【知识点】用代数式表示式 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式即可，解题的关键是理解题意，正确列出式子． 【详解】解：∵甲数是，乙数是， ∴甲、乙两数平方的和为，甲、乙两数和的立方为， 故答案为：，． 巩固训练 1．（23-24七年级下·安徽·单元测试）某排队窗口开始办理业务时有人排队，以后每分钟来个新顾客，窗口每分钟可以办理个顾客，业务员办理分钟后，还有 人在排队． 【答案】 【知识点】用代数式表示式 【分析】本题主要考查了列代数式，根据每分钟来个新顾客，窗口每分钟可以办理个顾客，得出每分钟可以减少3个顾客，然后列出代数式即可． 【详解】解：∵每分钟来个新顾客，窗口每分钟可以办理个顾客， ∴每分钟可以减少个顾客， ∴业务员办理分钟后，还有人． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）用代数式表示： （1）与的差的平方： ； （2）（2024新疆）若每个篮球30元，则购买个篮球需要 元． 【答案】 【知识点】用代数式表示式 【分析】本题主要考查了列代数式表示式． （1）先表示出a与b的差，然后加括号表示出平方即可． （2）根据总价等于数量乘以单价，进而求出篮球的总价即可． 【详解】解：（1）与的差的平方，表示如下： （2）每个篮球30元，则购买个篮球需要元， 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）用含x的代数式填空： ①若甲开车以x千米/时的速度行驶了3小时，则行驶路程为 千米． ②若甲开车从A地以x千米/时的速度前往300千米外的B地，则所需的时间为 小时． ③若小船在静水中航行的速度为x千米/时，水流的速度为6千米/时，则小船顺流航行的速度为 千米/时，逆流航行的速度为 千米/时． 【答案】 【知识点】用代数式表示式 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． （1）根据时间乘以速度等于路程列式即可； （2）根据路程除以速度等于时间列式即可； （3）根据行程问题的逆流及顺流列式即可． 【详解】①若甲开车以x千米/时的速度行驶了3小时，则行驶路程为千米． ②若甲开车从A地以x千米/时的速度前往300千米外的B地，则所需的时间为小时． ③若小船在静水中航行的速度为x千米/时，水流的速度为6千米/时，则小船顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时． 故答案为：，，， 题型四　单项式、多项式、整式的判断 例题：（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内： ． 单项式：{            …}； 多项式：{            …} 整式：{            …}． 【答案】单项式：；多项式：；整式： 【分析】根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可． 【详解】解：单项式：； 多项式：； 整式：． 【点睛】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义． 巩固训练 1.（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）在式子， ，0.5 ，，，中，单项式的个数是（    ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，利用单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，进而得出答案． 【详解】解：代数式， ，0.5 ，，，中，0.5，，是单项式，故单项式的个数有3个． 故选：B． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列式子，，，中，多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据多项式的定义，逐一判断，即可求解，本题考查了多项式的定义，解题的关键是：熟练掌握多项式定义． 【详解】解：是单项式，是多项式，是分式，是多项式， 其中多项式有2个， 故选：． 3．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）下列式子中：，，，，，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查了整式的概念，根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式，即可求解． 【详解】解：整式有，，，共4个． 故选：C． 4．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）对下列式子进行分类． ． 单项式：（                       ）； 多项式：（                       ）； 整式：（                         ）． 【答案】，，，；，，；，，，，，， 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式． 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式． 【详解】单项式：（，，，） 多项式：（，，） 是整式：（，，，，，，） 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，熟练掌握相关的概念是解题的关键． 题型五　已知字母的值，求代数式的值 例题：（23-24七年级上·江苏徐州·期末）在代数式中，当，时，它的值是10，那么当，时，代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查代数式求值和解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 根据题意得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】根据题意得， ∴ ∴当，时， ． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南洛阳·开学考试）已知 当 时， 那么当 时，的值为多少？ 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．把代入求值、和的关系式，然后把代入进行计算即可得解． 【详解】解：当时，代入， ， 可得， 当时，代入， ， ， 即， ． 2．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）已知，互为倒数，是最大的负整数，且，互为相反数． (1)则______，______； (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，0 (2)0 【知识点】相反数的定义、已知式子的值，求代数式的值、倒数 【分析】本题考查相反数与倒数的定义与运用，代数式求值，准确计算是本题的解题关键． （1）根据相反数与倒数的定义即可得到答案； （2）根据要求计算即可，注意的部分可以提公因数． 【详解】（1），互为倒数，且，互为相反数， ，； （2）∵是最大的负整数， ∴ ∴ ． 3．（23-24七年级上·江西赣州·期末）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是多少？ (2)已知，求的值； (3)当时，多项式的值为2，则当时，该多项式的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查整体带入思想下的有理数混合运算，涉及已知式子的值求代数式的值． （1）将看成一个整体提取并进行有理数的加减运算即可； （2）将所求代数式适当变形后代入已知式子，进行有理数混合运算即可； （2）根据题意求得，当代入变形后整体代入即可． 【详解】（1）解：把看成一个整体，则 ； （2）， 原式； （3）当时，， ， ， 当时， ． 题型六　同类项的判断 例题：（23-24七年级上·海南儋州·期末）下列各式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的识别，同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，据此判断即可． 【详解】解：A．与，所含字母不相同，不是同类项，故本选项不合题意； B．与，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不合题； C．与，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项符合题意； D．与，所含字母不相同，不是同类项，故本选项不合题意； 故选：C． 巩固训练 1．（22-23七年级上·河北唐山·单元测试）下列各选项中的两个单项式，不是同类项的是 (　 　) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．据此分析即可． 【详解】解：A、C、D符合同类项的定义； B中相同字母的指数不同，故不是同类项． 故选B． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）不是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项，解题的关键是熟记同类项的定义． 含有相同的字母，且相同字母的指数也分别相等的几个单项式是同类项，根据定义求解即可． 【详解】解：A、和符合同类项的定义，故本选项不符合题意； B、和所含相同字母的指数不同，不是同类项，符合题意； C、和符合同类项的定义，故本选项不符合题意； D、和符合同类项的定义，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级上·山东青岛·期末）下列各组中的两项不是同类项的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项的概念，根据同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项进行判断即可，正确理解同类项的概念是解题的关键． 【详解】．根据同类项的定义，与是同类项，不符合题意； ．根据同类项的定义，与不是同类项，符合题意； ．根据同类项的定义，与是同类项，不符合题意； ．根据单独的数是同类项，故与是同类项，不符合题意； 故选：． 题型七　单项式的系数、次数 例题：（23-24七年级下·青海西宁·开学考试）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 4 【分析】此题主要考查了单项式，根据单项式的系数和次数的定义：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，即可得解． 【详解】解：单项式的系数是，次数是 故答案为：，4． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）的系数是 ，次数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查单项式，掌握单项式的系数和次数的定义，即单项式中数字因数是单项式的系数，所有字母指数和是单项式的次数，是正确解答的前提．根据单项式的系数和次数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式的系数为， 单项式的次数为， 故答案为：，3 2．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 5 【分析】根据单项式的次数的定义（一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数）和系数的定义（单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数）即可得．本题考查了单项式的系数和次数，熟记定义是解题关键． 【详解】解：单项式的系数为，次数为， 故答案为：，5． 3．（23-24七年级上·四川内江·期末）单项式的系数是 ，次数是 ； 【答案】 六/6 【分析】考查单项式的系数以及次数，单项式中的数字因数就是单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和就是单项式的次数．根据单项式系数及次数的定义进行解答即可． 【详解】解：∵单项式的数字因数是，所有字母指数的和 ∴此单项式的系数是，次数是六． 故答案为：；六． 题型八　多项式的项、项数或次数 例题：（23-24七年级上·上海·单元测试）多项式是 次 项式，其中最高次项的系数是 ． 【答案】 六 五 【分析】本题考查多项式的次数，项数和系数．熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据多项式的次数：最高项的次数，项数：单项式的个数，系数：单项式中的数字因式，进行作答即可． 【详解】解：根据题意可得多项式一共有五项，其中：、、的次数均是，的次数是，是常数项， ∴多项式最高次项六，最高次项的系数是， 故答案为：六，五，． 巩固训练 1．（23-24七年级上·上海青浦·期中）多项式是 次 项式，常数项是 ． 【答案】 四 四 【分析】本题考查了多项式的定义，解题的关键是掌握多项式的相关定义． 根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数进行分析即可． 【详解】解：多项式的次数为四次四项式，常数项为， 故答案为：四、四、． 2．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）多项式的次数最高项的系数是 ，常数项是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的项、次数、系数的概念，根据定义，多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式的次数为多项式中次数最高项的单项式次数就是这个多项式的次数；系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．掌握这些概念是解答本题的关键． 【详解】多项式的次数最高项的系数是，常数项是， 故答案为：，． 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）多项式的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是 ，次数最高项的系数是 ． 【答案】 7 4 【分析】本题考查多项式的项，解答本题需要我们掌握多项式中次数、项数的定义． 【详解】解：多项式的二次项系数是，三次项系数是7，常数项是，次数最高项的系数是4． 故答案为：，7，，4． 题型九　写出满足某些特征的单项式、多项式 例题：（23-24七年级下·广东东莞·期中）写出一个含有字母、的五次单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是单项式的概念，单项式中所有字母的指数和就是单项式的次数，次数与单项式的数字因数没有关系，写的只要符合要求即可． 【详解】解：答案不唯一，含字母的五次单项式是； 故答案为：（答案不唯一）． 巩固训练 1．（23-24七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的定义，由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，单项式中数字因数叫做单项式的系数（当系数为1或时，1可以省略不写）．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：系数为，含有字母，的三次单项式： 故答案为：（答案不唯一） 2．（23-24七年级下·河南洛阳·开学考试）请你写出一个关于x的二次三项式，使得它的二次项系数为 则这个二次三项式 是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了多项式的相关定义，根据多项式的项，系数的定义进行求解即可． 【详解】解：一个关于x的二次三项式为：． 故答案为：．（答案不唯一） 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）一个关于字母的二次三项式，它的常数项是，请写出一个满足条件的多项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的性质，根据条件及多项式的项及次数的定义可以得出所求的多项式．根据题意写出满足条件的多项式即可． 【详解】解：由题意得：该多项式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 题型十　整式的加减混合运算 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （1）先去括号，然后合并同类项即可； （2）先去括号，然后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）化简下列式子： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主经考查了整式的加减．熟练掌握去括号，合并同类项，符号的变化，运算顺序，是解决问题的关键． （1）把同类项合并即可． （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1） ． （2） ． 2．（23-24六年级上·山东青岛·期末）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 3．（23-24七年级上·江西吉安·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查整式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． （1）根据整式的加减运算法则即可求出答案． （2）根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 题型十一　整式加减运算中先化简再求值 例题：（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，0 【分析】本题考查整式的加减-化简求值．掌握整式的加减运算法则是解题的关键．去括号再合并同类项即可化简．将，代入化简后的式子即可求值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 巩固训练 1．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，. 【答案】；0 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 把，代入得：原式． 2．（23-24七年级下·河南濮阳·开学考试）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，先去括号，合并同类项，最后把，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 3．（23-24七年级上·安徽·单元测试）先化简、再求值：，其中、 【答案】；2 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值， 先去括号，然后合并同类项，最后代入数字求解即可． 【详解】解： ， 当、时， 原式． 4．（23-24七年级下·重庆·开学考试）化简求值 ： ，其中． (1)求a，b的值 (2)化简并求出的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的运算，熟练运用整式运算法则是解题关键． （1）根据绝对值的非负性即可求解； （2）先去括号，然后和合并同类项，得出最简式后，把、的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2） ， 当，时， 原式． 题型十二　整式的加减运算中错解复原问题 例题：（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）小明化简的过程如下，请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程： 解： ① ② ③ (1)他化简过程中出错的是第________步（填序号）； (2)请写出正确的解答过程 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题考查了整式的加减； （1）观察可知在第①步去第二个括号时最后一个数漏乘了2； （2）正确的解答是先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）他化简过程中出错的是第①步，去第二个括号时最后一个数漏乘了 故答案为①； （2）正确的解答是： ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期中）下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步        第二步                            第三步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第一步的依据是________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________； 任务二：请直接写出该整式化简后的正确结果________． 【答案】任务一：①乘法分配律；②二；括号前面是负号，去掉括号后，括号里第二项没有变号；任务二： 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟知去括号和合并同类项法则是解题的关键． 任务一：①根据题意可知，第一步的依据为乘法分配律；②在第二步去括号时，括号外面是负号，括号里第二项没有变号，据此可得答案； 任务二：先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：任务一：①由题意得，第一步的依据是乘法的分配律， 故答案为：乘法的分配律； ②根据题意第二步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是负号，去掉括号后，括号里第二项没有变号， 故答案为：二；括号前面是负号，去掉括号后，括号里第二项没有变号； 任务二：            ， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下面是小林同学化简的一道题，其解答过程如下： 化简：， 解：原式  第一步   第二步   第三步 (1)小林同学开始出现错误是在第______步，错误的原因是__________． (2)请给出正确的解答过程． 【答案】(1)一；括号前有数字因数，未与括号内的各项分别相乘再去括号（或未乘以3） (2)见解析 【分析】本题考查整式的加减运算． （1）去括号时，括号前有数字因数，未与括号内的各项分别相乘再去括号，出现错误； （2）去括号，合并同类项，计算即可． 掌握相关运算法则，正确的计算，是关键． 【详解】（1）解： ； 故小林同学开始出现错误是在第一步，去括号时，括号前有数字因数，未与括号内的各项分别相乘再去括号，出现错误； 故答案为：一，去括号时，括号前有数字因数，未与括号内的各项分别相乘再去括号； （2）原式． 3．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）下面是马小虎同学做的一道题： 化简：． 解：原式………………第一步 …………………第二步 ………………………………………………………第三步 (1)上面的解题过程中最早出现错误的步骤是第 步； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算． （1）仔细检查每一步，即可找到错误的地方及错误的原因； （2）先用乘法分配律，再去括号，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：解答过程中第一步是用乘法分配律，括号里的第二项正确没有乘； 故答案为：一； （2）解： ． 题型十三　程序流程图与代数式求值 例题：（23-24七年级上·陕西西安·期末）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为1的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，把各自的值代入运算程序中计算，使其结果为1即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：A、把，输入， ∵， ∴，不符合题意； B、把，输入， ∵， ∴，不符合题意； C、把，输入， ∵， ∴，不符合题意； D、把，输入， ∵， ∴，符合题意． 故选：D 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）按下面的程序计算： 如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 ． 【答案】或10或3 【分析】本题考查了一元一次方程的解法．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．注意可反复输入． 由程序图，可以得到输出结果和x的关系：输出结果，当输出结果是150时，可求出x的值．若计算结果与x的值相等且时，需重新确定输入新的数值，反复直到x不能满足正整数为止． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时，x不是正整数，不合题意． 即当或10或3时，输出的结果都是150． 故答案为：或10或3． 2．（22-23七年级上·河南平顶山·期中）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是多少？（写出计算过程） 【答案】最后输出的结果y是 【分析】此题考查了有理数的混合运算和代数式的值，根据题意得到代数式为，依次进行计算，直到结果符合要求，输出为止． 【详解】解：根据题意，得， 输入时，， 当时，， 当时，， ∴最后输出的结果y是． 3．（23-24七年级上·河南信阳·期末）按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后观察有什么规律，想一想：为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格： 输入 0 … 输出答案 9 1 (2)发现的规律是：输入数据x，则输出的答案是_____． (3)请验证你发现的规律． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把输入行的数分别代入程序中计算即可得到结果； （2）根据程序得出一般性规律，写出即可； （3）由题中给出的式子我们可得出 【详解】（1）解：填表如下： 输入 0 … 输出答案 9 4 1 0 … （2）解：输入数据x，则输出的答案是． （3）解： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$