专题03 解直角三角形（中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题03解直角三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、由特殊角的三角函数值判断三角形 【解惑】在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【融会贯通】 1．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 3．在中，若，则是 三角形． 类型二、由特殊角的三角函数值求角度 【解惑】在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，和都是锐角，且，，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 2．已知，均为锐角，且，则 ． 3．已知为锐角，且，则度数等于 度． 类型三、已知角度比较三角函数值的大小 【解惑】比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 2．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 3．比较大小： （填“”或“”） 类型四、根据三角函数值判断锐角的取值范围 【解惑】若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若锐角满足，则的取值范围是 ． 3．若，则 ． 类型五、利用同角三角函数关系求值 【解惑】已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 【融会贯通】 1．如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 2．已知，则的值为 ． 3．在中，，若，则 ． 类型六、互余两角三角函数的关系 【解惑】如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 2． （选填“＞”或“＝”或“＜”） 3．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 类型七、特殊角的三角函数值的混合运算 【解惑】计算：． 【融会贯通】 1．计算：． 2．计算：． 3．先化简，再求代数式的值，其中 类型八、解直角三角形的相关计算 【解惑】如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 【融会贯通】 1．在中，，，，解这个直角三角形． 2．解直角三角形 (1)； (2)． 3．如图，已知是的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值 【一览众山小】 1．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，是上的一点，垂足为，若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．5 3．如图所示，在中，，，于点．若，则的长是 ．    4．计算： ． 5．在中，，，，的对边分别为a，b，c，请你确定式子是否为常数，并试证明你的结论． 6．如图所示，在中，，，，求的长． 7．计算：． 8．先化简，再求值代数式的值，其中． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03解直角三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、由特殊角的三角函数值判断三角形 【解惑】在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 【融会贯通】 1．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 2．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 3．在中，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：， ，， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 类型二、由特殊角的三角函数值求角度 【解惑】在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案．此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 【详解】解：， ，， ，， ，， 的度数是：． 故选：C． 【融会贯通】 1．在中，和都是锐角，且，，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，等边三角形判定，利用特殊角的三角函数值得出及的度数，继而可判断的形状． 【详解】解：由题意得，，， ，， 即是等边三角形． 故选：C． 2．已知，均为锐角，且，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性求出，的值，进而根据特殊角的三角函数值得到，，进而即可解答． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为： 3．已知为锐角，且，则度数等于 度． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值解决问题即可． 【详解】解：，为锐角， ， 故答案为：． 类型三、已知角度比较三角函数值的大小 【解惑】比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】， ， ，， ，， ， 故选：D． 【融会贯通】 1．给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 2．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 3．比较大小： （填“”或“”） 【答案】 【分析】利用正切的增减性解答． 【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数值大小的比较，掌握相关知识是解题关键． 类型四、根据三角函数值判断锐角的取值范围 【解惑】若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 【融会贯通】 1．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 2．若锐角满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性． 3．若，则 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小，然后化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角三角函数的混合运算，根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小是解题的关键． 类型五、利用同角三角函数关系求值 【解惑】已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．将所代数式变形为，根据一元二次方程根与系数的关系可求出，再结合整体代入求值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解：， ． 故选：． 2．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】分子分母同时除以，化成正切代入即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理．根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图：    ∵在中，，， 即， ∴设， ， ∴． 故答案为：． 类型六、互余两角三角函数的关系 【解惑】如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 【融会贯通】 1．在中，，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各个三角函数的定义即可解答． 【详解】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合题意； B、，∴，故B成立，符合题意； C、，∴，故C不成立，不符合题意； D、，∴，故D不成立，不符合题意； 故选：B．    【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，解题的关键的数量掌握各个三角函数的求法． 2． （选填“＞”或“＝”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】本题考查了锐角三角函数； 根据，锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行判断即可． 【详解】解：， ∵锐角的正弦值随着角度的增大而增大， ∴，即， 故答案为：＞． 3．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为锐角， ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． 类型七、特殊角的三角函数值的混合运算 【解惑】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，乘方，绝对值．解题的关键在于正确的计算． 根据二次根式的性质进行化简，计算特殊角的三角函数值，乘方，绝对值，再算乘法，最后算加减运算即可． 【详解】解：                 ． 【融会贯通】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、二次根式除法、特殊三角函数值进行计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】原式． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先计算零次幂、化简二次根式，再代入特殊值的三角函数值，计算乘法并化简绝对值，最后算加减得结论． 【详解】解： ． 3．先化简，再求代数式的值，其中 【答案】，原式 【分析】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】 ∵ ∴原式 类型八、解直角三角形的相关计算 【解惑】如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键． （1）先根据的余弦求出的长，再利用勾股定理即可解决问题． （2）根据为边上的中线可知，的面积是面积的一半，据此可解决问题． 【详解】（1）， ． 在中， ， ， ． （2）为边上的中线， ． 又， ． 【融会贯通】 1．在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【分析】本题考查了解直角三角形，首先根据和的长度得出，继而求出，从而得出和的度数． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴ ∵， ∴， ∴． 2．解直角三角形 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出AC，利用正弦值求出∠A，利用互余关系求出∠B； （2）利用勾股定理求出AC，利用正切值求出∠A，利用互余关系求出∠B． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握直角三角形的性质，熟背特殊角得三角函数值是解题的关键． 3．如图，已知是的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用三角函数和勾股定理结合解直角三角形： （1）过点A作于点H，在中，可得，在中，可得 ，即可求解； （2）求出，可得，在中，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点H， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【一览众山小】 1．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切定义，设，则，再根据勾股定理求得，然后利用余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，中，，，，是上的一点，垂足为，若，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理得到，再解直角三角形得到，则． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：C． 3．如图所示，在中，，，于点．若，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，含30度角的直角三角形．由，得到，求出，，由含30度角的直角三角形的性质推出． 【详解】解：， ， 于， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．分别化简计算绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再进行加减运算． 【详解】解： ． 5．在中，，，，的对边分别为a，b，c，请你确定式子是否为常数，并试证明你的结论． 【答案】是常数，证明见解析 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解． 根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可． 【详解】解：是常数，证明如下： 由题意可得，如下图： ∵， ∴ ∴ ． 6．如图所示，在中，，，，求的长． 【答案】12 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长． 【详解】过点作于． 在中， ，， ， 在中，， ． 7．计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 8．先化简，再求值代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先根据分式的混合运算法则化简，然后利用特殊角的三角函数值求出a的值，然后代数求解即可． 【详解】 ， ∵ ∴原式． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$