专题08 二次函数与一元二次方程、不等式（4大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题08 二次函数与一元二次方程、不等式 求二次函数的值域或最值 1．（23-24高一上·福建福州·期中）函数的值域为 ． 2．（23-24高一上·福建福州·期中）设f（x）＝2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（1，5），则f（x）= ；若对于x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解，则实数t的取值范围为 . 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数，其中. (1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米.篱笆长60米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．        (1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为400平方米? (2)若围成的矩形的面积为平方米，当为何值时，有最大值，最大值是多少? 5．（22-23高一上·福建漳州·期中）设集合，集合，已知命题，命题，且命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围． 6．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．现已画出函数在轴右侧的图象，如图所示． (1)画出函数在轴左侧的图象，根据图象写出函数在上的单调区间； (2)直接写出在上的解析式，并求在区间的最小值． 7．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数． (1)设，求在区间上的最小值； (2)求不等式的解集． 解不含参数的一元二次不等式 1．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，则“成立”是“成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·福建福州·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．， B．当时，， C．成立的充要条件是 D．“”的一个必要不充分条件是“” 5．（23-24高一上·福建福州·期中）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法不正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 6．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数． (1)当时，解不等式; (2)若不等式的解集为R，求实数a的取值范围． 7．（23-24高一上·福建福州·期中）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围 8．（23-24高一上·福建南平·期中）设. (1)当时，的解集； (2)解关于的不等式. 解含参数的一元二次不等式 1．（22-23高一上·福建泉州·期中）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A．0 B． C．1 D． 2．（23-24高一上·福建莆田·期中）设且关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 3．（23-24高一上·福建三明·期中）已知二次函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数，的值； (2)若，，解关于的不等式． 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知． (1)若的解集为，求关于的不等式的解集； (2)解关于的不等式． 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，. (1)若不等式的解集为，求，的值域； (2)若，讨论关于不等式的解集. 6．（23-24高一上·福建福州·期中）已知命题是假命题． (1)求实数m的取值集合B； (2)设不等式的解集为A．若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 7．（23-24高一上·福建福州·期中）设. (1)若“”是真命题，求实数的取值范围； (2)解关于的一元二次不等式. 8．（22-23高一上·福建福州·期中）设，，命题，命题 (1)当时，试判断命题p是命题q的什么条件？ (2)求的取值范围，使命题p是命题q的必要不充分条件. 由一元二次不等式的解集确定参数 1．（23-24高一上·福建·期中）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．当，不等式恒成立 B．当时，的最小值是5 C．若不等式的解集为，则 D．不等式的解集可以是 3．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建福州·期中）已知关于的不等式的解集为，且实数满足，，则实数的取值范围是 . 5．（22-23高一上·福建泉州·期中）若关于的不等式的解集为. (1)当时，求的值； (2)若，，求的值，并求的最小值. 6．（22-23高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)不等式的解集为，求实数的值； (2)若在上的解集非空，求实数的取值范围． 8．（23-24高一上·福建·期中）已知函数 (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围． 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题：，为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合． 2．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知命题，为假命题． (1)求实数a的取值集合A； (2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围． 3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知命题“，方程有实根”是真命题. (1)求实数m的取值集合A； (2)关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围. 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数，其中. (1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·福建福州·期中）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围 6．（22-23高一上·福建泉州·期中）（1）若“，使得不等式成立”是假命题，求实数的取值范围. （2）若，求关于的不等式的解集. 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 1．（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建龙岩·期中）已知不等式有解，则实数的取值范围为 . 3．（22-23高一上·福建宁德·期中）已知命题“”为真命题，则的取值范围为 . 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题，，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)不等式的解集为，求实数的值； (2)若在上的解集非空，求实数的取值范围． 6．（23-24高一上·福建·期中）已知函数 (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围． 根据二次函数的最值或值域求参数 1．（22-23高一上·福建宁德·期中）若函数的定义域为，值域为，则整数的值可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建省厦门市·期中）若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围为 ． 4．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数. (1)若函数的值域为，求实数的值； (2)当时，函数的最大值为2，求实数的值. 5．（22-23高一上·福建漳州·期中）已知函数 (1)若函数在上单调递减，求a的取值范围： (2)是否存在实数a，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 6．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知二次函数的图像经过原点O，满足对任意实数x都有，且关于x的方程有两个相等的实数根. (1)求函数的解析式： (2)是否存在实数m、，使得的定义域为，值域为?若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 7．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数f（x）＝ax2＋2x＋c，若不等式f（x）＜0的解集是{x|－5＜x＜3}. (1)求f（x）的解析式； (2)若函数f（x）在区间[m，m＋2]上的最小值为20，求实数m的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数与一元二次方程、不等式 求二次函数的值域或最值 1．（23-24高一上·福建福州·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数单调性求解值域. 【详解】 开口向上，对称轴为, 函数单调递减，函数单调递增， 当时，, 当时，, 所以. 故答案为： 2．（23-24高一上·福建福州·期中）设f（x）＝2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（1，5），则f（x）= ；若对于x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得1和5是方程的根，则利用根与系数的关系可求出，从而可求出的解析式，由对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解，可得，求出可求得实数t的取值范围 【详解】因为不等式f（x）＜0的解集是（1，5）， 所以1和5是方程的根， 所以，解得， 所以， 因为对于x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解， 所以 因为的对称轴为， 所以在上单调递减， 所以， 所以，得， 所以实数t的取值范围为， 故答案为：， 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数，其中. (1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据得到，然后结合题意列不等式求解即可； （2）将“对任意的，，都有”转化为“”，然后分、、和四种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 令，解得， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以“对任意的，，都有”等价于“”， ①当时，，， 由，得，从而此时； ②当时，，， 由得， 从而； ③当时，，， 由，得， 从而； ④当时，，， 由得， 从而此时； 综上可得，的取值范围为. 4．（23-24高一上·福建厦门·期中）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米.篱笆长60米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．        (1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为400平方米? (2)若围成的矩形的面积为平方米，当为何值时，有最大值，最大值是多少? 【答案】(1)20(2)时，有最大值，最大值为 【分析】（1）根据已知列出方程，整理求解即可得出答案； （2）由已知可得，.根据二次函数的单调性，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，所以， 又，所以， 面积， 整理可得，，解得（舍）或， 所以的长应为20米； （2）由已知可得，，. 又， 根据二次函数的性质可知，在上单调递减， 所以，当时，有最大值. 5．（22-23高一上·福建漳州·期中）设集合，集合，已知命题，命题，且命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】求出集合，根据，转化为在上恒成立，利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】设集合， 因为命题是命题的充分不必要条件，所以， 即在上恒成立， 当时，恒成立，此时； 当时，恒成立，因为， 当且仅当即时等号成立， 所以， 综上所述，实数的取值范围． 6．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．现已画出函数在轴右侧的图象，如图所示． (1)画出函数在轴左侧的图象，根据图象写出函数在上的单调区间； (2)直接写出在上的解析式，并求在区间的最小值． 【答案】(1)作图见解析，答案见解析(2)，. 【分析】（1）根据偶函数的性质可作出函数在轴左侧的图象，结合图象可得出函数的增区间和减区间； （2）根据偶函数的定义可得出函数在上的解析式，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出函数在区间的最小值． 【详解】（1）解：作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的增区间为、，减区间为、. （2）解：当时，， 所以，. 当时，即当时，函数在上单调递减， 此时，； 当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，； 当时，函数在上单调递增，此时，. 综上所述，当时，. 7．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数． (1)设，求在区间上的最小值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）就、、分类讨论后可得. （2）就、、、、分类讨论后可得不等式的解. 【详解】（1）， ①当，即时，函数在处取得最小值，故； ②当时，即时，函数在处取得最小值， 故此时； ③当时，即时，函数在处取得最小值， 故此时； 综上可知： （2）∵， ∴当时，得，故此时不等式的解集为. 时，分为，， 当时， 当时，不等式的解集为； 当，不等式的解集为 当，不等式的解集为 当，不等式的解集为． 解不含参数的一元二次不等式 1．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，则“成立”是“成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别解出不等式以及，即可得出答案. 【详解】解可得，. 由可得，，解得. 所以，“成立”是“成立”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先求出对应一元二次方程的根，即可写出不等式的解集. 【详解】解可得，或， 所以，不等式的解集为或. 故选：C. 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解不等式，然后结合必要条件、充分条件的判定方法即可得到结果. 【详解】解不等式，得或， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（23-24高一上·福建福州·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．， B．当时，， C．成立的充要条件是 D．“”的一个必要不充分条件是“” 【答案】BD 【分析】利用二次函数的性质即可判断A，B，根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD. 【详解】对于A，，，可知A不正确； 对于B，当时，由可得， 即该方程有根，可知，，即B正确； 对于C，易知成立的充要条件是，且，所以C错误； 对于D，解不等式可得， 又因为， 所以“”的一个必要不充分条件是“”，即D正确； 故选：BD 5．（23-24高一上·福建福州·期中）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法不正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得是方程的两个根，且，然后利用根与系数的关系表示出，再逐个分析判断即可. 【详解】因为关于x的不等式的解集为或， 所以，且方程的根为，故A正确； 则， 所以， 则不等式，即为不等式，即， 所以不等式的解集为，故B错误； 不等式，即为不等式， 即为，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； ，故D错误. 故选：BD. 6．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数． (1)当时，解不等式; (2)若不等式的解集为R，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或(2) 【分析】（1）不等式变形，使得二次项系数为正，确定相应方程的根后可得不等式的解； （2）由可得． 【详解】（1）当时，即 ， 解方程，即 得． ∴不等式的解集为或； （2）若不等式的解集是R， 则， 解得， 故实数a的取值范围是． 7．（23-24高一上·福建福州·期中）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)(2) 【分析】（1）将代入后，利用因式分解法解不等式即可； （2）利用参变分离法，结合基本不等即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以由，得，即，解得， 所以的解集为． （2）因为当时，不等式恒成立， 即，即在上恒成立， 而，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即实数a的取值范围是． 8．（23-24高一上·福建南平·期中）设. (1)当时，的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1).(2)答案见解析. 【分析】（1）当时，得到具体的一元二次不等式，解不等式即可； （2）解含参一元二次不等式问题中，将不等式因式分解后，对参数分类讨论后，根据二次函数的图象求解不等式即可. 【详解】（1）当时，，解得或， 所以不等式的解集为：. （2）不等式等价于. 当即时，不等式可化为，不等式的解集为； 当即时，不等式可化为，不等式的解集为； 当即时，不等式可化为，此时. 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 解含参数的一元二次不等式 1．（22-23高一上·福建泉州·期中）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】BC 【分析】原不等式可化为，根据一次函数和二次函数的图象可知和为原不等式的两个整数解，由此列不等式组求的范围即可. 【详解】可化为， 因为关于的不等式的解集中恰有两个整数， 由一次函数和二次函数的图象可知和为不等式的解集中的两个整数，    所以解得， 故选：BC 2．（23-24高一上·福建莆田·期中）设且关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据已知不等式的解集确定出的关系以及的正负，然后求解对应一元二次不等式的解集即可. 【详解】因为的解集为，所以，所以， 所以，解得， 故答案为：. 3．（23-24高一上·福建三明·期中）已知二次函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数，的值； (2)若，，解关于的不等式． 【答案】(1)，；(2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定的解集，借助一元二次方程根与系数的关系列式计算即得. （2）分类讨论解一元二次不等式即得. 【详解】（1）由不等式的解集是， 得和是一元二次方程的两个实数根，且， 于是，解得，， 所以，. （2），不等式化为，即， 当，即时，解不等式，得或； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，解不等式，得或， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知． (1)若的解集为，求关于的不等式的解集； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）通过一元二次不等式的解集以及韦达定理求出参数，然后将分式不等式转化成一元二次不等式求解即可； （2）对参数进行分类讨论，并结合一元二次不等式的求解方法即可得到答案. 【详解】（1）因为的解集为，即的解集为， 所以、为关于的方程的两根且， 所以，解得， 所以等价于，解得或， 故关于的不等式的解集为. （2）不等式，即，即， 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得或； 当时，原不等式可化为， 当，即时，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得． 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，. (1)若不等式的解集为，求，的值域； (2)若，讨论关于不等式的解集. 【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】(1)由不等式的解集为求出，再带入，再利用单调性求解集. (2)分三种情况分别讨论即可. 【详解】（1）函数，， 不等式的解集为， 即方程的两个实数根为和1，且； 所以， 解得 ， 设， 则 故为增函数 所以的值域为 （2）时，不等式即为， 可化为，； 当时，，不等式化为，解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 6．（23-24高一上·福建福州·期中）已知命题是假命题． (1)求实数m的取值集合B； (2)设不等式的解集为A．若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据假命题的否定是真命题，利用二次不等式恒成立即可得解； （2）对分三种情况讨论，结合充要条件与集合的包含关系即可得解. 【详解】（1）因为命题是假命题， 则命题，是真命题， 所以，解得， 故. （2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集， 而不等式， 当，即时，其解集， 则，即，又，故； 当，即时，其解集，满足题意； 当，即时，其解集， 则，此时，又，故； 综上，. 7．（23-24高一上·福建福州·期中）设. (1)若“”是真命题，求实数的取值范围； (2)解关于的一元二次不等式. 【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的恒成立的求解方法求解； （2）利用含参一元二次不等式的解法，分类讨论求解. 【详解】（1）由题可得，“”是真命题， 若，则恒成立，满足题意； 若，要使“”是真命题， 则必有，解得， 综上实数的取值范围为. （2）因为是一元二次不等式，所以， 又由可得，， 方程的两个根为， （i）若，即时，原不等式的解为； （ii）若，即时，原不等式的解集为； （iii）若，即时，原不等式的解集为； （iiii）若，即时，原不等式的解集为； 综上，时，原不等式的解集为；时，原不等式的解为；时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为. 8．（22-23高一上·福建福州·期中）设，，命题，命题 (1)当时，试判断命题p是命题q的什么条件？ (2)求的取值范围，使命题p是命题q的必要不充分条件. 【答案】(1)命题p是命题q的必要不充分条件(2){a|a3} 【分析】（1）根据分式不等式，一元二次不等式和集合关系结合充分条件必要条件的定义即得； （2）分类讨论参数结合条件即可求解. 【详解】（1）{x|x5或x3}， 当a8时， {x|x214x+48≤0}{x|6≤x≤8}， ∵命题p：xA，命题q：xB，则B真包含于A， ∴命题p是命题q的必要不充分条件． （2）∵A{x|x5或x3}， 命题p是命题q的必要不充分条件，则B真包含于A         ①当a6，即a6时，此时B＝{x|6≤x≤a}，命题成立；    ②当a＝6，即a＝6时，此时B＝{6}，命题成立；               ③当a6，即a6时，此时B＝{a≤x≤6}，故有a＞3，解得6a3.                              综上所述，a的取值范围是{a|a3}. 由一元二次不等式的解集确定参数 1．（23-24高一上·福建·期中）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次不等式的解集确定出的等量关系，然后将化为以表示的形式并结合基本不等式求解出最小值. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以且，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以最小值为， 故选：D 2．（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．当，不等式恒成立 B．当时，的最小值是5 C．若不等式的解集为，则 D．不等式的解集可以是 【答案】BC 【分析】举反例排除AD，利用基本不等式可判断B，利用一元二次不等式的解法判断C，从而得解． 【详解】对于A，当时，，显然不成立，故A错误； 对于B，因为，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是5，故B正确； 对于C，因为等式的解集为， 所以方程的两个实数根为或，且， 所以，即，故C正确； 对于D，当时，恒成立， 所以的解集不可能是，故D错误. 故选：BC． 3．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】依题意，且、是关于的方程的两根，即可判断 A、B，利用韦达定理判断C，再结合函数与轴的交点情况判断D. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以，且、是关于的方程即的两根， 所以，故A、B正确， 又， 所以，故C正确； 又与轴有两个交点，， 而是将函数向上平移一个单位得到， 所以与轴的交点横坐标，， 所以，故D错误； 故选：ABC 4．（23-24高一上·福建福州·期中）已知关于的不等式的解集为，且实数满足，，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】由题得，结合韦达定理表示出，从而解不等式组即可得解. 【详解】因为的解集为， 所以是的两根， 所以，， 所以，则， 即，解得或. 故答案为：或. 5．（22-23高一上·福建泉州·期中）若关于的不等式的解集为. (1)当时，求的值； (2)若，，求的值，并求的最小值. 【答案】(1)(2)，的最小值为. 【分析】（1）由方程有两个实数根即可得，再代入通分后的式子即可得解. （2）由不等式的解集为和、可得，进而可求得和求解，从而结合基本不等式即可求解的最小值. 【详解】（1）由题意，关于的方程有两个根，， 所以，故. （2）由题意，关于方程有两个正根， 且由韦达定理知，解得， 所以， 所以， 又，，故、， 所以，当且仅当即时等号成立， 结合得即，时取等号. 此时实数符合条件， 故，且当时，取得最小值. 6．（22-23高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用一元二次不等式和对应一元二次方程的关系列出方程组，解之即得； （2）将（1）求得的的值代入不等式并整理，由题意得到关于的不等式，解之即得. 【详解】（1）依题意知，方程有两根为2和3， 则由韦达定理可得，，解得，； （2）由可得，， 依题意需使，，解得，，即. 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)不等式的解集为，求实数的值； (2)若在上的解集非空，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）不等式即的解集为可知是方程的根，将2代入方程求参即可； （2）由在上的解集非空，可知求解不等式即可. 【详解】（1）因为不等式即的解集为 所以是方程的根， 所以，解得． （2）因为在上的解集非空， 所以在上解集非空， 所以解得或， 所以实数的取值范围是． 8．（23-24高一上·福建·期中）已知函数 (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围． 【答案】(1)1(2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集列方程，由此求得的值. （2）化简不等式，通过直接讨论法或分离常数法，结合二次函数的性质或基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，的解集是或，则， 且是方程的两个根， 所以，解得． （2）时，在有解， 即在有解， 法一：因为的开口向上，对称轴 ①即时，函数取得最小值. ②即时，当取得最小值，此时， 解得或.又. ③当即，当时取得最小值，此时不成立， 即无解. 综上，． 法二：在有解， 当时不成立， 当时，即在有解，， 令，， 当且仅当即取“”，，. 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 1．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题：，为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可； （2）根据题意可得，结合得到，解得即可． 【详解】（1）因为命题：，为假命题， 所以命题的否定为：，，为真命题， 且，解得． ∴． （2）由解得，即， 若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集， 又，所以，解得， 所以实数的取值集合为． 2．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知命题，为假命题． (1)求实数a的取值集合A； (2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围． 【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可； （2）根据题意先求得，再分情况求得的范围即可． 【详解】（1）解：命题的否命题为，为真， 且， 解得． ∴． （2）解：由解得 ， 若“”是“”的必要不充分条件， 则， ∴当时，即， 解得； 当时，， 解得， 综上：或． 3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知命题“，方程有实根”是真命题. (1)求实数m的取值集合A； (2)关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围. 【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）利用判别式大于等于0可求解； （2）根据题意可得是的真子集，讨论的范围求解即可. 【详解】（1）因为命题“，方程有实根”是真命题， 所以方程有实根，则有，解得， 所以实数m的取值集合. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当即时，不等式组无解，所以，满足题意； 当即时，不等式组的解集为， 由题意是的真子集，所以，所以. 综上，满足题意的a的取值范围是或. 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数，其中. (1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据得到，然后结合题意列不等式求解即可； （2）将“对任意的，，都有”转化为“”，然后分、、和四种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 令，解得， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以“对任意的，，都有”等价于“”， ①当时，，， 由，得，从而此时； ②当时，，， 由得， 从而； ③当时，，， 由，得， 从而； ④当时，，， 由得， 从而此时； 综上可得，的取值范围为. 5．（23-24高一上·福建福州·期中）已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)(2) 【分析】（1）将代入后，利用因式分解法解不等式即可； （2）利用参变分离法，结合基本不等即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以由，得，即，解得， 所以的解集为． （2）因为当时，不等式恒成立， 即，即在上恒成立， 而，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即实数a的取值范围是． 6．（22-23高一上·福建泉州·期中）（1）若“，使得不等式成立”是假命题，求实数的取值范围. （2）若，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）  （2）答案见解析 【分析】（1）将原命题为假命题等价转化成“，使得不等式成立”是真命题，将参数分离即可求得实数的取值范围；（2）对参数进行分类讨论，结合利用一元二次不等式解法即可求得不等式的解集. 【详解】（1）根据题意可得，将“，使得不等式成立”是假命题， 等价转化成“，使得不等式成立”是真命题； 即不等式在上恒成立，所以； 令，由二次函数性质可得函数图象关于对称； 所以，所以； 即实数的取值范围是. （2）由不等式可知， 当时，原不等式为，解得； 当时，原不等式转化为； ①若，则，解得或； ②若，则，解得； 综上可得，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为; 当时，原不等式解集为； 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 1．（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 化简不等式，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得的取值范围. 【详解】依题意，至少存在一个，使得关于的不等式成立， 即至少存在一个，使得关于的不等式成立， 画出以及的图象如下图所示，其中. 当与相切时， 由消去并化简得， . 当与相切时， 由消去并化简得①， 由解得，代入①得， 解得，不符合题意. 当过时，. 结合图象可知的取值范围是. 故选：A 2．（23-24高一上·福建龙岩·期中）已知不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】讨论二次函数开口方向以及与轴交点个数即可求解. 【详解】解：当时，，符合题意 当时，令， 由不等式有解 即，得 当时， 开口向下，满足有解 符合题意 综上，实数的取值范围为 故答案为：. 3．（22-23高一上·福建宁德·期中）已知命题“”为真命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分离参数，求的最小值即可. 【详解】，即对恒成立， 设，则， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题，，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据命题为真命题，利用判别式求解； （2）利用判别式求命题为真命题时的取值范围，结合（1）求并集可得结果. 【详解】（1）若命题，为真命题， 则，解得， 即实数的取值范围是． （2）若命题，为真命题， 则，解得或，即， 所以，若命题、至少有一个为真命题． 则，即 则实数的取值范围是． 5．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数． (1)不等式的解集为，求实数的值； (2)若在上的解集非空，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）不等式即的解集为可知是方程的根，将2代入方程求参即可； （2）由在上的解集非空，可知求解不等式即可. 【详解】（1）因为不等式即的解集为 所以是方程的根， 所以，解得． （2）因为在上的解集非空， 所以在上解集非空， 所以解得或， 所以实数的取值范围是． 6．（23-24高一上·福建·期中）已知函数 (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围． 【答案】(1)1(2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集列方程，由此求得的值. （2）化简不等式，通过直接讨论法或分离常数法，结合二次函数的性质或基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，的解集是或，则， 且是方程的两个根， 所以，解得． （2）时，在有解， 即在有解， 法一：因为的开口向上，对称轴 ①即时，函数取得最小值. ②即时，当取得最小值，此时， 解得或.又. ③当即，当时取得最小值，此时不成立， 即无解. 综上，． 法二：在有解， 当时不成立， 当时，即在有解，， 令，， 当且仅当即取“”，，. 根据二次函数的最值或值域求参数 1．（22-23高一上·福建宁德·期中）若函数的定义域为，值域为，则整数的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作出二次函数的部分图象，由图象和题中条件，即可得出结果. 【详解】作出函数的图象，当时，， 当时，，当时，， 因为函数的定义域为，值域为， 所以数形结合分析得，解得， 结合是整数知或，所以A､B正确. 故选:AB. 2．（23-24高一上·福建省厦门市·期中）若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABC 【分析】根据已知条件及二次函数的性质即可求解. 【详解】由，得函数的对称轴为， 当时，函数取的最小值为， 当或时，函数值为， 因为函数的定义域为，值域为， 所以， 所以实数的值可能为. 故选：ABC. 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】画出的图象，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】， 由解得或， 画出的图象如下图所示， 由于函数的定义域为，值域为， 由图可知，的取值范围是. 故答案为： 4．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数. (1)若函数的值域为，求实数的值； (2)当时，函数的最大值为2，求实数的值. 【答案】(1)或(2)或 【分析】（1）根据二次函数的值域列方程，从而求得的值. （2）根据二次函数的对称轴进行分类讨论，结合在区间上的最大值求得. 【详解】（1）函数的开口向下， 若函数的值域为, 则， 解得或. （2）函数的开口向下，对称轴为， 当，时，在区间上的最大值为， 解得. 当时，在区间上的最大值为 ，，， 由于，所以方程无解. 当时，在区间上的最大值为 ，解得. 综上所述，的值为或. 5．（22-23高一上·福建漳州·期中）已知函数 (1)若函数在上单调递减，求a的取值范围： (2)是否存在实数a，使得函数在区间上的最小值为?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)(2)存在，或 【分析】（1）根据二次函数的对称轴与区间的关系列式可求出结果； （2）根据求出的范围，再分类讨论，根据函数的单调性求出最小值，结合已知最小值列式可求出结果. 【详解】（1）因为函数的对称轴为且开口向上， 所以若函数在上单调递减，则， 所以a的取值范围是. （2）因为， 假设存在实数a，使得函数在区间上的最小值为，则，得，解得或. 当时，在上递增，，所以，得； 当时，在上递减，，所以，得， 综上所述：存在实数或使得函数在区间上的最小值为. 6．（23-24高一上·福建漳州·期中）已知二次函数的图像经过原点O，满足对任意实数x都有，且关于x的方程有两个相等的实数根. (1)求函数的解析式： (2)是否存在实数m、，使得的定义域为，值域为?若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）由题意列方程求解 （2）根据定义域与对称轴关系，讨论值域后求解 【详解】（1）经过原点，故， ，即有两个相等的实数根，由知， ，故的对称轴为，即，， 函数的解析式为． （2），故， 故在上单调递增， 由题意得又，解得 存在满足题意 7．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数f（x）＝ax2＋2x＋c，若不等式f（x）＜0的解集是{x|－5＜x＜3}. (1)求f（x）的解析式； (2)若函数f（x）在区间[m，m＋2]上的最小值为20，求实数m的值. 【答案】(1)(2)－9或5 【分析】（1）根据不等式的解集确定对应方程的根，由韦达定理求解； （2）根据二次函数的对称轴为，结合题意可分，两种情况讨论求解. 【详解】（1）是对应方程ax2＋2x＋c＝0的两根. 由韦达定理得， ； （2），对称轴为， 当，即时，， 由已知得：， 解得：m＝3或－9，又， ， 当时，， 由已知得：， 解得：m＝5或－7，又， ， 当时，，（舍去）， 综上所述，m＝－9或5. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$