专题07 基本不等式（3大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题07 基本不等式 由基本不等式证明不等关系 1．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建省泉州市·期中）已知，，且则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福州市·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高三上·福建龙岩·期中）已知，且，则下列所求各式的范围正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·福建省厦门市·期中）设且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·福建宁德·期中）已知，，给出下列四个不等式： ①；②；③；④.其中正确的不等式有 .（填上所有正确的序号） 基本不等式的应用 1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知长为，宽为的长方形，如果该长方形的面积与边长为的正方形面积相等；该长方形周长与边长为的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为的正方形面积和周长的比相等，那么、、、大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建福州·期中）将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（    ）（注：） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）若，，且，则下列不等式恒成立的（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知a，b均为正实数，下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．取得最大值 6．（23-24高一上·福建福州·期中）小王两次购买同一种物品，已知物品单价分别为和，且每次购买这种物品所花的钱数一样，两次购物的平均价格为，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，且，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 8．（23-24高一上·福建三明·期中）用4米长的铝合金条做一个“日”字形的窗户，要使窗户透过的光线最多，窗户的长与宽之比为 ． 9．（23-24高一上·福建泉州·期中）（1）已知，试比较与的大小，并说明理由； （2）已知，且，请利用（1）中的结论，求的最大值． 10．（22-23高一上·福建漳州·期中）已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），部件的面积是．    (1)求关于的函数解析式，并求出定义域； (2)为节省材料，请问取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，最小值为多少？ 基本不等式“1”的妙用 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知a，， ，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 2．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 4．（23-24高一上·福建·期中）已知为正实数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．若则的最大值是2． C．若则的最小值是8． D．若则的最大值是8． 5．（23-24高一上·福建三明·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知x，y是正实数，且，求的最小值. 6．（23-24高一上·福建·期中）函数的图象经过第一象限的点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)求四边形（为坐标原点）面积的最大值． 7．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，且． (1)求的最小值； (2)求的最小值及此时a，b的值． 8．（23-24高一上·福建莆田·期中）（1），求的最小值． （2）已知，求函数的最大值． 9．（23-24高一上·福建厦门·期中）问题：已知均为正实数，且，求证：． 证明： ， 当且仅当时，等号成立． 学习上述解法并解决下列问题： (1)若实数满足，试比较和的大小，并说明理由； (2)利用（1）的结论，求的最小值． 10．（23-24高一上·福建福州·期中）（1）若，求的最小值及对应的值； （2）若，求的最小值及对应的值. 基本不等式求积的最大值 1．（22-23高一上·福建莆田·期中）已知，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·福建漳州·期中）下列结论中，所有正确的结论是（    ） A．若，则函数的最大值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为1 D．若，则的最小值为 3．（22-23高一上·福建福州·期中）已知关于，且．下列正确的有（    ） A．最小值为9 B．最小值为1 C．若，则 D． 4．（22-23高一上·福建福州·期中）已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是4 B．最小值为1 C．的最小值是2 D．的最大值是 5．（22-23高一上·福建莆田·期中）设正数满足，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 6．（22-23高一上·福建宁德·期中）已知正数a，b满足，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·福建泉州·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知，，求的最大值. 8．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知，，． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 基本不等式求积的最小值 1．（23-24高一上·福建福州·期中）已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建·期中）如图，在正方形中，，在上，在上，的面积为，面积的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一上·福建福州·期中）若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·福建莆田·期中）下列说法正确的有（    ） A．， B．若集合恰有两个子集，则的值可能是或 C．若，则“”的充要条件是“” D．已知，则的最小值是9． 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）下列命题中正确的是（    ） A．的最小值是2 B．当时，的最小值是4 C．当时，的最大值是5 D．的最小值是 8．（23-24高一上·福建福州·期中）已知正实数，满足，则下列不等式成立的有（　　） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·福建漳州·期中）已知，则的最小值是 ． 10．（23-24高一上·福建·期中）均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：． (1)证明不等式：.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明） (2)若一个直角三角形的直角边分别为，斜边，求直角三角形周长的取值范围． 条件等式求最值 1．（23-24高一上·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（22-23高一上·福建漳州·期中）已知，且，则下列结论正确的是（    ） ①  ②的最小值为16  ③的最小值为9  ④的最小值为3 A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③ 4．（22-23高一上·福建泉州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若正数a、b满足，则的最小值为4 C．若，，则的范围为 D．若，则函数的最大值为 5．（22-23高一上·福建福州·期中）若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·福建龙岩·期中）已知且，则的最小值为 ． 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知正数x，y，z满足，则的最小值为 ． 8．（23-24高一上·福建厦门·期中）若，，，且，则的最小值为 ；此时 . 9．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知正实数x、y满足． (1)求xy的最小值，并求取最小值时x、y的值； (2)若的最小值为9，求a的值． 10．（22-23高一上·福建宁德·期中）已知正数满足，，求 (1)的最小值； (2)的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 基本不等式 由基本不等式证明不等关系 1．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】ABC选项，利用作差法比较大小，D选项，变形后，利用基本不等式证明出结论. 【详解】A选项，因为，所以，， 故， 所以，A正确； B选项，， 因为，所以， 故，B正确； C选项，因为，所以， 故， 故，C错误； D选项，因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，即， 故D正确. 故选：ABD 2．（23-24高一上·福建省泉州市·期中）已知，，且则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据，利用均值不等式判断A，由条件可化为，据此，利用均值不等式判断B，取特殊值判断C，根据均值不等式及不等式的性质判断D. 【详解】对A，，当且仅当， 即时等号成立，故A 正确； 对B，由可得，所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对C，当时，，故C错误； 对D，由，即，当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 故，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 3．（23-24高一上·福州市·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知结合基本不等式对各选项分别进行判断。 【详解】对于A，因为，且，由，得，当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B，因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以B错误； 对于C，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以C正确； 对于D，因为，且，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以D正确． 故选：ACD． 4．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由异号，利用不等式性质以及基本不等式即可判断各选项的正误； 【详解】即异号； ∴成立，故A正确， 当时，显然不成立， 故B错误； 又，故C正确； ， 当且仅当时等号成立，故D正确 故选：ACD 5．（22-23高三上·福建龙岩·期中）已知，且，则下列所求各式的范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式“一正、二定、三相等”，逐项判定，即可求解. 【详解】因为，且， 可得，即， 解得，当且仅当时等号成立，所以A正确； 由，可得，解得， 当且仅当时等号成立，所以B正确； 由，因为且，所以， 当且仅当时等号成立，所以C正确； 由，当且仅当时等号成立，所以D错误. 故选：ABC. 6．（23-24高一上·福建省厦门市·期中）设且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据基本不等式进行判断． 【详解】由得，A正确； 在时，，但不成立，B错；同理C也错误； 时，，，当且仅当时等号成立，D正确． 故选：AD． 7．（22-23高一上·福建宁德·期中）已知，，给出下列四个不等式： ①；②；③；④.其中正确的不等式有 .（填上所有正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】利用基本不等式比较各项不等式左右两边的大小关系，注意等号成立的条件. 【详解】∵a>0，b>0， ∴①a+b+≥2≥2=2，当且仅当a=b=时取等号，正确； ②(a+b)()≥4·=4，当且仅当a=b时取等号，正确； ③∵≥，而a2+b2≥=(a+b)·≥(a+b)， ∴≥a+b，当且仅当a=b时取等号，正确； ④a+=(a+4)+-4≥2-4=-2，当且仅当a+4=，即(a+4)2=1时等号成立，而a>0，则(a+4)2≠1， ∴不能取等号，显然存在a=，有a+<a+，不正确. 故答案为：①②③ 基本不等式的应用 1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知长为，宽为的长方形，如果该长方形的面积与边长为的正方形面积相等；该长方形周长与边长为的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为的正方形面积和周长的比相等，那么、、、大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，，，然后利用基本不等式比较大小即可. 【详解】由题意可得，①，②，③，④，且， 由基本不等式的关系可知，，当且仅当时等号成立， 由①②得，，所以⑤， 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 由②③得，，所以⑥， 又，当且仅当时等号成立， 由①④得，，所以⑦，综合⑤⑥⑦可得，. 故选：D. 2．（23-24高一上·福建福州·期中）将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（    ）（注：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直角三角形的两条直角边为，从而得到周长为，再利用均值不等式即可得解. 【详解】由题意，设直角三角形的两条直角边为， 则，则， 此时三角形框架的周长， 当且仅当时，等号成立， 由于，所以. 故选：C. 3．（23-24高一上·福建厦门·期中）若，，且，则下列不等式恒成立的（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】运用基本不等式和特殊值法判断各个选项即可. 【详解】对于A和C，因为，，所以，即， 当且仅当时等号成立，故，则，故A正确，C错误； 对于B，代入，，故B错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：AD 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用基本不等式计算一一判定即可. 【详解】不妨设矩形长宽分别为，则. 对于A项，显然成立，符合， 对于C项，显然成立，符合， 即A、C正确； 对于B项，显然不成立， 对于D项，显然不成立，即B、D错误. 故选:AC 5．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知a，b均为正实数，下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．取得最大值 【答案】BC 【分析】利用基本不等式及相关结论逐项进行检验即可求解． 【详解】对于A：由， 当且仅当时，即等号成立，故A错误； 对于B:，为正实数，且， ，当且仅当，时，等号成立．故B正确； 对于C：由，即，设，由于，所以，即，当且仅当时，即时等号成立，故C正确； 对于D：因为，均为正数，则， 令， 则，当且仅当，即时等号成立，故D错误． 故选：BC． 6．（23-24高一上·福建福州·期中）小王两次购买同一种物品，已知物品单价分别为和，且每次购买这种物品所花的钱数一样，两次购物的平均价格为，则下面正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】依题意得到，结合基本不等式即可得解. 【详解】依题意，设两次花费的钱数为， 则两次购物的平均价格为，故A错误，B正确； 又，所以， 根据基本不等式及其取等号的条件可得， 所以，即，故C正确，D错误； 故选：BC． 7．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，且，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】由可知A正确；利用基本不等式可直接构造不等式求得B正确；将已知等式变形为，利用基本不等式可构造不等式求得C错误；由，利用基本不等式可求得D错误. 【详解】对于A，由得：， ，，又，，，A正确； 对于B，， ，解得：， （当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，B正确； 对于C，由得：， 由A知：，，即， ，即， 又，，则（当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，C错误； 对于D，由C知：，（当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，D错误. 故选：AB. 8．（23-24高一上·福建三明·期中）用4米长的铝合金条做一个“日”字形的窗户，要使窗户透过的光线最多，窗户的长与宽之比为 ． 【答案】 【分析】设出窗户的长，再根据已知表示出宽，算出面积，结合基本不等式求出最值即可. 【详解】设窗户的长为米，则宽为米，面积为. 则， 当且仅当时，即米时，窗户面积最大，透过的光线最多，此时，宽为； 所以窗户的长与宽之比为. 故答案为： 9．（23-24高一上·福建泉州·期中）（1）已知，试比较与的大小，并说明理由； （2）已知，且，请利用（1）中的结论，求的最大值． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）利用（1）中的结论得，可求的最大值． 【详解】（1），证明如下： ， 当且仅当时等号成立， 所以． （2）因为，，且， 由（1）得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为． 10．（22-23高一上·福建漳州·期中）已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），部件的面积是．    (1)求关于的函数解析式，并求出定义域； (2)为节省材料，请问取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，最小值为多少？ 【答案】(1)，； (2)时，面积最小，. 【分析】（1）利用已知条件求出，然后求解函数的定义域即可． （2）设圆形铁片半径为R，面积S=πR2，过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，求出R的表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可． 【详解】（1）由题意，利用矩形面积和正三角形的面积公式， 可得，整理得， 又由，所以， 即函数的定义域为， 即，． （2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2， 过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则， 所以=， 因为x2＞0，由基本不等式，可得， 当且仅当，即时，取等号， 所以圆形铁片的最小面积为（cm2），    答：当x=2时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为（cm2）． 基本不等式“1”的妙用 1．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知a，， ，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】应用基本不等式中“1”的妙用求最小值. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B. 2．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式根据可得，即可求解选项A；利用基本不等式即可求解选项B；利用基本不等式可得即可求解选项C；根据，再结合等号成立条件可求解选项D. 【详解】已知，且， 则，所以，当且仅当时，等号成立，A选项错误； ，当且仅当时，等号成立，B选项正确； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，C选项正确； 由题意可得，此时， 因为，而不存在使得，则D选项错误. 故选：BC 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式一一判断求解即可. 【详解】对A，因为，当且仅当时取得等号，A正确； 对B，， 当且仅当，即时取得等号， 所以有最小值4，B正确； 对C，， 由A选项可知，，所以， 当且仅当时取得等号，C错误； 对D，因为， 当且仅当取得等号，所以，所以，D正确； 故选:ABD. 4．（23-24高一上·福建·期中）已知为正实数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．若则的最大值是2． C．若则的最小值是8． D．若则的最大值是8． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，①， 而无实数解，所以①的等式不成立，所以A选项错误. B选项，， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. C选项，， ，当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，， 当且仅当时等号成立，所以D选项错误. 故选：BC 5．（23-24高一上·福建三明·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知x，y是正实数，且，求的最小值. 【答案】（1）8；（2）9 【分析】（1）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值即可； （2）利用基本不等式中常数代换技巧求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 由基本不等式可得：， 当且仅当即时取到最小值8. （2）因为，所以， 当且仅当时，即时，取到最小值9. 6．（23-24高一上·福建·期中）函数的图象经过第一象限的点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)求四边形（为坐标原点）面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到且，化简得到，结合基本不等式，求得的最小值为，把不等式转化为恒成立，利用一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，得到四边形的面积为，由且，结合基本不等式，求得，即可求解. 【详解】（1）由函数的图象经过第一象限的点， 则，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为， 因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 由，解得， 即实数的取值范围. （2）解：由题意，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为， 可得，则四边形为矩形，所以面积为， 因为，且， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得，所以四边形面积的最大值为. 7．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，且． (1)求的最小值； (2)求的最小值及此时a，b的值． 【答案】(1)3；(2)时最小值为. 【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换求求最小值，注意取值条件； （2）由，再应用基本不等式“1”的代换求求最小值，并写出取值条件； 【详解】（1）由题设， 当且仅当时等号成立，故的最小值为3. （2），而， 而， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为. 8．（23-24高一上·福建莆田·期中）（1），求的最小值． （2）已知，求函数的最大值． 【答案】（1）16；（2） 【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （2）利用基本不等式求积的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为16. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以函数的最大值为. 9．（23-24高一上·福建厦门·期中）问题：已知均为正实数，且，求证：． 证明： ， 当且仅当时，等号成立． 学习上述解法并解决下列问题： (1)若实数满足，试比较和的大小，并说明理由； (2)利用（1）的结论，求的最小值． 【答案】(1)，理由见解析；(2) 【分析】（1）利用基本不等式即可比较和的大小； （2）设出,利用（1）中的关系式即可得出最小值. 【详解】（1）由题意，， 理由如下， ∵ ∴ ， 当且仅当即时，等号成立， ∴. （2）由题意及（1）得， 在中，设， 则，， ∴， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，解得：， ， ∴. 10．（23-24高一上·福建福州·期中）（1）若，求的最小值及对应的值； （2）若，求的最小值及对应的值. 【答案】（1）最小值为5；；（2）最小值为； 【分析】（1）利用配凑法，结合基本不等式即可得解； （2）利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为5，此时； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，此时. 基本不等式求积的最大值 1．（22-23高一上·福建莆田·期中）已知，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A选项，由求出； B选项，对因式分解，结合基本不等式进行求解，得到； C选项，由基本不等式“1”的妙用求解得到， D选项，变形使用基本不等式进行求解. 【详解】因为，所以， 故，当且仅当时，等号成立，A错误； ，因为， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立， 故，B错误； 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故，C错误； 因为， 所以 因为，所以，故， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：D 2．（22-23高一上·福建漳州·期中）下列结论中，所有正确的结论是（    ） A．若，则函数的最大值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为1 D．若，则的最小值为 【答案】BC 【分析】采用配凑法并利用基本不等式即可判断A的正误；将已知化为，进而得出并利用基本不等式即可判断B的正误；直接运用基本不等式即可判断C的正误；将化为，并利用基本不等式即可判断D的正误． 【详解】对于A，若，则函数， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，若，，则， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，若，，， 则由可得：，即，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，若，，，则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，故D错误． 故选：BC． 3．（22-23高一上·福建福州·期中）已知关于，且．下列正确的有（    ） A．最小值为9 B．最小值为1 C．若，则 D． 【答案】CD 【分析】A选项，利用基本不等式“1”的代换求出最小值；B选项，变形得到，再利用基本不等式进行计算；C选项，先由基本不等式得到，再用作差法计算；D选项，平方后利用基本不等式进行求解. 【详解】A选项，因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，A错误； B选项，因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 但由于，故等号取不到，所以的最小值不为-1，B错误； C选项，， 因为，，所以由基本不等式得， 故，C正确； D选项，由基本不等式得， 所以，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：CD 4．（22-23高一上·福建福州·期中）已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是4 B．最小值为1 C．的最小值是2 D．的最大值是 【答案】CD 【分析】A利用“1”代换求最值，B因为，所以， 且，代入中化简构造基本不等式验证即可， C先把式子变形，再运用基本不等式， D先构造，再运用基本不等式. 【详解】A.因为正数满足，即 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故选项A不正确. B. 因为，所以， 且， 所以 ， 当且仅当或，不满足 故取不到最小值，故B选项不正确. C. ， 当且仅当时等号成立，故选项C正确. D.因为，所以， 则， 当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：CD. 5．（22-23高一上·福建莆田·期中）设正数满足，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】AC 【分析】根据已知等式，变形处理各选项的式子，结合基本不等式分别求解最值即可. 【详解】解：对于A，，，即又，∴，可得，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，又，则，当且仅当时，等号成立，故B不正确； 对于C， ，当且仅当，即时等号成立，即，故C正确； 对于D，，又，当且仅当，即时等号成立，又，所以，所以，则取等条件成立，所以，故D不正确. 故选：AC. 6．（22-23高一上·福建宁德·期中）已知正数a，b满足，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用基本不等式和对数不等式即可判断. 【详解】对于A：若， 因为，所以上式不能取等号，即，故A正确. 对于B：令 ，故，故B错误. 对于C：，故，即，故C正确. 对于D：若不成立，故D错误. 故选：AC 7．（23-24高一上·福建泉州·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知，，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据基本不等式直接求解即可； （2）根据基本不等式得，进而得答案. 【详解】解：（1）因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为 8．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知，，． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接运用基本不等式，即可求出的最大值； （2）根据，结合基本不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：因为，，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为； （2）由，得， 则 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 基本不等式求积的最小值 1．（23-24高一上·福建福州·期中）已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的面积公式考虑设直角边为、，利用均值不等式解得最小值为. 【详解】设三角形的两条直角边长为、，可得， 三角形的周长为，当且仅当时取等号． 故选：C 2．（23-24高一上·福建·期中）如图，在正方形中，，在上，在上，的面积为，面积的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】假设，由的面积为得到，从而利用割补法求得关于的关系式，利用基本不等式求得的最值即可. 【详解】设，则由得，故， 所以的面积为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即面积的最小值为. 故选：A. 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】由， 得， 又，，即，， 则， 即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 故选：C. 4．（23-24高一上·福建莆田·期中）实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】用已知条件消元后用基本不等式即可. 【详解】因为， 所以 所以，当且仅当取等号 故选：D． 5．（23-24高一上·福建福州·期中）若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，结合基本不等式即可得解. 【详解】由，可得， 因为，，所以，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 6．（23-24高一上·福建莆田·期中）下列说法正确的有（    ） A．， B．若集合恰有两个子集，则的值可能是或 C．若，则“”的充要条件是“” D．已知，则的最小值是9． 【答案】BD 【分析】根据全称命题、集合子集、充分条件与必要条件和基本不等式相关知识逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A，令，则，显然不是，都成立，故A错误； 对于B，若集合恰有两个子集，则集合有一个元素， 所以,或，即，所以的值可能是或，故B正确； 对于C，若，则“”的充要条件是“且”，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：BD 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）下列命题中正确的是（    ） A．的最小值是2 B．当时，的最小值是4 C．当时，的最大值是5 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】根据题意，结合函数的性质，以及基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，由函数，可得其定义域为，所以，所以A不正确； B中，当时，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以B正确； C中，当时，可得，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以C正确； D中，当时，则， 当且仅当，即时等号成立，此时的最大值是； 当时，则， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值是， 所以D不正确. 故选：BC. 8．（23-24高一上·福建福州·期中）已知正实数，满足，则下列不等式成立的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A用不等式性质判断即可；选项B先用立方和公式展开，再用基本不等式即可；选项C用指数的运算加基本不等式判断；D利用对勾函数的单调性判断. 【详解】对A：因为正实数，满足，所以， 所以,故A正确； 对B：因为，所以， 故B错误； 对C：，故C正确； 对D：因为对勾函数在是减函数，且由B选项知， 所以，故D正确； 故选：ACD 9．（22-23高一上·福建漳州·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】已知， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 10．（23-24高一上·福建·期中）均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：． (1)证明不等式：.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明） (2)若一个直角三角形的直角边分别为，斜边，求直角三角形周长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，三元形式见解析(2) 【分析】（1）利用差比较法证得不等式成立.通过类比写出三元形式. （2）根据基本不等式求得的范围，进而求得三角形周长的取值范围. 【详解】（1）要证即证， ， ，即当且仅当时等号成立. 三元形式：. （2）， 由（1）， 当且仅当取“”，又，， 所以三角形周长的取值范围. 条件等式求最值 1．（23-24高一上·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据已知条件，应用基本不等式求的最大值，注意取值条件. 【详解】，当且仅当时取等号. 即的最大值为. 故选：A 3．（22-23高一上·福建漳州·期中）已知，且，则下列结论正确的是（    ） ①  ②的最小值为16  ③的最小值为9  ④的最小值为3 A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】①由判断；②利用基本不等式求解判断；为，③结合“1”的代换，利用基本不等式求解判断；④转化为，利用基本不等式求解判断. 【详解】①因为，且，所以，则，故正确； ②因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故正确； ③因为，且，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故正确； ④因为，且，所以 当且仅当，即 时，等号成立，故错误； 故选：D 4．（22-23高一上·福建泉州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若正数a、b满足，则的最小值为4 C．若，，则的范围为 D．若，则函数的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用不等式性质可知只有时，才成立，所以A错误；根据基本不等式中“1”的妙用可得当时，取最小值4，即B正确；由，并结合不等式的可加性可得C正确；将函数写成，结合利用基本不等式即可得其最大值为. 【详解】对于A，根据不等式性质可知当时，满足， 不妨取，此时不满足，即A错误； 对于B，当正数a、b满足时， ，当且仅当时，等号成立；即B正确； 对于C，若，，则，， 所以，即，所以C正确； 对于D，由， 又，所以， 当且仅当时，等号成立；即D正确. 故选：BCD 5．（22-23高一上·福建福州·期中）若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据均值不等式依次计算得到AC正确，取特殊值得到反例得到BD错误，得到答案. 【详解】，故，当时等号成立，A正确； 取，，B错误； ，当时等号成立，C正确； 取，，则，D错误. 故选：AC 6．（23-24高一上·福建龙岩·期中）已知且，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】由已知变形为，令所以，使用基本不等式求最小值即可. 【详解】由得， 即，所以， 令得 所以，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：8 7．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知正数x，y，z满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先代换，结合基本不等式求解可得答案. 【详解】因为，所以； 易知，所以； 所以，由，当且仅当时取等号， 可得，当且仅当，即时，取到最小值. 故答案为：. 8．（23-24高一上·福建厦门·期中）若，，，且，则的最小值为 ；此时 . 【答案】 18 3 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解． 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 此时的最小值为18． 故答案为：18；3 9．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知正实数x、y满足． (1)求xy的最小值，并求取最小值时x、y的值； (2)若的最小值为9，求a的值． 【答案】(1)8，，(2)2 【分析】（1）利用基本不等式求最小值即可； （2）利用基本不等式得到，然后列方程，解方程即可. 【详解】（1），即，解得，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为8，此时，，. （2）由得，则，所以，令，则，解得或-4（舍去），所以， 当时，，解得，所以时，取得最小值9，满足要求， 所以. 10．（22-23高一上·福建宁德·期中）已知正数满足，，求 (1)的最小值； (2)的最小值. 【答案】(1)5(2) 【分析】（1）变形利用基本不等式的性质即可得出． （2）正数，化简得，利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】（1）由，得，即， 所以， 当且仅当时取等号.所以的最小值为5. （2）由（1）因为正数满足，，， 解得：， 当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$