3.3 垂径定理（2） 课件2024-2025学年浙教版数学九年级上册

3.3 垂径定理（2） 第3章 圆的基本性质 浙教版 九年级上册 学习目标 学习目标 1.掌握垂径定理的逆定理. 2.会运用垂径定理的逆定理解决一些简单的几何问题. 复习回顾 【1】圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. 【2】垂径定理 【3】弧的中点 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距 【4】弦心距 · C A D B E O 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 3 复习回顾 【思考】垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧”反过来，平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？平分弧的直径一定垂直于弧所对的弦吗？ · C A D B E O 条件 结论 CD为直径，CD⊥AB CD为直径，CD⊥AB CD为直径，CD⊥AB 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 4 新知学习 定理1 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 【新知1】垂径定理的逆定理 几何语言： ∵CD是直径，弦AB不是直径，且 AE=BE， ∴CD⊥AB， ， . · C A D B E O 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 5 新知学习 已知：如图，⊙O的直径CD交弦AB(不是直径)于点E，AE=BE. 求证：CD⊥AB， . · C A D B E O 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 6 新知学习 证明：连结OA，OB. 则AO=BO. ∴△AOB是等腰三角形， ∵EA=EB， ∴ CD⊥AB ， ∴ (垂直于弦的直径平分弦所对的弧). · C A D B E O 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 7 新知学习 几何语言： ∵CD是直径， ， ∴CD⊥AB， AE=BE. · C A D B E O 定理2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 【新知2】垂径定理的逆定理 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 8 新知学习 已知：如图，⊙O的直径CD交弦AB于点E， . 求证：CD⊥AB，AE=BE. 所以点A与点B重合，即A，B关于直线CD对称，所以CD垂直平分弦AB，这就证明了定理2. · C A D B E O 证明：如图，当时，将图形沿 直径CD所在的直线对折，则与重合. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 9 例题探究 【例1】已知赵州桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)为37.02m，拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.1m)． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 10 例题探究 解：如图，用表示桥拱圆弧，设所在圆圆心为O，半径为R(m).C为的中点，连结OC，交AB于点D，就有OC垂直平分AB.所以CD就是拱高. 由题意，得 AB=37.02m，CD=7.23m， R A B D O C ∴AD=AB=×37.02=18.51(m)， OD=OC－DC=(R－7.23) (m)， 在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2， ∴R2=18.512+(R－7.23)2，解这个方程，得R≈27.3. 答：赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.3 m. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 11 例题探究 【例2】某一条公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗？如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米？ 2 1.5 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 12 例题探究 解：如图所示：连结OA，作OC⊥AB， 假设一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧 道，此时OC=3-2=1， 在直角△AOC中， AC=， 所以AB=2OC= ＜2.3， 故一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车 不能顺利通过这个隧道； 2 1.5 O A B C 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 13 例题探究 当高度4m，宽为2.3m的大货车正好能顺利通过这个隧道时， OC=4-2=2(m)，AC==1.15(m)， 则OA= = = (m)． 答：半圆拱的半径至少为 米． 2 1.5 O A B C 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 14 例题探究 【例3】 如图，A，B，C为⊙O上的三点，D，E分别为，的中点，连结DE，分别交AB，AC于点F，G.求证：AF＝AG. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 15 例题探究 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 16 例题探究 【例4】如图，D是⊙O的弦BC的中点，A是⊙O上一点，OA与BC交于点E，已知OA＝8，BC＝12. (1)求线段OD的长； 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 17 例题探究 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 18 例题探究 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 19 学以致用 【1】如图是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，连结MO，并延长交⊙O于点E，若CD＝6，ME＝9，则⊙O的半径为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 D 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 20 学以致用 D　 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 21 【3】如图，已知AB是⊙O的直径，点C是的中点，点D在AB的延长线上，连结CD交⊙O于点E，若AB＝2DE，则∠D的度数为(　　) A．20° B．22.5° C．25° D．30° 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 22 【答案】D 【解析】连结OE，OC. ∵点C是的中点， ∴OC⊥AB，∴∠DOC＝90°，∴∠DOE＋∠COE＝90°. ∵AB＝2DE＝2OE，∴DE＝OE，∴∠D＝∠DOE， ∴∠OEC＝∠D＋∠DOE＝2∠D. ∵OE＝OC，∴∠OCE＝∠OEC. ∵∠OCE＋∠OEC＋∠EOC＝180°， ∴4∠D＋90°－∠D＝180°，解得∠D＝30°. 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 23 【4】如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点．若∠BAD＝20°，求∠ACO的度数． 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 24 ︵ 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 25 垂直　 　垂直于弦 平分 平分　 课堂总结 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 26 课堂总结 垂径定理的逆定理 垂径定理的逆定理可以看成由五个事项构成： ①两条弦互相垂直； ②一条弦经过圆心； ③一条弦(不是直径)被平分； ④平分弦所对的一条弧； ⑤平分弦所对的另一条弧. 这五个事项中，知二求三. · C A D B E O 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 27 【解析】 如解图，连结OD，OE. ∵D，E分别为eq \o(AB,\s\up16(︵))，eq \o(AC,\s\up16(︵))的中点，∴OD⊥AB，OE⊥AC， ∴∠D＋∠DFB＝∠E＋∠EGC＝90°. ∵OD＝OE，∴∠D＝∠E，∴∠DFB＝∠EGC， ∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG. (2)当OE＝BE时，求ED的长． 解：连结OB. ∵OD过圆心，且D是弦BC的中点， ∴OD⊥BC，BD＝BC＝6. 在Rt△BOD中，由勾股定理得OD2＋BD2＝OB2. ∵OB＝OA＝8，∴OD2＋62＝82，∴OD＝2 . (2)当OE＝BE时，求ED的长． 解：设BE＝x，则OE＝x，ED＝6－x. 在Rt△EOD中，由勾股定理得OD2＋ED2＝OE2， 即(2 )2＋(6－x)2＝(x)2， 解得x1＝－16(舍去)，x2＝4.∴ED＝2. 【2】如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H.已知eq \f(DH,BH)＝eq \f(4,3)，BD＝5， 则S△OCH的面积为(　　) A．eq \f(2,3) B．eq \f(5,6) C．1 D．eq \f(7,3) 解：∵OC为⊙O的半径，C为的中点， ∴OC⊥AD. ∵∠BAD＝20°，∴∠AOC＝90°－∠BAD＝70°. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝＝55°. $$