专题01 一元二次方程（考点清单，知识导图+4个考点清单+8种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

专题01 一元二次方程（考点清单，知识导图+4个考点清单+8种题型解读） 【清单01】一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 解题策略： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 【清单02】一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 解题策略： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 　 法，再考虑用公式法． 【清单03】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 解题策略： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 【清单04】列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 解题策略：　　 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 【考点题型一】一元二次方程的有关概念 【例1】（23-24九年级上·北京海淀·期中）关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（   ） A．2，3， B．2，，1 C．2，， D．，3，1 【变式1-1】（22-23九年级上·福建莆田·期中）关于x的方程是一元二次方程，则a满足（    ） A． B． C． D．为任意实数 【变式1-2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ． 【变式1-3】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 【变式1-4】（23-24九年级上·广西河池·期中）已知关于x的方程 (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【考点题型二】一元二次方程的解法 【例2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）用配方法解一元二次方程，步骤如下：①，②，③，④即，．其中开始错误的步骤是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-1】（23-24九年级上·广东江门·期中）方程的解是 ． 【变式2-2】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）解方程∶ (1)； (2)． 【变式2-3】（22-23九年级上·四川内江·期中）解方程． (1) (2) 【变式2-4】（23-24九年级上·四川广安·期中）解方程 (1)； (2)（配方法）； (3)． 【考点题型三】一元二次方程根的判别式 【例3】（22-23九年级上·湖南永州·期中）方程的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【变式3-1】（23-24九年级上·湖北荆州·期中）下列方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【变式3-3】（22-23九年级上·福建莆田·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根． 【变式3-4】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）已知关于的一元二次方程为． (1)当为何值时，该方程有实数根； (2)当时，求出这个方程的两个根． 【考点题型四】一元二次方程根与系数的关系 【例4】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）一元二次方程的两根分别是、，则的值是（    ） A．4 B． C．1 D． 【变式4-1】（23-24九年级上·福建龙岩·期中）以3 和为两根的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知a、b是方程的两个实数根，则 ． 【变式4-3】（22-23九年级上·四川成都·期中）已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 ． 【变式4-4】（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 【考点题型五】一元二次方程的应用 【例5】（22-23九年级上·福建莆田·期中）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23九年级上·山东济南·期中）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为米、米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23九年级上·四川凉山·期中）某服装厂一月份口罩产量是100万只，三月份口罩产量是121万只，设二、三月份的月平均产量增长率为x，根据题意可得方程为 ． 【变式5-3】（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【变式5-4】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）． (1)网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？ (2)在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？ 【考点题型六】整体思想 【例6】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）设一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【变式6-1】（22-23九年级上·山东济宁·期中）已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B．12 C．3 D．0 【变式6-2】（22-23九年级上·贵州遵义·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【变式6-3】（23-24九年级上·四川泸州·期中）已知，是方程的两根，则代数式 ． 【变式6-4】（23-24九年级上·广东广州·期中）已知，是一元二次方程的两实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 【考点题型七】降次思想 【例7】（19-20九年级上·福建福州·期中）下列等式变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23九年级下·吉林松原·期中）因式分解：＝ ． 【变式7-2】（21-22九年级上·广东江门·期中）分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8= ． 【变式7-3】（20-21八年级上·重庆万州·期中）若实数x满足，则的值为 ． 【变式7-4】（23-24九年级上·山东威海·期中）把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) 【考点题型八】分类讨论思想 【例8】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）在等腰三角形中，，，的长是关于x的方程的两根，则m的值是（    ） A．16 B．24 C．25 D．16或25 【变式8-1】（23-24九年级上·甘肃武威·期中）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是 ． 【变式8-2】（22-23九年级上·山西运城·期中）已知关于x的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则的周长为 ． 【变式8-3】（23-24九年级上·河北唐山·期中）已知 的两边的长恰好是关于的方程的两个实数根，第三边的长为． (1)求证： (2)当是多少时，是等腰三角形． 【变式8-4】（23-24九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程 (1)试判断上述方程根的情况． (2)已知的两边的长是关于上述方程的两个实数根，的长为5． ①当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ ②当为何值时，是等腰三角形？请求出此时的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程（考点清单，知识导图+4个考点清单+8种题型解读） 【清单01】一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 解题策略： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 【清单02】一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 解题策略： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 　 法，再考虑用公式法． 【清单03】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 解题策略： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 【清单04】列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 解题策略：　　 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 【考点题型一】一元二次方程的有关概念 【例1】（23-24九年级上·北京海淀·期中）关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（   ） A．2，3， B．2，，1 C．2，， D．，3，1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项．熟练掌握一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键． 根据一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键． 【详解】解：由题意知，一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，3，， 故选：A． 【变式1-1】（22-23九年级上·福建莆田·期中）关于x的方程是一元二次方程，则a满足（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一般地形如（都是常数）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故选：A 【变式1-2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，对于关于的一元二次方程，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项． 根据一元二次方程的一般形式确定常数项，根据题意列出方程，解方程求出． 【详解】解：关于的一元二次方程的常数项是， 则， 解得：， ， 的值为6， 故答案为：6． 【变式1-3】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要查了一元二次方程的定义．根据“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式是一元二次方程”，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 【变式1-4】（23-24九年级上·广西河池·期中）已知关于x的方程 (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵是一元一次方程， ∴， 解得． 即时，此方程是一元一次方程； （2）∵是一元二次方程， ∴， 解得． 即时，此方程是一元二次方程． 【考点题型二】一元二次方程的解法 【例2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）用配方法解一元二次方程，步骤如下：①，②，③，④即，．其中开始错误的步骤是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先两边乘以4，再开方，移项，合并同类项得出解并判断即可． 【详解】解：， 两边乘以4，得， 开方，得， 即， ∴． 其中开始错误得步骤是③． 故选：C． 【变式2-1】（23-24九年级上·广东江门·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： ∴ 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）解方程∶ (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用直接开平方法求解即可； （2）根据公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴ ∴ ∴， ∴，． 【变式2-3】（22-23九年级上·四川内江·期中）解方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法和配方法是解答本题的关键． （1）方程整理后，利用直接开平方法求解即可； （2）方程整理后，利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：整理，得， ， 即或， 即，； （2）解：方程化为， 移项，得， 配方，得， ， 解得， 即或， 即，． 【变式2-4】（23-24九年级上·四川广安·期中）解方程 (1)； (2)（配方法）； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接开平方法解方程，即可作答． （2）先移项，再配方，然后开方，解方程，即可作答． （3）先得出，再代入求根公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ∴ （2）解： ∴ ∴ （3）解：∵ ∴ ∴ ∴ 【考点题型三】一元二次方程根的判别式 【例3】（22-23九年级上·湖南永州·期中）方程的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数，结合根的判别式，可求出，进而可得出原方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：，，， ， 原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式3-1】（23-24九年级上·湖北荆州·期中）下列方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由根的判别式判断一元二次方程根的情况，掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”是解题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A.，方程有两个不相等的实数根，故不合题意； B.，方程没有实数根，故符合题意； C.，方程有两个不相等的实数根，故不合题意； D.，方程有两个相等的实数根，故不合题意． 故选：B． 【变式3-2】（22-23九年级上·辽宁锦州·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围是． 故答案为：． 【变式3-3】（22-23九年级上·福建莆田·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)写出一个满足条件的k值，并求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程（）的根与系数的关系． （1）先根据方程有两个不相等的实数根得出，解之可得； （2）在以上所求的范围内取一值，如，再解方程即可得． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． （2）解：取，此时方程为， 解得：． 【变式3-4】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）已知关于的一元二次方程为． (1)当为何值时，该方程有实数根； (2)当时，求出这个方程的两个根． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数、解一元二次方程，解题的关键是熟知根的判别式与一元二次方程的解法． （1）由方程有实数根可知，然后解得m的取值范围即可． （2）将m的值代入原方程，求解方程即可． 【详解】（1）∵方程有实数根， ∴， 即，解得， ∴当为何值时，该方程有实数根； （2）将代入原方程得，即， ∴, 即，． 【考点题型四】一元二次方程根与系数的关系 【例4】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）一元二次方程的两根分别是、，则的值是（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】此题考查了根与系数的关系，熟练握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 根据题意，由根与系数的关系求出所求即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， 故选：C． 【变式4-1】（23-24九年级上·福建龙岩·期中）以3 和为两根的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系定理，能熟记根与系数的关系定理的内容是解此题的关键． 根据根与系数的关系，一元二次方程，有两根、，则，，逐个判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴3 和不是方程的两根，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴3 和是方程的两根，故本选项符合题意； C、∵， ∴3 和不是方程的两根，故本选项不符合题意； D、∵， ∴3 和不是方程的两根1，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知a、b是方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，再由多项式乘以多项式的计算法则得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵a、b是方程的两个实数根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式4-3】（22-23九年级上·四川成都·期中）已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的变形，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 先根据根与系数关系得出，再把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：12． 【变式4-4】（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根与系数的关系和根的判别式是解题的关键． （1）根据题意可知，解出不等式即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根和 解得：． 则实数的取值范围是． （2）解：根据题意，， ，即 ，即 解得：或1 舍去 【考点题型五】一元二次方程的应用 【例5】（22-23九年级上·福建莆田·期中）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出相关方程是解答本题的关键．根据百分率的意义及方程的意义即可得出答案． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 一次降价后价格可表示为，再次降价后价格表示为， 可列方程为， 故选：D． 【变式5-1】（22-23九年级上·山东济南·期中）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为米、米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，由题意得种植的矩形的长为，宽为，即可求解； 【详解】解：∵小道的宽为x米， ∴需要种植的矩形的长为，宽为， 则， 故选：A 【变式5-2】（22-23九年级上·四川凉山·期中）某服装厂一月份口罩产量是100万只，三月份口罩产量是121万只，设二、三月份的月平均产量增长率为x，根据题意可得方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．某服装厂一月份的口罩产量是100万个，则二月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，根据三月份的口罩产量是121万个，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得． 故答案为： 【变式5-3】（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 【变式5-4】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）． (1)网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？ (2)在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？ 【答案】(1)每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元 (2)小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元，根据“元买了箱大果和箱帝王果；元买了箱大果和箱帝王果”列出二元一次方程组求解即可； （2）设每箱大果的售价应该降低元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元， 根据题意得，， 解得， 答：每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元． （2）解：设每箱大果的售价应该降低元， 根据题意得， 即： 解得：，（舍） ∴， 答：小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元 【考点题型六】整体思想 【例6】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）设一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后代入求值即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式6-1】（22-23九年级上·山东济宁·期中）已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B．12 C．3 D．0 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出，，再将其代入，计算即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键． 【详解】解：，是关于的方程的两根， ，，． ． 故选：B 【变式6-2】（22-23九年级上·贵州遵义·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】2029 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确分析计算是解题的关键．直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可； 【详解】解：由，是方程的两个实数根， 则有，， ∴． 故答案是2029 【变式6-3】（23-24九年级上·四川泸州·期中）已知，是方程的两根，则代数式 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握方程的解的定义及韦达定理是解题的关键．由根与系数的关系可得：：，，再整体代入变形后的代数式即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 则 ． 故答案为： 【变式6-4】（23-24九年级上·广东广州·期中）已知，是一元二次方程的两实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)16 (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：的两根满足． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，对展开式进行代入计算即可． （2）先将根代入原方程，得到，移项后得，再代入，最后利用两根之和再代入即可求得结果． 【详解】（1）解：根据题意，得，． ； （2）∵，是一元二次方程的两实数根， ∴， ∴． ∴     1 ． 【考点题型七】降次思想 【例7】（19-20九年级上·福建福州·期中）下列等式变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解、平方差公式、完全平方公式逐项计算分析即可． 【详解】A． ，正确； B． ，错误； C． ，正确； D． ∵，∴，正确； 故选B． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握因式分解及乘法公式是解答本题的关键 【变式7-1】（22-23九年级下·吉林松原·期中）因式分解：＝ ． 【答案】 【分析】先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法分解因式的方法是解题的关键 【变式7-2】（21-22九年级上·广东江门·期中）分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8= ． 【答案】（x﹣4）（x﹣1）（x+2） 【分析】式子中加上2x减去2x，利用分组分解法及十字相乘法分解因式． 【详解】解：x3﹣3x2﹣6x+8 = = = = = =（x﹣4）（x﹣1）（x+2）， 故答案为：（x﹣4）（x﹣1）（x+2）． 【点睛】此题考查了十字相乘法及分组分解法分解因式，正确添加项及因式分解的方法是解题的关键． 【变式7-3】（20-21八年级上·重庆万州·期中）若实数x满足，则的值为 ． 【答案】-2019 【分析】先将变形为，再将要求的式子逐步变形，将整体代入降次，最后可化简求得答案． 【详解】∵， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解在代数式化简求值中的应用，将已知条件恰当变形并将要求的式子进行因式分解，是解题的关键． 【变式7-4】（23-24九年级上·山东威海·期中）把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再合并同类项，最后提取公因数2即可； （4）先把看做一个整体，利用十字相乘法分解因式，再分别利用平方差公式和十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点题型八】分类讨论思想 【例8】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）在等腰三角形中，，，的长是关于x的方程的两根，则m的值是（    ） A．16 B．24 C．25 D．16或25 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的性质，分类讨论，根据一元二次方程根的定义，以及根的判别式分别计算即可求解． 【详解】解：当为腰时， 则或的长为8，， ∴； 当为底边时， 当时，方程有两个相等的实数根， 则， 即， ∴． 故选D． 【变式8-1】（23-24九年级上·甘肃武威·期中）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，以及三角形三条边的关系．先求出方程的根，再分类讨论，确定是否符合题意． 【详解】解：解方程，得，， 当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形； 当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为． 故答案为10． 【变式8-2】（22-23九年级上·山西运城·期中）已知关于x的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则的周长为 ． 【答案】8或7 【分析】本题考查了根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，分两种情况考虑：当时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当或b时，把代入方程求出k的值，进而求出周长即可． 【详解】解：∵ ， 则无论k取何实数值，方程总有实数根， 当时，，方程为， 解得：， 此时三边长为3，2，2，周长为； 当或时，把代入方程得：， 解得：，此时方程为：， 解得：， 此时三边长为3，3，2，周长为， 综上所述，的周长为7或8． 故答案为：8或7． 【变式8-3】（23-24九年级上·河北唐山·期中）已知 的两边的长恰好是关于的方程的两个实数根，第三边的长为． (1)求证： (2)当是多少时，是等腰三角形． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)当或时，是等腰三角形 【分析】（1）运用一元二次方程根的判别式即可求解； （2）运用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵的长是关于的方程的两个实数根， ∴ ， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， ∴． （2）解：由（1）可知，关于的方程有两个不相等的实数根，即，的第三边的长为， ∴当时，是等腰三角形，即方程的一个根， ∴，整理得，， ∴， ∴，， ∴当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的运用，根的判别式的运用，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 【变式8-4】（23-24九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程 (1)试判断上述方程根的情况． (2)已知的两边的长是关于上述方程的两个实数根，的长为5． ①当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ ②当为何值时，是等腰三角形？请求出此时的周长． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根 (2)①当时，是直角三角形；②当时，是等腰三角形，此时的周长为14；当时，是等腰三角形，此时的周长为16 【分析】（1）根据判别式即可得出，由此即可得出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出．①设，，根据利用勾股定理得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值； ②根据（1）结论可得出，由此得出△ABC是等腰三角形分两种情况求解即可得出结论． 【详解】（1）在方程中， ， 方程有两个不相等的实数根． （2）， ． ①不妨设， 斜边时，有，即， 解得：（舍去）． 当时，是直角三角形 ②，由（1）知， 故有两种情况： （Ⅰ）当时，， ， 满足任意两边之和大于第三边， 此时的周长为； （Ⅱ）当时，， 满足任意两边之和大于第三边， 此时的周长为． 综上可知：当时，是等腰三角形，此时的周长为14；当时，是等腰三角形，此时的周长为16． 【点睛】本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程，勾股定理，以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式时，方程有两个不等实数根”是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$