专题01 一元二次方程（8大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题01 一元二次方程 一元二次方程的定义 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．1，， B．，， C．1，，1 D．1，5，1 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 一元二次方程的解 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如果是方程的一个根，则常数的值为（   ） A． B． C．8 D．6 2．（23-24九年级上·福建三明·期中）如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知关于x方程的根是（    ） … 0 1 2 3 4 … … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）已知方程的一个根是，则下列代数式的值恒为1的是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·漳州·阶段练习）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ． 5．（22-23八年级下·福建泉州·期中）若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 直接开方法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·宁德·期中）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无解 2．（23-24九年级上·龙海·期中）关于x的方程有一根是，则关于y的方程的解是（　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖里区·期中）若关于的方程 有实数根，则 ． 4．求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 5．（23-24九年级上·晋江·期中）． 配方法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·晋江季延中学期中）用配方法解方程的过程中，应将此方程化为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是（    ） A．2 B．4 C． D．3 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）一元二次方程配方后得， 则n的值是 4．（23-24九年级上·宁德·期中）解方程：． 5．（23-24九年级上·莆田仙游·期中）用适当的方法解方程：． 6．（23-24九年级上·漳浦·期中）解方程： 公式法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·厦门实验中学·期中）是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·厦门翔安区·期中）解方程：． 3．（23-24九年级上·泉州惠安·期中）解方程：． 4．（23-24九年级上·福州市联考·期中）解方程：． 5．（23-24九年级上·晋江安海片区联考·期中）若关于的一元二次方程的解为，求的值． 因式分解解一元二次方程 1．（23-24九年级上·长泰一中·期中）嘉嘉在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·厦门莲花中学·期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　） A．9 B．11 C．13 D．11或13 3．（23-24九年级上·泉州南安·期中）在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 4．（23-24九年级上·霞浦·期中）解方程：． 5．（23-24九年级上·福建南平·期中）计算： (1)； (2)． 6．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）解方程： (1) (2) 一元二次方程根与系数的关系 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）以3 和为两根的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）若a，b是方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2026 3．（23-24九年级上·福建三明·期中）已知m，n是一元二次方程的两根，则代数式的值为 ． 4．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）已知，是方程的两根，则代数式的值为 ． 5．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 一元二次方程实际应用 1．（23-24九年级上·福建南平·期中）若两个连续负偶数的积为528，则这两个负偶数的和为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程，化为一般式为 ． 3．（23-24九年级上·南安·期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），计划安排场比赛，求应邀请多少支球队参加比赛，设应邀请支球队参加比赛，则可列方程为 . 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）去年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为40米的篱笆，围成一个封闭的矩形菜地，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米．    (1) 米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的菜地面积为192平方米，求此时的宽． 5．（23-24九年级上·泉州石狮·期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2021年出口量为20万台，2023年出口量增加到45万台． (1)求2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？ (2)按照这个增长速度，预计2024年我国新能源汽车出口量为多少？ 6．（23-24九年级上·福建漳州·期中）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． (1)每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）； (2)平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ； (3)若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 换元法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·福州则徐中学·期中）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24九年级上·莆田砺成中学·期中）若，求的值为 ． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”简化运算．“缩根法”是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并将新方程的两根同时缩小若干倍，从而得到原方程的两个根． 已知：关于的一元二次方程的两根为，求关于的一元二次方程的两根． 解：，令， 得新方程， 新方程的解为， 原方程的两根为． 这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法” 举例：用缩根法解方程． 解：，令， 得新方程． 解新方程得：， 原方程的两根为． 请利用上面材料解决下列问题，并写出具体步骤： (1)用缩根法解方程：； (2)用缩根法解方程：． 4．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是将x2-1视为一个整体，然后设，则，原方程可化为， 解此方程，得． 当时，，，∴． 当时，，∴． ∴原方程的解为． 以上解题方法就叫换元法． 请利用换元法解决以下问题： (1)直接写出方程的根为___________； (2)利用换元法解方程：． 根据一元二次方程根的情况求参数 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 2．（23-24九年级上·福建厦门实验中学·期中）在中，，，且关于x的方程有两个相等的实数根，边上的中线长为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（23-24八年级下·福州仓山·期中）若关于的方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数的个数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·南平·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是 ． 5．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标恰好是横坐标的倍，那么我们就把这个点定义为“萌点”． (1)若一次函数的图象上有一个“萌点”的横坐标是，求值； (2)若二次函数的图象上没有“萌点”，求的取值范围． 动态几何问题 1．（23-24九年级上·龙岩连城·期中）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当 s时，的面积为． 2．（23-24九年级上·福州高新区·期中）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过 秒后，P，Q两点之间相距25 cm.      3．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，，，，点P从A点出发沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BC向C点以2cm/s的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答：    (1)经过多少时间，的面积是，此时，长为多少cm． (2)探究：是否存在某一时刻，使，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程 一元二次方程的定义 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．1，， B．，， C．1，，1 D．1，5，1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．解题的关键在于对知识的熟练掌握．求出一元二次方程的一般式，然后进行判断即可． 【详解】解：由题意知，， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，， 故选：A． 2．（23-24九年级上·福建福州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，故此选项错误； B、是一元三次方程，故此选项错误： C、是一元二次方程，故此选项正确： D、是分式方程，故此选项错误； 故选：C． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．熟记相关定义即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 一元二次方程的解 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如果是方程的一个根，则常数的值为（   ） A． B． C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，把代入方程可得到关于的方程，可求得的值，把方程的解代入得到到关于的方程是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 故选：． 2．（23-24九年级上·福建三明·期中）如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知关于x方程的根是（    ） … 0 1 2 3 4 … … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解的定义，即可解答．熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键． 【详解】解：由题意得： 当时，, 当时，, ∴方程的根是， 故选：B． 3．（23-24九年级上·福建福州·期中）已知方程的一个根是，则下列代数式的值恒为1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入方程可得，再化简即可得． 【详解】解：方程的一个根是， ， 两边同除以得：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，熟记一元二次方程的根的定义（使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根）是解题关键． 4．（22-23九年级上·漳州·阶段练习）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】由是一元二次方程的一个实数根，得，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是整体思想的应用． 5．（22-23八年级下·福建泉州·期中）若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】7 【分析】将代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键． 直接开方法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·宁德·期中）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无解 【答案】C 【分析】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用直接开方法解一元二次方程是解决此题的关键．利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵ ∴ 解得：，， 故选C． 2．（23-24九年级上·龙海·期中）关于x的方程有一根是，则关于y的方程的解是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的根，以及一元二次方程的解法．把代入就可以得到一个关于a的方程，从而求出a的值，代入得出关于y的方程，解方程就可求出y的值． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得：， 把代入得， ， 解得． 故选C． 3．（23-24九年级上·湖里区·期中）若关于的方程 有实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程有解的条件，利用平方根的含义建立不等式即可得答案． 【详解】解：∵关于的方程 有实数根， ∴， ∴， 故答案为： 4．求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法是解此题的关键． （1）移项后两边开方，即可求出x； （2）方程两边都除以3，再开方，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 开方得：， 即，； （2）解：， ， 开方得：， 即，． 5．（23-24九年级上·晋江·期中）． 【答案】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解． 【详解】解：方程两边直接开方得：或， ∴或， 解得：． 配方法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·晋江季延中学期中）用配方法解方程的过程中，应将此方程化为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是（    ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】D 【分析】继续解一元二次方程即可求解． 【详解】解：将一个关于x的一元二次方程配方为， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）一元二次方程配方后得， 则n的值是 【答案】3 【分析】先把方程的常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键． 4．（23-24九年级上·宁德·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先将常数项移到方程右边，方程两边都加上一次项系数一半的平方，配方后再开方，得到两个一元一次方程，求解即可． 【详解】解： 移项得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 5．（23-24九年级上·莆田仙游·期中）用适当的方法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ∴， ∴或， ∴，． 6．（23-24九年级上·漳浦·期中）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可． 【详解】解： 移项得， 配方得， 即 开方得，， 解得，． 公式法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·厦门实验中学·期中）是下列哪个一元二次方程的根（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，解决本题的关键是掌握公式． 【详解】解：解一元二次方程的公式为， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程为：， 故选：． 2．（23-24九年级上·厦门翔安区·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 3．（23-24九年级上·泉州惠安·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ， ，． 4．（23-24九年级上·福州市联考·期中）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，直接根据公式法求解即可． 【详解】解：∵ ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 5．（23-24九年级上·晋江安海片区联考·期中）若关于的一元二次方程的解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 将代入得，，然后利用公式法解方程即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，， ∴的值为． 因式分解解一元二次方程 1．（23-24九年级上·长泰一中·期中）嘉嘉在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用因式分解法解方程，求出两个解，即可得出漏掉的解． 【详解】解：， 因式分解得， ∴ 或， ∴，， ∴ 他漏掉的解是． 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，属于基础题，掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键． 2．（23-24九年级上·厦门莲花中学·期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　） A．9 B．11 C．13 D．11或13 【答案】C 【详解】试题分析：先求出方程x2－6x＋8＝0的解，再根据三角形的三边关系求解即可. 解方程x2－6x＋8＝0得x=2或x=4 当x=2时，三边长为2、3、6，而2+3＜6，此时无法构成三角形 当x=4时，三边长为4、3、6，此时可以构成三角形，周长=4+3+6=13 故选C. 考点：解一元二次方程，三角形的三边关系 点评：解题的关键是熟记三角形的三边关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边. 3．（23-24九年级上·泉州南安·期中）在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，根据新定义得到，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：根据题意，得：， 即 或 解得：． 4．（23-24九年级上·霞浦·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 5．（23-24九年级上·福建南平·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）因式分解法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 掌握因式分解法解方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ∴； （2） ， 或， ∴． 6．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）移项后用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）∵， ∴， ∴或， ∴，． 一元二次方程根与系数的关系 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）以3 和为两根的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系定理，能熟记根与系数的关系定理的内容是解此题的关键． 根据根与系数的关系，一元二次方程，有两根、，则，，逐个判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴3 和不是方程的两根，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴3 和是方程的两根，故本选项符合题意； C、∵， ∴3 和不是方程的两根，故本选项不符合题意； D、∵， ∴3 和不是方程的两根1，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）若a，b是方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，灵活的将代数式进行分组是解题的关键． 由题意知，，，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 即， ∴， 故选：A． 3．（23-24九年级上·福建三明·期中）已知m，n是一元二次方程的两根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两根， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）已知，是方程的两根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意，得到，代入代数式求值即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 5．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确，是一元二次方程的两个根时，，是答题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 解得：； （2）∵，是这个方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：． 一元二次方程实际应用 1．（23-24九年级上·福建南平·期中）若两个连续负偶数的积为528，则这两个负偶数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能用代数式表示出两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．设较小偶数为x，则较大偶数是，根据两个连续偶数的积为528即可列出方程，解方程求得x的值，再求它们的和即可． 【详解】解：设较小偶数为x，则较大偶数是， 则有， 解得（不合题意，舍去）， ， ∴二者之和为， 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程，化为一般式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，根据题意可知阴影部分的长为，宽为，根据长方形面积公式可得，据此化为一般式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·南安·期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），计划安排场比赛，求应邀请多少支球队参加比赛，设应邀请支球队参加比赛，则可列方程为 . 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【详解】设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得，， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）去年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为40米的篱笆，围成一个封闭的矩形菜地，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米．    (1) 米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的菜地面积为192平方米，求此时的宽． 【答案】(1) (2)12米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，理清各量之间的关系、列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式化简即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设若设菜地的宽为x米， 由题意可得：米． 故答案为：． （2）解：由（1）可知：，， 由题意可得：，解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． 所以，此时的宽为12米． 5．（23-24九年级上·泉州石狮·期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2021年出口量为20万台，2023年出口量增加到45万台． (1)求2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？ (2)按照这个增长速度，预计2024年我国新能源汽车出口量为多少？ 【答案】(1)2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是； (2)预计2024年我国新能源汽车出口量为67.5万辆． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据2021年某款新能源车销售量为20万辆，到2023年销售量为45万辆，若年增长率不变，可得关于的一元二次方程； （2）利用（1）中所求，进而利用2024年出口量年出口量增长率），即可得出答案． 【详解】（1）解：设年平均增长率为， 根据题意可列方程：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是； （2）解：由（1）得，（万， 答：预计2024年我国新能源汽车出口量为67.5万辆． 6．（23-24九年级上·福建漳州·期中）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． (1)每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）； (2)平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ； (3)若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】(1) (2) (3)每顶头盔应降价20元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据利润售价进价，列出代数式即可； （2）利用平均每周的销售量，即可找出与之间的函数关系式； （3）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论． 【详解】（1）解：∵进价为每顶40元，原售价为每顶68元， ∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元； 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 故答案为：； （3）解：根据题意得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每顶头盔应降价20元． 换元法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·福州则徐中学·期中）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出和是解此题的关键． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程中或， 解得：，， 故选：D． 2．（23-24九年级上·莆田砺成中学·期中）若，求的值为 ． 【答案】4 【分析】设，把原方程变形，求得x，即可得出的数值． 【详解】解：设，则原方程为， 整理得， ， ∴，， 解得，， ∵是非负数， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 3．（23-24九年级上·福建厦门·期中）当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”简化运算．“缩根法”是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并将新方程的两根同时缩小若干倍，从而得到原方程的两个根． 已知：关于的一元二次方程的两根为，求关于的一元二次方程的两根． 解：，令， 得新方程， 新方程的解为， 原方程的两根为． 这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法” 举例：用缩根法解方程． 解：，令， 得新方程． 解新方程得：， 原方程的两根为． 请利用上面材料解决下列问题，并写出具体步骤： (1)用缩根法解方程：； (2)用缩根法解方程：． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）设，得到新方程，再求出新方程的解，即可得出原方程的解； （2）将方程两边都乘以3，得，设，得到新方程，再求出新方程的解，即可得出原方程的解． 【详解】（1）解：设，得到新方程， 解得，， 即或， 所以原方程的两个根是，； （2）解：原方程整理为， 设，得到新方程， 解得，， 所以原方程的解是，． 【点睛】本题主要考查了“缩根法”解一元二次方程即换元法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 4．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是将x2-1视为一个整体，然后设，则，原方程可化为， 解此方程，得． 当时，，，∴． 当时，，∴． ∴原方程的解为． 以上解题方法就叫换元法． 请利用换元法解决以下问题： (1)直接写出方程的根为___________； (2)利用换元法解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则方程化为：， 解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； 故答案为：； （2）设，则，原方程化为 解得， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为； 【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键． 根据一元二次方程根的情况求参数 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分和两种情况进行解答． 本题考查的是根的判别式，解题的关键是要注意分和两种情况进行讨论． 【详解】解：①当时，该方程为，是一元一次方程，此时方程有一个实数根； ②当时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 综上，的取值范围是． 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建厦门实验中学·期中）在中，，，且关于x的方程有两个相等的实数根，边上的中线长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查根的判别式，勾股定理逆定理，中线定义．根据题意求出，利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，利用中线定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴是直角三角形， ∴边上的中线长为：， 故选：D． 3．（23-24八年级下·福州仓山·期中）若关于的方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根的判别式及分式方程的解法，求得的取值范围是解题的关键．先利用判别式的意义得到且，再解把分式方程化为整式方程得到，利用分式方程有正数解可得到关于的不等式组，则可求得的取值范围，则可求得满足条件的整数的个数． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， 且，解得且， 分式方程去分母得，解得， 分式方程有正数解， 且，解得且， 的范围为且，， 符合条件的整数的值是，即符合条件的只有一个， 故选：． 4．（23-24八年级下·南平·期中）关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】根据原方程有实数根可知，进而可得则实数a的取值范围，本题考查根据一元二次方程根的情况求参数即可， 【详解】解：∵有实数根， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：且． 5．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标恰好是横坐标的倍，那么我们就把这个点定义为“萌点”． (1)若一次函数的图象上有一个“萌点”的横坐标是，求值； (2)若二次函数的图象上没有“萌点”，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由“萌点”的定义可知，该“萌点”坐标为，代入，即可求出的值； （2）设点是二次函数的图象上任意一点，由于点满足“萌点”条件，因此根据题意可知，它不是该二次函数图象上的点，于是利用即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象上有一个“萌点”的横坐标是， 该“萌点”坐标为， ， 解得：； （2）解：设点是二次函数的图象上任意一点， ， 即：， 根据题意可知，点不是二次函数图象上的点， 一元二次方程没有实数解， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，解一元一次方程，根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式等知识点，准确理解题中给出的“萌点”定义，正确运用点与函数的关系是解题的关键． 动态几何问题 1．（23-24九年级上·龙岩连城·期中）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当 s时，的面积为． 【答案】或 【分析】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为秒，分和两种情况结合三角形面积分别计算． 【详解】解：∵在等腰中，，， ∴，，． ∵于点． ∴设当时间为秒时，的面积为． 当时，，， ，即， 解得：或（舍去）． 当时，，， ，即， 解得：或（舍去）． 综上所述：当或秒时，的面积为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论． 2．（23-24九年级上·福州高新区·期中）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过 秒后，P，Q两点之间相距25 cm.      【答案】10 【分析】设x秒后，P、Q两点相距25cm，根据时间和速度求出路程，然后根据勾股定理列式解答即可. 【详解】设x秒后，P、Q两点相距25cm，据题意列式得： (2x)2+(25-x)2=252， 4x2-50x+x2=0， 5x(x-10)=0， x1=0 (舍去), x2=10 (秒). ∴10秒后P、Q两点相距25cm. 故答案为10. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 3．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，，，，点P从A点出发沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BC向C点以2cm/s的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答：    (1)经过多少时间，的面积是，此时，长为多少cm． (2)探究：是否存在某一时刻，使，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)1秒， (2)不存在某一时刻，使 【分析】（1）设运动时间为秒，根据题意表示出、的长，再根据三角形的面积公式列方程即可，再根据勾股定理求得此时的长度； （2）由再根据三角形的面积公式列出方程，然后求解即可得出结论． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，，则， 由题意得：，， ， ，即． 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 当时，，， ， 经过1秒，的面积是，此时，的长为； （2）解：由（1）及题意得： ， 整理得：， ∴， ∴不存在某一时刻，使 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形的面积公式，一元二次方程的应用，一元二次方程判别式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$