专题02 轴对称（考点串讲）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（鲁教版五四制）

七年级新鲁教版（2024）数学上册期中考点大串讲 串讲02 轴对称 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 六大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 期中真题对应考点练 考点透视 生活中的轴对称 轴对称的性质 轴对称图形 两个图形成轴对称 镜面对称 线段 角 等腰三角形 轴对称的应用 一、轴对称中的相关概念 1.轴对称. 对于两个平面图形，如果沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴. 2.轴对称图形. 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 3.轴对称与轴对称图形的区别与联系. (1)区别. ①轴对称是指两个平面图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的平面图形； ②轴对称涉及两个平面图形，轴对称图形是对一个平面图形而言的. (2)联系. ①定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合； ②如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个平面图形)，那么这两个平面图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把成轴对称的两个平面图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形. 二、轴对称的性质和判定 1.轴对称与轴对称图形的性质. (1)轴对称图形(或关于某条直线对称的两个平面图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等，对应角(对折后重合的角)相等. (2)成轴对称的两个平面图形全等，轴对称图形被对称轴分成的两个平面图形全等. (3)如果两个平面图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. (4)两个平面图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交,那么交点在对称轴上. 三、等腰三角形 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形是轴对称图形 （2）等腰三角形两个底角相等 （3）“三线合一” （4）等边三角形有三条对称轴 2.等腰三角形的判定 （1）有两条边相等的三角形 （2）有两个角相等的三角形 3.等边三角形的判定 （1）三边相等的三角形 （2）有两个内角是60°的三角形 （3）有一个内角是60°的等腰三角形 五、角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 四、线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 线段垂直平分线的判定： 到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上. 六、含30°角的直角三角形的性质： 直角三角形中如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半 七、生活中的轴对称图形 剪纸 轴对称设计图形 题型剖析 题型一 轴对称图形的判断 例1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A B C D 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义. 举一反三 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A B C D 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点拨】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判断识别，解题的关键是掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 题型二 画图形的对称轴及轴对称图形 例1．如图，下列图形都是轴对称图形，请分别画出每个图形的所有对称轴． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【点拨】本题主要考查了画轴对称图形的对称轴，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 举一反三 1．下列各图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的一条对称轴． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，第二个图形不是轴对称图形，第一个和第三个图形是轴对称图形，对称轴如图所示： 题型三 轴对称中的面积问题 例1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形)△ABC关于直线l对称的图形为△A1B1C1其中A1是A的对称点． (1)请作出对称轴直线l及△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； (2)在直线l上画出点P，使得△PAC的周长最小； (3)直接写出四边形ABB1A1的面积为 ． 【详解】（1）如图，直线l和△A1B1C1即为所求； （2）如图，连接A1C，交直线l于点P，连接AP 此时PA+PC=PA1+PC=PA1+PC=A1C，为最小值， ∴PA+PC+AC最小， 即△PAC的周长最小，则点P即为所求； （3）四边形ABB1A1的面积为： 【点拨】本题考查作图一轴对称变换、轴对称一最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质 是解答本题的关键． 举一反三 1．如图，在四边形ABCD中．AC⊥BD于点E，BE=DE．若AC=30cm，BD=20cm，求阴影部分的面积． 【详解】根据已知条件及对称性可知，阴影部分的面积与△ABC的面积相等 ∵BE=DE，BD=20cm ∴BE=10cm， ∵AC⊥BD，AC=30cm， ∴S△ABC=0.5AC.BE=150cm2， 故阴影部分的面积为150cm2 【点拨】本题主要考查的是有关轴对称图形的性质与三角形面积公式，重点是注意阴影部分的面积和非阴影部分的面积相等。   题型四 轴对称中的折叠问题 例1．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上一点，沿线段BE对折后，若∠ABF比∠EBF大15°，则∠EBC的度数是（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 【详解】解：由翻折变换可知，∠EBC=∠FBE， 设∠EBC=x，则∠ABF=15°+x ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°， ∴x+ x+15°+ x=90°， 解得x=25°， 【点拨】本题考查角的计算，翻折变换以及一元一次方程的应用．根据翻折变换的性质，设未知数，列方程求解即可． 举一反三 1．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，∠BAD=∠ABC=26°，则∠CDE的度数为 °． 【详解】解：∵∠ADC=∠BAD+∠B=52°， ∴∠ADB=180°—∠ADC=180°—52°=128°， 根据翻折的性质得∠ADE=∠ADB=128°， ∴∠CDE=∠ADE—∠ADC=128°—52°=76°． 【点拨】此题考查了折叠的性质、三角形外角的性质、邻补角等知识。 题型五 轴对称中的最值问题 例1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点M，N分别是线段BD、BC上一动点，AB＞BD且S△ABC=10，AB=5，则CM+MN的最小值为 ． 【详解】解：作点N关于BD的对称点N，连接MN，，过点C作CH⊥AB于点H．∵BD平分∠ABC， ∴点N关于BD的对称点在BA上，∴MN=MN，， ∵MN+MC= MN，+MC≥CH， ∵S△ABC=10，AB=5，∴0.5×5×CH=10， ∴CH=4，∴MN+MC≥4， ∴MN+MC的最小值为4． 【点拨】本题考查轴对称—最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 举一反三 1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=6，点M为AC边上一动点，点N为线段AB上一点，且AN=2BN，则线段BM+MN的最小值为 ． 【详解】解：如图连接BD， ∵将△ABC沿AC翻折得到△ACD，点B的对应点为点D， ∴DM=BM，AD=AB=6， ∴BM+MN=DM+MN≥DN， ∴BM+MN的最小值为DN的长， ∵AB=6，AN=2BN， ∴AN=4， 在Rt△ADN中， 【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，解答中涉及轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，掌握将军饮马模型是解题的关键． 题型六 等腰三角形中的三线合一问题 例1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的中线，∠B=72°，则∠DAC= °． 【详解】解：∵AB=AC，AD为△ABC的中线，∠B=72°， ∴∠C=∠B=72°，AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠DAC=∠BAC= ×（180°-72°-72°）=18°； 【点拨】本题考查等边对等角，三线合一，根据等边对等角结合三角形的内角和定理求出∠BAC，根据三线合一求出∠DAC的度数即可． 举一反三 1．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A=∠ABE．若AC=7，BC=4，则BD的长为 ． 【详解】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ECD， ∵BE⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=90°， ∵CD=CD，∴△BDC≌△EDC（ASA），∴BD=DE， 又∵∠A=∠ABE，∴AE=BE， ∵AC=7，BC=4， ∴AE=AC-CE=3， ∴BE=AE=3， ∴BD=BE=． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质。 易错易混 易错题型一 台球桌面上的轴对称问题 例1．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中∠1叫做入射角，∠2叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．A号袋 B．B号袋 C．C号袋 D．D号袋 【详解】解：如右下图所示：球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的C号袋中， 【点拨】此题主要考查了生活中的轴对称现象，解题的关键是掌握每次的入射角总是等于反射角． 易错题针对训练 1．如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个， 【点拨】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点． 易错题型二 轴对称中的光线反射问题 例1．通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（     ） 【详解】根据直线的性质补全图2并作出法线OK， 如右下图所示： 根据图形可以看出OB是反射光线， 【点拨】本题主要考查轴对称的性质，垂线的画法，根据轴对称的性质得相等的角是补全光线的关键． 易错题针对训练 1．光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线EF与水平线的夹角∠AFE=30°时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即FG⊥AB，则调整后平面镜与水平线的夹角∠AFC为（      ） A． B． C．70° D．80° 【详解】解：过点F，作FH⊥CD，则∠HFC=90°， 依题意得：∠EFH=∠GFH， ∵∠AFE=30°，FG⊥AB， ∴∠GFE=∠AFE+∠AFG=30°+90°=120°， ∴∠EFG=∠GFH=∠GFE=60°， ∴∠CFE=∠HFC-∠EFH=30°， ∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=60° 【点拨】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键． 易错题型三 数字对称问题 例1．如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 【点拨】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同． 易错题针对训练 1．平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是 ． 【详解】解：根据镜面对称的性质，因此15:02的真实图像应该是12:05． 【点拨】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 押题预测 练习&巩固 1．（2023-2024七年级上·山东济南·期中）如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A，B两村庄供水．现有如图所示的四种铺设管道的方案(图中实线表示铺设的管道)，则铺设的管道最短的是(      ) A B D C 【详解】如下图， 画出点A关于l的对称点A′，则：A′P=AP 连接A′B，交直线l于P点， ∵AP+BP=A′P+BP=A′B， 这时，A′B最小，即：所需管道最短， 故选D． 【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，熟练掌握最短路线的确定方法是解题的关键． 2．（2023-2024七年级·山东淄博·期末）下列说法中错误的是（　　） A．两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 B．关于某直线对称的两个图形全等 C．面积相等的两个四边形对称 D．轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合 【详解】根据轴对称的性质，两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴，故A正确； 根据轴对称的性质，关于某直线对称的两个图形全等，故B正确； 根据面积相等的两个四边形不一定全等，故不一定轴对称，故C错误； 根据轴对称的概念，可知轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合，故D正确． 【点拨】本题考查轴对称的性质；如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．找着每个选项正误的具体原因是正确解答本题的关键． 3．（2023-2024七年级上·山东临沂·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD是高，M，N分别是AD，AC上的动点，△ABC的面积是15，则MN+MC的最小值是 ． 【详解】 过点C作CE⊥AB交AB于点E,交AD于点M,过点M作MN⊥AC于点N, ∵AB＝AC ∴△ABC是等腰三角形 ∴AD是∠BAC的平分线 ∴MN=ME，则此时MC+MN有最小值，即CE的长度， ∴15= ∴CE=5. 【点拨】本题主要考查等腰三角形三线合一定理，三角形面积公式，垂线段最短，运用数形结合思想是解题关键. 4．（2013·河北·中考真题）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上， 将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B = °． 【详解】∵MF//AD，FN//DC， ∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°. ∵△BMN沿MN翻折得△FMN， ∴∠BMN=∠BMF=×100°=50°，∠BNM=∠BNF=×70°=35°. 在△BMN中，∠B=180°－（∠BMN＋∠BNM）=180°－（50°＋35°）=180°－85°=95°. 5．（2023-2024七年级上·全国·单元测试）如图是一个经过改造的台球桌面示意图(该图由相同的小正方形组成)，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入 号球袋． 【详解】试题解析：根据题意，每次反射，都成轴对称变化，一个球按图中所示的方向被击出，经过3次反射后，落入1号球袋. 7．（2023-2024七年级上·山东泰安·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，直线a为对称轴，点A，点C在直线a上． （1）作△ABC关于直线a的轴对称图形△ADC； （2）若∠BAC＝35°，则∠BDA＝　 　； （3）△ABD的面积等于　 　． 【详解】解：（1）△ADC如图所示； （2）∠BAD=2∠BAC=2×35°=70°， ∵AB=AD， ∴∠BDA=（180°-∠BAD）=55°； 故答案为55°； （3）△ABD的面积=×8×7=28， 故答案为28． 【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图以及三角形面积的计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置． $$